精品解析：云南省昆明市官渡区第一中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题

昆明市官渡区第一中学教育集团高一年级2025-2026学年上学期期中考试 数学试卷 （试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的运算法则，结合正整数集的含义求解即可. 【详解】由，，得． 故选:B． 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 该命题的否定为“，”. 故选：B. 3. 下列各组函数表示相同函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同一函数的定义域和对应法则相同，依次判断各项中两个函数是否为同一函数即可. 【详解】A：的定义域为R，的定义域为，不是同一函数； B：的定义域为R，的定义域为，不是同一函数； C：的定义域为，的定义域为，不是同一函数； D：的定义域均为R，且对应法则相同，为同一函数. 故选：D 4. 使“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求出的充要条件，利用充分必要条件概念判断. 【详解】，即，等价于，解得， 所以的充要条件为， 使“”成立的一个充分不必要条件是. 故选：B. 5. 已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求与的函数关系式，进而可得结果. 【详解】当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 所以，所以A正确，BCD错误； 故选：A. 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数单调性分析判断即可. 【详解】因为在R上单调递增，所以，即， 又因为，又且在上单调递增， 所以，，所以. 故选：A. 7. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列不等式组求解即得. 【详解】依题意，需使，解得， 即的取值范围为. 故选：B 8. 已知正实数满足，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，代入得，再由均值不等式即可求解. 【详解】由有：， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，利用作差法，举反例等方法逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，若取，则，故A错误； 对于B，由可得，即可得，故B正确； 对于C，由可得，由不等式性质，可得，故C正确； 对于D，由， 因，，则，， 故，即得，故D正确. 故选：BCD 10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数在上递增 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据高斯函数定义分析函数，判断各选项. 【详解】对于A、B：根据定义，表示不超过的最大整数， 所以当是整数时，，， 当不是整数时，设，其中，， 所以，所以，故A错误，B错误； 对于C：当时，，是增函数，C正确； 对于D：因为， 所以，D正确； 故选：CD. 11. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则关于的不等式的解集为 D. 若一元二次函数的值域为，且，则的最小值为 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A项，利用一元二次不等式的性质可知A错误；对于B项，令，当时，不等式的解集不为，B不正确；对于C项，根据求出，，代入所求不等式求出解集，可知C正确；对于D项，根据题意得到且，将代入，然后换元利用基本不等式可求出最小值可得D正确. 【详解】对于A选项，若，即一元二次不等式无解， 则一元二次不等式恒成立， 且，故A错误； 对于B选项，令（），则、、， ∴可化为， 当时，可化为，其解集不等于，故B错误； 对于C选项，若， 则，且和是一元二次方程的两根， ，且，，， 关于的不等式可化为， 可化为，，，解得或， 即不等式的解集为或，故C正确； 对于D选项，一元二次函数的值域为， 且，， ，，令，则， ， 当且仅当，则，且为正数时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：CD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数定义分类计算. 【详解】由已知， 故答案为：， 13. 若，是真命题，则实数的取值范围是_______．（结果用集合表示） 【答案】 【解析】 【分析】讨论k是否等于0，结合判别式列出不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知，是真命题， 当时，即有恒成立，符合题意； 当时，则需满足，解得， 综合得实数的取值范围是， 故答案为： 14. 已知函数为奇函数，与的图像有8个交点，分别为，则_______. 【答案】16 【解析】 【分析】由为奇函数可得函数关于点对称，分离常数可知函数关于点对称，继而可得与图像的8个交点关于点对称，则，可求，结果可得. 【详解】为奇函数 函数关于点对称 函数关于点对称 与图像的8个交点关于点对称 ,,, 可得 同理可知 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合． （1）若，求中所有整数元素组成集合的非空子集的个数； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）15个； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用列举法表示给定集合，进而求出其非空子集的个数. （2）解不等式化简集合，再利用交集的结果，结合集合的包含关系列式求解. 【小问1详解】 当时，，则集合中有4个整数元素， 所以中所有整数元素组成集合的非空子集的个数为个. 【小问2详解】 由，解得，则， 由，得， 当时，，解得，满足； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 16. 已知幂函数在区间单调递增. （1）求k的值; （2）若函数，则是否存在实数m，使得的最小值为4?若存在，求m的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）1 （2）存在m=3 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义，可求得k值，根据的单调性，分析判断，即可得答案. （2）由（1）得，则，分别讨论对称轴、和三种情况，根据二次函数的性质，求解即可得答案. 【小问1详解】 因为是幂函数，所以， 解得或， 当时，在区间单调递减，不符合题意， 当时，在区间单调递增，符合题意， 所以. 【小问2详解】 由 （1） 函数的解析式为， 由函数，得， 函数为开口向上，对称轴为的抛物线， ①当即时，则，解得，满足题意； ②当时，即时，则，无解，舍去； ③当时，即时，则，解得，不满足，舍去； 综上所述，存在使得的最小值为4. 17. 由于我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台．每生产台该产品，需另投入成本万元，且，当年产量为10台时，需另投入成本500万元．由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）求出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润销售收入成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）50台，900万元 【解析】 【分析】（1）利用利润销售收入成本公式列式求解即可； （2）利用二次函数性质和基本不等式计算求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，当时，，故, 故当时，； 当时，． 故年利润关于年产量的函数关系式为 【小问2详解】 由（1）得当时，； 当时，； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，． 而，故当时，年利润最大，最大年利润是900万元． 综上所述，当年产量为50台时，该公司所获年利润最大，最大年利润是900万元． 18. 函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）求满足不等式的的取值范围. 【答案】（1）， （2） 函数在上单调递增.证明如下： 任取，且， 则， 因为，则，，，， 所以，所以， 所以函数在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）由函数是定义在上的奇函数，则，结合，求出，，即可得到函数的解析式； （2）任取且，化简，然后判断的符号，即可判断函数的单调性； （3）由题可得，再根据函数在上的单调递增，列不等式，求解即可. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以函数的解析式为，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为是定义在上的奇函数，所以， 由可得， 因为函数在上的单调递增， 则，解得. 19. 对于四个正数、、、，若满足，则称有序数对是的“下位序列“． （1）对于2、3、7、11，有序数对是的“下位序列“吗？请简单说明理由； （2）设、、、均为正数，且是的“下位序列”，试判断之间的大小关系，并说理； （3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值． 【答案】（1） 因为，所以是的“下位序列”. （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“下位序列”的定义判断即可； （2）由条件可得，然后利用作差法比较大小即可； （3）根据“下位序列”的定义列不等式组，利用不等式组求出的范围，然后将恒成立问题转化最值问题，即可求出正整数的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是的“下位序列”，所以， 又均为正数， ，即， ，即， 所以. 【小问3详解】 由题，可得，又均为整数， 所以， ， ，对集合内的每一个正整数都成立， 所以， 所以正整数的最小值为4049. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市官渡区第一中学教育集团高一年级2025-2026学年上学期期中考试 数学试卷 （试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列各组函数表示相同函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 使“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. C. D. 5. 已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数满足，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数在上递增 D. 11. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则关于的不等式的解集为 D. 若一元二次函数的值域为，且，则的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数，则______. 13. 若，是真命题，则实数的取值范围是_______．（结果用集合表示） 14. 已知函数为奇函数，与的图像有8个交点，分别为，则_______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合． （1）若，求中所有整数元素组成集合的非空子集的个数； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知幂函数在区间单调递增. （1）求k的值; （2）若函数，则是否存在实数m，使得的最小值为4?若存在，求m的值；若不存在，说明理由. 17. 由于我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台．每生产台该产品，需另投入成本万元，且，当年产量为10台时，需另投入成本500万元．由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）求出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润销售收入成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 18. 函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）求满足不等式的的取值范围. 19. 对于四个正数、、、，若满足，则称有序数对是的“下位序列“． （1）对于2、3、7、11，有序数对是的“下位序列“吗？请简单说明理由； （2）设、、、均为正数，且是的“下位序列”，试判断之间的大小关系，并说理； （3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $