精品解析：河北省石家庄市第九中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期八年级中期学情检测数学试卷 一、单选题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分） 1. 下列各式中：，分式的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 2. 若分式有意义，则x的取值是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，若，四个点，，，在同一直线上，，，则的长是（ ）     A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 4. 已知：如图，∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是 （ ） A. AB＝AC B. BD＝CD C. ∠B＝∠C D. ∠BDA＝∠CDA 5. 下列说法正确的是（ ） A. 负数没有立方根 B. 平方根等于本身的数是0，1 C. 无理数包括正无理数、负无理数和零 D. 实数和数轴上的点是一一对应的 6. 下列命题内错角相等，两直线平行；若，则；末位数字是的数，能被整除；对顶角相等．原命题和逆命题均是真命题的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7. 如图，已知，用直尺和圆规按照以下步骤作图： ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点C，D； ②画射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点； ④过点画射线； 根据以上操作，可以判定，其判定的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 1 9. 关于的方程的解是负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. ，且 D. ，且 10. 学习小组设计了一个 “接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学， 他完成一步解答后交给第二位同学， 依次进行， 最后完成计算． 规则是每人只能看到前一人传过来的式子． 接力中， 自己负责的式子出现错误的是 （ ） A. 小明和小丽 B. 小红和小亮 C. 小明和小亮 D. 小丽和小红 11. 如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分的面积为，则空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 对任意非负数，若记，给出下列说法，其中正确的个数为（ ） ①； ②，则； ③； ④对任意大于3的正整数，有． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则的立方根是_____． 14. 如图所示，在边长为的正方形网格图中，点、、、均在正方形网格格点上．图中________． 15. 若，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在段____处（请从①②③④中选择正确答案填在横线上） 16. 如图，在中，、是边、上的两个动点，于点于点．设点、运动的时间是秒．若点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回到点停止运动；点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后停止运动，当__________秒时，和全等． 三、解答题（本大题共8个小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解分式方程： （1） （2） 19. 某同学在化简时，出现错误，错误的化简过程如下．这位同学的错误出现在第______步．请你写出这道题的正确解答过程，并从三个数字中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 解：原式① ② ③ 20. 如图，在和中，点在上，，，，求证：． 21. 如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． （1）正方形的边长的长在两个连续整数________和________之间； （2）如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，点在数轴上表示的数是_______； （3）在（2）的基础上以数2对应的点为折叠点，将数轴向右对折，则点与数______对应的点重合． 22. 阅读下列解题过程： 请回答下列问题： （1）仿照上面的解题过程化简：______； （2）化简：_______； （3）利用上面所提供的方法，求的值． 23. 项目学习方案： 项目情景 数学阅读有助于拓展同学们数学视野，培养逻辑思维，提升解决问题的能力．为了提高学生数学素养，我校图书馆拟购《古今数学思想》、《几何原本》等书籍供同学们阅读． 素材一 我校数学兴趣小组经过市场调查发现3000元可购买《古今数学思想》的数量比《几何原本》多40套，且《几何原本》的单价是《古今数学思想》单价的1.5倍． 任务一 根据题意，数学兴趣小组成员小刚设每套《古今数学思想》的价格为x元，由题意得方程：①　　　； 数学兴趣小组成员小明设②　　　，由题意得方程：． 素材二 数学兴趣小组成员小强发现自己单位时间内可完成m页《古今数学思想》的阅读或完成 页《几何原本》的阅读，并且阅读25页《古今数学思想》的所用时间与阅读10页《几何原本》所用时间相同． 任务二 求m的值． （1）任务一中横线①处应填　　　，横线②处应填　　　； （2）完成任务二． 24. 综合与实践 【基本模型】如图1和2所示，，直线l经过点O（不与，重合），过点A，B作l的垂线，垂足分别为C，D，可以很容易证得，进而得到：． 【模型应用】在图1的基础上，在射线上取一点M，把线段绕点O逆时针转得到、连接．交直线l于点P． （1）如图3，当点M与点C重合时与的数量关系为______； （2）如图4，当点M在的延长线上时，试判断与的数量关系．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：过点N作直线l于E（见下图）．同学们，根据小颖的提示，请你判断与的数量关系，并给出证明． （3）如图5，当点M在线段上时的值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期八年级中期学情检测数学试卷 一、单选题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分） 1. 下列各式中：，分式的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的式子即为分式，需逐一判断各式的分母是否含字母，即可作答． 【详解】解：分母为数字2，不含字母，是整式，不是分式； 分母为字母a，符合分式定义，是分式； 分母为，含字母x和y，是分式； 分母为数字2，不含字母，是整式，不是分式； 分母π为常数，不含字母，是整式，不是分式； 综上，分式共有2个， 故选：D． 2. 若分式有意义，则x的取值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为零求解即可． 【详解】解：∵ 分式有意义， ∴ 分母， ∴的取值是， 故选：B． 3. 如图，若，四个点，，，在同一直线上，，，则的长是（ ）     A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的性质，根据可得，再根据等式的性质并结合图形即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四个点，，，在同一直线上， ∴， 故选：A． 4. 已知：如图，∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是 （ ） A. AB＝AC B. BD＝CD C. ∠B＝∠C D. ∠BDA＝∠CDA 【答案】B 【解析】 【分析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案． 【详解】A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；故A不符合题意； B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；故B符合题意； C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；故C不符合题意； D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BDA=∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）；故D不符合题意． 故选：B． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 负数没有立方根 B. 平方根等于本身的数是0，1 C. 无理数包括正无理数、负无理数和零 D. 实数和数轴上的点是一一对应的 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的定义、立方根的定义、无理数的定义及实数与数轴的关系，熟练掌握定义是解题的关键． 根据算术平方根的定义、立方根的定义、无理数的定义及实数与数轴的关系判断即可． 【详解】解：A、负数有立方根，故原说法错误； B、平方根等于本身的数是0，故原说法错误； C、无理数包括正无理数、负无理数，故原说法错误； D、实数和数轴上的点是一一对应的，故原说法正确 故选：D． 6. 下列命题内错角相等，两直线平行；若，则；末位数字是的数，能被整除；对顶角相等．原命题和逆命题均是真命题的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了原命题，逆命题，正确判断命题的真假是解题的关键．根据逆命题、原命题，和学习的数学知识，判断解答即可即可，判断一个命题是假命题，只要举反例即可． 【详解】解：内错角相等，两直线平行，是真命题， 它的逆命题是：两直线平行，内错角相等，也是真命题， 故符合题意； 若，则，是真命题， 它的逆命题是：若，则， 举反例：若，但是， 逆命题是假命题， 故不符合题意； 末位数字是的数，能被整除，是真命题， 它的逆命题是：能被整除的数，末位数字是， 举反例：能被整除，末位数字不是， 逆命题是假命题， 故不符合题意； 命题：对顶角相等，是真命题， 它的逆命题是：相等的角是对顶角， 举反例：如下图所示， ， 但是和不是对顶角， 逆命题是假命题， 故不符合题意． 综上所述，原命题和逆命题均是真命题的个数是个． 故选：A． 7. 如图，已知，用直尺和圆规按照以下步骤作图： ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点C，D； ②画射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点； ④过点画射线； 根据以上操作，可以判定，其判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得： ，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， ∴ ． 故选：D 【点睛】本题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定，熟练掌握有三边相等的两个三角形全等是解题的关键． 8. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要是考查了分式方程的增根，先将原式去分母整理得到关于x的整式方程，根据方程有增根可得x的值，代入整式方程可得m的值． 【详解】解：方程两边都乘，得 ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得， 当时，， 解得：， 故m的值是3． 故选：C． 9. 关于的方程的解是负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. ，且 D. ，且 【答案】D 【解析】 【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围即可． 【详解】解：去分母，得， 解得， ∵方程的解是负数， ∴，且， ∴，且． 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的解，解题关键是要掌握分式方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解． 10. 学习小组设计了一个 “接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学， 他完成一步解答后交给第二位同学， 依次进行， 最后完成计算． 规则是每人只能看到前一人传过来的式子． 接力中， 自己负责的式子出现错误的是 （ ） A. 小明和小丽 B. 小红和小亮 C. 小明和小亮 D. 小丽和小红 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 利用二次根式的运算法则逐步进行判断即可． 【详解】解：由可得，小丽出现错误； 由可得，小红出现错误； 故选：D． 11. 如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分的面积为，则空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，关键在于审清题意，看懂图形，找到各部分面积的关系．先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】因为重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长的和减去大正方形的边长，所以重叠部分也是正方形． 因为三个小正方形的面积分别为， 所以三个小正方形的边长分别为：，，． 由图知大正方形的边长为：， 所以． 故选：A． 12. 对任意非负数，若记，给出下列说法，其中正确的个数为（ ） ①； ②，则； ③； ④对任意大于3的正整数，有． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】将代入即可判断①，解方程，即可判断②，分别计算，，， ，……即可判断③，同理分别求得，找到规律，进而即可判断④． 【详解】解：∵， 当时，，故①错误， ∵，即，解得：，经检验是原方程的解，故②正确； ∵，，， ，…… ∴，故③正确； ∵，，，…… ∴， 故④错误， 综上，正确的有2个． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则的立方根是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，立方根等知识，根据非负数的性质，平方项和算术平方根项均非负，它们的和为零，则每个部分均为零，从而求出和的值，再计算并求其立方根． 【详解】解：∵， ∴ ，， ∴，， 解得，， ∴， ∴的立方根为， 故答案为：． 14. 如图所示，在边长为的正方形网格图中，点、、、均在正方形网格格点上．图中________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了网格问题，根据网格线段及三角形的特征即可求解．根据勾股定理可得，从而得由图推出得，据此即可求解； 【详解】解：如图， 由图可知：，， ∴， 由图可知： ∴， ∴， ∴， 故答案为： 15. 若，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在段____处（请从①②③④中选择正确答案填在横线上） 【答案】② 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．把变形得，代入即可求出分式的值，再看该值的点落在的位置． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴表示的点落在段②处， 故答案为：②． 16. 如图，在中，、是边、上的两个动点，于点于点．设点、运动的时间是秒．若点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回到点停止运动；点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后停止运动，当__________秒时，和全等． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定．分两种情况①时，点P从C到A运动，则，，求得；②时，点P从A到C运动，则，，求得． 【详解】解：①时，点从到运动， 则，， 当时，则， 即， 解得：； ②时，点从到运动，则，， 当时，则， 即， 解得：； 综上所述：当秒或秒时，和全等． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，二次根式的运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先化简各数，然后计算加减即可； （2）根据零指数幂的意义、负整数指数幂的意义，绝对值的意义，二次根式的性质等计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）原分式方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解题步骤是解题的关键，需要注意的是，最后需要检验是否为增根． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为； 【小问2详解】 解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程无解． 19. 某同学在化简时，出现错误，错误的化简过程如下．这位同学的错误出现在第______步．请你写出这道题的正确解答过程，并从三个数字中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 解：原式① ② ③ 【答案】②； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．根据分式混合运算的法则计算即可． 【详解】解：这位同学的错误出现在第②步， 原式 ， ∵，， ∴， ∴取，则原式． 20. 如图，在和中，点在上，，，，求证：． 【答案】 证明：， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质．由可得，再结合已知条件用两角夹边证即可． 【详解】略 21. 如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． （1）正方形的边长的长在两个连续整数________和________之间； （2）如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，点在数轴上表示的数是_______； （3）在（2）的基础上以数2对应的点为折叠点，将数轴向右对折，则点与数______对应的点重合． 【答案】（1）2，3 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根，无理数的估算，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意可求出正方形的面积，进而得到正方形的边长，再利用夹逼法即可求出其范围； （2）根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点D表示的数； （3）设点D与数对应的点重合，根据对折可得，，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，正方形的面积为：， ∴边长为：， ∵， ∴， ∴的长在2和3之间； 故答案为：2，3； 【小问2详解】 解：把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，则点D在数轴上表示的数为：； 故答案为：； 【小问3详解】 解：设点D与数对应的点重合， 由题意得：， 解得：， ∴点D与数对应的点重合． 故答案为：． 22. 阅读下列解题过程： 请回答下列问题： （1）仿照上面的解题过程化简：______； （2）化简：_______； （3）利用上面所提供的方法，求的值． 【答案】（1） （2） （3）2025 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，正确找出分母有理化因式是解题的关键． （1）参照题干做法，找出分母有理化因式，然后分子分母同时乘以分母的有理化因式即可； （2）参照题干做法，找出分母有理化因式，然后分子分母同时乘以分母的有理化因式即可； （3）先依据规律，可将原式变形为，再合并同类二次根式，最后利用平方差公式求解． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解： 23. 项目学习方案： 项目情景 数学阅读有助于拓展同学们数学视野，培养逻辑思维，提升解决问题的能力．为了提高学生数学素养，我校图书馆拟购《古今数学思想》、《几何原本》等书籍供同学们阅读． 素材一 我校数学兴趣小组经过市场调查发现3000元可购买《古今数学思想》的数量比《几何原本》多40套，且《几何原本》的单价是《古今数学思想》单价的1.5倍． 任务一 根据题意，数学兴趣小组成员小刚设每套《古今数学思想》的价格为x元，由题意得方程：①　　　； 数学兴趣小组成员小明设②　　　，由题意得方程：． 素材二 数学兴趣小组成员小强发现自己单位时间内可完成m页《古今数学思想》的阅读或完成 页《几何原本》的阅读，并且阅读25页《古今数学思想》的所用时间与阅读10页《几何原本》所用时间相同． 任务二 求m的值． （1）任务一中横线①处应填　　　，横线②处应填　　　； （2）完成任务二． 【答案】（1）40，3000元可购买《古今数学思想》的数量是套. （2）5 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）由《几何原本》及《古今数学思想》单价间的关系，可得出每套《几何原本》的价格为1.5x元，利用数量＝总价÷单价，结合3000元可购买《古今数学思想》的数量比《几何原本》多40套，可列出关于x的分式方程；利用单价＝总价÷数量，结合小明所列方程，即可找出y的含义； （2）利用读书时间＝读书总页数÷每天读书页数，结合阅读25页《古今数学思想》的所用时间与阅读10页《几何原本》所用时间相同，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵《几何原本》的单价是《古今数学思想》单价的1.5倍，且每套《古今数学思想》的价格为x元， ∴每套《几何原本》的价格为元， 又∵3000元可购买《古今数学思想》的数量比《几何原本》多40套， ∴可列出方程 ． ∵单价＝总价÷数量，结合小明所列方程为， ∴y表示3000元可购买《古今数学思想》的数量． 故答案为：，3000元可购买《古今数学思想》的数量套； 【小问2详解】 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：m的值为5． 24. 综合与实践 【基本模型】如图1和2所示，，直线l经过点O（不与，重合），过点A，B作l的垂线，垂足分别为C，D，可以很容易证得，进而得到：． 【模型应用】在图1的基础上，在射线上取一点M，把线段绕点O逆时针转得到、连接．交直线l于点P． （1）如图3，当点M与点C重合时与的数量关系为______； （2）如图4，当点M在的延长线上时，试判断与的数量关系．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：过点N作直线l于E（见下图）．同学们，根据小颖的提示，请你判断与的数量关系，并给出证明． （3）如图5，当点M在线段上时的值为______． 【答案】（1） （2） 解：， 证明：过点N作直线于E， ∴，， 由旋转得，， ∴， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）利用证明，可得结论； （2）过点N作直线于E，证明，可得，再证明，可得结论； （3）过点N作直线于H，证明，可得，，证明，可得，，，设，，则，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：由旋转得，， ∵，点M与点C重合， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点N作直线于H， 同理得， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，掌握全等三角形的判定和性质是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $