第六章 几何图形初步（必备知识+9大易错+易错训练）（知识清单）数学人教版2024七年级上册

该初中数学第六章“几何图形初步”知识清单系统梳理了几何图形、直线射线线段、角等核心内容，以清单形式呈现立体与平面图形识别、三视图应用、点线面体关系等基础概念，搭建从概念理解到易错应用的递进式学习支架。 清单通过“概念定义+性质定理+易错剖析”三级体系呈现知识，如角的部分涵盖定义、度量、平分线及余补角性质，易错点结合例题分析俯视图与几何体形状关系，培养几何直观与空间观念。特别设计欧拉公式验证、分层法分析小立方体个数等实用技巧，助力学生自主纠错，教师可精准突破教学重难点。

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第六章几何图形初步 思维导图 1,立体图形与平面图形：立体图形的各部分不都在同一平面内，如长方 体、圆柱等；平面图形的各部分都在同一平面内，如三角形、圆等。 2.从不同方向看立体图形：从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左 视图，从上面看到的图叫俯视图。 清单01几何图形 3.点、线、面、体之间的联系：体是由面围成，面与面相交成线，线与线相 交成点：点动成线，线动成面，面动成体。 1.有关直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条 直线，即两点确定一条直线。 几何图形初 2.线段的中点：若C是线段AB的中点，则AC=BC 清单02直线、射线、线段 3.有关线段的基本事实：两点之间，线段最短。 4.两点间的距离：连接两，点的线段的长度，叫做这两点间的距离。 1.角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角：角也可以看作由一条射线绕 着它的端点旋转而形成的图形。 2.角的度量：1周角=360°，1平角=180°，1°=60'，1'=60”。 3.角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这 个角的平分线。 清单03角 4.余角和补角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角：如果两个角的和等于 180°，就说这两个角互为补角。同角（等角）的补角相等，同角（等角）的余角相等。 5.方位角：物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角，书写通常要先写 北或南，再写偏东或偏西。 知识清单 清单01几何图形 1.立体图形与平面图形：立体图形的各部分不都在同一平面内，如长方体、圆柱等；平面图形的各部分都 在同一平面内，如三角形、圆等。 2.从不同方向看立体图形：从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视 图。 3.点、线、面、体之间的联系：体是由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点；点动成线，线动成面， 面动成体。 1/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 清单02直线、射线、线段 1.有关直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线。 2.线段的中点：若C是线段AB的中点，则AC=BC=AB。 3.有关线段的基本事实：两点之间，线段最短。 4.两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离。 清单03角 1.角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形 成的图形。 2.角的度量：1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1'=60”。 3.角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。若OB 是∠AOC的角平分线，则∠AOB=∠BOC=专∠AOC。 4.余角和补角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，就说这 两个角互为补角。同角（等角）的补角相等，同角（等角）的余角相等。 5.方位角：物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角，书写通常要先写北或南，再写偏东 或偏西。 易错总结 易错点一几何体中的点、棱、面的关系 1.易错总结：混淆点与棱、面的从属关系，如误将“棱上的点”归为“面上的点”，忽略棱是面的交线这 本质。计算多面体棱数时，错用“面数×边数”直接相加，忘记每条棱被两个面共用，导致重复计数。 2.注意事项：明确基本关系：点是棱的端点，棱是面的交线，面由棱围成，可结合具体几何体（如正方体） 直观记忆。利用公式验证（如欧拉公式：顶点数+面数-棱数=2），计算棱数时需除以2消除重复，确保逻辑 自洽。 例题1.仔细观察下面的正四面体、正六面体、正八面体，解决下列问题： 2/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B' 正四面体 正六面体 正八面体 (1)填空： ①正四面体的顶点数v= 面数f=,棱数e= ②正六面体的顶点数v= 面数f=,棱数e=; ③正八面体的顶点数v= 面数f=,棱数e=; (2)若将多面体的顶点数用v表示，面数用f表示，棱数用e表示，则v,f,e之间的数量关系可用一个公式 来表示： 易错点二含图案的正方体的展开图 1.易错总结：忽略图案方向，误将翻转后的图案视为相同，如正方体展开图中相邻面的图案朝向在折叠后 会发生旋转。错判相对面图案，仅凭位置远近判断，忽略“Z”字形或间隔一行/一列的相对面规律。 2.注意事项：标记图案朝向（如箭头方向），折叠时注意相邻面图案的旋转角度，可通过实物模拟验证。用 “相对面不相邻”原则，先确定展开图中相对面的图案，再排除折叠后不可能出现的组合。 例题2.(24-25七年级上·陕西安康·期末)如图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是() 易错点三根据从不同方向看到的图形确定小立方体的个数 1.易错总结：仅凭一两面视图臆断总数，忽略隐藏立方体，如正面和侧面视图均有列时，易漏算重叠处的 小立方体。对“最多”“最少”情况区分不清，未考虑不同视图约束下的可变空间，导致个数计算偏差。 3/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.注意事项：先标记各列/行的最大层数（从三视图提取），以最小层数为基准确定必有的立方体，再根据 其他视图补充可变部分。用分层法逐层分析，结合俯视图确定位置，正/侧视图确定高度，通过“搭积木” 式模拟验证总数。 例题3.(23-24七年级上·贵州毕节·期末)用相同的小立方块搭一个几何体，从正面、上面看到的形状 图如图所示，从上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请回答下列问题： a 从正面看 从上面看 从左面看 (1)填空：d=」 ,f= (2)请在如图的网格中画出当a=2,b=c=1时这个几何体从左面看到的形状图. (3)这个几何体最少由多少个小立方块搭成？最多由多少个小立方块搭成？ 易错点四根据从上面看到的图形确定几何体的形状 1.易错总结：误将俯视图直接等同于几何体形状，忽略高度信息，如俯视图中相同方格可能对应不同层数 的立方体。漏看俯视图中隐含的位置关系，对“行”“列”划分不清，导致几何体行列错位。 2.注意事项：明确俯视图仅反映底面布局，需结合高度条件（如“最多”“最少”或具体层数）确定立体结 构。用标记法在俯视图方格中标注可能的层数范围，再依据约束条件排除不合理情况，避免主观臆断。 例题4.一个几何体是由大小相同的小立方块搭成，其中小正方形上的数字表示在该位置上的小立方块的个 数，请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图 从正面看 从左面看 易错五、分类讨论求线段多解易错问题 1.情况遗漏：在求线段长度（如已知AB、BC长度，求AC)时，易忽略点的位置多样性，只考虑点在中间 或一侧的一种情况，导致漏解。 4/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.逻辑混乱：分类讨论时未明确分类标准（如按点的左右位置、在线段上或延长线上），易出现重复或矛盾 的推导，影响结果准确性。 例题5.(24-25七年级上浙江宁波期末)己知点C是线段AB的中点，点D分线段AB的长度为5：3.已知 CD=7厘米，则AD的长为厘米. 题型六、分类讨论求角多解易错问题 1.漏情况：求角的度数（如已知∠AOB,作射线OC求∠BOC)时，易忽略OC位置，只考虑在角内部或外 部一种情况，未全面分析射线与已知角的位置关系，导致少解。 2.错判断：分类时未明确标准（如按射线在角内/外），或误将不同位置归为同一类，比如把OC在∠AOB 邻补角区域当作内部情况，逻辑混乱致结果错误。 例题6.(24-25七年级上山东济宁期末)过∠A0B的顶点0画射线0C.若 ∠AOB=8020',∠BOC:∠AOB=14,则∠A0C的度数是 题型七、分类讨论求角中旋转多解易错问题 1.漏旋转方向：求旋转后角的度数时，易忽略旋转有顺时针、逆时针两个方向，只按单一方向计算，比如 射线绕端点转30°，漏算反向旋转的情况，导致少解。 2.错定旋转范围：未明确旋转角是否超过平角、周角，误将超过的情况排除，比如旋转180°以上时，仍按 小于180°计算，或未结合图形边界判断，导致结果偏差。 例题7.(24-25七年级上·湖北随州期末)如图①，O为直线AB上一点，过0点作射线0C,使 ∠B0C=60°，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边OP在射线OA上，将图①中的 三角尺绕点0以每秒5°的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中第t秒时，0Q所在直 线恰好平分∠AOC,则t的值为」 图① 图② 题型八、线段上动点探究易错问题 1.漏定位置范围：未明确动点在线段上、延长线上的不同位置，直接按单一区域计算线段长度，比如点P 在AB上或AB延长线，误统一按在线段上算，导致结果错误。 5/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.错用数量关系：未用含参数的表达式（如设APx)表示动点相关线段，或计算时混淆线段和差，比如误 将PB写成AB+AP(实际应是AB-AP,P在线段上时)，逻辑混乱致错。 例题8.(23-24七年级上·四川眉山期末)如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以每秒2cm的速度 往返运动1次，C是线段BD的中点，AD=10cm,设点B的运动时间为t秒(0≤t≤10). ABCD (1)当t=3时，AB=cm,CD= cm: (2)用含有t的代数式表示运动过程中AB的长： (3)在运动过程中，若AB的中点为E,则EC的长度是否发生变化？若不变，求出EC的长：若变化，请说明 理由， 题型九、角中旋转探究易错问题 1.漏旋转阶段：未考虑旋转角跨越特殊角（如平角、周角）的阶段差异，比如射线旋转超过180°后，角的 构成从“和”变“差”，仍按初始阶段计算，导致角度结果错误。 2.错关联动态角：未用含时间/旋转角的参数表示动态角（如设旋转角为α），或混淆旋转前后角的和差关 系，比如误将旋转后的角直接等同于初始角加减旋转角，忽略位置变化的影响。 例题9.(2425七年级上山西运城期末)活动课上，王老师将一副三角尺按图①位置摆放在直线EF上， 45°角的顶点与60的顶点重合于点0，斜边OB与直角边0D在直线EF上，然后将直角三角尺0AB绕点O 按15°秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转时间为t秒， E B 图① 图② 图③ (1)旋转前，∠A0C= ,∠BOC= (2)“希望”小组同学发现：当t=2时，OA是∠B0C的角平分线，请利用图②说明理由； (3)“飞翔”小组同学发现：若直角三角板0AB旋转至如图③的位置时，∠A0C+∠B0D为定值.请你判断是 否正确，如果正确，请求出该度数；如果不正确，请说明理由 6/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 易错训练 一、单选题 1.(24-25六年级上·山东烟台·期中)由一些大小相同的正方体搭成的几何体的从正面看和从左面看形状 图如图，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是() 从正面看 从左面看 A.7 B.6 C.5 D.4 2.(24-25八年级上·江西萍乡·期末)如图，该正方体的上面和前面各有一块三角形的阴影，下列是该正 方体展开图的是() 3.(24-25七年级上河北承德·期末)小明根据下列语句，分别画出了图形a,b,c,d,并将图形的标号填在了 相应的“语句”后面的横线上.其中正确的是() m P A B B b d ①直线I经过点A,B,C三点，并且点C在点A与B之间；(C) ②点C在线段AB的反向延长线上；(b) ③点P是直线a外一点，过点P的直线b与直线a相交于点Q;(d) ④直线l,m,n相交于点D,(a) A.①②③④ B.①② C.①③④ D.②③ 4.(23-24七年级上山东临沂期末)如图，己知A,B(B在A的左侧)是数轴上的两点，点A对应的数为 12,且AB=18,动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中， 7/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M,N始终为AP,PB的中点，设运动时间为t(1>0)秒，则下列结论中正确结论的个数是() ①B对应的数是-6； ②点P到达点B时，t=9; ③BP=2时，t=8; ④在点P的运动过程中，线段MN的长度会发生变化. B N A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②③④ 二、填空题 5.(25-26七年级上·全国·期末)已知∠A0B=140°，0C平分∠A0B,∠D0C=10°，则∠A0D的大小 是 6.(24-25七年级上江苏扬州阶段练习)如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=5,第一次操作： 分别取线段AM和AW的中点M,N,；第二次操作：分别取线段AM,和AW1的中点M,N2;第三次操作： 分别取线段AM2和AW2的中点M,N,…连续这样操作2024次，则线段M024N2024的长度为 水， N M 7.(24-25七年级下·北京昌平·期末)欧拉定理是数学史上最著名的定理之一，由瑞士数学家莱昂哈德·欧 拉于1752年提出.这个定理阐述了凸多面体中顶点数(”)、面数(F)和棱数(E)之间存在一定的数 量关系。 名称 图形 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E) 四面体 6 六面体 P 6 12 八面体 8 12 8/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 十二面 20 12 30 体 (1)表中m的值为 (2)在简单多面体中，V,F,E之间的数量关系是 8.(24-25七年级上·重庆期末)如图，直线EF上有一点0，过点0在直线EF的上方作射线OA, ∠AOF=30°，现将射线OA绕点O以每秒16°的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，射线0C始终平分 ∠A0F,射线OD始终是∠A0E的三等分线，且∠4OD=∠AOE.设旋转时间为t秒，若 ∠C0F-∠A0D=45°，t的值为 三、解答题 9.下图是由若干个小立方块所搭建几何体从正面看与从上面看的形状图. 从正面看 从上面看 ()搭建这个几何体最少、最多各需多少个小立方块？搭建这个几何体需小立方块最少、最多可能有多种搭 建方式，请你各拿出一种在从上面看的形状图的小正方形中用数字表示该位置所放小立方块的个数： (2)搭建该几何体有多种搭建方式，请你画出其中三种从左面看的形状图 0,(23-24七年级上福建龙岩期末)已知线段AB=20,点C在线段AB上，且AC=4B A D P C B (I)求线段AC,CB的长； (②)点P是线段AB上的动点，线段AP的中点为D,设AP=a. ①请用含有a的式子表示线段PC,DC的长； ②若三个点D,P,C中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称D,P,C三点为“和谐点”，求使得 9/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D,P,C三点为和谐点”的a的值， 11.(23-24七年级上·广东珠海期末)综合探究 如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线1上，两个直角三角板分别在直线1的两侧，且 ∠ABC=∠DCE=90°，∠ACB=45°，∠CED=30°， A B B 图1 D 图2 (1)如图1，∠ACD=°； (2)如图2，把三角板CDE绕点C旋转，使CE刚好落在∠ACB的平分线上.此时，CD是否平分LACF？请 说明理由； (3)如图2，把三角板CDE绕点C旋转，使得CE落在∠ACB内部， 当LACE=10°时，则∠BCD=°； 当∠BCD=110°时，则∠ACE= 设∠ACE=a,∠BCD=B,试猜想a与B的数量关系，并说明理由. 12.(24-25七年级上辽宁盘锦·期末)点C是直线AB上一动点，当CA=2CB时，我们称点C是点A与点 B的衍生点，记作CA&B), A C B 【定义理解】 问题(1)若点C在线段AB上时，A表示-3，B表示6时，则C(A&B)表示的数是_· 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段AC,BC的中点M,N,发现线段CM、CN、AB之间存在 着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段AB上时；② 点C在线段AB的延长线上时， 问题(2)请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段CM,CN,AB之间满足的数量关系，并说 明理由； 【拓展提升】 问题(3)若点C在线段AB上，线段AB=20cm,BC=8cm,动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P 10/11 第六章 几何图形初步 清单01 几何图形 1. 立体图形与平面图形：立体图形的各部分不都在同一平面内，如长方体、圆柱等；平面图形的各部分都在同一平面内，如三角形、圆等。 2. 从不同方向看立体图形：从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图。 3. 点、线、面、体之间的联系：体是由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点；点动成线，线动成面，面动成体。 清单02 直线、射线、线段 1. 有关直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线。 2. 线段的中点：若C是线段AB的中点，则AC＝BC＝AB。 3. 有关线段的基本事实：两点之间，线段最短。 4. 两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离。 清单03 角 1. 角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。 2. 角的度量：1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″。 3. 角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。若OB是∠AOC的角平分线，则∠AOB＝∠BOC＝∠AOC。 4. 余角和补角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角。同角（等角）的补角相等，同角（等角）的余角相等。 5. 方位角：物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角，书写通常要先写北或南，再写偏东或偏西。 易错点一 几何体中的点、棱、面的关系 1.易错总结：混淆点与棱、面的从属关系，如误将“棱上的点”归为“面上的点”，忽略棱是面的交线这一本质。计算多面体棱数时，错用“面数×边数”直接相加，忘记每条棱被两个面共用，导致重复计数。 2.注意事项：明确基本关系：点是棱的端点，棱是面的交线，面由棱围成，可结合具体几何体（如正方体）直观记忆。利用公式验证（如欧拉公式：顶点数+面数-棱数=2），计算棱数时需除以2消除重复，确保逻辑自洽。 例题1．仔细观察下面的正四面体、正六面体、正八面体，解决下列问题： (1)填空： ①正四面体的顶点数______，面数______，棱数______； ②正六面体的顶点数______，面数______，棱数______； ③正八面体的顶点数______，面数______，棱数______； (2)若将多面体的顶点数用v表示，面数用f表示，棱数用e表示，则v，f，e之间的数量关系可用一个公式来表示：________ 【答案】(1)①4，4，6；②8，6，12；③6，8，12 (2) 【分析】本题考查的是多面体的定义，关键点在于：多面体指四个或四个以上多边形所围成的立体图形； （1）观察图形，结合多面体的顶点、面和棱的定义进行填空即可； （2）根据（1）中，多面体的顶点数，面数和棱数，总结规律可得v，f，e之间的数量关系式； 【详解】（1）①正四面体的顶点数，面数，棱数； ②正六面体的顶点数，面数，棱数； ③正八面体的顶点数，面数，棱数； 故答案为：①4，4，6；②8，6，12；③6，8，12； （2）根据（1）中数据可得： ① ② ③ 故v，f，e之间的数量关系是： 易错点二 含图案的正方体的展开图 1.易错总结：忽略图案方向，误将翻转后的图案视为相同，如正方体展开图中相邻面的图案朝向在折叠后会发生旋转。错判相对面图案，仅凭位置远近判断，忽略“Z”字形或间隔一行/一列的相对面规律。 2.注意事项：标记图案朝向（如箭头方向），折叠时注意相邻面图案的旋转角度，可通过实物模拟验证。用“相对面不相邻”原则，先确定展开图中相对面的图案，再排除折叠后不可能出现的组合。 例题2．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（   ）    A．  B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查正方体的展开图，解题的关键是根据展开图的特征，判断折叠后的正方体．结合图形特征，根据正方体的展开图进行判断即可. 【详解】解：通过具体折叠结合图形的特征，判断展开图折叠后圆圈为相对的两个面，有三角形的两个面与有圆圈的两个面相邻． 故选：D． 易错点三 根据从不同方向看到的图形确定小立方体的个数 1.易错总结：仅凭一两面视图臆断总数，忽略隐藏立方体，如正面和侧面视图均有列时，易漏算重叠处的小立方体。对“最多”“最少”情况区分不清，未考虑不同视图约束下的可变空间，导致个数计算偏差。 2.注意事项：先标记各列/行的最大层数（从三视图提取），以最小层数为基准确定必有的立方体，再根据其他视图补充可变部分。用分层法逐层分析，结合俯视图确定位置，正/侧视图确定高度，通过“搭积木”式模拟验证总数。 例题3．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）用相同的小立方块搭一个几何体，从正面、上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请回答下列问题： (1)填空：__________，__________． (2)请在如图的网格中画出当，时这个几何体从左面看到的形状图． (3)这个几何体最少由多少个小立方块搭成？最多由多少个小立方块搭成？ 【答案】(1)3；1 (2)见解析 (3)最少由9个小立方块搭成，最多由11个小立方块搭成 【分析】本题考查从不同位置看简单组合体． （1）结合从正面、上面看到的形状图可得答案； （2）根据左视图的定义画图即可； （3）由从正面、上面看到的形状图可知，，，，，的最大值为2，且至少有一个是2，由此可得答案． 【详解】（1）解：结合从正面、上面看到的形状图可知，，． 故答案为：3；1． （2）解：如图所示． （3）解：根据题意得： 则最多时，（个），最少时，（个）， 答：这个几何体最少由9个小立方块搭成，最多由11个小立方块搭成． 易错点四 根据从上面看到的图形确定几何体的形状 1.易错总结：误将俯视图直接等同于几何体形状，忽略高度信息，如俯视图中相同方格可能对应不同层数的立方体。漏看俯视图中隐含的位置关系，对“行”“列”划分不清，导致几何体行列错位。 2.注意事项：明确俯视图仅反映底面布局，需结合高度条件（如“最多”“最少”或具体层数）确定立体结构。用标记法在俯视图方格中标注可能的层数范围，再依据约束条件排除不合理情况，避免主观臆断。 例题4．一个几何体是由大小相同的小立方块搭成，其中小正方形上的数字表示在该位置上的小立方块的个数，请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，根据各行、各列对应的立方体的个数画正面看，左面看的图形即可． 【详解】解：从正面和从左面看到的这个几何体的形状图如图所示：    易错五、分类讨论求线段多解易错问题 1.情况遗漏：在求线段长度（如已知AB、BC长度，求AC）时，易忽略点的位置多样性，只考虑点在中间或一侧的一种情况，导致漏解。 2.逻辑混乱：分类讨论时未明确分类标准（如按点的左右位置、在线段上或延长线上），易出现重复或矛盾的推导，影响结果准确性。 例题5．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知点是线段的中点，点分线段的长度为．已知厘米，则的长为 厘米． 【答案】35或21 【分析】本题考查了线段的和与差，线段的比和线段中点的性质，解题关键是熟练掌握中点的性质和根据是线段中点和点D分线段的比例关系，分情况分类讨论． 先根据点是线段的中点以及点分线段的长度比，求出与的关系，进而求出的长度，最后根据与的关系求出答案． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴， ∵点分线段的长度为． 如图：当时， ∴此时占的，即， ∴， ∵， ∴（厘米）， ∴（厘米） 当时， 如图所示； 此时占的，即． ∴， ∵， ∴（厘米）， ∴（厘米） 故答案为35或21． 题型六、分类讨论求角多解易错问题 1.漏情况：求角的度数（如已知∠AOB，作射线OC求∠BOC）时，易忽略OC位置，只考虑在角内部或外部一种情况，未全面分析射线与已知角的位置关系，导致少解。 2.错判断：分类时未明确标准（如按射线在角内/外），或误将不同位置归为同一类，比如把OC在∠AOB邻补角区域当作内部情况，逻辑混乱致结果错误。 例题6．（24-25七年级上·山东济宁·期末）过的顶点画射线．若，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了几何图形中角的计算，解题的关键是分两种情况进行讨论．分射线在的内部和外部两种情况进行讨论，结合角度之间关系求解即可． 【详解】解：如图， 当射线在的内部时，设，则，， ∵， ∴， 解得：， 如图， 当射线在的外部时，设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或． 题型七、分类讨论求角中旋转多解易错问题 1.漏旋转方向：求旋转后角的度数时，易忽略旋转有顺时针、逆时针两个方向，只按单一方向计算，比如射线绕端点转30°，漏算反向旋转的情况，导致少解。 2.错定旋转范围：未明确旋转角是否超过平角、周角，误将超过的情况排除，比如旋转180°以上时，仍按小于180°计算，或未结合图形边界判断，导致结果偏差。 例题7．（24-25七年级上·湖北随州·期末）如图①，为直线上一点，过点作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上，将图①中的三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中第秒时，所在直线恰好平分，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了涉及角平分线的几何图形中角度计算问题，过点作直线平分，根据，以及平分，求得，当与重合时，所在直线恰好平分，当与重合时，所在直线恰好平分，分开列式计算即可． 【详解】解：过点作直线平分，如图： ∵， ， ∵平分， ∴， ∴， 当与重合时，所在直线恰好平分， 则（秒）； 当与重合时，所在直线恰好平分， 则（秒）； 故答案为：或 ． 题型八、线段上动点探究易错问题 1.漏定位置范围：未明确动点在线段上、延长线上的不同位置，直接按单一区域计算线段长度，比如点P在AB上或AB延长线，误统一按在线段上算，导致结果错误。 2.错用数量关系：未用含参数的表达式（如设AP=x）表示动点相关线段，或计算时混淆线段和差，比如误将PB写成AB+AP（实际应是AB-AP，P在线段上时），逻辑混乱致错。 例题8．（23-24七年级上·四川眉山·期末）如图，B是线段上一动点，沿以每秒的速度往返运动1次，C是线段的中点，，设点B的运动时间为t秒． (1)当时，______cm，______cm； (2)用含有t的代数式表示运动过程中的长； (3)在运动过程中，若的中点为E，则的长度是否发生变化？若不变，求出的长：若变化，请说明理由． 【答案】(1)6；2 (2)；； (3)不变；． 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，准确分析计算是解题的关键． （1）根据即可得出结论；先求出的长，再根据C是线段的中点即可得到的长； （2）分类讨论即可； （3）直接根据中点定义即可得到结论； 【详解】（1）解：当时，， 此时，， ∵C是线段的中点， 则； 故答案为：6；2； （2）解：①∵B是线段上一动点，沿A→D→A以每秒的速度往返运动， ∴当时，， ∴； ②当时，， ∴； （3）解：不变； 因为的中点为E，C是的中点， 所以，， 所以，． 题型九、角中旋转探究易错问题 1.漏旋转阶段：未考虑旋转角跨越特殊角（如平角、周角）的阶段差异，比如射线旋转超过180°后，角的构成从“和”变“差”，仍按初始阶段计算，导致角度结果错误。 2.错关联动态角：未用含时间/旋转角的参数表示动态角（如设旋转角为α），或混淆旋转前后角的和差关系，比如误将旋转后的角直接等同于初始角加减旋转角，忽略位置变化的影响。 例题9．（24-25七年级上·山西运城·期末）活动课上，王老师将一副三角尺按图①位置摆放在直线上，45°角的顶点与60°的顶点重合于点，斜边与直角边在直线上，然后将直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转时间为秒． (1)旋转前，_________，_________； (2)“希望”小组同学发现：当时，是的角平分线，请利用图②说明理由； (3)“飞翔”小组同学发现：若直角三角板旋转至如图③的位置时，为定值．请你判断是否正确，如果正确，请求出该度数；如果不正确，请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)正确，； 【分析】本题考查了角的和差和角平分线，解题关键是正确识图，准确进行计算； （1）利用平角减去相邻的角即可； （2）求出的度数，再通过计算说明即可； （3）分别表示出，再求它们的和即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，． （2）解：直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转，当时， ，则, ∵, ∴是的角平分线． （3）解：正确，； 直角三角板旋转至如图③的位置时， ，， ． 一、单选题 1．（24-25六年级上·山东烟台·期中）由一些大小相同的正方体搭成的几何体的从正面看和从左面看形状图如图，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查从不同方向看物体，由从正面看和从左面看得到的形状图，判断出从上面看该几何体的形状，再找出搭成该几何体的小正方体的个数最少即可． 【详解】解：由从正面看和从左面看得到的形状图可知几何体有三列，两层，三排， 所以当搭成该几何体的小正方体的个数最少时，作出从上面看该几何体的形状，写出小正方体的个数，如图所示， 所以搭成该几何体的小正方体的个数最少为4个． 故选D． 2．（24-25八年级上·江西萍乡·期末）如图，该正方体的上面和前面各有一块三角形的阴影，下列是该正方体展开图的是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查正方体的表面展开图，根据题意，两个三角形有一个公共顶点，公共顶点一个为直角三角形的直角顶点，另一个为锐角的顶点，据此逐项分析解题． 【详解】解：A．折叠后，两个三角形没有公共点，故该选项不正确，不符合题意； B．有公共顶点，但是位置不对，故该选项不正确，不符合题意； C．图形是该正方体的展开图，符合题意， D．不是正方体的展开图，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级上·河北承德·期末）小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（   ） ①直线经过点三点，并且点在点与之间；（） ②点在线段的反向延长线上；（） ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点；（） ④直线相交于点．（ ） A．①②③④ B．①② C．①③④ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了直线，射线和线段的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据直线是向两方无限延伸、射线是向一方无限延伸和线段不能向任何一方延伸的定义分析即可． 【详解】解：①直线经过点三点，并且点在点与之间，，正确； ②点在线段的反向延长线上，，正确； ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点，，正确； ④直线相交于点，，正确； 故选：A． 4．（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了数轴的应用，线段的中点性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 根据两点间距离进行计算即可判断①；利用路程除以速度即可判断②；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，由题意求出的长， 再利用路程除以速度即可判断③；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，利用线段的中点性质进行计算即可判断④； 【详解】∵A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且， ∴B对应的数为，故①正确； ∵， ∴点P到达点B时，，故②是正确的； 当点P在点B右边时， ∵， ∴， ∴； 当点P在点B左边时， ∵， ∴， ∴， ∴时，或，故③错误； 在点P的运动过程中，当点P在点B右边时， ； 在点P的运动过程中，当点P在点B左边时， ； ∴在点P的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故④错误； ∴正确结论有①②， 故选：A． 二、填空题 5．（25-26七年级上·全国·期末）已知，平分，，则的大小是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查角的平分线和角的运算，能采用分类讨论的思想分析问题是解题的关键．需要分两种情况讨论：射线位于内部；射线位于内部分别进行求解． 【详解】解：∵，平分， ∴． ①如图所示，射线位于内部， ∴； ②如图所示，射线位于内部时， ∴； 综上所述，或． 故答案为：或． 6．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点连续这样操作2024次，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段规律性问题，线段中点的有关计算，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【详解】解：是和的中点， ， 是和的中点， ， 是和的中点， ， ， 发现规律：， 当时，， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·北京昌平·期末）欧拉定理是数学史上最著名的定理之一，由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于1752年提出．这个定理阐述了凸多面体中顶点数（）、面数（）和棱数（）之间存在一定的数量关系． 名称 图形 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 8 12 十二面体 20 12 30 （1）表中的值为 ； （2）在简单多面体中，，，之间的数量关系是 ． 【答案】 6 【分析】本题考查多面体，总结归纳出多面体的顶点，面，棱的关系是解题的关键． （1）根据图形直接数出顶点个数即可； （2）根据观察表格数据可得，顶点数和面数的和减去棱数刚好等于2，即可． 【详解】解：（1）由图或得八面体共有6个顶点， ∴； 故答案为：6． （2）三棱锥中，； 长方体中，； 五棱柱中，； 正八面体中，； ∴顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的代数关系式为： ． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，直线上有一点，过点在直线的上方作射线，，现将射线绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，射线始终平分，射线始终是的三等分线，且．设旋转时间为秒，若，的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查角平分线，角的和差，理解角平分线的定义是正确解答的关键．分三种情况进行解答，即当，和时，根据角平分线的定义以及角之间的和差关系，表示，代入到中进行计算即可求解． 【详解】解：设旋转时间为秒， 当时，则， ∴， ∵射线始终是的三等分线，且， ∴， ∵射线始终平分， ∴， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， ∵射线始终是的三等分线，且， ∴， ∵射线始终平分， ∴， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， ∵射线始终是的三等分线，且， ∴， ∵射线始终平分， ∴， ∴， 解得：（舍去）． 综上可得，的值为或． 故答案为：或． 三、解答题 9．下图是由若干个小立方块所搭建几何体从正面看与从上面看的形状图． (1)搭建这个几何体最少、最多各需多少个小立方块？搭建这个几何体需小立方块最少、最多可能有多种搭建方式，请你各拿出一种在从上面看的形状图的小正方形中用数字表示该位置所放小立方块的个数； (2)搭建该几何体有多种搭建方式，请你画出其中三种从左面看的形状图． 【答案】(1)最少需要11个，最多需要17个，画图见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查从不同方向看小正方体的搭建的图形，解题的关键是： （1）根据正面图和上面图可知，第一层有8个第二层最少有2个，最多有6个，第三层最少有1个，最多有3个，即可求解； （2）根据（1）的结论，在从上面看的形状图中标上搭建所需要小正方体的个数，然后画出其从左面看的形状图即可． 【详解】（1）解：根据题意，得第一层有8个第二层最少有2个，最多有6个，第三层最少有1个，最多有3个， ∴搭建这个几何体最少需要个、最多需要个， 最少时，如图， （答案不唯一）， 最多时，如图， （答案不唯一）． （2）解：如图， 搭建如图时， 从左边看的形状图为： 搭建如图时， 从左边看的形状图为： 搭建如图时， 从左边看的形状图为： （答案不唯一） 10．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）已知线段，点在线段上，且． (1)求线段，的长； (2)点是线段上的动点，线段的中点为，设． ①请用含有的式子表示线段，的长； ②若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称，，三点为“和谐点”，求使得，，三点为“和谐点”的的值． 【答案】(1)， (2)①当点在线段上时，，；当点在线段上时，，；②的值为或 【分析】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义和线段的和差是解题关键． （1）由线段，点C在线段上，且，可得答案； （2）①分当点在线段上时和当点P在线段上两种情况分别计算即可；②分情况列方程可得的值． 【详解】（1）解：解：∵线段，点C在线段上，且， ∴，； （2）解：①当点在线段上时， ∵点是的中点， ∴， ，； 当点在线段上时， ∵点是的中点， ∴， ，； ②当点在线段上时，则， ∴， 解得：， 当点在线段上时， 则， ∴， 解得：， 综上：的值为或． 11．（23-24七年级上·广东珠海·期末）综合探究 如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线上，两个直角三角板分别在直线的两侧，且，，．    (1)如图1，______； (2)如图2，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分？请说明理由； (3)如图2，把三角板绕点旋转，使得落在内部， 当时，则______； 当时，则______； 设，，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)135 (2)是的平分线；理由见解析 (3)125；25；；理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度计算，角平分线的定义，三角板中角度的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握各个角度之间的关系． （1）根据三角板中各个角度的大小，结合图形进行解答即可； （2）先根据角平分线定义求出，得出，求出，即可证明结论； （3）根据已知角度，结合图形，分别求出、即可；根据，，得出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：135； （2）解：是的平分线；理由如下： 落在的平分线上， ， ， ； ， 即是的平分线． （3）解：当时，， ∴； 故答案为：125； 当时，， ∴； 故答案为：； ；理由如下： ， 又， ． 12．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【答案】（1）3（2）①②（3）当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，线段中的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． （1）根据新定义，确定线段的长度，然后求点表示的数即可； （2）①利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； ②利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； （3）采用分类讨论的思想，根据动点的运动轨迹，结合新定义下的线段长度关系，列方程求解即可． 【详解】解：（1）， 根据题意得，， ∴表示的数是； （2）①点C在线段上时， 如图所示， ∵线段，的中点分别为点M，N， ∴， 又， ∴； ②点C在线段的延长线上时，当时，， 如图所示，此时，点是线段的中点，即点与点重合， ∵点为线段的中点， ∴， ∴； （3）点运动到终点所需时间为秒，点运动到终点所需时间是秒，设运动时间为秒，讨论如下： ①如图所示，当时，根据题意得， ， 解得； ②如图所示，当时，根据题意得， 解得； ③如图所示，当时，根据题意得， 解得（舍去）； ④如图所示，当点到达点折返回来后，时，根据题意得， 解得； 综上，当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 13．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图1，射线在的内部，与的大小之比定义为射线的分割值，，n为射线与的“分割值”，记为&（，）． 例如，，则，即&（，），反之&（，），则． (1)如图2，射线在的内部， 若射线是的平分线，则 ； 若，，则 ； (2)如图3，，，射线从位置开始，绕点D按顺时针方向匀速旋转，到达时立即原速返回，射线从位置开始，绕点C按顺时针方向匀速旋转，当到达时，也停止运动，设旋转的时间为t秒．若射线旋转的速度为每秒，射线旋转的速度为每秒． 当到达时，求的值； 若，求t的值． 【答案】(1)； (2)，t的值为或 【分析】本题依托“分割值”主要考查角度之间的倍积关系和一元一次方程的应用，正确进行计算是解题关键． （1）根据角平分线的定义以及“分割值”的定义求解即可 ；根据角的和差关系以及“分割值”的定义求解即可； （2） 当到达时，，可以求出的度数，从而求出的值 ；分两种情况，根据列式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：若射线是的平分线， ，即． ． 故答案为∶． 由题意可得∶． ． ． 故答案为∶． （2）解： 当到达时， ． ， 当由向运动时， ， ． 解得：． 当由向运动时， ， ． 解得：． 综上所述，t的值为或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $