期末总复习讲义02绝对值2025-2026学年沪教版（五四制）六年级数学上册

该初中数学讲义以“考点引领”构建绝对值知识体系，通过梳理几何意义、代数意义、非负性等六大考点，用框架图呈现从概念到综合应用的递进脉络，突出数轴工具与分类讨论思想的内在联系，明晰重难点分布。 讲义亮点在于“例题-变式-综合”三级练习设计，如利用数轴解决距离问题的例1培养几何直观，分类讨论绝对值化简的例4发展推理意识，分层题型适配不同学生。课后练习覆盖选择填空解答，助力学生自主复习，为教师精准教学提供支撑。

六年级数学期末总复习讲义 第2课 绝对值 知识点梳理 考点01绝对值的几何意义 考点02绝对值的代数意义 考点03绝对值的非负性 考点04绝对值的化简与分类讨论 考点05有关绝对值的最值问题 考点06数轴与绝对值的综合应用 知识点01 绝对值的几何意义 1. 的几何意义:=，表示在数轴上表示数a的点到原点之间的距离； 2. 的几何意义:在数轴上表示数a的点到表示数b的点之间的距离； 3. +的几何意义：在数轴上x到a和x到b距离之和； 例题讲解 例1（25-26六年级上·上海·期中）利用绝对值的几何意义，可以得到使小于3的整数的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是利用数轴理解表示与在数轴上对应点的距离． 利用绝对值的几何意义，将转化为数轴上x与1对应点的距离小于3，确定x的取值范围，再找出其中的整数个数． 【详解】解：根据绝对值的几何意义得， 表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离． 因为，所以x对应的点与1对应的点之间的距离小于3． 如图所示： 在数轴上，1左边与1距离3个单位的数是，右边与1距离个单位的数是， 所以x的取值范围是． 在范围内的整数有、0、1、2、3，共5个． 故选：C． 变式训练1.（25-26六年级上·上海宝山·期中）在数轴上，到原点的距离等于2.7个单位长度的点表示的有理数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，解决本题的关键是不要漏掉解． 根据数轴上点的位置与距离的关系，到原点的距离等于2.7个单位长度的点有两个，分别位于原点的两侧，求解即可． 【详解】解：设该点表示的有理数为x， 则，解得或． 故答案为：． 变式训练2：（25-26六年级上·上海民立中学·期中）【阅读材料】数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如：表示与的差的绝对值，实际上也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似的，表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．一般地，，两点在数轴上表示有理数，，那么，两点之间的距离表示为． 【解决问题】如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，，数轴上另一个点表示的数为，试探索： （1）点，之间的距离______；折叠数轴，使得点与点重合，则表示的点与表示______的点重合； （2）若，则______； 【联系拓广】 （3）若点在，两点之间，则______；若，则点表示的数为______；由此可得：点到，两点的距离之和最小时，若点表示的数为整数，则这样的点有______个． 【答案】（1），；（2）或；（3）；或； 【分析】此题考查了数轴上两点间的距离，关键是能分情况讨论，利用数轴列出算式或一元一次方程． （1）由两点间距离的定义可得，设表示的点与表示的点重合，且点到点和表示的点与点的距离相等，即可求得答案； （2）由，得到和两数在数轴上所对应的两点之间的距离为，即可得到答案； （3）根据点的位置化简绝对值求解即可求得及，分点在线段上和点位于点右侧两种情况列方程求解点的位置即可． 【详解】解：（1）由题意，得，点，之间的距离． 设表示的点与表示的点重合， 因为数轴上两点，表示的数分别为，， 所以，即点到点的距离和表示的点到点的距离相等， 所以或， 因为表示的点在点的左边， 所以点在点的右边， 即不合题意，舍去，所以， 即表示的点与表示的点重合． （2）因为， 所以和两数在数轴上所对应的两点之间的距离为， 所以或， 故答案为或． （3）因为点在，两点之间， 所以， 所以． 因为， 所以点到点和点的距离之和等于． 因为，两点表示的数分别为，， 所以， 当点在点左侧时，如答图①， 则， 所以， 所以，此时点表示的数为， 当点在点右侧时，如答图②， 则， 所以， 所以，此时点表示的数为． 综上，点表示的数为或． 当在，两点之间时，点到，两点的距离之和最小，为， 因为表示的数为整数， 所以表示的数有，，，，，，，，，，共个． 故答案为；或；． 知识点02 绝对值的代数意义 1.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零. 2.注意事项：绝对值2的数有两个是，但不能说=. 例题讲解 例2（25-26六年级上·上海青浦·期中）若，则 0．（填写“”、“”、“”或“”）． 【分析】本题考查绝对值的代数意义，运用分类讨论思想，根据的正负分析与的大小关系，关键是掌握绝对值的定义，易错点是忽略负数的绝对值是其相反数；解题思路：分和两种情况，结合绝对值性质判断的取值范围． 【详解】解：因为 ，且， 当 时，，不等式 不成立； 当 时，，不等式成立； 因此； 故答案为 ． 变式训练1：（25-26六年级上·上海松江·阶段练习）若，则a是（    ） A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数 【答案】B 【分析】本题考查绝对值．根据绝对值的性质：正数的绝对值是本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，即一个数的绝对值是非负数，求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即a一定是非正数． 故选：B． 变式训练2：（25-26六年级上·上海静安·期中）、是有理数，且，，，用数轴上的点来表示、，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，以及数轴上点的位置，理解绝对值的性质是解题关键．由已知条件可知，，，a到原点的距离大于b到原点的距离，再利用数轴表示即可． 【详解】解：，，， ，，a到原点的距离大于b到原点的距离， 用数轴上的点来表示、为 故选：A． 知识点03 绝对值的非负性 1.由绝对值的几何意义可知一个数的绝对值不可能是负数，故 2.若+=0，则a=b=0. 例题讲解 例3（24-25六年级上·上海奉贤·期中）若，则 ， ． 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据几个非负数的和为零，则每个非负数均为零，即可得出，，求解即可，熟练掌握非负数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 变式训练1：（24-25六年级上·上海徐汇·阶段测试））已知，则的相反数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查非负性，相反数的定义，根据非负数的性质，可求出的值，相加后取相反数即可，理解非负性，相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ∴， ∴的相反数为， 故答案为：． 变式训练2：（25-26六年级上·上海嘉定·阶段练习）在数轴上点A、C 表示的数分别为a、c，且a、c满足|a+4|+（c﹣2）2＝0． （1）a＝ ，c＝ ； （2）A、C两点之间的距离是_____ ； （3）已知数轴上点B对应的数为﹣2，点A、B、C在数轴上运动，若点A以每秒x个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒1个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求B、C两点间的距离（用含t的式子表示） ②当x为何值时，BC﹣AB的值不会随着时间t的变化而变化？并求出此时BC﹣AB的值． 【答案】（1），；（2）6；（3）①，当时，的值不会随着时间t的变化而变化，此时的值为2． 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性计算即可； （2）用大数减去小数即可； （3）①分别表示出点B和点C所表示的数再计算即可；②运动t秒后，点A所对应的数为，表示出AB，再计算即可； 【详解】（1）∵|a+4|+（c﹣2）2＝0， ∴，， ∴，； 故答案是：，； （2）； 故答案是：6； （3）①运动t秒后B坐标为， C坐标为， ， ； ②运动t秒后，点A所对应的数为， ∴， ∴， ， ， ， ∵的值不会随着时间t的变化而变化， ∴， 解得， 此时， ∴当时，的值不会随着时间t的变化而变化，此时的值为2． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的非负性，一元一次方程的应用，准确计算是解题的关键． 知识点04 绝对值的化简与分类讨论 1. 若a>0,则=a；若a>0,则=0；若a<0,则=-a. 2. 若=a，则a.(千万别漏了0) 例题讲解 例4（25-26六年级上·上海徐汇·阶段练习）有理数，，表示的点在数轴上的位置如图所示，则 ． 【分析】本题考查了整式的加减，以及绝对值、数轴．根据数轴，可得出、、的符号，然后去绝对值即可求解． 【详解】解：由数轴得，,且， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 变式训练1：（25-26六年级上·静安区·阶段练习）已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘法等知识，熟练掌握绝对值的性质是解题关键． 根据有理数的乘法法则分两种情况：①有理数中有一个负数，两个正数；②有理数三个都是负数，再化简绝对值，计算有理数的加减法即可得． 【详解】解：∵， ∴有以下两种情况： ①有理数中有一个负数，两个正数，不妨设， 则； ②有理数三个都是负数，即， 则； 综上，的值为1或． 变式训练2：（25-26六年级上·上海金山·阶段练习）对于任意有理数，化简代数式并求它的最小值。 分析：化简要分三种情况：①x>3，②x=3，③x<3，其中令x-3=0，x=3是分类讨论的“零界点”； 化简要分三种情况：①x>-6，②x=-6，③x<-6，其中令x+6=0，x=-6是分类讨论的“零界点”； 这样通过两个“零点”值把所有有理数分成不重复不遗漏的三种情况：①x<-6,②-6,③x>3（可结合数轴）这种分类方法叫做“零点分段法”。 解：令=0时，x=3；令=0时，x=-6. 当x<-6时原式=-(x-3)-(x+6)=-2x-3,因为x<-6，所以-2x>12，所以-2x-3>9； 当-6时原式=-(x-3)+(x+6)=9 当时原式=(x-3)+(x+6)=2x+3，因为x>3，所以2x>3，所以2x+3>9； 故，代数式在-6时有最小值9. 注：本题也可以用绝对值的几何意义来求代数式的最小值，因为表示在数轴上，数x到数3、数-6表示的点之间的距离之和，又因为当x在-6和3之间时（包含-6和3）这两个距离之和最小，所以当-6时有最小值为9. 知识点05 绝对值的最值问题 1. 根据绝对值的代数意义理解绝对值的最值 （1）因为,所以当a=0时，有最小值0，+m有最小值m; （2）因为,所以当x-a=0即x=a时，有最小值0； 2. 根据绝对值的几何意义理解绝对值的最值 （1）因为在数轴上，数a到原点的距离最小是0，所以的最小值为0； （2）因为表示在数轴上（如图所示），数x到数a的距离，所以当x=a时，有最小值0； 例题讲解 例5（25-26六年级上·上海黄浦·阶段练习）式子 的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】本题考查了非负数的性质，利用绝对值的定义计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，有最小值1． 故选：B． 变式训练1：（25-26六年级上·上海·阶段练习）的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，分类讨论是解题的关键．设点A表示的数为a，点B、C、D、E表示的数分别为，2，3，5，由绝对值的几何意义可知的值即为线段、、、的长度之和，然后根据点A的位置分类讨论即可解答． 【详解】解：设点A表示的数为a，点B、C、D、E表示的数分别为，2，3，5， 则的值即为线段、、、的长度之和， 如图所示，当点A在点B左侧时， 则 ； 如图所示，当点A在点B与C之间时， 则 ； 如图所示，当点A在点C与D之间时， 同理， ； 如图所示，当点A在点D与E之间时， 则 ； 如图所示，当点A在点E的右侧时， 则 ； 综上所述，最小值为8． 故选：C． 注：（1）如图所示，以上分类方法就是“零点分段法”； （2）本题也可以用绝对值的几何意义来解题，如图所示，当A点在CD之间时（AC+AD）+（AB+AE）=BE+CD=8，所以当代数式有最小值8. 变式训练2：（25-26六年级上·上海宝山·阶段练习）先阅读，并探究相关的问题： 【阅读】 的几何意义是数轴上，两数所对的点，之间的距离，记作，如的几何意义：表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，几何意义可理解为与两数在数轴上对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离可表示为____________；如果，求出的值； (2)探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)，或 (2)存在，最小值是7 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离以及绝对值的意义． （1）根据两点间的距离公式直接表示出来，然后再根据绝对值的意义求出x即可． （2）分三种情况，当时，当时和当时，按照绝对值的意义求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 解得：或者．， 故答案为： （2）存在，最小值是7 理由如下： 当时， ， 当时， ， 当时， ， ∴存在最小值，最小值为7． 课后练习 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海·期末）的绝对值是（    ） A．2025 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的化简，掌握绝对值的性质是解题的关键． 根据绝对值的性质化简即可求解． 【详解】解：的绝对值是， 故选：A ． 2．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列各式中正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘法和绝对值，根据偶次方的非负性和绝对值的非负性进行求解即可． 【详解】解：A、，原式错误，不符合题意； B、，原式正确，符合题意； C、，原式错误，不符合题意； D、，原式错误，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25六年级上·上海·阶段练习）如图，数轴的单位长度为，如果点表示的数的绝对值相等，那么点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，利用绝对值相等的点关于原点对称得出原点的位置是解题关键．根据表示的数的绝对值相等，可得原点的位置，根据原点的位置，可得点表示的数． 【详解】解：如图： 由点表示的数的绝对值相等，得原点的位置 点表示的数是． 故选：B． 4．（24-25六年级上·上海·期末）如图所示，数轴上点A、B对应的有理数分别为a、b，下列说法正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数轴得到a，b的符号，根据有理数的加减运算，乘法运算，绝对值的含义可依次判断各个选项． 【详解】解：根据图示，可得，而且， ∴， ∴选项A不正确； ∵，而且， ∴， ∴选项B不正确，选项D正确； ∵， ∴， ∴选项C不正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查利用数轴比较有理数的大小，绝对值的含义和有理数的加减运算，乘法运算，关键是要牢记有理数加减法的法则． 5．（21-22六年级下·上海普陀·期中）下列各式中值必为正数的是（　　） A． B． C． D．a 【答案】C 【分析】根据绝对值，平方的非负性，利用特殊值逐一进行判断即可． 【详解】解：A、当，时，，不符合题意； B、当，时，，不符合题意； C、无论a取何值，的值都为正数，符合题意； D、当或负数时，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了有理数的乘方和绝对值的知识，熟练掌握绝对值和平方的非负性是解题的关键． 6．（22-23六年级上·上海青浦·期末）下列说法正确的是(    ) A．若，则为负数 B．和互为相反数 C．所有的有理数都有相反数 D．正有理数和负有理数组成全体有理数 【答案】C 【分析】根据相反数的定义，绝对值的意义，有理数的分类，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 若，则为负数，故该选项不正确，不符合题意；     B. 和的绝对值不相等，两数不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意； C. 所有的有理数都有相反数，故该选项正确，符合题意； D. 正有理数和负有理数以及，组成全体有理数，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数的定义，绝对值的意义，有理数的分类，掌握以上知识是解题的关键． 7．（25-26六年级上·上海·期中）现有以下四个结论：①绝对值等于其本身的有理数只有零；②相反数等于其本身的有理数只有零；③倒数等于其本身的有理数只有1；�④平方等于其本身的有理数只有1．其中正确的有（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．大于2个 【答案】B 【分析】①绝对值等于其本身的有理数是零和正数；②相反数等于其本身的有理数只有零；③倒数等于其本身的有理数是1和-1；④平方等于其本身的有理数是0和1． 【详解】①绝对值等于其本身的有理数是零和正数，故本小题错误； ②相反数等于其本身的有理数只有零，正确； ③倒数等于其本身的有理数是1和-1，故本小题错误； ④平方等于其本身的有理数是0和1，故本小题错误； ∴正确的说法只有②这1个． 故选B． 【点睛】本题主要考查有理数的概念和性质，熟练掌握这些基础知识就能轻松拿下． 8．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）已知三个实数在数轴上对应的点如图所示，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴可得，，进而化简绝对值，根据整式的加减进行计算即可求解． 【详解】解：根据数轴可得，， ∴，，， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题考查了实数与数轴，化简绝对值，整式的加减，数形结合是解题的关键． 二、填空题 9．（25-26六年级上·上海闵行·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】两式相加为0，则互为相反数或都是0，绝对值以及偶数次幂不可能为负数，所以两式都为0，即可解出的值，进而求得的结果． 【详解】解： 且， 解得，， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了整式的运算，解题的关键在于两式和为0，判断是否互为相反数或都是0． 10．（23-24六年级上·上海·期中）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，先计算绝对值和化简多重符号，再根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小进行求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 11．（24-25六年级上·上海·期末）当时， ． 【答案】-1 【分析】由绝对值的意义，则，然后即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义进行解题． 12．（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）在数轴上，点A、B分别表示-5和2，则线段AB的长度是 ． 【答案】7 【分析】数轴上两点之间的距离就是，用较大的数减去较小的数即可得到结果． 【详解】解：根据题意：点A、B分别表示-5和2， ∴AB=2-（-5）=7， 即线段AB的长度是7． 故答案为：7 【点睛】本题考查了求数轴上两点之间距离的方法 13．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若、、都是有理数，，且，有理数在数轴上所对应的点在原点左侧，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值、数轴、有理数的加减混合运算，熟练掌握相关概念及运算法则是解题的关键． 先去绝对值，再根据题意得出，，，即可得出，，，然后将值代入即可得出答案． 【详解】解： ，，， ，有理数在数轴上所对应的点在原点左侧， ，，， ，，， ． 故答案为：． 14．（23-24六年级上·上海·期中）如果a、b在数轴上的对应点的位置如图所示．化简_______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了绝对值的化简、整式的加减运算等知识点，正确的化简绝对值是解题的关键． 先由数轴确定a、b、c的符号，进而确定每个绝对值里面的代数式的符号，然后根据绝对值的性质化简绝对值，最后运用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：由图示可得：，则， 所以． 故答案为：． 15．（22-23六年级上·上海浦东新·期末）两点在数轴上对应的数分别为，40，在两点处各放一个挡板，两个电子小球同时从原点出发，以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，设两个小球运动的时间为，那么当时，的值为 ． 【答案】60 【分析】根据题意可得时，未碰到挡板，运动距离为，未碰到挡板，运动距离为，从而可得到在数轴上表示的数，再根据数轴上两点间的距离，进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：碰到挡板所需时间均为， 时，未碰到挡板，运动距离为，未碰到挡板，运动距离为， 以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动， 对应数轴上的数为，对应数轴上的数为， ， 故答案为：60． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，读懂题意，得出对应数轴上的数为，对应数轴上的数为，是解题的关键． 三、解答题 16．（24-25六年级上·上海闵行·期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和16，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． (1)若运动2秒后，两只蚂蚁M、N分别到达点C、点D，则C、D两点在数轴上所表示的数分别是________、________； (2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P，求t的值以及点P在数轴上所表示的数． 【答案】(1)；； (2)； 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算： （1）用点A表示的数加上M运动的路程即为点C表示的数，用点B表示的数减去N运动的路程即为点D表示的数，据此求解即可； （2）先根据时间等于路程除以速度求出t，进而求出M运动的路程，最后求出点P表示的数即可． 【详解】（1）解：∵M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒，且二者相向而行，运动2秒后，两只蚂蚁M、N分别到达点C、点D， ∴点C表示的数为，点D表示的数为， 故答案为：；； （2）解：由题意得，， ∴点P表示的数为． 17．（24-25六年级上·上海·期末）已知：如图所示，数轴上、、三点所对应的数分别为、、． (1)在数轴上表示2的点与表示6的点之间的距离为______；在数轴上表示的点与表示4的点之间的距离为______；在数轴上表示的点与表示的点之间的距离为______；由此可得数轴上点、之间的距离为______； (2)化简：； (3)若的绝对值是3，的倒数是它本身，的相反数是，求：的值． 【答案】(1)4；6；2； (2) (3) 【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （2）结合数轴根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可解答； （3）根据、、在数轴上的位置，结合题目条件得出，，，再将其代入化简后的代数式即可求解． 【详解】（1）解：在数轴上表示2的点与表示6的点之间的距离为； 在数轴上表示的点与表示4的点之间的距离为； 在数轴上表示的点与表示的点之间的距离为； 由此可得，数轴上点、之间的距离为； 故答案为：4；6；2；； （2）根据题意，，且， ∴，，， ∴ ； （3）根据题意，的绝对值是3，的倒数是它本身，的相反数是， ∴，，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了数轴、绝对值性质、倒数、相反数、整式的化简求值等知识，根据数轴和题目条件判断出、、的大小关系和数值是解题的关键． 18．（24-25六年级上·上海松江·期末模拟）若和均为大于小于的角，且，则称和互为“伙伴角”．根据这个约定，解答下列问题： (1)若和互为“伙伴角”，当时，求的度数； (2)如图，将一长方形纸片沿着对折（点P在线段上，点E在线段上）使点B落在点，若与互为“伙伴角”，求的度数． 【答案】(1)70度 (2)80度或40度 【分析】此题主要考查了折叠的性质，角的计算，绝对值的意义，准确识图，理解绝对值的意义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）根据互为“伙伴角”定义得，则或，将代入得的度数； （2）由折叠的性质得，根据与互为“伙伴角”得，则或，再根据得或，由此可得的度数． 【详解】（1）解：（1）∵和互为“伙伴角”， ∴， ∴或， ∴或， ∵， ∴或， ∵和均为大于小于的角， ∴； （2）解：由折叠的性质得：， ∵与互为“伙伴角”， ∴， ∴或， ∴或， ∵，， ∴， ∴或， 由，解得：， 由，解得：， 综上所述：的度数为或． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 六年级数学期末总复习讲义 第2课 绝对值 知识点梳理 考点01绝对值的几何意义 考点02绝对值的代数意义 考点03绝对值的非负性 考点04绝对值的化简与分类讨论 考点05有关绝对值的最值问题 考点06数轴与绝对值的综合应用 知识点01 绝对值的几何意义 1. 的几何意义:=，表示在数轴上表示数a的点到原点之间的距离； 2. 的几何意义:在数轴上表示数a的点到表示数b的点之间的距离； 3. +的几何意义：在数轴上x到a和x到b距离之和； 例题讲解 例1（25-26六年级上·上海·期中）利用绝对值的几何意义，可以得到使小于3的整数的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是利用数轴理解表示与在数轴上对应点的距离． 利用绝对值的几何意义，将转化为数轴上x与1对应点的距离小于3，确定x的取值范围，再找出其中的整数个数． 【详解】解：根据绝对值的几何意义得， 表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离． 因为，所以x对应的点与1对应的点之间的距离小于3． 如图所示： 在数轴上，1左边与1距离3个单位的数是，右边与1距离个单位的数是， 所以x的取值范围是． 在范围内的整数有、0、1、2、3，共5个． 故选：C． 变式训练1.（25-26六年级上·上海宝山·期中）在数轴上，到原点的距离等于2.7个单位长度的点表示的有理数是 ． 变式训练2：（25-26六年级上·上海民立中学·期中）【阅读材料】数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如：表示与的差的绝对值，实际上也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似的，表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．一般地，，两点在数轴上表示有理数，，那么，两点之间的距离表示为． 【解决问题】如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，，数轴上另一个点表示的数为，试探索： （1）点，之间的距离______；折叠数轴，使得点与点重合，则表示的点与表示______的点重合； （2）若，则______； 【联系拓广】 （3）若点在，两点之间，则______；若，则点表示的数为______；由此可得：点到，两点的距离之和最小时，若点表示的数为整数，则这样的点有______个． 知识点02 绝对值的代数意义 1.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零. 2.注意事项：绝对值2的数有两个是，但不能说=. 例题讲解 例2（25-26六年级上·上海青浦·期中）若，则 0．（填写“”、“”、“”或“”）． 【分析】本题考查绝对值的代数意义，运用分类讨论思想，根据的正负分析与的大小关系，关键是掌握绝对值的定义，易错点是忽略负数的绝对值是其相反数；解题思路：分和两种情况，结合绝对值性质判断的取值范围． 【详解】解：因为 ，且， 当 时，，不等式 不成立； 当 时，，不等式成立； 因此； 故答案为 ． 变式训练1：（25-26六年级上·上海松江·阶段练习）若，则a是（    ） A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数 变式训练2：（25-26六年级上·上海静安·期中）、是有理数，且，，，用数轴上的点来表示、，正确的是（ ） A． B． C． D． 知识点03 绝对值的非负性 1.由绝对值的几何意义可知一个数的绝对值不可能是负数，故 2.若+=0，则a=b=0. 例题讲解 例3（24-25六年级上·上海奉贤·期中）若，则 ， ． 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据几个非负数的和为零，则每个非负数均为零，即可得出，，求解即可，熟练掌握非负数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 变式训练1：（24-25六年级上·上海徐汇·阶段测试））已知，则的相反数为 ． 变式训练2：（25-26六年级上·上海嘉定·阶段练习）在数轴上点A、C 表示的数分别为a、c，且a、c满足|a+4|+（c﹣2）2＝0． （1）a＝ ，c＝ ； （2）A、C两点之间的距离是_____ ； （3）已知数轴上点B对应的数为﹣2，点A、B、C在数轴上运动，若点A以每秒x个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒1个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求B、C两点间的距离（用含t的式子表示） ②当x为何值时，BC﹣AB的值不会随着时间t的变化而变化？并求出此时BC﹣AB的值． 知识点04 绝对值的化简与分类讨论 1. 若a>0,则=a；若a>0,则=0；若a<0,则=-a. 2. 若=a，则a.(千万别漏了0) 例题讲解 例4（25-26六年级上·上海徐汇·阶段练习）有理数，，表示的点在数轴上的位置如图所示，则 ． 【分析】本题考查了整式的加减，以及绝对值、数轴．根据数轴，可得出、、的符号，然后去绝对值即可求解． 【详解】解：由数轴得，,且， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 变式训练1：（25-26六年级上·静安区·阶段练习）已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 变式训练2：（25-26六年级上·上海金山·阶段练习）对于任意有理数，化简代数式并求它的最小值。 知识点05 绝对值的最值问题 1. 根据绝对值的代数意义理解绝对值的最值 （1）因为,所以当a=0时，有最小值0，+m有最小值m; （2）因为,所以当x-a=0即x=a时，有最小值0； 2. 根据绝对值的几何意义理解绝对值的最值 （1）因为在数轴上，数a到原点的距离最小是0，所以的最小值为0； （2）因为表示在数轴上（如图所示），数x到数a的距离，所以当x=a时，有最小值0； 例题讲解 例5（25-26六年级上·上海黄浦·阶段练习）式子 的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】本题考查了非负数的性质，利用绝对值的定义计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，有最小值1． 故选：B． 变式训练1：（25-26六年级上·上海·阶段练习）的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 变式训练2：（25-26六年级上·上海宝山·阶段练习）先阅读，并探究相关的问题： 【阅读】 的几何意义是数轴上，两数所对的点，之间的距离，记作，如的几何意义：表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，几何意义可理解为与两数在数轴上对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离可表示为____________；如果，求出的值； (2)探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由； ∴存在最小值，最小值为7． 课后练习 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海·期末）的绝对值是（    ） A．2025 B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列各式中正确的是（   ）． A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·上海·阶段练习）如图，数轴的单位长度为，如果点表示的数的绝对值相等，那么点表示的数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25六年级上·上海·期末）如图所示，数轴上点A、B对应的有理数分别为a、b，下列说法正确的是（　　）    A． B． C． D． 5．（21-22六年级下·上海普陀·期中）下列各式中值必为正数的是（　　） A． B． C． D．a 6．（22-23六年级上·上海青浦·期末）下列说法正确的是(    ) A．若，则为负数 B．和互为相反数 C．所有的有理数都有相反数 D．正有理数和负有理数组成全体有理数 7．（25-26六年级上·上海·期中）现有以下四个结论：①绝对值等于其本身的有理数只有零；②相反数等于其本身的有理数只有零；③倒数等于其本身的有理数只有1；�④平方等于其本身的有理数只有1．其中正确的有（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．大于2个 8．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）已知三个实数在数轴上对应的点如图所示，则（     ）    A． B． C． D． 二、填空题 9．（25-26六年级上·上海闵行·阶段练习）已知，则 ． 10．（23-24六年级上·上海·期中）比较大小： ． 11．（24-25六年级上·上海·期末）当时， ． 12．（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）在数轴上，点A、B分别表示-5和2，则线段AB的长度是 ． 13．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若、、都是有理数，，且，有理数在数轴上所对应的点在原点左侧，则 ． 14．（23-24六年级上·上海·期中）如果a、b在数轴上的对应点的位置如图所示．化简_______． 15．（22-23六年级上·上海浦东新·期末）两点在数轴上对应的数分别为，40，在两点处各放一个挡板，两个电子小球同时从原点出发，以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，设两个小球运动的时间为，那么当时，的值为 ． 三、解答题 16．（24-25六年级上·上海闵行·期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和16，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． (1)若运动2秒后，两只蚂蚁M、N分别到达点C、点D，则C、D两点在数轴上所表示的数分别是________、________； (2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P，求t的值以及点P在数轴上所表示的数． 17．（24-25六年级上·上海·期末）已知：如图所示，数轴上、、三点所对应的数分别为、、． (1)在数轴上表示2的点与表示6的点之间的距离为______；在数轴上表示的点与表示4的点之间的距离为______；在数轴上表示的点与表示的点之间的距离为______；由此可得数轴上点、之间的距离为______； (2)化简：； (3)若的绝对值是3，的倒数是它本身，的相反数是，求：的值． 18．（24-25六年级上·上海松江·期末模拟）若和均为大于小于的角，且，则称和互为“伙伴角”．根据这个约定，解答下列问题： (1)若和互为“伙伴角”，当时，求的度数； (2)如图，将一长方形纸片沿着对折（点P在线段上，点E在线段上）使点B落在点，若与互为“伙伴角”，求的度数． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $