专题03 分式的混合运算和新定义型问题（7大题型）（专项训练）数学人教版2024八年级上册

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03分式的混合运算和新定义型问题 目录 A题型建模·专项突破 题型一、分式的混合运算问题… 题型二、分式的混合运算先化简求值问题 5 题型三、分式的混合运算错解复原问题…。 .8 题型四、分式的混合运算规律探究问题… .12 题型五、分式的混合运算新定义型问题 16 题型六、分式的混合运算假分数问题… .22 题型七、分式的混合运算“倒数法”求值问题… 26 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、分式的混合运算问题 1.(25-26八年级上江苏苏州·期中)计算： (1) 2x 2y x-yx-y 2.(25-26九年级上·黑龙江大庆期中)计算： (1)a a- a-11-a a}d4 x-1 3.(25-26八年级上北京延庆·期中)计算： 0①5a+3b2a a2-ba2-b29 (x+3x-1）x 2g-3xx-6x+9)x-9 4.(25-26八年级上山东聊城阶段练习)计算： 〔】 24-30÷a-3a+1 a2+aa2-1a-1 ③+1x+1+x x-2x-22-x 1/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 a2-2a+1 a+2 题型二、分式的混合运算先化简求值问题 5.(25-26九年级上广东揭阳·期中)先化简，再求值： 3-3x）x2-4 其中x=4. x-2'x2-4x+4 a2-4 6.(25-26九年级上广东肇庆期中)先化简，再求值： 1） 2 a2-4a+42-aa-2a’其中a2=10-3a. 7.(25-26八年级上湖南益阳期中)先将m-1 m+4m+4m+十2心化简，再从L2,2四个数字选取 m-1 一个你认为合适的m的值代入求值. 8226九级上庆万州期D先化面，雨求值：广822心满园 x2+4x-3=0. 题型三、分式的混合运算错解复原问题 9.(2025江西模拟预测)下面是小红同学进行分式化简的过程： 化简 ·····…第一步 -第步 =x-1 …第三步 2x (1)小红同学的化简过程从第步开始出现错误： (2)请写出正确的化简过程，并从-1,0,1,2中选择合适的数作为x的值代入求值. 10.(24-25八年级下广东深圳期末)小坪在计算下题时发现计算结果与答案不同，解答过程如下： 先化简，后求值：x-2-x+4,其中-1<r<3,任选一个合适的整数作为x的值代入 x-2 解：原式-(x-2xx+40 x-2x-2 =x2-4x+4-x2+4x② x-2 -4③ x-2 2/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4 当x=1时，原式= =-4④ 1-2 请帮助小坪找出错误步骤（一步即可），并写出正确的解答过程， (1)小坪在第 步出错，错误原因是 (2)请在下方写出正确解答过程. 11.(2025·江西吉安·二模)在化简 文+x9的过程中，小明、小红同学分别给出了如下的部分 x+3x-3 运算过程： 小明：原式 x(x-3) xx+3)1x2-9 (x+3)(x-3)(x+3)(x-3) x 小红：原式=x-9 xx2-9 x+3 x x-3 x (①)小明解法的依据是 小红解法的依据是 (填序号) ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律 (2)试选一种解法，写出完整的解答过程. 12.(24-25八年级下·山西长治期中)(1)下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任 务 异分母的分式加减法回顾与反思【回顾】今天我们学习了异分母的分式加减法，其基本思路是将异分母分 式通过通分转化为同分母分式，再进行加减运算， 下面是我在课堂上化简分式2，，a1的过程： a2-1a2-2a+1 2 a-1 解：原式= (a+1a-)(a-第-步 2 1 第二步 (a+1)(a-1)a-1 2 a+1 第三步 (a+1)(a-1)(a+1)(a-1) =2-a+1 (a+a一)第四步 3-a (a+1a-)·第五步 【反思】在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础 任务： ①以上化简过程中，第三步是进行分式的 ，它的依据是 3/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②上述解题过程中，从第 步开始出现错误，写出正确的化简过程； (2)先化简，再求值： 3 x2-4x+ x+1 x+1 ,其中x=-2. 题型四、分式的混合运算规律探究问题 13.(24-25八年级上江西南昌期末)观察以下等式： 第1个等式： 2 第2个等式： 引 第3个等式： 第4个等式： 7 1+2=2- -×1+二 64 第5个等式： … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式：- (2)写出你猜想的第n个等式_（用含n的等式表示），并证明. 14.(2025安徽六安模拟预测)观察下列各个等式的规律： 第1个等式： 121 1x2x332 第2个等式： 131 2×3×4831 1 41 第3个等式： 3x4x51545 151 第4个等式： 4×5×6245 … 用上述等式反映的规律，解答下列问题， (1)请直接写出第5个等式： (2)猜想第n个等式（用含的代数式表示），并证明其正确性. 15.(24-25九年级下.安微准南·开学考试)观察下列等式： 第1个等式：x2 111, 1 1=2 4/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 第2个等式*写+1号 111 39 第3个等式：3X43 根据以上规律解答下面问题： (1)直接写出第4个等式： (2)猜想出第n个等式（用含的式子表示），并证明. 16.(2025安徽蚌埠.一模)【观察思考】 观察下列等式： 第1个等式： 》片第2个式 第3个等式： 13305 ；第4个等式： 1342_6 42434 5354=5 【规律发现】 (1)第5个等式是-： (2)猜想第n个等式是_（用含n的代数式表示）： 【规律论证】 (3)请证明猜想的第n个等式. 题型五、分式的混合运算新定义型问题 17.(24-25八年级下河南新乡.期中)定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即A-B=AB,则称分 式B是分式A的“关联分式” 例如：1与1 x+1x+2 11 11 ”x+1x+2(x+1)(x+2)'x+1x+2(x+1)(x+2)' 1是1的“关联分式” x+2 x+1 a2则2 1)已知分式2 一的"关联分式”（填“是”或"不是”）： a2+1 a2- 2求分式a-b的关联分式”； 2a+3b (3)观察(1)(2)的结果，寻找规律，直接写出分式上的“关联分式”： 18.(24-25七年级下.全国课后作业)定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形 5/12 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 式，则称这个分式为“和谐分式” 言、、一无式代。三x2x十】≥.大为 p? 其中属于“和谐分式”的是（填序号）； 2)将"和谐分式”4-20+3化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式： a-1 3)化简3x+6_x-1.x2-1 若该式的值为整数，求x的整数值. x+1 x x2+2x 19.(24-25八年级上贵州铜仁期中)定义：若两个分式的和为n(n为正整数)，则称这两个分式互为“n阶 分式”，例如： 33x3+江0+3，圆分式与为3阶分式 1+x1+x1+x1+x 1)分式，15与10x互为”阶分式： 3+2x3+2x1 ②数y满起子求分式专，为2阶分武式酒 3)若分式a 2b互为1阶分式”（其中a,b均为正数），求b的值. a+46与2+2b 20.(24-25八年级下·湖南衡阳阶段练习)定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即A-B=AB,则 称分式是分式A的分裂分式”如中与中因为 +1+2++2可'x+*2++2,所以3是的分裂分式 11 1 1 x+2x+1 ()填空分式1 分式1的“分裂分式”（填是"或“不是”） +3 x+2 2)分式x+3是分式A的分裂分式”.求整数x为何值时，分式A的值是正整数，并写出分式A的值. 3x+3 3倒若关于x的分式+2是关于的分式m-1的分裂分式，求的值 mx+m2+n mx+n2 题型六、分式的混合运算假分数问题 21.(2425八年级上·辽宁期末)分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次 服，称这样的分式为真分式，例面：分式一，是真分式。知果分子的次数不低于分母的次数，称这 样的分式为假分式.例如：2-2+2x-2x-2x(x+0-2x=2x-2x+2-2=2x-2+2 x+1x+1 x+1x+1 x+1 x+1 1将假分式4x+化为一个整数与一个真分式的和 6/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2)若x是整数，且假分式。，的值为正整数，求x的值， t-2 B)若段分式4+7-3化为一个整式与一个真分式的和的形式为4+日4，B均为关于x的多项式，若 1 x+2 A=4a-9,B=b-10,求a2+b2+ab的最小值. 22.(24-25八年级上山东济宁.期末)阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之 为“假分式”，例如：-，。这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真 x+1'x+2 分式”，例如：，二这样的分式就是真分式。我们鬼知道，假分数可以化为市分数，例如： x+1 8_3×2+2=32.类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： 3 x2+2x-1x(x+2)-1 1 x+2 x+2 x+2习 x2(x2+2x-2xxx+2)-2x-4+4_xx+2)-2(x+2)+4 x+2 x+2 x+2 x+2 =x-2+4 x+2 请根据上述材料，解答下列问题： 1)填空：①分式2是」 分式（填“真”或“假”）. x+2 ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： x2-3x+5 x-3 2把分式+2x-13化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为 x-3 整数. 23.(24-25八年级上山东滨州·期末)阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”.而假分数都可化为带分数，如： 2+号我定义：在分式中，对于只含有一个字得的分元，当分的次数大于纹等于分 31 3 的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式” 如：-，×这样的分式就是假分式；再如： x+1x-1 3,2x这样的分式就是真分式。类似的，假分式也可以 x+1'x2+11 化为带分式（即：整式与真分式的和的形式） 如：xx+-2-1-2 x+1+1x+7 再如：￡=-1+1-+x-+1=x+1+ x-1x-1 x-1 x-1 7/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解决下列问题： 1)分式x-1是 (填“真分式”或“"假分式”)： x+2 2)如果分式2x+1 的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值. x+1 B把分式5+9x-3化成一个带分式（即：整式与真分式的和的形式），体现化简过程。 x+2 题型七、分式的混合运算“倒数法”求值问题 24.(24-25八年级上·内蒙古呼和浩特期末)阅读下面的解题过程： F行行求的能 已知：x-1 x4+1 解：由x=1 2+13,可知x≠0， +1-3,即x+=3① 放的值为号 x4+1 2 -2运用了公式：；（要求：用含a、b的式子表示） (2)上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 1 已知：F-3+4求 x2 一的值； x4+7x2+ B)已知：b=1,bc=-1ac=1 abc a+b2024'b+c2025'a+c-2026,求。 一的值 +bc+a 中行求的 25.(24-25八年级上山东淄博阶段练习)（一）操作发现：阅读下列解题过程：已知-x=, x4+1 值 解：由分知0，所以1-3，即x3 、、、1x2+4》2 x2x+3 -2=32-2=7, 的值为7的倒数，即号 x4+1 以上解法中先将己知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数 8/12 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 法”， (二)实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已斯月求 的值。 x-x2+1 (三)问题解决： 已知：ah=2,ca=3,bc-6 a+b3'c+a4方+e5求代数式a+b+c的值. 26.(24-25八年级上山东烟台期中)阅读下面的解题过程： 已知x1 行求的值 x4+1 解：由吉知0，所以-即x+止5 所以的值为23 1 x4+1 该题的解法叫倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： 知行求子的值， (1)已知x-1 x4+1 的值； x4+x2+4 3)拓展：已知少=-，2=，2：上 x十2”y+z6’x+z10’水xy+2+红的值 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(2024湖北模拟预测)己知x2+5x+1=0,则 小45的值为( A.-1 B.1 C.2 D.3 2.(2025河北唐山二模)下面是嘉淇在学习了分式的运算后完成的作业：①2÷mx1=2:② m L-1=0,③+0-，a+1÷a-=01=1:如果你作为老师对嘉淇的作业进行批改，那 x-y v-x a2-1a2+2a+1a+1a-1a-1 么他做对的题数是() 9/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.(24-25八年级下·重庆期中)若定义三个函数分别为：G(x=x2-9x,F(x=2x2-3x-2, T(x)=-2 下列结论：①F(x-G(x)的最小值为-1Ⅱ，②若G(7T四为整数，则满足条件的整数x的 x-3 Fx =2时， 4r+7x产+4g·其中正确的个数是（) x2 1 个数为7个；③当 T(x) A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题 4.(2526八年级上山东淄博阶段练习)化简m-3m的结果是一 9-m2 计6的 果是 5.(25-26八年级上山东聊城阶段练习)若常数M,N满足3a--M+N,则M:-N: a2-1a-1a+1 6.(24-25八年级上辽宁期末)定义新运算：α⊕6=。+方：若a6-b=3,则的值是 2a-2b 三、解答题 7.(25-26八年级上山东聊城阶段练习)化简： 2x 2y (1) x-yx-y 3 2x+4 (2②x-4x+4x-4 (3) 36x x-3x2-99 2.a-1 《4)二4-a+2÷a2-4 a+2 8.(25-26八年级上贵州铜仁阶段练习)先化简，再求值： g日4 其中a是 -1,0,1,-2中选取一个合适的数代入计算 9.(25-26九年级上·重庆沙坪坝期中)先化简： 3。ta-2 、a+ 。2-20+1,再从-2,1,5三个数中选取 a+2 一个合适的数值作为a的值代入求值. 10.(25-26八年级上·湖南岳阳阶段练习)下面是某同学计算 -a-1的解题过程： a-1 解：a -a-1 a-1 10/12 专题03 分式的混合运算和新定义型问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、分式的混合运算问题 1 题型二、分式的混合运算先化简求值问题 5 题型三、分式的混合运算错解复原问题 8 题型四、分式的混合运算规律探究问题 12 题型五、分式的混合运算新定义型问题 16 题型六、分式的混合运算假分数问题 22 题型七、分式的混合运算“倒数法”求值问题 26 B综合攻坚・能力跃升 题型一、分式的混合运算问题 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了分式的加减乘混合运算，解题的关键是掌握同分母分式减法法则、分式乘法法则，以及“先括号后乘除”的运算顺序，运算中注意因式分解与约分简化过程． （1）利用同分母分式减法法则，分子相减、分母不变，再对分子因式分解后约分； （2）先计算括号内的减法，通分转化为同分母分式运算，化简后与括号外分式相乘，通过因式分解约分得出结果． 【详解】（1）解： （2）解： 2．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减运算和分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式运算的法则，注意符号的处理和因式分解的应用． （1）先将分母化为相同，再进行分式的加减运算，最后约分； （2）先对括号内的分式进行通分计算，再对分母进行因式分解，然后进行分式的乘法运算并约分． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（25-26八年级上·北京延庆·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键． （1）利用同分母分式减法运算法则计算，并且因式分解、约分，即可求解； （2）先把括号内的分式通分，然后再按照分式的混合运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（25-26八年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)a+1 (3)x (4) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算规则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再按照分式乘除法即可求解； （2）根据分式乘除法运算法则计算即可； （3）根据分式加减法运算法则计算即可； （4）先对括号里进行通分相减，再把除法运算化为乘法运算，最后计算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解： ； （4）解： ． 题型二、分式的混合运算先化简求值问题 5．（25-26九年级上·广东揭阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的混合运算，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．先进行括号内分式的减法，再计算分式的乘除法，然后代入求值即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 6．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先化简原分式，根据得到，代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 7．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）先将化简，再从四个数字选取一个你认为合适的m的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，提公因式，熟练掌握运算法则是解本题的关键，注意去m的值时要使原式有意义． 根据分式的乘除运算法则将原式化简，取一个使原式有意义的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵ ∴且 ∴m的值取2， 则原式 8．（25-26九年级上·重庆万州·期中）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解决本题的关键是根据分式的运算法则把分式化简，根据，可得，然后再整体代入化简后的代数式求值． 【详解】解： ， ， ， 原式． 题型三、分式的混合运算错解复原问题 9．（2025·江西·模拟预测）下面是小红同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式 第一步 第二步 第三步 (1)小红同学的化简过程从第 步开始出现错误； (2)请写出正确的化简过程，并从，，，中选择合适的数作为的值代入求值． 【答案】(1)一； (2)，． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，在求分式的值时，所选取的字母的值一定要使原分式有意义． 根据平方差公式可知，所以第一步中除式的分母分解因式错误； 根据分式的运算法则计算，可得：原式，根据分式有意义的条件可知只能选，把代入化简后的分式计算求值即可． 【详解】（1）解：， 第一步中除式的分母分解因式错误， 小红同学的化简过程从第一步开始出现错误； 故答案为：一； （2）解： ， 分式的分母不为，除式不为， ，，， ，，， ， 当时， 原式 ． 10．（24-25八年级下·广东深圳·期末）小坪在计算下题时发现计算结果与答案不同，解答过程如下： 先化简，后求值：，其中，任选一个合适的整数作为x的值代入． 解：原式① ② ③ 当时，原式④ 请帮助小坪找出错误步骤（一步即可），并写出正确的解答过程． (1)小坪在第________步出错，错误原因是________． (2)请在下方写出正确解答过程． 【答案】(1)②，括号前面是负号，去括号时没改变符号 (2)见解析 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据解题过程即可得出结论； （2）根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：小坪在第②步出现错误，错误的原因是：括号前面是负号，去括号时没改变符号， 故答案为：②，括号前面是负号，去括号时没改变符号； （2）解： ， ∵且x为整数， ∴，1，2， ∵， ∴， ∴当时，原式； 当时，原式． 11．（2025·江西吉安·二模）在化简的过程中，小明、小红同学分别给出了如下的部分运算过程： 小明：原式 … 小红：原式 … (1)小明解法的依据是______________，小红解法的依据是______________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律 (2)试选一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)②；③ (2)见详解 【分析】本题考查分式的化简运算，涉及分式的基本性质和乘法分配律的应用． （1）小明的解法是通过通分进行，依据分式的基本性质；小红的解法是直接分配乘法，依据乘法分配律． （2）根据两种方法，分别运用分式的基本性质和乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解:小明解法的依据是分式的基本性质，小红解法的依据是乘法分配律， 故答案为②；③． （2）解：选择小明： 原式 选择小红： 原式 12．（24-25八年级下·山西长治·期中）（1）下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 异分母的分式加减法回顾与反思【回顾】今天我们学习了异分母的分式加减法，其基本思路是将异分母分式通过通分转化为同分母分式，再进行加减运算． 下面是我在课堂上化简分式的过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 【反思】在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： ①以上化简过程中，第三步是进行分式的______，它的依据是______； ②上述解题过程中，从第______步开始出现错误，写出正确的化简过程； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）①通分，分式的基本性质；②四，见解析；（2） 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减运算是解题的关键． （1）①根据题中的步骤可知第三步是通分，再根据分式的基本性质即可得出答案； （2）根据异分母运算法则判断，然后按照先通分在加减的运算法则即可得出答案； （3）根据分式混合运算法则化简，然后再代入求值即可得出答案． 【详解】解：（1）①以上化简过程中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质； 故答案为：通分；分式的基本性质 ②上述解题过程中，从第四步开始出现错误， 故答案为：四； 正确化简过程如下： 原式 （2）原式 ， 当时，原式． 题型四、分式的混合运算规律探究问题 13．（24-25八年级上·江西南昌·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：． … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式 （用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、分式加减乘除混合运算、数字类规律探索 【分析】本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来． （1）根据前五个式子的规律写出第六个式子即可； （2）观察各个式子之间的规律，然后作出总结，再根据等式两边相等作出证明即可． 【详解】（1）解：由前五个式子可推出第7个等式为：； （2）解：根据已知的五个式子可以得出一般规律： ， 证明：∵左边右边， ∴等式成立． 14．（2025·安徽六安·模拟预测）观察下列各个等式的规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 用上述等式反映的规律，解答下列问题． (1)请直接写出第5个等式：________． (2)猜想第个等式（用含的代数式表示），并证明其正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】分式加减乘除混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的猜想并加以证明． （1）根据题目中给出的等式，可以写出第5个等式； （2）根据题目中的式子，可以猜想出第个等式，并加以证明． 【详解】（1）解：由题意可得， 第5个等式是， 故答案为：； （2）解：， 证明：右边， 等号左边等于等号右边的式子， ． 15．（24-25九年级下·安徽淮南·开学考试）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 根据以上规律解答下面问题： (1)直接写出第4个等式：__________； (2)猜想出第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)第个等式是，见解析 【知识点】分式加减乘除混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了规律型中数字的变化类，分式的混合运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题干几个等式，即可找到规律求解； （2）对等式左边进行分式的混合运算，化简求证即可． 【详解】（1）解：由题意得，第4个等式为， 故答案为：； （2）解：第个等式是，理由如下： 证明： ， ∴． 16．（2025·安徽蚌埠·一模）【观察思考】 观察下列等式： 第1个等式： ；第2个等式：  ； 第3个等式： ；第4个等式：  ； 【规律发现】 （1）第5个等式是 ； （2）猜想第 n个等式是 (用含 n的代数式表示)； 【规律论证】 （3）请证明猜想的第 n个等式． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【知识点】分式加减乘除混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字规律、有理数混合运算、整式混合运算，分式的运算等知识；解题的关键是熟练掌握分式的减法法则，从而完成求解． （1）根据题意规律，结合有理数混合运算的性质计算，即可得到答案； （2）结合题意，根据数字规律、分式混合运算的性质分析，即可得到答案． （3）根据分式的混合运算计算等式左边，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意可得：第5个等式是： 故答案为：． （2）猜想第 n个等式是． 故答案为：． （3）证明：等式左边 左边=右边， ∴等式成立． 题型五、分式的混合运算新定义型问题 17．（24-25八年级下·河南新乡·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“关联分式”． 例如：与 ，， 是的“关联分式”． (1)已知分式，则__________的“关联分式”（填“是”或“不是”）； (2)求分式的“关联分式”； (3)观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________． 【答案】(1)是 (2) (3) 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查用新定义解决数学问题，熟练掌握分式混合运算法则是求解本题的基础． （1）根据关联分式的定义判断； （2）仿照和谐小组成员的方法，设的关联分式是N，则，求出N即可； （3）根据（1）（2）的结果找出规律，再利用规律求解． 【详解】（1）解：∵， ， ∴是的“关联分式”． 故答案为：是； （2）解：设的关联分式是N，则： ， ∴， ∴ ∴； （3）解：由（1）（2）知：的关联分式为：． 故答案为：． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． (1)给出下列分式：①；②；③；④．其中属于“和谐分式”的是_______（填序号）； (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)化简．若该式的值为整数，求x的整数值． 【答案】(1)①③④ (2) (3) 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式有意义的条件 【分析】本题主要考查新定义运算，分式的混合运算法则，理解“和谐分式”的定义，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据分式加减运算法则，再根据“和谐分式”的定义进行判定即可； （2）根据分式加减运算法则，再根据“和谐分式”的定义进行判定即可； （3）先根据分式的混合运算法则先化简得，再根据该式的值为整数，得到或，最后根据分式有意义的条件得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：①，属于“和谐分式”； ②，不属于“和谐分式”； ③，属于“和谐分式”； ④，属于“和谐分式”； ∴属于“和谐分式”的是①③④， 故答案为：①③④； （2）解： ． （3）解： ． ∵该式的值为整数， ∴或， 解得或或1或． 又∵， ∴， ∴． 19．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如： ，则分式与互为“3阶分式”． (1)分式与互为“________阶分式”； (2)已知正数x，y满足，求证：分式与互为“2阶分式”； (3)若分式与互为“1阶分式”（其中a，b均为正数），求的值． 【答案】(1)5 (2)详见解析 (3) 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了新定义，分式的化简，解分式方程等知识点，弄清题中的新定义的含义是解决此题的关键． (1)根据新定义计算即可得解； (2)将代入得，求证计算结果为2即可； (3)列出等式,再根据分式的运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：， 分式与互为“5阶分式” 故答案为：5； （2）证明：把代入得， , 与互为“2阶分式”； （3）解：分式与互为”1阶分式”, , , ,即, 又为正数， ， 的值为． 20．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“分裂分式”．如与，因为，所以是的“分裂分式”． (1)填空：分式___________分式的“分裂分式”（填“是”或“不是”）； (2)分式是分式的“分裂分式”．求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值． (3)若关于的分式是关于的分式的“分裂分式”，求的值． 【答案】(1)是 (2)时，；时，；时， (3) 【知识点】分式加减乘除混合运算、构造二元一次方程组求解 【分析】（1）根据“分裂分式”的定义进行判断即可； （2）先根据“分裂分式”的定义列式求得分式A的表达式；再根据整除的定义进行求解即可； （3）设关于的分式的“分裂分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“分裂分式”，得出，求出即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式是分式的“分裂分式”； 故答案为：是； （2）解：∵分式是分式A的“分裂分式”， ∴， ∴， ∴ ； ∵整数使得分式A的值是正整数，， ∴时，， 时，， 时，； （3）解：设关于的分式的“分裂分式”为M，则： ， ∴ ， ∵关于的分式是关于的分式的“分裂分式”， ∴， 整理得：， 解得：． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 题型六、分式的混合运算假分数问题 21．（24-25八年级上·辽宁·期末）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如：． (1)将假分式化为一个整数与一个真分式的和； (2)若x是整数，且假分式的值为正整数，求x的值； (3)若假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为，A，B均为关于x的多项式，若，，求的最小值． 【答案】(1) (2)或4或6 (3)75 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的性质、分式的化简、分式的加减等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）仿照例题操作即可得解； （2）先将化成一个整式和真分式的和，再看真分式是整数即可得解； （3）先将式化成A的形式，再得到a和b的式子，进而利用完全平方式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵为正整数，， ∴， ∴， ∵， 又，且为整数，为正整数， ∴或2或4， ∴或4或6； （3）解： ， ，， ，， ，， ，， ， ， 当，即时，有最小值75， 的最小值为75． 22．（24-25八年级上·山东济宁·期末）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______+______． (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． 【答案】(1)①真；②x，； (2)，或或或 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）①根据真分式的定义判断即可；②根据材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数x的值； 【详解】（1）①分式中，分子2可看作，最高次数是；分母的最高次数是 ，分子的最高次数低于分母的最高次数， ∴分式是真分式； ② ； 故答案为：真；x，； （2）解： ， ∵这个分式的值为整数， ∴或或或， 或或或. 23．（24-25八年级上·山东滨州·期末）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式） 如：； 再如：． 解决下列问题： (1)分式是_______（填“真分式”或“假分式”）； (2)如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． (3)把分式化成一个带分式（即：整式与真分式的和的形式），体现化简过程． 【答案】(1)假 (2)或 (3) 【知识点】分式的判断、分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了分式的加减法、分式的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由假分式的定义即可判断得解； （2）依据题意得，结合题意可得从而求出结果； （3）根据题意化简即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，∵当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”， ∴分式是假分式． 故答案为：假； （2）由题意得：， 分式的值为整数， ． 或； （3）． 题型七、分式的混合运算“倒数法”求值问题 24．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由，可知， ，即① ②， 故的值为． (1)第②步运用了公式：______；（要求：用含a、b的式子表示） (2)上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值； (3)已知：，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算以及倒数法的应用，读懂题意并能正确应用倒数法解题是关键． （1）由完全平方公式变化得到结果； （2）仿照示例，应用倒数法，可求得结果； （3）先分别求出的值，应用倒数法，即可得到结果． 【详解】（1）解：或； （2） ； （3） ． 25．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）（一）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， （二）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值． （三）问题解决： 已知：．求代数式的值． 【答案】实践探索：；问题解决：6 【知识点】倒数、通过对完全平方公式变形求值、分式的求值、分式加减乘除混合运算 【分析】实践探索：把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； 问题解决：得出，，，求出，得出，，，再求出结果即可． 【详解】实践探索：解：由，知， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴的值为61的倒数，即． 问题解决：由可知：，，， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴，，， ∴． 26．（24-25八年级上·山东烟台·期中）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，，，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思路，仿照例题的解题思路解题． 根据可得，根据求出的值，可得； 仿照例题先求倒数可得：，根据可求的值，可得； 仿照例题求倒数可得：，，，可得，所以可得，利用倒数法可得． 【详解】（1）解：，可知， ， ， ， ； （2）解：，可知， ， ， ， ， ； （3）解：，，，可知，，， ，，， ，，， ， ， ， ． 一、单选题 1．（2024·湖北·模拟预测）已知，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则以及运用整体代入的思想．由可得，再将分式化简后整体代入求解即可． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 2．（2025·河北唐山·二模）下面是嘉淇在学习了分式的运算后完成的作业：①；②；③；如果你作为老师对嘉淇的作业进行批改，那么他做对的题数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．运用分式的乘除法法则、分式的加减法法则逐个运算，得出正确结论，即可判断． 【详解】解：解：①，嘉淇同学解法错误； ②，嘉淇同学解法错误； ③ ，嘉淇同学解法正确； 则嘉淇同学做对的有1个， 故选：B． 3．（24-25八年级下·重庆·期中）若定义三个函数分别为：，，，下列结论：①的最小值为；②若为整数，则满足条件的整数的个数为个；③当时，．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】①由，可判断①； ②把化简得，然后根据为整数，为整数，可判断②； ③由得，然后把变形，可判断③． 【详解】解：①∵，， ∴ ， ∴的最小值为，故结论①正确； ②∵，， ∴， ∵为整数，为整数， ∴，，，，，，，， ∴，，，，，，，， ∵， ∴，，，，，，共个，故结论②正确； ③∵，，， ∴，即， ∴，即， ∴ ， 故结论③错误． 综上所述，正确结论为①和②，共个． 故选：C． 【点睛】本题考查整式的加减，完全平方公式，分式的化简求值等知识点，掌握相应的运算法则是解题的关键． 二、填空题 4．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）化简的结果是 ．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质、分式的化简以及分式的混合运算．第一空先对分子分母分别因式分解得，再约去公因式即可得结果；第二空先对括号内的式子进行通分计算，再将除法转化为乘法进行约分计算即可得结果． 【详解】解：， ． 故答案为：，． 5．（25-26八年级上·山东聊城·阶段练习）若常数 M， N满足 则 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，平方差公式的运用，通过部分分式分解，将右边通分后与左边比较分子，利用系数比较法得到关于M和N的方程组，进而求解的值． 【详解】解：由分式等式 ， 右边通分得：与左边分母相同，故分子相等：， 展开右边：， 因此，得到恒等式：， 比较系数：， 则：， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·辽宁·期末）定义新运算：，若，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查代数式求值，读懂题意，得到是解决问题的关键． 根据新定义的运算，由得到，代入代数式求解即可得到答案． 【详解】解：， ，即， ， 故答案为：． 三、解答题 7．（25-26八年级上·山东聊城·阶段练习）化简： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1)2 (2)； (3)； (4)． 【分析】此题考查分式的混合运算，熟练掌握分式运算法则是解题的关键： （1）根据同分母分式减法法则计算； （2）先将分子、分母因式分解，再根据分式乘法计算； （3）根据异分母分式减法法则计算； （4）根据分式混合运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 8．（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段练习）先化简，再求值：，其中是中选取一个合适的数代入计算． 【答案】，3 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，平方差公式的运用，根据平方差公式计算化简除号前面的式子，通分括号里的式子，再将除法变为乘法约分，根据分式有意义的条件得到，再代入求值即可． 【详解】解： ， ，，， ，，， ， 当时，原式． 9．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期中）先化简：，再从，1，5三个数中选取一个合适的数值作为a的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据运算法则正确化简分式，利用分式有意义的条件排除不合适的数是解答本题的关键．把括号内通分，并将除法转换成乘法约分化简，根据分式有意义的条件得到，然后将适合的数值代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴原式． 10．（25-26八年级上·湖南岳阳·阶段练习）下面是某同学计算的解题过程： 解： ……① ……② ……③ ……④ 上述解题过程从第______步开始出现错误，写出正确的解题过程． 【答案】①；正确解答过程见解析 【分析】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键； 先将写成，再通分计算即可． 【详解】 ， ， ， ， ． 11．（25-26八年级上·河北沧州·阶段练习）一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式，化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)已知，均为正整数，，，且，均为正数．若，请求出，的值． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查了分式的化简， 对于（1），将化成，即可得出整数和分式和的形式； 将化成，即可得出整式和分式的和的形式； 对于（2），先把M，N化成整数和分式的和的形式，再根据，可得， 然后令，，可得，再讨论a，b的值可得答案. 【详解】（1）解：． ； （2）解：，， 因为，所以， 即， 令，，则， ， ， ， ， ，均为正数，，均为正整数， ，为正整数， 或或 当时，则，； 当时，则，（舍） 当时，则，（舍）． ，， ，，经检验，符合题意， ，． 12．（25-26八年级上·湖南永州·阶段练习）观察下列算式， 第一个式子；  第二个式子； 第三个式子； 第四个式子；…… 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第n个式子： （n为正整数）． (2) （n，m为正整数且）． (3)若，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的运算，绝对值的非负性，分式的规律性问题； （1）根据题意找出规律即可求出； （2）根据题意找出规律即可求出； （3）由题意得到，，解得，，代入原式，再根据计算即可． 【详解】（1）解：第n个式子为： ， 故答案为：． （2）解：设 ∴ 令，则 令，则 ∴ 故答案为：. （3）解：∵ ∴， 解得， ∴ . 13．（25-26八年级上·湖南常德·期中）定义：若两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“差常分式”，这个常数称为关于的“差常值”．如分式，，则是的“差常分式”，关于的“差常值”为2． (1)已知分式，，判断是否是的“差常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“差常值”； (2)已知分式，，是的“差常分式”，且关于的“差常值”为2． ①求所代表的整式； ②若为正整数，且的值也为正整数，直接写出满足条件的的值． 【答案】(1)是的“差常分式”，理由见解析，关于的“差常值”是 (2)①；②，， 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，准确分析计算是解题的关键． （1）根据“差常分式”的定义，化简求出的值，看值是否是常数且为正数，即可判断； （2）①根据题意可知，，代入得，对该等式进行去分母，移项化简可得：；②把①中求得代入的式子中得：，则因为正整数，且的值也为正整数，即也为正整数，故有：或或，即可得解． 【详解】（1） ， 根据题目中对于“差常分式”的定义， ，且为正数， 是的“差常分式”，且关于的“差常值”是； （2）是的“差常分式”， 且关于的“差常值”为2， ，即， 等式两边同时乘以得：， 移项，整理得：； 所代表的整式为：． ， 为正整数，且的值也为正整数，即也为正整数， 或或， 解得：或或， 满足条件的的值为：，，． 14．（20-21八年级下·江苏·期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如． 解决下列问题： (1)分式是　　（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为带分式； (3)先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)真分式 (2) (3)化简得；当时，该式的值为整数． 【分析】本题考查分式的化简及分式的分离整数法，理解材料并掌握分式的运算是解题关键． （1）根据真分式的定义判断即可； （2）根据材料给出的方法运算即可； （3）先化简，再将分式化为带分式，最后再求解，注意分式有意义的条件． 【详解】（1）解：因为分式的分子次数0小于分母次数1， 所以分式是真分式， 故答案为：真分式； （2）解： ； （3）解： ， ∵是整数， ∴， 解得：或， ∵，，或3时，原分式无意义， ∴， 即当时，该式的值为整数． 15．（25-26八年级上·山东泰安·阶段练习）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ∴ ∴的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思路，仿照例题的解题思路解题． （1）仿照例题先求倒数可得：，根据即可解答； （2）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （3）已知三等式变形后相加求出的值，原式变形后代入计算即可得出答案 【详解】（1）解：∵，可知， ∴， ∴， ∴； （2）由， ∴，即， 则 ； （3）解：依题意，∵，，， ∴ ∴，即 ∵ ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $