专题05 分式与分式方程中常见的易错与含参数问题（8大题型）（专项训练）数学人教版2024八年级上册

专题05 分式与分式方程中常见的易错与含参数问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、分式值为0时求值，忽略分母不为0 1 题型二、整式与分式混合运算易错 3 题型三、自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0 5 题型四、解分式方程不验根 7 题型五、求使分式值为整数时未知数的整数值 10 题型六、分式方程无解与增根混淆不清 13 题型七、已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值 15 题型八、分式混合运算和分式方程中的新定义问题 17 B综合攻坚・能力跃升 题型一、分式值为0时求值，忽略分母不为0 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知分式的值为0，则x的值是 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，且分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， ∴或， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意； 综上所述，， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）若分式的值为零，则的值是 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值是0的条件，根据且即可求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且． 解得：， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如果分式的值为0，那么x的值为 ． 【答案】1 【知识点】绝对值的几何意义、分式值为零的条件 【分析】分式的值为零：分子为零且分母不为零． 本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 【详解】解：依题意得且， 则且． 解得． 故答案为：1． 4．（24-25八年级上·江西上饶·期中）对于分式当 时，分式有意义；当 时，分式无意义；当 时，分式的值为． 【答案】 【知识点】分式无意义的条件、分式值为零的条件、利用平方根解方程、分式有意义的条件 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式的值为的条件，完全平方公式，利用开平方解方程，熟练掌握分式有意义的条件，分式的值为的条件，以及完全平方公式是解题的关键．利用分式有意义的条件是分式的分母不等于零，分式的值为的条件是分式的分子为零且分母不为零，结合完全平方公式和开平方解方程求解即可． 【详解】解：由分式有意义， ∴， 即， 解得：， ∴时分式有意义，时分式无意义； 由分式的值为， ∴，且， 即，且， 解得：， 故答案为：；；． 题型二、整式与分式混合运算易错 5．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的加减法运算，熟练掌握运算法则是解题关键；根据分式的加减法则进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 6．（2025·陕西西安·模拟预测）化简． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．原式被除数括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果即可． 【详解】解： ． 7．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的运算，先对括号内分式进行通分，再把除法运算转换为乘法运算，进行约分，即可得到结果． 【详解】解： ． 8．（2025·陕西榆林·二模）化简：． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】题目主要考查分式的混合运算，先将括号内进行通分，加减计算，然后计算除法运算即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：原式 ． 题型三、自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0 9．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）先化简，再求值：，其中从、、中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】， 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，先利用分式的性质和运算法则进行化简，再根据分式有意义的条件确定的值，最后把的值代入化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴且， ∴， ∴原式． 10．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）先化简，然后从中选择一个适当的整数作为x的值代入求值． 【答案】 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再运算除法，然后化简得，由分母不为0得当时，则，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∵， ∴当时，则． 11．（24-25八年级上·山东济宁·期中）先化简：，再从，，，中选择一个适合的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再根据分式有意义的条件得出，，最后代入合适的值计算即可得解． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， ∴当时，原式． 12．（24-25七年级上·上海·阶段练习）先化简：，再，，，中选一个你喜欢的值代入求值． 【答案】；． 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的化简求值；先根据分式混合运算法则把原式进行化简，再选取合适的值代入求解． 【详解】解： ； ∵， 当时,原式． 题型四、解分式方程不验根 13．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了分式方程的解法，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． （2）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【详解】（1）解：， 方程的两边同乘，得， 解得，检验：把代入， 则，是原方程的增根， ∴原方程无解． （2）解：， 方程的两边同乘，得，解得． 检验：把代入． ∴是原方程的解． 14．（2025八年级下·全国·专题练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程化成整式方程，最后的检验是解题的易错点． （1 ）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答； （2 ）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 检验，当时，， 所以该分式方程的解为：； （2）解：， ， ， 检验，当时，， 所以该分式方程无解． 15．（24-25八年级下·全国·单元测试）解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解； （2）解：去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验是增根，分式方程无解． 16．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程， （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】（1） 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为； （2） 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程无解 题型五、求使分式值为整数时未知数的整数值 17．（24-25八年级下·全国·课后作业）若分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】或或或 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意可得是整数，则可得到是2的因数，即或，据此求解即可． 【详解】解；∵分式的值为整数， ∴是整数， ∴或， ∴或或或． 18．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）阅读下列材料，解决问题： 在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式． 例如：将分式拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加． (1)请将拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式． (2)如果分式的值是整数，求所有符合条件的整数x的值． 【答案】(1) (2)x的值为2或4或16或 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了分式的值，关键读懂题意，把分式表示成一个整式与分式的和的形式； （1）按照题干的拆分方法进行即可； （2）由（1）知，只要拆分后的分式的分母是分子的整数因数即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； ∵的值为整数， ∴是13的所有整数因数， 即， ∴或或或； 即x的值为2或4或16或． 19．（2025八年级下·全国·专题练习）使分式的值为整数的整数x的值有多少个？ 请先阅读解题过程，回答有关问题． 因为， 又因为分式的值及x的值均为整数，所以2能整除，当时，因为，所以分母为零，分式无意义． 所以可取的值为，，1，2，相应的x的值为，0，2，3，那么，满足条件的x值共有4个． (1)本题的解题思路是 　 　； (2)运用这种解题思路，求出使分式的值为整数的整数x的值． 【答案】(1)将分式先化简为最简分式或整式，再代入求值或根据已知解决问题 (2)、、、0、2、3、4、7 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了分式的化简，分式的结果要化成最简分式的形式，解题思路为：一般是将分式先化简为最简分式或整式，再代入求值或根据已知解决问题． （1）先把分式化简成最简分式或整式，后利用分子是分母的倍数，分类计算即可，注意要保证分式有意义． （2）仿照样本题思路，解答即可． 【详解】（1）解：解题思路是将分式先化简为最简分式或整式，再代入求值或根据已知解决问题； 故答案为：将分式先化简为最简分式或整式，再代入求值或根据已知解决问题． （2）， 要使分式的值为整数， ①当时，， ②当时，， ③当时，， ④当时，， ⑤当时，， ⑥当时，， ⑦当时，， ⑧当时，， ∴使分式的值为整数的整数x的值、、、0、2、3、4、7． 20．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 【答案】(1)真 (2) (3)． 【知识点】分式的判断、求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查了分式的定义，分式的值，分式的运算，本题是阅读型题目，连接题干中的新定义并熟练应用是解题的关键． （1）利用真分式和假分式的定义解答即可； （2）利用题干中的方法化简运算即可； （3）利用整数和整除的意义讨论解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：分式是真分式， 故答案为：真； （2）解： ； （3）解：； ∵分式的值为整数，x为整数． ∴或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴整数的值是． 题型六、分式方程无解与增根混淆不清 21．（24-25八年级上·四川眉山·期末）若关于的方程无解，则k的值为 ． 【答案】0或1 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题主要考查了分式方程的解，分式方程无解分的两种情况“①整式方程本身无解；②分式方程产生增根”成为解题的关键． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值． 【详解】解：原方程可化为：， 当，即时，方程无解，原分式方程无解． 当，即时，分式方程有增根或， 当时，代入可得，解得：； 当时，代入可得，该方程无解． 故答案为：0或1． 22．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）已知关于x的方程有增根，则m的值为 ． 【答案】1 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，掌握增根的定义成为解题的关键． 由题意可知关于x的方程的增根为，再将分式方程化成整式方程，然后将代入求出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的方程有增根， ∴是该分式方程的增根， 将分式方程化为整式方程为， 将代入可得：，即． 故答案为1． 23．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程无解问题．由分式方程无解得到增根，代入整式方程计算即可． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得：， 当即时，该整式方程无解，此时， 故答案为：． 24．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如果是关于的方程的增根，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．分式方程去分母转化为整式方程，把代入计算即可求出a的值． 【详解】解：， 去分母得：， 把代入得：， 故答案为：． 题型七、已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值 25．（2025·四川广安·二模）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围为______． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，求出方程的解是解题的关键．先用含m的代数式表示x，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可． 【详解】解：原方程去分母，得，得：且， ∵关于的方程的解是非负数， ∴且， 解得：且， 故答案是：且． 26．（24-25八年级下·上海·阶段练习）关于x的方程的解是个正数，那么m的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识．根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，再根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不为零． 【详解】解：由原方程去分母，得， 解得， 关于x的方程的解是正数， ， 解得， 又， ， ，， 故m的取值范围为且， 故答案为：且． 27．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，先解出方程的解为，再根据题意列出不等式知且，最后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 由题意可知且， 解得且， 故答案为：且． 28．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）若关于x的分式方程有整数解，则整数m的值为 ． 【答案】3，4，0 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了解分式方程；先求出分式方程的解，再根据解为整数即可求得整数m的值． 【详解】解：方程两边乘以，得：， 整理得：； 由于方程有解，则，即， ∴； 由于方程有整数解，则， 解得：或或或， 当时，，此时方程无解； 综上，整数m的值为3，4，0． 题型八、分式混合运算和分式方程中的新定义问题 29．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）阅读理解题． 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“雅中值”． (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值． 【答案】(1)是的“雅中式”，关于的“雅中值”为 (2)，的值为 【知识点】同分母分式加减法、异分母分式加减法 【分析】（）根据定义解答即可求解； （）由定义可得，即得，进而可得，根据为整数，且的值也为整数可得可能是，， 据此解答即可求解； 本题考查了分式的加减运算，理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴是的“雅中式”，关于的“雅中值”为； （2）解：∵是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为整数，且的值也为整数， ∴是的因数， ∴可能是，， ∴的值为． 30．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）综合与实践 问题情境 如果我们定义一种运算，可以将一个分式转化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“优美分式”．如，，则和都是“优美分式”． 初步验证 （1）下列各式中，属于“优美分式”的是_______（填序号）． ①；②；③；④． （2）将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． 探究应用 （3）当时，求的最小值． 【答案】（1）①③④；（2）；（3）的最小值为． 【知识点】分式化简求值、约分 【分析】本题考查分式的约分和化简求值，掌握分式的基本性质是解题关键． （1）根据“优美分式”的定义进行变形解答； （2）将变形为，进而求解即可； （3）首先将变形为，然后求出，进而求解即可． 【详解】（1）①，故①是“优美分式”； ②不是分式，故②不是“优美分式”； ③，故③是“优美分式”； ④，故④是“优美分式”； 综上所述，属于“优美分式”的是①③④； （2） ； （3） ∵ ∴ ∴ ∵在分母上， ∴当取得最大值时，有最小值 ∴当时， ∴的最小值为． 31．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）阅读理解题． 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和谐式”，这个常数称为关于的“和谐值”． 例：分式，，，则是的“和谐式”，关于的“和谐值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“和谐式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“和谐值”． (2)已知分式，，是的“和谐式”，关于的“和谐值”是1，为整数，且的值也为整数， ①求所表示的代数式． ②求所有符合条件的的值． (3)已知分式，，是的“和谐式”，则关于的“和谐值”是______．（直接写出答案即可）． 【答案】(1)不是的“和谐式”，理由见解析 (2)①；②2，4，0，6 (3) 【知识点】同分母分式加减法、分式化简求值、构造二元一次方程组求解、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，解二元一次方程组， （1）计算，再根据“和谐值”的定义可得答案； （2）①由定义可得，即有，整理可得：的表达式； ②化简，根据为整数，且“和谐式”的值也为整数，得到：是3的因数，从而可得答案； （3）首先表示出，然后根据题意设，得到，求出，进而求解即可． 【详解】（1），， ， 不是的“和谐式”； （2）①是的“和谐式”，且关于的“和谐值”是1， ， ，， ， ， ， ②， 为整数，且的值也为整数， 是的因数， 可能是：，， 的值为：2、4、0、6， 且都满足； （3） ∵是的“和谐式”， ∴设 ∴ ∴ 解得 ∴． ∴关于的“和谐值”是． 32．（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，，，则M与N互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”k；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求P所代表的代数式； ②若分式D的值为正整数，求正整数x的值． 【答案】(1)A与B互为“和整分式”，“和整数值”. (2)①，②1 【知识点】分式加减乘除混合运算、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了分式的混合运算，解分式方程，理解题意是解此题的关键． （1）先计算，再根据结果即可得解； （2）①求出，结合题意得出，计算即可得解；②先求出，再结合题意计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∴A与B互为“和整分式”，和“整数值”； （2）解：，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整数值”， ∴，即， ∴； ②∵， 若分式D的值为正整数， ∴或， 解得或（舍去）， ∴正整数x的值为1． 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东济宁·期中）若分式的值为0，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值为0的条件．根据分式的值为0的条件，列式求解即可．分式的值为0的条件是：（1）分子等于0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 2．（24-25八年级上·四川泸州·期末）若关于的方程无解，则的值是（   ） A．2 B．0 C．2或 D．2或0 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解，掌握分式方程的解法，理解分式方程无解、增根的定义是正确解答的关键． 将分式方程去分母化为整式方程，再根据分式方程无解，分两种情况，即原方程有增根或整式方程关于的项系数为0进行解答即可． 【详解】解：将分式方程的两边都乘以得， ， 即， 由于分式方程无解， 或分式方程有增根， 或， 即或， 故选C． 3．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先将代入y，再整理，然后根据题意讨论得出答案. 【详解】解：∵， ∴. ∵x和y都是正整数， ∴是正整数， 即是4或8. 当时，； 当时，. 所以y的正整数值是12或15. 故选：C. 4．（25-26八年级上·湖南常德·期中）已知关于的分式方程的解为非正数．则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】该题考查了分式方程，先解分式方程，得到x关于k的表达式，再根据解为非正数（）和分母不为零（）的条件，求k的取值范围． 【详解】解：∵方程， 两边同乘公分母，得：， 展开并简化：， ∴， ∴， ∴， ∵解为非正数， ∴，即，解得：， ∵分母不为零，∴且， 当时，，解得， 当时，，解得， 但，故自动满足，只需， ∴且， 故选：C． 5．（2025·浙江·模拟预测）对于实数，，定义一种新运算“出”为：☆．例如：1☆．则方程☆的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算以及分式方程的求解，解题的关键是根据新定义将方程转化为分式方程，再按照分式方程的解法进行求解． 根据新定义运算将方程转化为分式方程，然后通过去分母、求解整式方程、检验等步骤得到方程的解． 【详解】根据定义，运算，代入，，方程可转化为： ， 化简分母为，方程变为：， 两边同乘（注意，即），得： 解得：， 验证分母，且代入原方程左边为，符合等式．因此解为， 故选：C． 二、填空题 6．（25-26八年级上·山东淄博·期中）若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式为零的条件，掌握分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0是解题的关键． 直接根据分式的值为0的条件列方程求解即可． 【详解】解：∵分式 的值为0， ∴且． 解方程得： 或 ． 又∵ ，即 ， ∴ ． 故答案为． 7．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）若解关于x的分式方程会产生增根，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，进而求出x的值，代入整式方程求出m的值即可 【详解】解：原分式方程去分母得：， 由分式方程有增根，得到， 解得：或， 当时，，即； 当时，，即， 综上，m的值是或． 故答案为：或． 8．（25-26八年级上·北京房山·期中）若分式的值为正整数，则实数m可取的所有整数值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查分式的值为整数时求字母的取值．先对分式进行变形，然后根据分式值为整数的条件来确定m的取值． 【详解】解：∵， ∴是3的因数， ∵分式的值为正整数， ∴或， ∴或， ∵时，原分式无意义，舍去， ∴， 故答案为：0． 9．（2024·湖南株洲·模拟预测）对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了异分母分式的加减，已知式子的值求代数式的值．先利用异分母分式的加减得出，再代入求值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 10．（24-25八年级上·重庆江北·期末）若关于x的分式方程的解为整数，关于y的不等式组有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数m的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解和不等式组的整数解，理解题意是解题的关键． 先分别解分式方程和不等式组，再根据题意求出整数m的值，再求解． 【详解】解：分式方程可化为：， 解得：， ∵分式方程的解为整数， ∴为2的倍数，即m为奇数， 解不等式组，得， ∵关于y的不等式组有且仅有2个偶数解， ∴不等式组的偶数解为：2，0， ， 解得：， 满足条件的整数m的值为、、， 当时，，此时分式无意义，不合题意， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据分式方程的解法计算即可； （2）根据分式方程的解法计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的根； （2）解：， ， 解得：， 当时，， 是增根，分式方程无解． 12．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）先化简分式：，再选取一个使原式有意义的数代入求值． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键，先根据分式的混合运算法则把原式进行化简，再代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵，，即，. ∴当时， 原式． 13．（14-15八年级上·山西·期末）小明在化简时，过程如下： 解：原式 该计算过程有无错误__________．（填有或无）如果有，第__________步开始错误． 请写出正确的计算过程 【答案】有；三，，过程见解析 【分析】本题考查分式的加减运算，观察解答过程知该同学的解答从第三步开始出错；先通分化为同分母的分式相加减．掌握相应的运算法则及公式是解题的关键． 【详解】解：该计算过程有错误，第三步开始错误． 故答案为：有；三； 正确计算过程如下： 原式 ． 14．（24-25八年级下·陕西安康·期中）定义一种新运算：，例：．根据这种运算法则，完成下列各题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的加减计算，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义可得原式等于，据此通分求解即可； （2）根据新定义可得原式等于，据此通分求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， （2）解：由题意得， ． 15．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知关于x的分式方程． (1)已知，求方程的解； (2)若该分式方程无解，试求的值． 【答案】(1) (2)、1或3 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程求参数是解题的关键， （1）将代入，把分式方程去分母转化为整式方程，计算即可求出方程的解； （2）把分式方程去分母转化为整式方程，由于分式方程无解，得到或，解可求得一个的值，将，代入整式方程即可求出另外两个的值． 【详解】（1）解：当，方程为 方程两边同乘得：， 解得：， 检验：把代入最简公分母得： ∴是原分式方程的解． （2）解：方程两边同乘得： 整理得：， ∵原分式方程无解， ∴或， ①当时，； ②当时， 解得：或， 当时，； 当时，； ∴的值可能为、1或3. 16．（25-26八年级上·山东·阶段练习）（1）当a为何值时，关于x的方程无解？ （2）关于x的分式方程的解为非负数，求正整数m的值． 【答案】（1）当、或时，方程无解 （2）、、、 【分析】本题考查了分式方程的无解问题和分式方程的解的应用，解题的关键是掌握分式方程无解的两种情况（整式方程无解或分式方程产生增根）以及分式方程解的取值范围的确定方法． （1）先将分式方程化为整式方程，再分整式方程无解和分式方程产生增根两种情况讨论，求出的值． （2）先解分式方程，再根据解为非负数且分母不为零的条件，确定正整数的值． 【详解】解：（1） 方程两边同乘得： 展开并整理：，即． 当整式方程无解时，，即． 当分式方程产生增根时，增根为或． 把代入，得，解得． 把代入，得，解得． 综上，当、或时，方程无解． （2） 两边同乘得： 展开并整理：，即，解得． 方程的解为非负数，且（即）， ，解得； ，解得． 又是正整数， 的值为、、、． 17．（2024·安徽六安·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式： ； 第2个等式： ； 第3个等式： ； 第4个等式： ； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：__________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字的规律变化，依次观察每个等式，可以用发现规律． （1）观察式子进行仿写第5个等式即可； （2）对题目中给的等式进行比较、归纳，可以发现规律为，第n个等式，左边的分母为，等式右边分母为，分子为．代入再进行验证正确性即可． 【详解】（1）仔细观察每个式子，可得第5个等式：． 故答案为：． （2）猜想：． 证明如下： 左边， 右边， 左边=右边， 猜想成立． 18．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了新定义——“相似方程”“相伴方程”，以及解一元一次方程和解分式方程．熟练掌握相关性质内容，是解题的关键． （1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答． 【详解】（1）解：方程与方程是“相似方程”，理由如下： 解方程得 ， 解方程得 ， 检验：是该分式方程得解． ∴方程与方程是“相似方程” （2）解：∵和是“相伴方程”． ∴ ∵x，y，m均为整数， ∴， ∴， 又∵m为正整数 ∴或 19．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和是_________； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1) (2) (3)或0 【分析】本题考查了真分式及分式的加减法．理解题目给出的定义是解决问题的关键． （1）逆用同分母分式加减法法则，仿照例题求解即可； （2）逆用同分母分式加减法法则，仿照例题求解即可； （3）先把分式化为真分式，再根据值为整数，x的值为整数确定x的值． 【详解】（1）解： ， 答案为：； （2）解： ； （3）解：． 分式的值为整数，且为整数， ， 或0． 20．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）若一个分式只含有一个未知数，分式的分子未知数的次数大于分母未知数的次数，则该分式可拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分如下： 【方法一】原式； 【方法二】设，则． 原式． (1)将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式为____________； (2)任选上述一种方法，将拆分成一个整式和一个分式的和的形式； (3)已知分式的值为整数，求x的值． 【答案】(1) (2) (3)4或2或5或1． 【分析】本题考查用整体思想以及换元思想将一个分子次数比分母大的分式拆分成整式与分式和的形式． （1）根据方法一求解即可； （2）根据方法一求解即可； （3）根据方法一拆分成一个整式和一个分式的和的形式，分类讨论即可． 【详解】（1）． 故答案为：； （2）原式 ； （3）原式 ∵分式的值为整数， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题05分式与分式方程中常见的易错与含参数问题 月录 A题型建模·专项突破 题型一、分式值为0时求值，忽略分母不为0.1 题型二、整式与分式混合运算易错… 3 题型三、自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0.5 题型四、解分式方程不验根7 题型五、求使分式值为整数时未知数的整数值.10 题型六、分式方程无解与增根混淆不清.13 题型七、己知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值…15 题型八、分式混合运算和分式方程中的新定义问题.17 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、分式值为0时求值，忽略分母不为0 1.(24-25八年级下全国课后作业)已知分式- 的值为0，则x的值是 x2+x-2 2.(24-25七年级上上海普陀阶段练习)若分式-4的值为零，则x的值是 x-2 3.(2425八年级下江苏宿迁期中)如果分式- 的值为0，那么x的值为 x+1 4.(2425八年级上江西上饶期中)对于分式产-9 x2-6x+9 '当x时，分式有意义；当x时， 分式无意义；当x时，分式的值为0. 题型二、整式与分式混合运算易错 5.(24-25七年级上上海阶段练习)计算： a-1a-1. 6.(2025-陕西西安.模拟预测)化简m+3- 7) m-4 m-3m2-9 7.(24-25七年级上.上海普陀阶段练习)计算： y-1- 3.y2-4y+4 y+1 y+1 8.(2025陕西榆林.二模)化简： a-2+1 a2-2a+1 2a-4 题型三、自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0 9.(24-25八年级上湖南长沙阶段练习)先化简，再求值： 22x） x2-4 x-2 x-4r+4,其中从-2、0、2中 1/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 选一个合适的数作为x的值代入求值， D.Q425八年级下江苏益城期中)先化商4r+4x 然后从-2≤x≤2中选择一个适当 x+1 的整数作为x的值代入求值. 11.(24-25八年级上山东济宁期中)先化简： 商认-2，山，6选接 个适合的数x代入求值， 12.(24-25七年级上·上海阶段练习)先化简： (2-4。-0-6}产品0再-2,2,3,5冲选-个你 a+3_a）.2a-9 喜欢的a值代入求值. 题型四、解分式方程不验根 13.(23-24八年级下·福建泉州阶段练习)解分式方程： 1).x-1= 2 x-2(x-1)(x-2 23-x+1=1 x-44-x 14.(2025八年级下，全国.专题练习)解方程： 1)1=12 6x-221-3x a话1-习 3 15.(24-25八年级下.全国.单元测试)解下列分式方程： 1)2-3 xx+1: 2)1-212 一三一 x+33-xx2-9 16.(24-25八年级上山东东营阶段练习)解方程. (1x 6=1； 2x-55-2x 3x+2 0 2)x-1xx-1） 题型五、求使分式值为整数时未知数的整数值 17.(2425八年级下，全国课后作业)若分式2的值为整数，求整数x的值. x+1 18.(24-25七年级上·上海青浦阶段练习)阅读下列材料，解决问题： 2/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将 分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式. 例如：将分式X-x+3拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加. x+1 x2-x+3-x2+x-2x-2+5=x2+x+-2x-2+5 x+1 x+1 x+1x+1x+1-4二2十、3 x+1 1)请将2+5x-20拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式。 x-3 2如果分式2x+5x-20的值是整数，求所有符合条件的整数x的值. x-3 19.（2025八年级下全国，专题练习》使分式2-42的值为整数的整数x的值有多少个？ (x-1)3 请先阅读解题过程，回答有关问题， 因为2x2-4x+2_2x2-2x+1_2x-122 (x-1)3 (x-1)月 (x-1)3x-1 又因为分式的值及x的值均为整数，所以2能整除x1,当x=1时，因为x-1=0,所以分母为零，分式无 意义. 所以x-1可取的值为-2，-1,1,2，相应的x的值为-1,0,2,3，那么，满足条件的x值共有4个. (1)本题的解题思路是 ■2)运用这种解题思路，求出使分式：的值为整数的整数x的值，门 20.(24-25八年级下河南南阳阶段练习)通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而 假分数都可化为带分数，如： 86十22士子=2我们定义：在分式中，对于只含有个字恐的分式 3=3 当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之 为“真分式”. 如=！、之这样的分式就是假分式：3、x这样的分式就是真分式。类似地，假分式也可以化为带分 x+1x-1 x+1x2+11 式（即：整式与真分式的和的形式） 如=x+-2-1-2=x-+x-+1-x+1+ x+1 x+1 x+1'x-1 x-1 x-1 解决下列问题： 1)分式2025是 分式（填“真”或“假”）： x+1 2将假分式一3化为带分式： x-2 3/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3)若分式t-4r+6的值为整数，x为整数，求分式的值. x-2 题型六、分式方程无解与增根混淆不清 21.(2425八年级上四川眉山期末)若关于x的方程x-】=k+1无解，则k的值为 x-2x-1 22.(2425八年级上湖南娄底期末)已知关于x的方程-42=，”有塔根，则m的值为 x-3 3-x 23。(2425八年级上·云南楚雄期末)若关于x的分式方程*++号-3无解，则的值为。 x-1x-1 24.(24-25七年级上上海宝山期末)如果x=-1是关于x的方程+2 a一的增根，那么a的值为 xx+1 x2+x 题型七、已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值 25.(2025四川广安二模)若关于x的方程2x+m+-2=2的解是非负数，则m的取值范围为一、 x-33-x .2425八年级下上海价段练习》关于士的方程牛】”2的解是个正数，那么m的取值范围是 27.(24-25九年级上黑龙江绥化阶段练习)关于x的方程m-3=,x的解为非负数，则m的取值范围 x-1 1-x 是 28.(24-25七年级上上海青浦阶段练习)若关于x的分式方程m-1+,L=2有整数解，则整数m的值 x-2+2-x 为」 题型八、分式混合运算和分式方程中的新定义问题 29.(24-25八年级下江苏无锡阶段练习)阅读理解题. 我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A 长于B的雅如分式4名，gAB2红22x+22+山2，则A是B田 x+1x+1x+1x+1 式”，A关于B的“雅中值”为2 已知分式C江，D,断C是杏为D的雅中式”，若不远，暗游理由：若是，跳出C送 于D的“雅中值”. 4/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2)已知分式M=。 E 92，Vx,M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，x为整数，且M的 3- 值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值. 30.(24-25八年级下山西临汾阶段练习)综合与实践 问题情境 如果我们定义一种运算，可以将一个分式转化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这 个分式为优美分式”.如x+!-1+2=X-+2=1+2,2r-3-2x+2-5_2x+2+-5=2-5 x-1x-1x-1x-1x-1’x+1x+1x+1x+1 x+1 ,则+1和2x3都是优美分式. x- x+1 初步验证 (1)下列各式中，属于“优美分式”的是 (填序号). ①2x+:②3+x,®2x+3, 2x 3 ④2+1 x+2 (2)将。+4+3化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式. a+2 探究应用 （3)当-1≤x≤1时，求3x+10的最小值。 -x+2 31.(24-25七年级上·上海虹口阶段练习)阅读理解题， 我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“和谐式”，这个常数称为A 关于B的“和谐值” 外分成4高8后4》 x+1x+1 2x+2-2,则A是B的“和谐式”，A关于B的和 x+1 谐值”为2， 知分式C2+2,D3x),判断C是香为D的“和谐式”·若不是，请说明理由：若是，请求出C关 于D的“和谐值” 2)知分式M=、E, ,M是N的“和谐式”，M关于N的“和谐值”是1，x为整数，且M的值 3-x 也为整数， ①求E所表示的代数式. ②求所有符合条件的x的值. B。A是B的和瑞武，则A关于的和谐值是 3)已知分式4=-5， (直接写出答案 x-2 即可). 5/9 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 32.(24-25八年级上河北承德阶段练习)定义：如果两个分式M与N的和为常数k,且k为正整数，则称 t+W=1 M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整数值”.例如，M=x, M+N点. 则M与N互为"和整分式”，“和整数值”k=1. 创已脚分式4一会昌8本号，为断4B是香瓦河有整分，者起，华数心 x2+6x+9 若不是，请说明理由； P 知分式云3x一4刀三一，C与D互为“整分心，且“整数值”k=3 r-2 ①求P所代表的代数式： ②若分式D的值为正整数，求正整数x的值. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(2425八年级上山东济宁期中)若分式-的值为0，则() x+1 A.x=±1 B.x=1 C.x=-1 D.x=0 2.(2425八年级上四川的州期末)若关于的方程，2=4无解，则m的值是《) A.2 B.0 C.2或-2 D.2或0 +2,设y= ®。2425八年级上福建福州期末)己知：M2,N +N时，若x是正整数，求 y的正整数值为() A.12或14 B.15或13 C.12或15 D.12或13 4.(2526八年级上湖南常德期中)已知关于x的分式方程+大长=1的解为非正数.则k的取值范围 x+1x-1 是() A司 B.k5号 C.k≥号且k≠1 D.ks且k+-1 5.(2025浙江模拟预测)对于实数a,b,定义一种新运算出"为：a哈b=a+b 例如：1☆ 1-ab 3=1+3=-2.则方程(-2)女x=1的解是（) 1-1×3 A.x=1 B.x=3 C.x=-3 D.x=-1 6/9 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 二、填空题 6.(25-26八年级上山东淄博期中)若分式-9的值为0，则x的值为一 x-3 725-26八年级上江苏苏州阶段练》若解天于x的分式方程之2+”手，)会产生塔很，则m的 值为一 3m-6 8.(25-26八年级上北京房山期中)若分式m十1m-2的值为正整数，则实数m可取的所有整数值是 9.(2024潮南株洲模拟预测)对于任意两个非零实数a、b,定义新运算“*”如下：a*b=」， 例如： b a 3*4=11、1 4312·若x*y=2024,则2024 2的值为 x-y 10.(2425八年级上重庆江北期末)若关于x的分式方程？-+3=，8的解为整数，关于y的不等式组 x-3 3-x yy-11 462有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数m的值之和是一 3y-5≥m 三、解答题 11.(25-26八年级上贵州铜仁期中)解分式方程： ①x+ 2 =3 2x-1'1-2x (2②)1-24 x-1x+1x2-1 12.(25-26八年级上·贵州铜仁期中)先化简分式： 【+小+新+，再选取一个俊原式有意义的 x+1 数代入求值 13.(1415八年级上山西期末)小明在化简 。一a-1时，过程如下： 脾：原式三aa+刂① -a2-(a+(a-(2) a-1 a-1 =a2-(a+1)(a-l)3) =a2-a2+1(4) =K5) 该计算过程有无错误 (填有或无)如果有，第 步开始错误. 7/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 请写出正确的计算过程 14,(2425八年级下碳西安康期中)定义一种新运算：※6=4a-名，例：3※2=4x3-号” 根据这 种运算法则，完成下列各题： (1)计算：(2x-1)※(x+2): ②计算：2，※y-2引-16y y+2 y2-4 15.(25-26八年级上贵州闹仁期中)已知关于x的分式方程，-一十x-x+2x+2, (1)已知m=2,求方程的解； (②)若该分式方程无解，试求m的值. 16.(25-26八年级上山东阶段练习)(1)当a为何值时，关于x的方程 、3 -2-4x中2无解？ ax (2)关于x的分式方程m+2=-,3的解为非负数，求正整数m的值 x-1 1-x 17.(2024安徽六安模拟预测)观察以下等式： 12 第1个等式： 1-1= -1； 1+11+1 第2个等式： 1-1=2 -2: 2+12+1 第3个等式： 1-1= 32 -3: 3+1 3+1 1 42 第4个等式： 4+114+14: -1= … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： (2)写出你猜想的第n个等式（用含的式子表示），并证明. 18.(24-25八年级上·贵州铜仁期中)对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解， 则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”. ①判断方程6-41-x)=2x与3x--4是否为相似方程，并说明理由， x+2 (2)己知关于x,y的二元一次方程y=mx+6和y=x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值. 19.(23-24八年级下江苏连云港期中)分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分 母的次数，称这样的分式为真分式.例如，分式3。，3是真分式。如果分子的次数不低于分母的次 x+2'x2+5x 8/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 数，称这样的分式为假分式.例如，分式一4，是假分式。一个假分式可以化为一个整式与一个真分 x+2'x- 式的和，例如， x-4=x+2)-6=1-6 x+2x+2 +2 Q)将假分式x+2化为一个整式与一个真分式的和是 x-2 (②将假分式2x-3化为一个整式与一个真分式的和， x+1 ③)若分式的值为整数，求整数x的值。 x+1 20.(23-24七年级下·安徽安庆阶段练习)若一个分式只含有一个未知数，分式的分子未知数的次数大于分 母未知数的次数，则该分式可拆分成整式与分式和的形式，例如将4-4拆分如下： a-1 选】原武9-2012+2-3a-少-2a-30--24-3。分 a-1 a-1 【方法二】设a-1=t,则a=t+1. 原式=+-4+D_-21-3=1-2-3=a-1-2-3= t a=a-3-3 a-1 将分式3m+7拆分成一个整式和一个分式的和的形式为 2任选上述一种方法，将心+6+拆分成一个整式和一个分式的和的形式： n-1 ③)已知分式-7x+10的值为整数，求x的值。 x-3 9/9