2025-2026学年沪教版（五四制）六年级数学上册期末总复习讲义 05 一元一次方程

该初中数学单元复习讲义通过分层梳理构建一元一次方程知识体系，从方程概念、解的定义到等式性质、求解步骤及含参数方程，以定义要素、例题解析为框架呈现知识脉络，突出一元一次方程三要素、求解五步流程等重难点，明确概念与运算的内在逻辑。 讲义亮点在于真题导向的分层练习设计，例题涵盖方程概念辨析、含参数方程整数解等题型，如例15通过方程解的整数性求参数值，培养运算能力与推理意识。基础题巩固概念，综合题提升思维，助力不同层次学生进阶，同时为教师提供精准教学的分层素材与学情诊断依据。

六年级数学期末总复习讲义 第5课 一元一次方程 知识点梳理 知识点01——方程、一元一次方程的概念 知识点02——方程的解 知识点03——等式的性质 知识点04——解一元一次方程 知识点05——含参数的方程 知识点01 方程、一元一次方程的概念 1. 方程：含有未知数的等式叫做方程. 二要素：①含有未知数；②是等式 2. 如：在等式(x+16)—17=11和3x+x=152中，字母x表示未知的数量，称为未知数.又称为“元”. 一元一次方程：一般地，如果方程中只含有一个未知数(元),且含有未知数的项是一次式的方程叫做一元一次方程. 三要素：①含有未知数；②未项是一次式；③是等式 3. 一元一次方程的一般形式为：ax+b=0 (a≠0) 注意：在一元一次方程的标准形式中x代表未知数，a,b是常数且(a≠0). 例题讲解 例1（24-25六年级上·静安·单元测试）下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．方程是含有未知数的等式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A． 无等号，不是方程； B． 含不等号，不是方程； C． 有等号且含未知数，是方程； D． 无未知数，不是方程． 故选：C． 例2（24-25六年级上·上海·期末）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的概念，理解一元一次方程的概念，由一元一次方程的定义求参数的方法是解题的关键． 根据一元一次方程的定义“含义一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程”可得，由此即可求解． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， ∴， 解得，，， ∴， 故答案为： ． 课后练习 1.（24-25六年级上·上海·期末）下列方程中，一元一次方程是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25六年级上·上海·期末）在下列方程中，一元一次方程是（    ） A． B． C． D．2x2+x=1 3.（24-25六年级上·上海普陀·单元测试）已知关于方程是一元一次方程，那么 ． 4.（24-25六年级上·上海闵行·期中）关于x的方程是一元一次方程，那么这个方程的解为 ． 知识点02 方程的解 1. 定义：一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解，方程的解以“x=m”的形式呈现. 如：当x=12时方程(x+16)-17=11，方程左边=11，右边=11，左右两边的值相等，因此，x=12,是方程的解. 2. 已知方程的解求未知系数的值 如：已知x=1是方程的解，则可以把x=1代入方程得：，从而可与求出a=3. 3. 方程的解是整数、正数 如：已知关于x的方程kx=6的解是正数，先求得x=，因为x是正数，所以>0，所以k必然为正数. 例题讲解 例3（24-25六年级上·上海青浦·期末）如果是方程的解，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入即可求解，掌握一元一次方程的解是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：， 故答案为：． 例4 （24-25六年级上·青浦·期中）如果方程与关于的方程的解相同，则的值是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了方程的解及解一元一次方程，解题的关键是掌握方程的解的定义． 先求解方程得到的值，再将此值代入方程中求解． 【详解】解：解方程 ， 移项得 ， 即， 解得， 将代入方程，得， 两边同乘4得， 移项得， 故答案为：9 例5（24-25六年级上·上海宝山·月考）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的求解．求出方程的解，令方程的解大于零，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 由题可知，解得， 故答案为：． 课后练习 1.（24-25六年级上·上海浦东新·单元测试）若关于的方程的解是，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海·期末）如果关于x的方程无解，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 3.（25-26六年级上·上海·期中）如果关于x的一元一次方程的解是，那么t的值是 ． 4.（25-26六年级上·上海静安·期中）若有理数满足，则与的和的倒数为 ． 5.（24-25六年级上·上海闵行·单元测试）若的倒数的相反数是，则的绝对值是 ． 6.（24-25六年级上·上海虹口·月考）若关于x的一元一次方程的解是正整数，则整数m的值为 ． 知识点03 等式的性质 1.等式的性质是解方程的依据; 2.两个基本事实 对称性：如果a=b,那么b=a; 传递性：如果a=b,b=c,那么a=C 3.两个基本性质 性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子),等式仍成立； 性质2：等式两边乘（或除）同一个数（除数不为0），等式仍成立。 例题讲解 例6（25-26六年级上·上海·期中）下列方程的变形中，正确的是（　　） A．由得， B．由得， C．由得， D．由得， 【答案】C 【详解】本题考查了等式的性质． 逐一验证每个选项的变形是否符合等式的基本性质，如移项变号、等式两边同乘同除等． 【分析】解：A：，移项得，，原变形错误； B：，两边同乘2得，原变形错误； C：，移项得 ，，原变形正确； D：，两边同除以2得，原变形错误； 故选：C． 例7（25-26六年级上·闵行·单元测试）根据等式的性质，若等式可以变形得到，则，应满足的条件是（    ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查等式的基本性质、相反数，熟练掌握等式的基本性质、相反数的定义是解决本题的关键．根据等式的基本性质得到，再根据相反数的定义解决此题． 【详解】解：∵，且， ∴， 即， ∴a与b互为相反数， 故选：A． 课后练习 1.（24-25六年级上·上海杨浦·期末）下列方程变形中，正确的是（    ） A．可变形为 B．可变形为 C．可变形为 D．可变形为 2.（25-26六年级上·徐汇·月考）若，则下列等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3.（25-26六年级上·嘉定·月考）把方程写成用含的代数式表示的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 4.（24-25六年级上·黄浦·月考）运用等式性质进行的变形，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5.（24-25六年级上·上海闵行·期末）小胖、小丽、小明、小帅在解方程“”时都得到“”，小胖依据的是“被减数等于差加上减数”，小丽依据的是“等号两边同时加上同一个数”，小明依据的是“等号两边同时乘以或除以同一个数”，小帅依据的是“移项法则”，算理错误的同学是（   ） A．小胖； B．小丽； C．小明； D．小帅． 6.（24-25六年级上·上海·月考）由，得．在此变形中方程的两边同时加上了 ． 7.（24-25七年级上·浙江宁波·期末）等式的性质在生活中广泛应用．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度，左边同学比右边同学高5厘米，图中两人的对话体现的数学原理可表示为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8.（24-25六年级上·上海普陀·期末复习）以下是小普同学解方程的过程． 解：根据等式性质2，方程两边同乘以12，得：    ① 去括号，得：            ② 移项，得：            ③ 合并同类项，得：            ④ 解得：.                ⑤ (1)小普同学解答过程中的第③步“移项”的依据是________；他的解答过程从第______步开始出现错误． (2)请完整写出本题你认为正确的解答过程． 9.（24-25六年级上·上海金山·期中）阅读材料一：等式性质：等式两边加（或减）同一个数，等式仍成立． 等式性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，等式仍成立． 阅读材料二：求的值， 解：令①， 等式两边同时乘以，得②， 由②式①式得：， 从而，即．仿照以上推理，计算： (1) (2)． 知识点04 解一元一次方程 1. 解一元一次方程的数学思想：化归——将方程化为“ax=b(a≠0)”进而得到方程解的形式“x=m”的. 2. 解一元一次方程的主要步骤：去分母——去括号——移项——合并同类项——系数化为1 ①把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项. 移项的目的：使含有未知数的项与常数项分列于方程的两边； 移项的依据：等式的性质； 移项的注意点：移项要变号. ②合并同类项 将一元一次方程中含有未知数的项与常数项分别合并. 合并同类项的目的:使方程转化为ax=b(a≠0)的形式; 合并同类项的依据:合并同类项法则（乘法分配律） ③系数化为1——方程两边同时除以未知数的系数，或乘以系数的倒数. 系数化为1的目的：使方程ax=b(a≠0)变形为方程的解x=(a≠0)的形式， 变形的依据：等式性质2； ④去括号（依据是去括号法则） 去括号特别要注意：括号前是负号时，括号内各项都要变号.如2x-(4+x)=2x-4-x ⑤去分母（依据是等式性质2） 去括号特别要注意：不要漏乘没有分母的项. 去括号和去分母体现的数学思想还是化归思想，把一个复杂的方程化为最简形式“ax=b”. 例题讲解 例8（2025六年级上·上海·专题练习）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程． 先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 例9（25-26六年级上·上海·期中）（1）当时，求一次式的值． （2）已知关于x的方程与的解相同，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式的化简求值，解一元一次方程； （1）去括号，合并同类项，将原式化简，再将代入求值即可； （2）先解求出，再代入方程即可求出m的值. 【详解】解：（1） ； 当时，原式． （2）解方程得， 根据同解方程的定义把代入关于x的方程中，得： ， 解得． 例10（25-26六年级上·上海·期中）解方程： (1)． (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）先变形，再通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出x的值； （2）移项得，则，再由绝对值的含义可得或，再解方程进行判断即可． 【详解】（1）解：， 方程可化为， 去分母得，， ， ， ， 解得：． （2）解：， 则， ， 解得， 由绝对值的意义可得，或， 解得（舍去）或（舍去）， 所以，原方程无解． 例11（25-26六年级上·上海·期中）我们把形如的式子叫做二阶行列式，它的计算方式为，例如，根据上述阅读材料回答下列问题： (1)计算：________； (2)如果，求的值； (3)如果，其中与互为倒数，与互素，且，求与的值． 【答案】(1)； (2)； (3)，或，或，或，． 【分析】本题考查了有理数运算，倒数，互素，解一元一次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据二阶行列式的计算方式即可求解； （）根据二阶行列式的计算方式得出方程，然后解方程即可； （）根据二阶行列式的计算方式得出，又与互为倒数，则，然后根据与互素，且即可求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∵与互为倒数， ∴， ∴， ∵与互素，且， ∴，或，或，或，． 课后练习 1．（24-25六年级上·上海普陀·期末）在解方程时，对该方程变形正确的是．（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海崇明·期末）在解方程时，对该方程进行化简正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·上海·期末）下列方程中与解相同的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25六年级上·上海·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 5．（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知关于方程是一元一次方程，那么 ． 6．（24-25六年级上·上海普陀·单元测试）已知是关于的方程的解，那么的值是 ． 7．（24-25六年级上·上海青浦·单元测试）一次式和的值互为相反数，则的值是 ． 8．（24-25六年级上·上海崇明·期末）已知关于的方程与有相同的解，则 ． 9．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）已知是关于的方程的解，那么的值是 ． 10（24-25六年级上·上海闵行·期末）方程的解为 ． 11．（24-25六年级上·上海·期末）小滨在解方程时，误将看成了，解得方程的解是，则原方程的解为 ． 12．（25-26六年级上·上海·期末）解方程： 13．32．（24-25六年级上·上海宝山·期末）解方程： (1) (2) (3) (4) 14．（24-25六年级上·上海·期末）已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 15．（24-25六年级上·上海普陀·期末）以下是小普同学解方程的过程． 解：根据等式性质2，方程两边同乘以12，得：    ① 去括号，得：            ② 移项，得：            ③ 合并同类项，得：            ④ 解得：.                ⑤ (1)小普同学解答过程中的第③步“移项”的依据是________；他的解答过程从第______步开始出现错误． (2)请完整写出本题你认为正确的解答过程． 16．（24-25六年级上·上海普陀·期末）解方程：． 17．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）解方程：． 18．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）已知关于的方程与的解相同，求的值． 19．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）如图是一个计算程序，回答下列问题： (1)当时，请填写下列表格： 输入16 第1次结果 第2次结果 第3次结果 第4次结果 第5次结果 … 运算结果 8 4 … (2)当输入一个数x后，第1次得到的结果为6，则输入的这个数x的值是 ． 20．（24-25六年级上·上海·期中）如图，把五个数按顺序填入到五个“○”内，（每个“○”内一个数），相邻两数经过第一次运算后得到“△”，相邻“△”经过第二次运算后得到“□”，相邻“□”经过第三次运算后得到“”，相邻“”经过第三次运算后得到“”． (1)若把五个数2024，，1，0，依次按顺序填入“○”中，第一、二、三次运算均为“求乘积”，第四次运算为“求平均数”，则运算结果“”中数为______ (2)若把5个数“2”、“”，“”，“”，“2”依次按顺序填入“○”中，但第三个数不小心被污染，第一、二、三、四次运算均为“求平均数”，且运算结果“”中的数为1，求第三个数“”． (3)若把“1”，“”，“”，“4”，“”打乱顺序填入到五个“○”内，第一次运算为“求乘积”，第二、三、四次运算为“求平均数”，为使运算结果“”中的数最大，写出按顺序填入的数：______、______、______、______、______，“”中最大的结果是______． 知识点05 含参数的方程 1. 定义：当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫做参数方程. 比如：(a-2)x=6，mx-6=n都叫做关于x的参数方程. 2.含参方程的解法： 解含参方程时一般把除未知数之外的字母当作常数进行计算，用含参数字母的代数式表示方程的解.解含参方程时要注意参数字母的取值范围对方程解的影响. 比如：解关于x的方程(a-2)x=6.因为x是未知数，因为把a看成一个常数，所以（a-2）也是一个常数，它是x的系数，所以直接方程两边同时除以（a-2）,得x=，当a=2时，方程x无解；当a时方程有解. 例题讲解 例12（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）已知：关于x的方程与有相同的解，求以y为未知数的方程的解． 【分析】本题考查了一元一次方程的同解问题，掌握一元一次方程的解以及解法是解题关键． 先解方程，得到，再根据方程同解，将代入方程，解得，再代入方程，求出的值即可． 【详解】解：， 移项合并得：， 解得：， 关于x的方程与有相同的解， 将代入方程，可得， 解得：， 将代入，可得， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化1得：． 例13（24-25六年级上·上海松江·期中）已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是（    ） A．21 B． C．23 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及其解法，熟练掌握一元一次方程的解及其解法是解题的关键；通过变量替换，将关于y的方程转化为与原方程相同的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设，则关于y的方程化为， ∵关于x的一元一次方程的解是， ∴关于z的一元一次方程，的解是， ∴， ∴； 故选B． 题型2：根据参数字母的取值范围讨论方程的解的情况 例14（24-25六年级上·上海·月考）已知关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 方程整理后，由方程无解得到x前的系数为0即可得到关于的方程，求出a的值即可． 【详解】解：， ， ， ∵关于的方程无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 例15（24-25六年级上·上海浦东·专题练习）已知关于x的方程的解是整数，且k也是整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 【答案】2 【分析】本题考查解一元一次方程，方程的整数解．先求解方程，解得，再根据x为整数，且k是整数，即可求出所有k值的和． 【详解】解：解方程得：， ∵x为整数，且k是整数， ∴k的值为0或1或3或， ∴所有k值的和为， 故答案为：2． 课后练习 1．（24-25六年级上·上海虹口·单元测试）已知a，b为任意有理数，下列说法正确的有（   ） ①关于x的方程是一元一次方程； ②关于x的方程的解为； ③当互为相反数时，关于x的方程的解是． A．③ B．①② C．②③ D．①②③ 2．（24-25六年级上·上海·月考）已知关于的方程有无数多个解，那么 ， ． 3．（24-25六年级上·上海·月考）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 4．（24-25六年级上·上海长宁·月考）关于的一元一次方程的解为整数，则整数的所有可能的取值之和为 ． 5．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则方程就是“差解方程”，据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程______差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【知识应用】 （3）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求的值； （4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 6．（24-25六年级上·上海长宁·期中）我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”．例如：方程与方程为“互反方程”． (1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由； (2)若关于的两个方程与为“互反方程”，求的值． 7．（24-25六年级上·上海普陀·月考）已知关于x的方程有非负整数解，求整数a的所有可能的取值的和． 8．（24-25六年级上·上海浦东新区·单元测试）已知方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 六年级数学期末总复习讲义 第5课 一元一次方程 知识点梳理 知识点01——方程、一元一次方程的概念 知识点02——方程的解 知识点03——等式的性质 知识点04——解一元一次方程 知识点05——含参数的方程 知识点01 方程、一元一次方程的概念 1. 方程：含有未知数的等式叫做方程. 二要素：①含有未知数；②是等式 2. 如：在等式(x+16)—17=11和3x+x=152中，字母x表示未知的数量，称为未知数.又称为“元”. 一元一次方程：一般地，如果方程中只含有一个未知数(元),且含有未知数的项是一次式的方程叫做一元一次方程. 三要素：①含有未知数；②未项是一次式；③是等式 3. 一元一次方程的一般形式为：ax+b=0 (a≠0) 注意：在一元一次方程的标准形式中x代表未知数，a,b是常数且(a≠0). 例题讲解 例1（24-25六年级上·静安·单元测试）下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．方程是含有未知数的等式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A． 无等号，不是方程； B． 含不等号，不是方程； C． 有等号且含未知数，是方程； D． 无未知数，不是方程． 故选：C． 例2（24-25六年级上·上海·期末）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的概念，理解一元一次方程的概念，由一元一次方程的定义求参数的方法是解题的关键． 根据一元一次方程的定义“含义一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程”可得，由此即可求解． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， ∴， 解得，，， ∴， 故答案为： ． 课后练习 1.（24-25六年级上·上海·期末）下列方程中，一元一次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．一元一次方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数为1且两边都是整式．根据一元一次方程的定义判断各选项即可． 【详解】解：A、不是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、不是一元一次方程，故本选项不符合题意； C、不是一元一次方程，故本选项不符合题意； D、是一元一次方程，故本选项符合题意； 故选：D 2.（24-25六年级上·上海·期末）在下列方程中，一元一次方程是（    ） A． B． C． D．2x2+x=1 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键；此题可根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程”进行排除选项即可． 【详解】解：A、不是整式方程，故不是一元一次方程，该选项不符合题意； B、含有两个未知数，故不是一元一次方程，该选项不符合题意； C、是一元一次方程，故符合题意； D、未知数的最高次数为2，故不是一元一次方程，该选项不符合题意； 故选：C． 3.（24-25六年级上·上海普陀·单元测试）已知关于方程是一元一次方程，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解题关键．根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程，据此列方程求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，， 解得：， 故答案为：1． 4.（24-25六年级上·上海闵行·期中）关于x的方程是一元一次方程，那么这个方程的解为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次方程的定义、解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义求出的值，再代入的值解方程求出的值即可． 【详解】解：关于x的方程是一元一次方程， ，， ， 代入得，， 解得：． 故答案为：． 知识点02 方程的解 1. 定义：一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解，方程的解以“x=m”的形式呈现. 如：当x=12时方程(x+16)-17=11，方程左边=11，右边=11，左右两边的值相等，因此，x=12,是方程的解. 2. 已知方程的解求未知系数的值 如：已知x=1是方程的解，则可以把x=1代入方程得：，从而可与求出a=3. 3. 方程的解是整数、正数 如：已知关于x的方程kx=6的解是正数，先求得x=，因为x是正数，所以>0，所以k必然为正数. 例题讲解 例3（24-25六年级上·上海青浦·期末）如果是方程的解，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入即可求解，掌握一元一次方程的解是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：， 故答案为：． 例4 （24-25六年级上·青浦·期中）如果方程与关于的方程的解相同，则的值是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了方程的解及解一元一次方程，解题的关键是掌握方程的解的定义． 先求解方程得到的值，再将此值代入方程中求解． 【详解】解：解方程 ， 移项得 ， 即， 解得， 将代入方程，得， 两边同乘4得， 移项得， 故答案为：9 例5（24-25六年级上·上海宝山·月考）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的求解．求出方程的解，令方程的解大于零，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 由题可知，解得， 故答案为：． 课后练习 1.（24-25六年级上·上海浦东新·单元测试）若关于的方程的解是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解是解题的关键． 将代入方程，再求解的值． 【详解】解：由题意得：将代入方程， 得：， 即：， 解得：； 故选：C． 2．（24-25六年级上·上海·期末）如果关于x的方程无解，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 【答案】C 【分析】本题考查根据方程的解的情况，求参数的值，根据方程无解，得到未知数的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选：C． 3.（25-26六年级上·上海·期中）如果关于x的一元一次方程的解是，那么t的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程解的定义，解一元一次方程．根据一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把代入原方程求出t的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解是， ∴， ∴， 故答案为：． 4.（25-26六年级上·上海静安·期中）若有理数满足，则与的和的倒数为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性以及倒数的计算，解题的关键是根据绝对值的非负性求出的值． 利用绝对值的非负性，即几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，求出、的值，再计算与的和的倒数． 【详解】解：因为，且， 所以． 由，得，所以； 由，得，解得． 则， 所以与的和的倒数为． 故答案为：． 5.（24-25六年级上·上海闵行·单元测试）若的倒数的相反数是，则的绝对值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了倒数、相反数、绝对值的定义，解一元一次方程，解题的关键是根据相反数和倒数的定义建立方程； 先根据相反数和倒数的定义，逐步推出的值，再解方程，最后计算绝对值． 【详解】解：的相反数是，的倒数是． ， 解得： ． 故答案为：． 6.（24-25六年级上·上海虹口·月考）若关于x的一元一次方程的解是正整数，则整数m的值为 ． 【答案】4或0 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．注意移项要变号． 先移项，再合并同类项，最后化系数为1，根据方程是解是正整数，确定m的值． 【详解】解： 移项，得：， 合并同类项，得： 系数化为1，得： ∵解是正整数， ∴或 解得或． 故答案为：4或0． 知识点03 等式的性质 1.等式的性质是解方程的依据; 2.两个基本事实 对称性：如果a=b,那么b=a; 传递性：如果a=b,b=c,那么a=C 3.两个基本性质 性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子),等式仍成立； 如果 a=b,那么a±c=b±c 性质2：等式两边乘（或除）同一个数（除数不为0），等式仍成立。 如果a=b,那么ac=bc， 例题讲解 例6（25-26六年级上·上海·期中）下列方程的变形中，正确的是（　　） A．由得， B．由得， C．由得， D．由得， 【答案】C 【详解】本题考查了等式的性质． 逐一验证每个选项的变形是否符合等式的基本性质，如移项变号、等式两边同乘同除等． 【分析】解：A：，移项得，，原变形错误； B：，两边同乘2得，原变形错误； C：，移项得 ，，原变形正确； D：，两边同除以2得，原变形错误； 故选：C． 例7（25-26六年级上·闵行·单元测试）根据等式的性质，若等式可以变形得到，则，应满足的条件是（    ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查等式的基本性质、相反数，熟练掌握等式的基本性质、相反数的定义是解决本题的关键．根据等式的基本性质得到，再根据相反数的定义解决此题． 【详解】解：∵，且， ∴， 即， ∴a与b互为相反数， 故选：A． 课后练习 1.（24-25六年级上·上海杨浦·期末）下列方程变形中，正确的是（    ） A．可变形为 B．可变形为 C．可变形为 D．可变形为 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，等式的两边加或减同一个数（或式子），结果仍相等；等式两边同乘和（或除以）同一个数（除数不为），结果仍相等．根据等式的性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、可变形为， 故该选项不符合题意； B、可变形为， 故该选项不符合题意； C、可变形为， 故该选项不符合题意； D、可变形为， 故该选项符合题意； 故选： D． 2.（25-26六年级上·徐汇·月考）若，则下列等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查等式的基本性质．根据等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则两边同时乘以得。只有当时，才有。由于的值不确定，所以该等式不一定成立，故本选项符合题意； D、若，则，故本选项不符合题意． 故选：C． 3.（25-26六年级上·嘉定·月考）把方程写成用含的代数式表示的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用等式的性质对等式进行变形，掌握等式的性质是解题的关键．要用含的代数式表示，就要把方程中含有的项和常数项移到方程的右边，再把的系数化为即可． 【详解】解：， 移项得：， 解得：， 故选：D． 4.（24-25六年级上·黄浦·月考）运用等式性质进行的变形，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，当时，，原变形错误，不符合题意； B、若，则，原变形正确，符合题意； C、若，则，原变形错误，不符合题意； D、若，则，原变形错误，不符合题意； 故选：B． 5.（24-25六年级上·上海闵行·期末）小胖、小丽、小明、小帅在解方程“”时都得到“”，小胖依据的是“被减数等于差加上减数”，小丽依据的是“等号两边同时加上同一个数”，小明依据的是“等号两边同时乘以或除以同一个数”，小帅依据的是“移项法则”，算理错误的同学是（   ） A．小胖； B．小丽； C．小明； D．小帅． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程、等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的方法和等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质和解一元一次方程的方法解答即可． 【详解】解：根据题意可知，等号两边同时乘以一个数或除以同一个不为0的数，无法得到条件中方程的变形结果，所以算理错误的同学是小明． 故选：C ． 6.（24-25六年级上·上海·月考）由，得．在此变形中方程的两边同时加上了 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解一元一次方程，等式的性质，解题关键是熟练掌握“等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式”． 根据等式到的变形，即可得出结论． 【详解】解：由，得， 在此变形中方程的两边同时加上了． 故答案为：． 7.（24-25七年级上·浙江宁波·期末）等式的性质在生活中广泛应用．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度，左边同学比右边同学高5厘米，图中两人的对话体现的数学原理可表示为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，掌握等式的两个基本性质是解题的关键． 根据题意可得，根据等式的基本性质1，将的两边同时加即可． 【详解】解：由图可知， 根据等式的基本性质1，将的两边同时加，得， ∴A符合题意，BCD不符合题意， 故选：A． 8.（24-25六年级上·上海普陀·期末复习）以下是小普同学解方程的过程． 解：根据等式性质2，方程两边同乘以12，得：    ① 去括号，得：            ② 移项，得：            ③ 合并同类项，得：            ④ 解得：.                ⑤ (1)小普同学解答过程中的第③步“移项”的依据是________；他的解答过程从第______步开始出现错误． (2)请完整写出本题你认为正确的解答过程． 【答案】(1)等式的性质1；① (2)见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． （1）根据等式的性质判断即可． （2）去分母，去括号，移项，合并同类型，系数化为即可． 【详解】（1）解：小普同学解答过程中的第③步“移项”的依据是等式的性质1； 他的解答过程从第①步开始出现错误，因为右边的1没有乘以12． 故答案为：等式的性质1，① （2）解： 方程两边同乘以12，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 解得：． 9.（24-25六年级上·上海金山·期中）阅读材料一：等式性质：等式两边加（或减）同一个数，等式仍成立． 等式性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，等式仍成立． 阅读材料二：求的值， 解：令①， 等式两边同时乘以，得②， 由②式①式得：， 从而，即．仿照以上推理，计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）仿照阅读材料中的方法求出所求即可； （）把转化为，再仿照阅读材料中的方法求出所求即可； 本题考查了有理数的混合运算，等式的性质，看懂阅读材料是解题的关键． 【详解】（1）解：令①， 等式两边同时乘以，得②， 由②式①式得：， 即， ∴， ∴； （2）解：， 令①， 等式两边同时乘以，得②， 由①式②式得：， 即， ∴， ∴． 知识点04 解一元一次方程 1. 解一元一次方程的数学思想：化归——将方程化为“ax=b(a≠0)”进而得到方程解的形式“x=m”的. 2. 解一元一次方程的主要步骤：去分母——去括号——移项——合并同类项——系数化为1 ①把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项. 移项的目的：使含有未知数的项与常数项分列于方程的两边； 移项的依据：等式的性质； 移项的注意点：移项要变号. ②合并同类项 将一元一次方程中含有未知数的项与常数项分别合并. 合并同类项的目的:使方程转化为ax=b(a≠0)的形式; 合并同类项的依据:合并同类项法则（乘法分配律） ③系数化为1——方程两边同时除以未知数的系数，或乘以系数的倒数. 系数化为1的目的：使方程ax=b(a≠0)变形为方程的解x=(a≠0)的形式， 变形的依据：等式性质2； ④去括号（依据是去括号法则） 去括号特别要注意：括号前是负号时，括号内各项都要变号.如2x-(4+x)=2x-4-x ⑤去分母（依据是等式性质2） 去括号特别要注意：不要漏乘没有分母的项. 去括号和去分母体现的数学思想还是化归思想，把一个复杂的方程化为最简形式“ax=b”. 例题讲解 例8（2025六年级上·上海·专题练习）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程． 先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 例9（25-26六年级上·上海·期中）（1）当时，求一次式的值． （2）已知关于x的方程与的解相同，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式的化简求值，解一元一次方程； （1）去括号，合并同类项，将原式化简，再将代入求值即可； （2）先解求出，再代入方程即可求出m的值. 【详解】解：（1） ； 当时，原式． （2）解方程得， 根据同解方程的定义把代入关于x的方程中，得： ， 解得． 例10（25-26六年级上·上海·期中）解方程： (1)． (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）先变形，再通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出x的值； （2）移项得，则，再由绝对值的含义可得或，再解方程进行判断即可． 【详解】（1）解：， 方程可化为， 去分母得，， ， ， ， 解得：． （2）解：， 则， ， 解得， 由绝对值的意义可得，或， 解得（舍去）或（舍去）， 所以，原方程无解． 例11（25-26六年级上·上海·期中）我们把形如的式子叫做二阶行列式，它的计算方式为，例如，根据上述阅读材料回答下列问题： (1)计算：________； (2)如果，求的值； (3)如果，其中与互为倒数，与互素，且，求与的值． 【答案】(1)； (2)； (3)，或，或，或，． 【分析】本题考查了有理数运算，倒数，互素，解一元一次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据二阶行列式的计算方式即可求解； （）根据二阶行列式的计算方式得出方程，然后解方程即可； （）根据二阶行列式的计算方式得出，又与互为倒数，则，然后根据与互素，且即可求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∵与互为倒数， ∴， ∴， ∵与互素，且， ∴，或，或，或，． 课后练习 1．（24-25六年级上·上海普陀·期末）在解方程时，对该方程变形正确的是．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，分数的基本性质．把方程左边的分子分母分别扩大10倍，的分子分母分别扩大100倍，方程右边的值不变，即可得到答案． 【详解】解：根据分数的基本性质，得：， 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海崇明·期末）在解方程时，对该方程进行化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分数的基本性质．把方程左边的分子分母分别扩大10倍，的分子分母分别扩大100倍，方程右边的值不变，即可得到答案． 【详解】解：根据分数的基本性质，得：， 故选：B． 3．（24-25六年级上·上海·期末）下列方程中与解相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程．先求出的解为，然后再分别求出每个选项中方程的解，即可求解． 【详解】解：， 移项合并同类项得：， 解得：， A、，解得：，与的解不相同，故本选项不符合题意； B、，不存在，与的解不相同，故本选项不符合题意； C、，解得：，与的解不相同，故本选项不符合题意； D、，解得：，与的解相同，故本选项符合题意； 故选：D． 4．（24-25六年级上·上海·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． 先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义将关于y的方程变形，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ， 解得：， 方程与是“美好方程”， ， ， 可化为：， ， ， 故答案为：． 5． 5．（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知关于方程是一元一次方程，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解题关键．根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程，据此列方程求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，， 解得：， 故答案为：1． 6．（24-25六年级上·上海普陀·单元测试）已知是关于的方程的解，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查方程的解，题中含有一个未知的系数，将方程的解代入方程可得未知系数的值． 把代入方程，得到关于k的方程，然后解方程即可． 【详解】解：把代入方程得到：， 解得， 故答案为： ． 7．（24-25六年级上·上海青浦·单元测试）一次式和的值互为相反数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数，解一元一次方程， 先根据相反数的定义得，再求出解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 8．（24-25六年级上·上海崇明·期末）已知关于的方程与有相同的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同解方程，先求出的解，再将解代入，进行求解即可． 【详解】解：由得：， 把代入，得：， 解得：； 故答案为：． 9．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）已知是关于的方程的解，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出a的值即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 10（24-25六年级上·上海闵行·期末）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可得到答案． 【详解】解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 故答案为：． 11．（24-25六年级上·上海·期末）小滨在解方程时，误将看成了，解得方程的解是，则原方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，根据题意得是方程的解，据此把代入方程中求出a的值进而解方程即可． 【详解】解：由题意得，是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴原方程为 整理得：，即， 解得， 故答案为：． 12．（25-26六年级上·上海·期末）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键；先去括号，然后再移项合并同类项进行求解方程即可． 【详解】解：去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得： ． 13．32．（24-25六年级上·上海宝山·期末）解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键． （1）先移项、合并同类项、最后合并同类项即可得到答案； （2）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可得到答案； （3）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可得到答案； （4）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可得到答案． 【详解】（1）解： 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）解： 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （3）解： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （4）解： 整理，得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 14．（24-25六年级上·上海·期末）已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值，解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （3）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解； 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 15．（24-25六年级上·上海普陀·期末）以下是小普同学解方程的过程． 解：根据等式性质2，方程两边同乘以12，得：    ① 去括号，得：            ② 移项，得：            ③ 合并同类项，得：            ④ 解得：.                ⑤ (1)小普同学解答过程中的第③步“移项”的依据是________；他的解答过程从第______步开始出现错误． (2)请完整写出本题你认为正确的解答过程． 【答案】(1)等式的性质1；① (2)见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． （1）根据等式的性质判断即可． （2）去分母，去括号，移项，合并同类型，系数化为即可． 【详解】（1）解：小普同学解答过程中的第③步“移项”的依据是等式的性质1； 他的解答过程从第①步开始出现错误，因为右边的1没有乘以12． 故答案为：等式的性质1，① （2）解： 方程两边同乘以12，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 解得：． 16．（24-25六年级上·上海普陀·期末）解方程：． 【答案】． 【分析】此题考查了解一元一次方程，解方程时去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数． 方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并得，． 17．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 先变形，再通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出x的值． 【详解】解：， 方程可化为， 去分母得，， ， ， ， ． 18．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）已知关于的方程与的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，熟知同解方程的定义是解题的关键． 先求出方程的解，再根据同解方程的定义把代入关于x的方程中，即可求出的值． 【详解】解： ， 由题意，把代入中， ， 答：的值为． 19．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）如图是一个计算程序，回答下列问题： (1)当时，请填写下列表格： 输入16 第1次结果 第2次结果 第3次结果 第4次结果 第5次结果 … 运算结果 8 4 … (2)当输入一个数x后，第1次得到的结果为6，则输入的这个数x的值是 ． 【答案】(1)2，1，4 (2)3或12 【分析】（1）利用程序图的程序进行计算即可； （2）分两种情况，依据程序图的程序列出关于x的方程，解方程即可． 本题主要考查了代数式求值和解一元一次方程，解题关键是理解程序图含义，列出算式． 【详解】（1）解；当开始输入的值时为偶数，所以第一次输出； 当再次输入的值时为偶数，所以第二次输出； 当再次输入的值时为偶数，所以第三次输出； 当再次输入的值时为偶数，所以第四次输出； 当再次输入的值时为奇数，所以第五次输出， 故答案为：2，1，4； （2）解：由题意得，或， ∴或． 20．（24-25六年级上·上海·期中）如图，把五个数按顺序填入到五个“○”内，（每个“○”内一个数），相邻两数经过第一次运算后得到“△”，相邻“△”经过第二次运算后得到“□”，相邻“□”经过第三次运算后得到“”，相邻“”经过第三次运算后得到“”． (1)若把五个数2024，，1，0，依次按顺序填入“○”中，第一、二、三次运算均为“求乘积”，第四次运算为“求平均数”，则运算结果“”中数为______ (2)若把5个数“2”、“”，“”，“”，“2”依次按顺序填入“○”中，但第三个数不小心被污染，第一、二、三、四次运算均为“求平均数”，且运算结果“”中的数为1，求第三个数“”． (3)若把“1”，“”，“”，“4”，“”打乱顺序填入到五个“○”内，第一次运算为“求乘积”，第二、三、四次运算为“求平均数”，为使运算结果“”中的数最大，写出按顺序填入的数：______、______、______、______、______，“”中最大的结果是______． 【答案】(1)0 (2)2 (3)或； 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，代数式求值，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意计算即可； （2）设第三个数为，根据题意一步步计算，最后得到，解得； （3）假设第一步运算后的四个数为，则根据定义计算结果用代数式表示为，要使得代数式结果最大，则尽可能大，且尽可能大，则，再分类讨论求解． 【详解】（1）解：根据题意得： 第一次运算：，，， ∴第一次运算后四个数为，，0，0； 第二次运算：，，， ∴第二次运算后三个数为，0，0； 第三次运算：，， ∴第三次运算后两个数为0，0； 第四次运算： 则运算结果“”中数为0， 故答案为：0； （2）解：设第三个数为，根据题意得 第一次运算：， 则第一次运算的结果：， 第二次运算：， 第二次运算的结果：，，， 第三次运算：， 第三次运算结果：，， ∴ 解得： ∴第三个数“”为2； （3）解：假设第一步运算后的四个数为，则有： 要使得代数式结果最大，则尽可能大，且尽可能大， 则， 则有①；②；③；④；⑤；⑥ 当①时，求得分别为，则代入得； 当②时，求得分别为，则代入得； 当③时，求得分别为，则代入得； 当④时，求得分别为，则代入得； 而⑤⑥中求得，则肯定不是最大， 经比较得当时，最后结果最大且为， 当然倒叙排列结果是一样的，即， 故答案为：或；． 知识点05 含参数的方程 1. 定义：当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫做参数方程. 比如：(a-2)x=6，mx-6=n都叫做关于x的参数方程. 2.含参方程的解法： 解含参方程时一般把除未知数之外的字母当作常数进行计算，用含参数字母的代数式表示方程的解.解含参方程时要注意参数字母的取值范围对方程解的影响. 比如：解关于x的方程(a-2)x=6.因为x是未知数，因为把a看成一个常数，所以（a-2）也是一个常数，它是x的系数，所以直接方程两边同时除以（a-2）,得x=，当a=2时，方程x无解；当a时方程有解. 例题讲解 题型1：已知方程的解求参数字母的值 例12（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）已知：关于x的方程与有相同的解，求以y为未知数的方程的解． 【分析】本题考查了一元一次方程的同解问题，掌握一元一次方程的解以及解法是解题关键． 先解方程，得到，再根据方程同解，将代入方程，解得，再代入方程，求出的值即可． 【详解】解：， 移项合并得：， 解得：， 关于x的方程与有相同的解， 将代入方程，可得， 解得：， 将代入，可得， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化1得：． 例13（24-25六年级上·上海松江·期中）已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是（    ） A．21 B． C．23 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及其解法，熟练掌握一元一次方程的解及其解法是解题的关键；通过变量替换，将关于y的方程转化为与原方程相同的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设，则关于y的方程化为， ∵关于x的一元一次方程的解是， ∴关于z的一元一次方程，的解是， ∴， ∴； 故选B． 题型2：根据参数字母的取值范围讨论方程的解的情况 例14（24-25六年级上·上海·月考）已知关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 方程整理后，由方程无解得到x前的系数为0即可得到关于的方程，求出a的值即可． 【详解】解：， ， ， ∵关于的方程无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 例15（24-25六年级上·上海浦东·专题练习）已知关于x的方程的解是整数，且k也是整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 【答案】2 【分析】本题考查解一元一次方程，方程的整数解．先求解方程，解得，再根据x为整数，且k是整数，即可求出所有k值的和． 【详解】解：解方程得：， ∵x为整数，且k是整数， ∴k的值为0或1或3或， ∴所有k值的和为， 故答案为：2． 课后练习 1．（24-25六年级上·上海虹口·单元测试）已知a，b为任意有理数，下列说法正确的有（   ） ①关于x的方程是一元一次方程； ②关于x的方程的解为； ③当互为相反数时，关于x的方程的解是． A．③ B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义及其解的运用，根据一元一次方程的定义可判定说法①；根据解一元一次方程的方法可判定说法②；根据相反数的定义，解一元一次方程的方法可判定说法③；由此即可求解，掌握一元一次方程的定义，解一元一次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：①当时，关于x的方程是一元一次方程，故①错误； ②当时，关于x的方程的解为，故②错误； ③当互为相反数时，关于x的方程的解是，正确，故③符合题意； 故选：A． 2．（24-25六年级上·上海·月考）已知关于的方程有无数多个解，那么 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件，正确理解条件是解题的关键． 首先把方程进行化简，方程有无数个解即方程的一次项系数等于0，据此即可求得，的值． 【详解】解：化简得：， 即：， 根据题意得：，且 解得：， 故答案为：，． 3．（24-25六年级上·上海·月考）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，将方程变形得，设，可得方程的解即为方程的解，即得，据此即可求解，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：方程变形得，， 设， 则方程的解即为方程的解， ∵方程的解为， ∴， ∴， ∴一元一次方程的解为， 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海长宁·月考）关于的一元一次方程的解为整数，则整数的所有可能的取值之和为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的整数解．熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．先求出原方程的解为，根据原方程有整数解可得的值为4或2或5或1，再求和即可． 【详解】解：解方程得． 由题意可得为整数， 所以或， 解得的值为4或2或5或1， 所以整数的所有可能的取值之和为． 故答案为：12． 5．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则方程就是“差解方程”，据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程______差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【知识应用】 （3）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求的值； （4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）16；（4）0 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念列出方程． （1）根据差解方程的定义判断即可； （2）根据差解方程的定义即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）根据差解方程的定义即可得出关于、的二元二次方程，整理即可得出； （4）根据差解方程的概念列式得到关于、的两个方程，联立求解得到、的关系，得出，然后代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：（1）∵方程的解为， ∴方程是差解方程． 故答案为：是； （2）由题意可知，由一元一次方程可知， ∴， 解得； （3）∵方程是“差解方程”， ∴， 解方程，得， ∴， ∴，即， 故答案为：16； （4）∵一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解方程一元一次方程得 ∴，整理得， ∵一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解方程一元一次方程得， ∴， ∴，即， ∴原式． 6．（24-25六年级上·上海长宁·期中）我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”．例如：方程与方程为“互反方程”． (1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由； (2)若关于的两个方程与为“互反方程”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，理解题中定义是解答的关键． （1）先解两个方程，再根据定义判断即可； （2）先解方程得到，解方程得，根据两个方程为“互反方程得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：方程与为“互反方程．理由： 解方程，得， 解方程，得， ∵， ∴方程与为“互反方程； （2）解：解方程，得， 解方程， 得， 则， 即， 解得， ∵两个方程为“互反方程”，， ∴是方程的解， ∵， ∴． 7．（24-25六年级上·上海普陀·月考）已知关于x的方程有非负整数解，求整数a的所有可能的取值的和． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负整数的定义将a的值算出，最后相加即可得出答案 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得 方程有非负整数解， 取，，． 或，时，方程的解都是非负整数． 则， 故答案为∶． 8．（24-25六年级上·上海浦东新区·单元测试）已知方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值． 【答案】 【分析】本题的关键是正确解一元一次方程以及互为倒数的意义；理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 先求已知方程的解，再利用倒数关系确定含字母系数方程的解，把解代入方程，可求字母系数k． 【详解】解：解方程得：． 因为方程的解与关于x的方程的解互为倒数， 所以关于x的方程的解是， 把代入方程得：，解得：． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $