第十八章 分式（必备知识+12题型+分层检测）（复习讲义）数学人教版2024八年级上册

该初中数学分式复习讲义以清单式框架系统构建知识体系，涵盖分式概念、运算、整数指数幂、分式方程及应用五大模块，通过分层梳理约分通分法则、运算顺序、方程解法等核心要点，用对比呈现分式有意义条件与值为零条件的区别，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层递进的题型设计，从基础的分式概念辨析到综合的规律探究题，培养抽象能力与推理意识，设置工程问题等实际应用题强化模型意识，配套基础巩固与能力提升双栏练习，助力教师分层教学，学生可通过例题变式掌握方法，提升复习效率。

第十八章 分式（复习讲义） 1. 了解分式、分式方程的意义，体会分式概念、运算、整数指数幂、分式方程之间的整体联系。 2. 能用分式的基本性质进行约分、通分，能进行分式的加、减、乘、除及混合运算，能将分式化简求值；能用整数指数幂的运算性质进行计算，会用科学记数法表示绝对值小于1的数；能解分式方程，会检验分式方程的增根。 3. 理解并利用分式方程解决实际问题。 清单01 分式的概念及基本性质 1.分式的概念 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． 2．分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 3．分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 4．分式的基本性质 （1）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 5.约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． 6.通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． 7.最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 8.最简公分母 （1）最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 清单02 分式的运算 1．分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 2．分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． 3．分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 4．分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 清单03 整数指数幂 1.负指数幂、零指数幂： ①，（m，n是正整数）； ②，（m，n是正整数） ③，（m是正整数）； ④，（a≠0，m、n是正整数，m>n） ⑤，（n是正整数）； ⑥ 若按照④运算，当m<n时。如：；根据指数幂的定义 针对这种现象，我们规定，当n为正整数时，（a≠0） 注：无意义 2.科学记数法表示绝对值小于1的数 一般，一个小于1的数可以表示为a×的形式，其中 步骤：确定a值的大小。；确定n的值。原数变为a后，小数点向前移动x位，则原数相应扩大了10x倍。故n=-x 清单04 分式方程定义及解法 1．分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 2．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 3．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 4．换元法解分式方程 （1）解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． （2）我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 5．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 清单05 分式方程的应用 1．分式方程的应用 （1）列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． （2）要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 【题型一】分式、最简分式、最简公分母 【例1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）在，，，，中，分式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，即形如，其中，都是整式，且中含有字母，熟练掌握定义是解题的关键．根据分式的定义判断即可． 【详解】解：在，，，，中，分式有，，共个， 故选：B． 【变式1-1】（24-25八年级上·河北沧州·期末）下列分式中，为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．根据定义判断即可． 【详解】解：A．，故不是最简分式； B．，是最简分式； C．，故不是最简分式； D．，故不是最简分式； 故选B． 【变式1-2】（24-25八年级上·广东东莞·期末）分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简公分母 【分析】本题主要考查了最简公分母，理解最简公分母的定义是解题关键．最简公分母：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此解答即可． 【详解】解：分式，的最简公分母是． 故选：A． 【题型二】分式有无意义的条件 【例2】（24-25八年级上·北京延庆·期末）分式有意义，实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式有意义的条件 【分析】根据分式有意义，分母不为零列式计算即可得解． 本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式的值为零⇔分子为零且分母不为零． 【详解】解：由题意得，，解得：， 故选：A． 【变式2-1】（24-25八年级上·重庆綦江·期末）当为任意实数时，下列分式一定有意义的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式有意义的条件 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．直接利用分式有意义的条件分别分析得出答案．分式有意义的条件是分母不等于零． 【详解】解：A．当时，即为任意实数时，分式有意义，故本选项符合题意； B．当时，即时，分式有意义，故本选项不合题意； C．当时，即时，分式有意义，故本选项不合题意； D．当时，即时，分式有意义，故本选项不合题意； 故选：A． 【变式2-2】（24-25八年级上·江苏苏州·期末）当时，下列分式无意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件、分式无意义的条件 【分析】此题考查了分式无意义．解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件．分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义． 根据分母为0，分式无意义；分母不为零，分式有意义，逐一判断即得． 【详解】A、当时，分式有意义； B、当时，，分式有意义； C、当时，分式有意义； D、当时，，分式无意义． 故选：D． 【题型三】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【例3】（24-25八年级上·福建福州·期末）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变，然后进行逐项判断． 【详解】解：A、原变形错误，故本选项不符合题意； B、原变形错误，故本选项不符合题意； C、原变形错误，故本选项不符合题意； D、原变形正确，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式3-1】（24-25八年级上·安徽黄山·期末）下列各式从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐项进行判断即可． 【详解】A.，故选项错误，不符合题意； B. 当时，，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D. ，故选项正确，符合题意； 故选：D 【变式3-2】（24-25八年级上·四川广安·期末）如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，即可解题． 【详解】解：如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍， 则， 分式的值不变， 故选：A． 【题型四】分式的混合运算 【例4】（24-25九年级下·江苏连云港·期中）化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键．先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】解： ． 【变式4-1】（23-24八年级上·山东淄博·期中）化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查分式的混合运算，掌握分式混合运算的法则是解题的关键． （1）将每个分式的分子、分母分解因式后将除法变为乘法后约分即可． （2）先通分计算括号内的运算，然后再计算除法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式4-2】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了异分母分式加减运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先将异分母分式化为同分母分式，再相加约分即可； （2）先将括号的式子通分，再将除法变为乘法，再约分即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【题型五】分式化简求值 【例5】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后将代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 【变式5-1】（24-25八年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，并从、1、2中选一个你喜欢的值代入求值． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值．先对分子分母因式分解，再对括号内的进行通分，将除法变为乘法，约分后代入求值即可． 【详解】解： ， ，， ，2， 当时，原式 【变式5-2】（24-25八年级下·四川成都·期中）先化简，再从，0，1中选择一个恰当的数代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分括号内的式子，再算括号外的乘法，然后从，0，1中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， ， ， 当时，原式． 【题型六】科学记数法表示绝对值小于1的数 【例6】（25-26八年级上·湖南益阳·期中）近年来，我国基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心技术实现突破．比如，我国科研团队在小尺寸晶体管研究方面取得重大突破，制备出亚（纳米）栅极长度的晶体管，其物理栅长为，用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式6-1】（25-26八年级上·上海徐汇·期中）科技兴则民族兴，科技强则国家强．近几年我国一直在芯片工艺上进行技术攻坚，目前，我国科学家研发出一款芯片拥有近个晶体管，每个晶体管只有3个原子厚，即厚度约为，则数字“”用科学记数法表示为 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式6-2】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米米，将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型七】负整数指数幂、零指数幂的运算 【例7】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）计算 (1)； (2)； 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算绝对值、零指数幂以及算术平方根，然后再进行加减运算即可； （2）原式先计算有理数的乘方、负整数指数幂以及立方根，然后再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7-1】（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键， （1）根据负整数指数幂，绝对值，零指数幂和开平方的运算法则计算即可得到答案； （2）根据同底数幂的乘除法和负整数指数幂的运算法则计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式7-2】（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段练习）计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，幂的运算法则，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则为解题关键． （1）先根据绝对值的性质、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则分别化简各项，再进行加减运算即可； （2）先根据幂的乘方和积的乘方运算法则化简式子中的各项，再根据同底数幂的乘法和除法运算法则进行计算． 【详解】（1）解： （2） ． 【题型八】分式方程的定义 【例8】（24-25八年级上·广西贵港·期中）下列各式中是关于x的分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式方程的定义，分式方程的定义：①形如的式子；②其中，均为整式，且中含有字母.根据分式方程的定义，即可得出答案. 【详解】解：A. ，B. ，C. 都是整式方程，故不符合题意； D. 是分式方程，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式8-1】（24-25八年级下·上海崇明·期中）在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它不是分式方程； B、它不是分式方程； C、它是分式方程； D、它不是分式方程． 故选：C 【变式8-2】（24-25八年级上·山东威海·期中）已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的概念：分母中含有字母的方程，根据此概念进行判断即可． 【详解】解：②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程； 故选：C． 【题型九】解分式方程 【例9】（24-25八年级上·山东青岛·期中）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)无解． 【分析】本题考查了解分式方程，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． （1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】（1） 两边都乘以，得 解得 检验：当时， ∴是原方程的解 （2） 两边都乘以，得 解得 检验：当时， ∴是原方程的增根，原方程无解 【变式9-1】（24-25八年级上·湖南益阳·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，再检验即可得到答案； （2）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，再检验即可得到答案． 【详解】（1）解： 去分母得；， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解； （2）解： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 【变式9-2】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】（1）解：去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． （2）去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 【题型十】分式方程的实际应用 【例10】（24-25八年级下·四川成都·期中）为提升成都历史文化街区风貌，市政府计划修建一条连接锦里古街与金沙遗址的文化步道，全长7000米，甲工程队修3000米后，因另有其它任务离开，调来乙工程队接着修路，乙队修完后，甲、乙两队共用50天，乙工程队每天修路的长度是甲工程队每天修路长度的2倍，求甲队每天修路多少米． 【答案】100米 【分析】本题考查分式方程的应用，设甲队每天修路x米，则乙队每天修路米，根据甲、乙两队共用50天，列分式方程，求出解后进行检验即可． 【详解】解：设甲队每天修路x米，则乙队每天修路米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：甲队每天修路100米． 【变式10-1】（23-24八年级上·广西桂林·期中）随着城际铁路的开通，从桂林到深圳的高铁里程比普快里程缩短了120千米，运行时间减少了3.2小时，已知从桂林到深圳的普快列车里程约600千米，高铁平均速度是普快平均速度的2.4倍． (1)求高铁的平均速度． (2)从桂林到深圳的高铁途经贺州，途中需要停留12分钟，且从桂林到贺州的高铁里程为300千米．某日王老师要从桂林到贺州参加11:00召开的会议，如果他买到当日9:15从桂林到贺州高铁票，而且从贺州火车站到会议地点最多需要0.4小时，试问在高铁准点到达的情况下，王老师能在开会之前赶到吗？ 【答案】(1)高铁的平均速度为300千米/时 (2)王老师能在开会之前赶到 【分析】本题主要考查了分式方程的应用， 对于（1），设普快的平均速度为x千米/时，可得高铁的速度，再根据时间的差等于3.2小时列出分式方程，检验可得答案； 对于（2），先求出王老师实际所需时间，再和规定时间比较可得答案． 【详解】（1）解：设普快的平均速度为x千米/时，则高铁的速度为千米/时，根据题意得： ，          解得：．                           经检验，是原方程的解，          ． 答：高铁的平均速度为300千米/时． （2）解：王老师能在开会之前赶到，                （小时），          （小时），         ∵， ∴王老师能在开会之前赶到． 【变式10-2】（24-25八年级下·河南南阳·期中）【问题背景】4月23日是“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架的单价高； 素材二：用11000元购买A种书架的数量比用8000元购买B种书架的数量多4个． 【问题解决】 问题：分别求出A，B两种书架的单价． 【答案】A种书架的单价为550元，B种书架的单价为500元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设B种书架的单价为x元，根据A种书架的单价比B种书架的单价高，用11000元购买A种书架的数量比用8000元购买B种书架的数量多4个，列出分式方程进行求解即可． 【详解】解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：A种书架的单价为550元，B种书架的单价为500元． 【题型十一】分式运算有关的规律性问题 【例11】（2024·安徽·二模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：； 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______ (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字规律，分式的运算,解题的关键是从等式中找出规律． （1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式； （2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后根据分式的运算证明猜想． 【详解】（1）解：根据题意得，第5个等式为：． 故答案为： （2）解：第n个等式为：， 证明：． 【变式11-1】（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________________； (2)写出你猜想的第n个等式：________________（用含n的等式表示），并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字的变化规律，用代数式表示变化规律，观察等式并找到规律是解题关键． （1）按照所给的等式，逐项的探究规律，写出第5个等式即可； （2）根据（1）得到的规律，写出第n个等式，再通分，利用分式的混合运算法则计算即可解答此题． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：， 第5个等式： 故答案为：； （2）第n个等式：， 故答案为：． 【变式11-2】（24-25七年级下·安徽淮北·期末）观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 第5个等式：；．．． 按照以上规律，解决下冽问题： (1)写出第7个等式； (2)写出你猜想的第个等式：_______________________（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查数字类变化规律，仔细观察每个式子中对应位置的数字，并找到相关系数关系是解题的关键． （1）根据前5个等式得出第7个等式即可； （2）通过观察分子和分母上的数字规律，再结合每个式子找到规律，最后写出即可． 【详解】（1）解：由题意可知，第7个等式为． （2）解：猜想的第个等式：， 证明：∵左边右边， ∴等式成立． 【题型十二】分式方程有关的规律性问题 【例12】（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，；方程的解为，；．．．．．． (1)根据上面的规律，猜想的解为 ； (2)利用（1）中的结论，将方程变形为的形式并求解； (3)解方程：． 【答案】(1)，； (2)，， (3)，． 【分析】（1）仿照材料解方程，归纳总结得到结果； （2）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答； （3）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：根据上面的规律，猜想的解为：，． 故答案为：， （2）解：由， 得， ∴， ∴， 由（1）中法规律得方程的解为：， ； （3）解：由， 得， ∴， ∴， ∴， ∴，或， 解得，． 【变式12-1】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）观察下列式子： ， ， ， ， ……． (1)根据上面的变形规律，若为正整数，则_________； (2)解分式方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，掌握题目中的拆项方法是解题的关键． （1）根据题意即可得出答案； （2）根据题意拆解合并之后解分式方程即可； 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴.， 故答案为：； （2）解：分式方程可变形为. 去括号，得. 所以， 解得. 经检验，是分式方程的解. 所以分式方程的解为． 【变式12-2】（24-25八年级上·江苏南通·期末）下面是一些方程和它们的解． 的解为，； 的解为，； 的解为，； …… 根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题： (1)的解为______； (2)关于的方程的解为______； (3)试求：关于的方程的解． 【答案】(1)，； (2)，； (3)或 【分析】本题考查了解分式方程． （1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果； （2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果； （3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可； 【详解】（1）解：猜想关于x的方程的解是； 故答案为：； （2）解：猜想关于x的方程的解是，； 故答案为：，； （3）解：， 方程变形得：， 即 ∴或， 解得：或． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）在中，分式的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的识别，关键是分母必须含有字母，分母为常数的表达式不是分式．根据分式的定义（分母中含有字母的代数式），判断每个表达式是否为分式即可． 【详解】解：，，的分母都含有字母，是分式；，，的分母不含字母，不是分式； ∴ 分式有、、，共3个． 故选：B． 2．（25-26八年级上·广西来宾·期中）某材料实验室合成了一种新型纳米催化粒子，其直径经测量约为0.000000105米，数据0.000000105用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法要求将数字写成的形式，其中 ，为整数． 对于给定数字，需确定小数点移动的位数以得到正确的指数，即可得解． 【详解】解：，即将小数点向右移动7位得到， 用科学记数法表示为． 故选：． 3．（25-26八年级上·重庆涪陵·期中）下列等式从左到右变形，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，关键是熟练掌握分式的基本性质． 根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0，并且分式的值不变，由此即可判定选项． 【详解】解：选项A：，分子和分母同时加1，不符合分式基本性质，故本选项错误，不符合题意； 选项B：，分子和分母同时乘以，但若，则右边分式无意义，而左边有意义（当），等式不成立，故本选项错误，不符合题意； 选项C：，左边分母为，化简为，右边为，两者不相等，故本选项错误，不符合题意； 选项D：，右边分子分母同时除以（），化简为，与左边相等，故本选项正确，符合题意； 故选：D 4．（25-26八年级上·广东广州·期中）如果，，，那么它们的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先依据有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂分别计算a、b、c的值，再比较大小． 【详解】解：，，， 则， 故选：A． 5．（25-26八年级上·重庆·月考）若分式方程无解，则整数m的值为（    ） A． B．1 C． D．或1 【答案】D 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据方程无解求参数，解题的关键是掌握分式无解的情况． 对分式方程进行求解整理，然后根据分式无解的情况进行求参数即可． 【详解】解： 当时，方程无解，此时，； 当时，即时，方程无解，此时； 故选：D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·广东深圳·期中）若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的求值．利用分式的性质，将所求表达式拆分为，再代入已知条件进行计算． 【详解】解：由已知 ， 则 ． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·广西桂林·期中）若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是分子为0且分母不为0是解题的关键．根据分式值为零的条件求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得且， ∴x的值为， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·广西来宾·期中）若分式，、同时扩大为原来的倍，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，当和同时扩大为原来的倍时，设，，然后代入即可求解，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：设，，则新分式为 ， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的方程有增根，则常数m的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母为0确定增根；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先去分母可得，再根据关于的方程有增根，可得，代入计算即可求解． 【详解】解：， 去分母得：，即， ∵关于的方程有增根， ∴， ∴， 将代入， 得， 故答案为：6． 10．（25-26八年级上·广东广州·期中）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如：，所以分式与互为“3阶分式”． （1）分式与 互为“4阶分式”； （2）若分式与互为“1阶分式”，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的减法，解分式方程，理解“n阶分式”的定义是解此题的关键． （1）根据“n阶分式”的定义，分式 的“4阶分式”为，通过分式减法计算即可； （2）根据“1阶分式”的定义，分式与的和为1，列出方程求解，注意分母不为零． 【详解】解：（1） 设另一个分式为， 则：， 故分式与互为“4阶分式”； （2）由定义得：， 去分母可得：， 解得：， 当时，，满足题意 ∴． 三、解答题 11．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）计算：． 【答案】3 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先求立方根，乘方运算，零次数幂，负整数次幂，然后再计算加减法即可． 【详解】解： 12．（25-26八年级上·广西来宾·期中）（1）计算： （2）解分式方程： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了分式化简和解分式方程，准确计算是解题的关键． （1）利用分式的基本性质进行化简即可； （2）先去分母化成整式方程，求出，进行验算，最终得解； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：方程两边都乘，得： ， 解得：， 检验：当时，最简公分母； 是原分式方程的解． 13．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，在中选择一个整数求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解决问题的关键． 先用分式混合运算法则化简分式得到，再由分式分母不能为零及题目要求，取，代入化简结果计算即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ， ， 当时，原式． 14．（25-26九年级上·重庆·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，零指数幂，负整数指数幂． 先化简原分式，根据零指数幂、负整数指数幂求出x的值，代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， ， 原式． 15．（25-26八年级上·广西来宾·期中）倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出型和型两款垃圾分拣机器人，已知型机器人比型机器人每小时多分拣吨，且型机器人分拣吨所用时间与型机器人分拣吨所用时间相等． (1)1台型机器人和1台型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？ (2)某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批型和型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾吨．设购买型垃圾分拣机器人台，型垃圾分拣机器人台．请用含的代数式表示； (3)在（）问中，购买型垃圾分拣机器人台用万元，购买型垃圾分拣机器人台用万元，已知型单价是型单价的，求购买型、型各多少台． 【答案】(1)台型机器人每小时分拣垃圾吨，台型机器人每小时分拣垃圾吨； (2)； (3)购买型台，型台． 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设台型机器人每小时分拣垃圾吨，则台型机器人每小时分拣垃圾吨，依题意得，然后解方程并检验即可； （）依题意得，然后用含的代数式表示即可； （）依题意得，整理得，联立，然后解方程组即可． 【详解】（1）解：设台型机器人每小时分拣垃圾吨，则台型机器人每小时分拣垃圾吨， 依题意得：， 解得：， 经检验得是原分式方程的解，且符合题意， 所以， 答：设台型机器人每小时分拣垃圾吨，则1台型机器人每小时分拣垃圾吨； （2）解：依题意得：， 整理得：； （3）解：依题意得：， 整理得：， 由（）得， 联立， 解得：， 答：购买型台，型台． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26八年级上·北京延庆·期中）在代数式中，其中分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查分式的定义，根据分式的定义，形如，中含有字母，这样的式子叫作分式，进行判断即可． 【详解】解：在代数式中，其中分式有，共4个； 故选D． 2．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）如果把分式中的与都扩大为原来的2倍，那么这个分式的值（   ） A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．缩小4倍 D．保持不变 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 将原式中的、分别用、代替，化简，再与原分式进行比较． 【详解】解：把分式中的与同时扩大为原来的倍， 原式变为：， 这个分式的值不变． 故选：D． 3．（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式乘除法的法则和分式的基本性质，熟练掌握分式乘除法的法则和分式的基本性质是解题的关键．根据分式乘除法的法则和分式的基本性质解答即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确， 故选：D． 4．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． 且 B． C． D． 且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，根据分式方程的解的情况列不等式及考虑分母不为0是解题的关键． 先解分式方程，再根据方程的解为正数及分母不为0列不等式求解即可． 【详解】解：解方程得：， ∵关于的分式方程的解为正数， ∴，解得：； ∵， ∴， 解得：， ∴的取值范围是且． 故选：A． 5．（25-26八年级上·广西贵港·期中）已知（且），，，…，，若的值等于7，则x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的化简及解分式方程，数字变化的规律，先分别表示出，即可得出数字变化的规律，进而求出，列出分式方程解出得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 三个数一个循环， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故选：C． 二、填空题 6．（25-26八年级上·广西来宾·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算是解题的关键． 根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案是：． 7．（2025·湖北武汉·模拟预测）气凝胶是一种纳米级多孔固态材料，是世界上密度最小的固体，在热学、电学、光学、声学、 吸附催化等方面均表现出优异的性能，这使其在航空航天、建筑节能、化工工业、电子电工、生物 医药等领域有着广阔的应用前景．质量为的某种二氧化硅气凝胶的体积约为．将数据0.00002232用科学记数法表示是 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】将数据0.00002232用科学记数法表示是． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·山东聊城·阶段练习）若常数 M， N满足 则 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，平方差公式的运用，通过部分分式分解，将右边通分后与左边比较分子，利用系数比较法得到关于M和N的方程组，进而求解的值． 【详解】解：由分式等式 ， 右边通分得：与左边分母相同，故分子相等：， 展开右边：， 因此，得到恒等式：， 比较系数：， 则：， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·山东济宁·期中）当 时，关于的方程会产生增根． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分母为0的根； 本题中，最简公分母为，因此增根可能为或，将方程两边乘以最简公分母化为整式方程，然后分别将增根代入整式方程求解即可． 【详解】解：原方程：， 最简公分母为， 两边乘以最简公分母得：， 整理得：， 即：， 若增根为，代入整式方程：，解得， 若增根为，代入整式方程：，解得， 故当或时，方程会产生增根． 10．（24-25八年级下·江苏常州·期中）若关于x的不等式组有解且仅有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则满足条件的所有整数a的值的和为 ． 【答案】9 【分析】本题考查解一元一次方程组、解分式方程，理解一元一次不等式组的解和分式方程的解是解答的关键．先求得每个一元一次不等式的解集，再根据不等式组的解集得到a的不等式，进而可求得a的取值范围；再解分式方程，再根据分式方程的解，以及a的取值条件可得到a的取值，进而求和即可解答． 【详解】解：解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∵原不等式组有解且仅有两个奇数解， ∴这两个奇数解为，， ∴， 解得：， 原分式方程去分母得：， 解得：， ∵原分式方程的解为非负整数，∴且为整数，解得且为奇数， ∴，即且a为整数， ∴或3或5， 则， 故答案为：9． 三、解答题 11．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、积的乘方的逆用、负整数次幂、零次幂等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 先运用、积的乘方的逆用、负整数次幂、零次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 12．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解方法，注意最后一定要检验． （1）将分式方程化为整式方程，然后求解，最后检验，即可求解； （2）将分式方程化为整式方程，然后求解，最后检验，即可求解． 【详解】（1）解：， 去分母可得，， 去括号可得，， 移项可得，， 系数化为1可得，， 经检验，是分式方程的解； （2）解：， 去分母可得，， 去括号可得，， 移项可得，， 系数化为1可得，， 经检验，时，，则是分式方程的增根， ∴分式方程无解． 13．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 14．（25-26八年级上·山东东营·期中）（1）化简： （2）先化简，再求值：，在中选一个整数求值． 【答案】（1）；（2），当时，原式 【分析】本题考查了分式的混合运算和化简求值，分式有意义的条件，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据分式的除法运算法则求解即可； （2）根据分式运算法则先化简，然后根据分式有意义的条件求出，，然后根据且x为整数得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵，，， ∴，， ，且x为整数， 当时，原式． 15．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知关于x的分式方程：． (1)当时，请解这个分式方程； (2)若该分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）把代入方程计算即可求出解即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到，代入整式方程计算即可求出m的值． 【详解】（1）解：当时，原方程为：， 方程两边同乘以得：， ， ． 经检验：是这个方程的解． 所以原方程的解是． （2）解：方程两边同乘以得：， ， 因为这个方程无解，所以，所以， 将代入，得，所以． 16．（25-26八年级上·山东济宁·期中）【调查活动】 小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《市初中生阅读水平的现状》，随机走访了市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书册；②甲校比乙校人均图书册数多册； ③甲校的学生人数比乙校的人数少． 【交流质疑】 小峰把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小峰同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究． 【问题解决】 聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 问题：甲、乙两校的人数各是多少？设乙校的人数为x人．根据“甲校比乙校人均图书册数多册”可列方程，即可； 问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？设乙校的人均图书册数为x册．根据“甲校的学生人数比乙校的人数少”可列方程，即可． 【详解】解：问题：甲、乙两校的人数各是多少？ 设乙校的人数为人． 根据题意可列方程： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 人， 答：甲、乙两校的人数各是人、人． 问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？ 设：乙校的人均图书册数为册．根据题意可列方程： 解得：， 经检验，是原方程得解，且符合题意， ， 答：甲、乙两校的人均图书册数各是册、册． 17．（25-26八年级上·北京昌平·期中）阅读下列材料并解决问题：，，，，． (1)____________ (2)利用上述结论计算： ； (3)解方程：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了解分式方程，分数的混合运算，理解题意，熟练掌握分数混合运算法则以及分式方程的解法是解题的关键． （1）将原式化为，即进行计算即可； （2）将原式化为…，即进行计算即可； （3）将原方程化为，再根据分式方程的解法进行解答即可． 【详解】（1）解：，，，…，， ； 故答案为：，； （2）解：原式… ； （3）解：， ， ， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以原方程的解为． 18．（25-26八年级上·北京延庆·期中）给出定义：如果两个分式与的和为一个常数，则称与是“和常分式”，这个常数称为与的“和常值”．例如：分式，则与是“和常分式”，与的“和常值”为4．解决下面的问题： (1)已知分式，判断与是不是“和常分式”，若不是，请说明理由：若是，求出与的“和常值”； (2)已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为2，求的值； (3)已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为．若为整数，且的值也为整数，直接写出满足条件的的值． 【答案】(1)与是“和常分式”，且与的“和常值”为 (2)3 (3)0或2 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，正确理解“和常分式”的定义是解题的关键． （1）根据分式的加法计算法则求出的结果即可得到结论； （2）根据“和常分式”的定义得到，则可推出，据此可得答案； （3）根据“和常分式”的定义得到，则；再由的值也为整数，可以得到，其中k为整数，则可推出，进而得到为整数，则，即可求出或． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴与是“和常分式”，且与的“和常值”为； （2）解：∵，且与是“和常分式”，与的“和常值”为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为， ∴， ∴； ∵的值也为整数， ∴是整数， ∴，其中k为整数， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵k为整数， ∴为整数， ∴为整数， ∴， ∴或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十八章分式（复习讲义) 单元目标聚焦·明核心 1.了解分式、分式方程的意义，体会分式概念、运算、整数指数幂、分式方程之间的整体联系。 2.能用分式的基本性质进行约分、通分，能进行分式的加、减、乘、除及混合运算，能将分式化简求值： 能用整数指数幂的运算性质进行计算，会用科学记数法表示绝对值小于1的数；能解分式方程，会检验分 式方程的增根。 3.理解并利用分式方程解决实际问题。 知识图谱梳理，因基础 1分式的概念 2.分式有意义的条件 3.分式的值为零的条件 清单01分式的概念及基本性质 4.分式的基本性质 5.约分、通分、最简分式、最简分母 1.分式的加减法 2.分式的乘除法 清单02分式的运算 3.分式的混合运算 4.分式的化简求值 分式 1负指数幂、零指数幂 清单03整数指数幂 2科学记数法表示绝对值小于1的数 1.分式方程的定义 2.分式方程的解法 清单04分式方程定义及解法 3.分式方程的增根 分式方程的应用：设、列、解、验、答 清单05分式方程的应用 1/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 教材要点精析·夯重点 清单01分式的概念及基本性质 1.分式的概念 (1)分式的概念：一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子点叫做分式. B (2)因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0. (3)分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号 的作用， (4)分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本 质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简. 2.分式有意义的条件 (1)分式有意义的条件是分母不等于零 (2)分式无意义的条件是分母等于零. (3)分式的值为正数的条件是分子、分母同号. (4)分式的值为负数的条件是分子、分母异号. 3.分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零. 4.分式的基本性质 (1)分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. (2)分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变， 5.约分 (1)约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分 (2)确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定 ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式. ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面. ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式 6.通分 (1)通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做 分式的通分 2/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)通分的关键是确定最简公分母， ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数， ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积 7.最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式. 8.最简公分母 (1)最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公 分母叫做最简公分母。 清单02分式的运算 1.分式的加减法 (1)同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. (2)异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分 母分式的加减就转化为同分母分式的加减. 2.分式的乘除法 (1)分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母. (2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. (3)分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方. (4)分式的乘、除、乘方混合运算.运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即 “先乘方，再乘除” 3.分式的混合运算 (1)分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有 括号的先算括号里面的 (2)最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式. (3)分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运 算. 4.分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值。 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果 要化成最简分式或整式. 清单03整数指数幂 3/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.负指数幂、零指数幂： ①am.an=am*n,(m,n是正整数)；②(am)”=amn,(m,n是正整数) ③(ab)m=ab”,(m是正整数)；④am÷an=am-n,(a≠0，m、n是正整数，m心n) (当a≠0时，a0=1(规定) ⑥（层）”= ,(n是正整数)； ⑥ 当a=0时，0°无意义 若按照④运算，当<n时。如：a2÷a3=a2-3=ar1;根据指数幂的定义a2÷a3=等=吉 针对这种现象，我们规定，当n为正整数时，an=(a≠0) 注：00-无意义 2.科学记数法表示绝对值小于1的数 11<|a<10 一般，一个小于1的数可以表示为a×10的形式，其中n为负整数 步骤：确定a值的大小。1<|a<10;确定n的值。原数变为a后，小数点向前移动x位，则原数相应扩 大了10x倍。故=-x 清单04分式方程定义及解法 1.分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程， 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数. 2.分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解， 3.解分式方程 (1)解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论 (2)解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解. ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解. 所以解分式方程时，一定要检验 4.换元法解分式方程 (1)解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对 象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理. (2)我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而 简化问题，当然有时候要通过变形才能发现 4/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.分式方程的增根 (1)增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或 是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根 (2)增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未 知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件，当把分式方程转化为整式 方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是 原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根 (3)检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果 为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根， 清单05分式方程的应用 1.分式方程的应用 (1)列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位 等. (2)要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作 时间等等 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力. 考点题型突破·拓思维 【题型一】分式、最简分式、最简公分母 【州1】2425八年级上满减议期未)在，，，严，子，分式有《) 6’ π”x+y A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式1-1】(24-25八年级上·河北沧州期末)下列分式中，为最简分式的是() 3a a+2 2a A. C. Sa'b2 B. a2+2 D.a-ab a'+3a a2-b2 5 【变式12】(2425八年级上广东东莞期末)分式立，2 的最简公分母是() A.12x'y B.12xy C.3x D.12xy 【题型二】分式有无意义的条件 5/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【例2】(24-25八年级上北京延庆期末)分式0，有意义，实数α的取值范围是() a-3 A.a≠3 B.a≠0 C.a<3 D.a≥3 【变式2-1】(2425八年级上重庆綦江期末)当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是() x+1 A.时料 B. +1 x2 c D.x+1 x2-4 【变式2-2】(24-25八年级上江苏苏州期末)当x=1时，下列分式无意义的是() A.+1 B. x+1 X D. 【题型三】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【例3】(24-25八年级上·福建福州期末)下列各式从左到右的变形，一定正确的是() A.+1x B.x=_x C. D. y+l y x-y y-x y2 y v2y 【变式3-1】(24-25八年级上·安徽黄山期末)下列各式从左到右变形一定正确的是() A.m、m2 B.1-m+n n n2 m-n m-n C.mm+a D.-m-”=-1 nn+a m+n 4-25八年级上四咖广安期末如果将分式十中的x和y都扩大到原来 式的值() A,不变 B.扩大到原来的3倍 c第小照米的号 D.缩小到原来的} 【题型四】分式的混合运算 【例4】(24-25九年级下·江苏连云港期中)化简： a2-4 a2-2a+1 【变式4-1】(23-24八年级上·山东淄博·期中)化简下列各式： 0-1x2+x x2-2x+1x-1 a+1 【变式4-2】(24-25八年级下·江苏扬州期中)计算： 0①26+a+b a-b b-a 6/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 m 【题型五】分式化简求值 【例5】(24-25八年级上·湖南岳阳期中)先化简，再求值： x-1-3+4+4, 其中x=5. x+1 x+1 【变式5-1】(24-25八年级下.四川成都期中)先化简，再求值： a2-a 1 -÷1- 并从-1、1、2 a2-2a+1a-1 中选一个你喜欢的值代入求值. 【变式5-2】(2425八年级下四川成都期中)先化简x+1-】 x2-1 x-1x2-2x+1 ,再从-1,0,1中选择 个恰当的数代入求值. 【题型六】科学记数法表示绝对值小于1的数 【例6】(25-26八年级上湖南益阳·期中)近年来，我国基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心技 术实现突破.比如，我国科研团队在小尺寸晶体管研究方面取得重大突破，制备出亚1m(纳米)栅极长 度的晶体管，其物理栅长为0.00000000034m,0.00000000034用科学记数法表示为 【变式6-1】(25-26八年级上·上海徐汇·期中)科技兴则民族兴，科技强则国家强.近几年我国一直在芯片 工艺上进行技术攻坚，目前，我国科学家研发出一款芯片拥有近6000个晶体管，每个晶体管只有3个原子 厚，即厚度约为0.00000000065m,则数字“0.00000000065”用科学记数法表示为 【变式6-2】(23-24七年级下江苏淮安期中)中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网.其 中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用.22纳米 =0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为」 【题型七】负整数指数幂、零指数幂的运算 【例7】(25-26八年级上·江苏无锡·期中)计算 (1)-3-(5-π)°+25： 2--{（ +27 【变式7-1】(25-26八年级上贵州铜仁期中)计算： (0)-1225-V5-2+(π-3.14)°+V4. 7116 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ea-oy广-(3s 【变式7-2】(25-26八年级上·贵州铜仁阶段练习)计算下列各题 l-+314-x-（ ②2a(-2ao*5b】 【题型八】分式方程的定义 【例8】(24-25八年级上·广西贵港·期中)下列各式中是关于x的分式方程的是() A.2x=4 B.x2+1=y C.+1=0 D中=2 【变式8-1】(24-25八年级下·上海崇明期中)在下列方程中，分式方程是() A.2 B.H=2 C.2 D. -2 3 【变式82】245八年级上山东威海期中)已知方程：①21@2，@y号：@牛-方：⑤ 5+x2 +©171，是分式方程的是○ A.①②③④⑤B.②③④ c.②④⑤ D.②④ 【题型九】解分式方程 【例9】(24-25八年级上山东青岛期中)解分式方程： 31 x+3xF-9 x-2 【变式9-1】(24-25八年级上湖南益阳·期中)解方程： (0) +13 x- 2-x ②)1+12 x-+x+1x2- 【变式9-2】(24-25八年级下江苏无锡期中)解方程： 8/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2 -3-x 【题型十】分式方程的实际应用 【例10】(24-25八年级下·四川成都期中)为提升成都历史文化街区风貌，市政府计划修建一条连接锦里 古街与金沙遗址的文化步道，全长7000米，甲工程队修3000米后，因另有其它任务离开，调来乙工程队 接着修路，乙队修完后，甲、乙两队共用50天，乙工程队每天修路的长度是甲工程队每天修路长度的2倍， 求甲队每天修路多少米 【变式10-1】(23-24八年级上广西桂林·期中)随着城际铁路的开通，从桂林到深圳的高铁里程比普快里 程缩短了120千米，运行时间减少了3.2小时，己知从桂林到深圳的普快列车里程约600千米，高铁平均速 度是普快平均速度的2.4倍， (1)求高铁的平均速度， (②)从桂林到深圳的高铁途经贺州，途中需要停留12分钟，且从桂林到贺州的高铁里程为300千米.某日王 老师要从桂林到贺州参加11：00召开的会议，如果他买到当日9：15从桂林到贺州高铁票，而且从贺州火车 站到会议地点最多需要0.4小时，试问在高铁准点到达的情况下，王老师能在开会之前赶到吗？ 【变式10-2】（24-25八年级下·河南南阳·期中)【问题背景】4月23日是“世界读书日”，为给师生提供更 加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进书架用于摆放书籍 【素材呈现】 素材一：有A,B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架的单价高10%； 素材二：用11000元购买A种书架的数量比用8000元购买B种书架的数量多4个. 【问题解决】 问题：分别求出A,B两种书架的单价， 【题型十一】分式运算有关的规律性问题 【例11】（2024安徽二模)观察以下等式： 第1个等式号3 2+1=1, 3,11 第2个等式：。+ 82×42' 4,11 第3个等式： 15+3x53 第4个等式： 5,11 244×6=4' 一十 9/16 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明， 【变式11-1】(24-25七年级下·安徽滁州阶段练习)观察下列等式： 第1个等式： 1 ,1)3 第2个等式： -×1+- 3(88 第3个等式： 4×1+,1）4 1 41+i5i5 1 15 第4个等式： 5*气1+24厂24… -×1+ 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： (2)写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并说明理由. 【变式11-2】(24-25七年级下·安微淮北期末)观察以下等式： 第1个等式： 第2个式2 第3个等式： 5x1+1） 0第4个等式：72+2 23 9 第5个等式： 按照以上规律，解决下冽问题： (1)写出第7个等式： (2)写出你猜想的第n个等式： (用含的等式表示)，并证明. 【题型十二】分式方程有关的规律性问题 【例12】(24-25七年级下·浙江绍兴期末)先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程+士2+号的解为-2,6分方程x+3+写的解为写=3,5 1 1 ①)根据上面的规律，箱想x+上a+之的解为： a ②用1》申的指论，将方程)+生号变形为+片a+约形式并定解， 11 0 (3)解方程：x+ 2x+313 x+13 10/16