3.4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系（第2课时空间角）（教学课件）数学北师大版选择性必修第一册

本高中数学课件围绕平面与平面夹角的向量解法展开，涵盖定义、二面角与法向量关系及计算方法。通过知识回顾二面角定义和平面角，结合问题链导入新知，衔接旧知与法向量夹角关系，搭建递进式学习支架。 以问题驱动探究，通过典例分析（如单位正方体二面角求解）和巩固训练，渗透直观想象、数学运算与逻辑推理素养。课堂小结结构化梳理知识方法，助力学生掌握坐标法工具，为教师提供系统备课资源，提升教学效果。

3.4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系之空间中的角(第二课时) 第三章 向量在立体几何中的应用 北师大版2019选择性必修第一册·高二 学 习 目 标 1 2 3 理解平面与平面夹角的定义，掌握其与二面角、平面法向量夹角的关系，能利用法向量计算平面与平面的夹角. 熟练运用坐标法求平面的法向量，掌握平面与平面夹角的计算步骤，能结合图形判断角的锐钝性. 提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养，体会空间向量在立体几何中的工具性. 知识回顾 二面角：由一条直线出发的两个半平面组成的图形. 问题2：如何度量二面角的大小？ 二面角的大小用二面角的平面角度量. 问题1：你能说说二面角的定义吗？ 棱l α β 二面角α-l-β 二面角的平面角：在二面角α-l-β的棱l任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OA构成的∠AOB叫做二面角的平面角. O A B 二面角的平面角的范围：. 新知导入 对顶的二面角相等，邻补的二面角互补. 问题1：两个平面相交形成的四个二面角，它们的平面角大小有何关系？ 问题2：如图，过二面角α-l-β内一点P作PA⊥α,PB⊥β，棱l与平面PAB有何位置关系？ α β l l⊥平面PAB. B A P O 问题3：设平面PAB交直线l与点O，连接AO,BO，∠AOB是否是二面角的平面角，它与∠APB有何数量关系？ ∵l⊥平面PAB， ∴l⊥AO，l⊥OB, ∵在四边形PAOB中，∠PAO=∠PBO=, ∴∠AOB是该二面角的平面角. ∴∠AOB+∠APB=. 新知探究 探究1：二面角与法向量的关系 问题4：你能在图中找到平面和的法向量吗？，它们的夹角与二面角α-l-β的平面角∠AOB有何关系？ α β l B A P O 平面α的法向量：或, 平面β的法向量：或. 情况1：α与β法向量的夹角：. α β l B A P O 情况2：α与β法向量的夹角：. α β l B A P O ∠AOB+=. ∠AOB=. 新知探究 探究1：二面角与法向量的关系 一般地，已知是,平面,的法向量，则二面角α-l-β的平面角与两法向量所成角相等或互补. l α β O A B l α β O A B 即使训练：若二面角的两个法向量夹角为120°，则该二面角为__________. 60°或120° 新知探究 问题5：平面与平面的夹角是指哪个角？ 两个平面相交形成的不大于90°的二面角，记为θ. 探究2：平面与平面的夹角的求解 α β l B A P O 问题6：如何用两个平面的法向量计算θ的余弦值？ 情况2：θ+=. 情况1：θ=. cosθ=cos. cosθ=cos. 综上，cosθ=|cos|=. 新知探究 设平面α与平面β的法向量分别为，它们的夹角为θ，则 即使训练：已知平面α的法向量，平面β的法向量，求平面α与β夹角的余弦值. cosθ=|cos|=. 探究2：平面与平面的夹角的求解 解：, , , 故cosθ=|cos. 典例分析 分析 1.如何建立空间直角坐标系？ 例1 如图，有单位正方体ABCD-A'B'C'D'，求二面角A'-DC-A的平面角. z x y A' D' D A C' B' B C 以A为原点，AB、AD、AA'分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系. 2.二面角A'-DC-A是哪两个半平面构成的二面角？它们的法向量如何求解？ 二面角A'-DC-A是平面ABCD与平面A'DC形成的角， 平面ABCD的法向量：该平面在xOy平面，故其法向量. 平面A'DC的法向量：待定系数法找到与同时垂直的一个向量即可. 3.如何判断二面角是锐角还是钝角？ 先计算cos=，再结合图形(二面角开口为锐角). 例1 如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A'B'C'D'，求二面角A'-DC-A的平面角. 典例分析 解 由AA'⊥平面ABCD， 则 z x y A' D' D A C' B' B C 因为A',C,D, 所以,, 设是平面A'DC的一个法向量, 即 可知是平面ABCD的一个法向量. 例1 如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A'B'C'D'，求二面角A'-DC-A的平面角. 典例分析 则 1.利用几何体棱作轴可简化计算； 2.法向量与平面内两不共线向量垂直来确定. 3.二面角锐钝的判断需结合图形. z x y A' D' D A C' B' B C 即 所以取, 得cos 由图可知二面角的平面角为锐角， 因此，平面角为. 例2 如图，已知二面角α-l-β的平面角为，点B,C在棱l上,A∈α,B∈β,AB⊥l, CD⊥l,AB=2,CD=3,求AD的长. 典例分析 l β α D C A B 分析 先将分解为已知向量的和. 再计算. 解 因为AB⊥l,CD⊥l,二面角α-l-β的平面角为, 所以. 因为, 所以 例2 如图，已知二面角α-l-β的平面角为，点B,C在棱l上,A∈α,B∈β,AB⊥l, CD⊥l,AB=2,CD=3,求AD的长. 典例分析 l β α D C A B 所以 所以 结合二面角的平面角判断向量夹角，注意向量方向对夹角的影响. 1.若二面角α-l-β的平面角为θ,异面直线a,b满足aα,bβ,且al,bl,则异面直线a,b的夹角为( ). A.θ B.θ C.θ D.θ或θ 巩固训练 2.若在正方体ABCD-A'B'C'D'中，点E是BB'的中点，则二面角E-A'D'-D的平面角的正切值为( ). A. B.2 C. D. 3.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D',且AB=2,AD=4,AA'=2,求平面AC'D与平面ABD夹角的余弦值. z x y A' D' D A C' B' B C D B 巩固训练 解 因为平面ABD, 所以可取为平面ABD的一个法向量. 设是平面AC'D的一个法向量. , 所以 3.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D',且AB=2,AD=4,AA'=2,求平面AC'D与平面ABD夹角的余弦值. z x y A' D' D A C' B' B C , 取. 所以cos, 所以, 所以平面AC'D与平面ABD夹角的余弦值为. 基本知识： (1) 平面与平面夹角的定义； (2) 二面角与法向量的关系； 基本方法： 坐标法： 建系 → 课堂小结 (3) 两平面夹角公式. 核心素养： (1) 直观想象（图形分析）； (2) 数学运算（向量计算）. 求坐标 → 求法向量 → 算夹角 → 判锐钝 基础作业： 课本134页练习2和练习5 拓展练习： 习题3-4A组第18题，B组第6题 布置作业 感谢聆听! $