04-§4 02-第1课时 空间中的角（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦空间向量在立体几何中的应用，系统讲解空间角（异面直线、线面、面面夹角）的计算，通过复习立体几何角概念，结合正方体、三棱锥等实例搭建从几何到向量方法的学习支架，衔接旧知与新知。 其亮点在于精选各地名校考题，结合真实问题情境培养数学眼光，通过坐标系建立、法向量求解等严谨推理发展数学思维，用向量语言精确表达空间关系提升数学语言能力。如矩形折叠问题引导学生抽象为向量运算，帮助建立模型观念，教师可利用分层练习和易错警示提升教学效率，学生能增强空间想象与逻辑推理能力。

第三章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系 第1课时　空间中的角 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　两条直线的夹角 1.[2026湖北武昌实验中学月考]如图,已知四边形ABCD、四边形ABEF均为矩形,且AB=2BC=2AF,二面 角C-AB-F的大小为60°,则异面直线AC与BF所成角的余弦值为 ( )   A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　令AB=2BC=2AF=2,  · =( + )·( + ) = · + · + · + ·  =- + · + · + · , 由题意知AB⊥BC,AB⊥AF,∠CBE=60°, 所以 · =-4+0+0+1×1×cos 60°=- , 又| |=| |= , 所以|cos< , >|= = , 故异面直线AC与BF所成角的余弦值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[易错题][2026山东日照第一中学质量检测]如图,已知圆柱的底面半径为 ,高为2 ,矩形ABCD是 圆柱的轴截面,E是圆柱下底面圆周上一点,且满足∠BAE= ,则异面直线AE与BD夹角的余弦值为( )   A. 　　    B.- 　　    C. 　　    D.-  A          第1讲　描述运动的基本概念 解析　取AB的中点O,CD的中点O',连接BE,OE,OO', 由题知AB为底面圆的直径, ∵E为下底面圆周上一点, ∴∠AEB= ,又∵∠BAE= , ∴∠ABE= ,∴OE⊥OB, 又OO'⊥OB,OO'⊥OE, 故以O为原点,OE,OB,OO'所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,   第1讲　描述运动的基本概念 则E( ,0,0),A(0,- ,0),B(0, ,0),D(0,- ,2 ), ∴ =( , ,0), =(0,-2 ,2 ), 设异面直线AE与BD的夹角为θ, 则cos θ=|cos< , >|=  = = . 易错警示　异面直线所成角的范围是 ,当两直线方向向量夹角的余弦值为负值时,应取其绝对值, 才得两条异面直线所成角的余弦值. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025江西上饶余干第二中学检测]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1D的中点,N为CD1上的动 点,则直线C1D与MN夹角的正弦值的最小值为 ( )   A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　以D为原点, , , 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为2, 则D(0,0,0),M(1,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,2),D1(0,0,2), 故 =(0,-2,2), =(0,-2,-2), 设 =λ (0≤λ≤1), 则N(0,-2λ+2,2λ), 所以 =(-1,-2λ+2,2λ-1), 设直线C1D与MN的夹角为θ, 则cos θ=|cos< , >| =  第1讲　描述运动的基本概念 =  = , 又  = ≥ , 所以cos θ≤ ,当且仅当λ= 时,等号成立,则sin θ≥ ,即直线C1D与MN夹角的正弦值的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026安徽阜阳太和中学模拟练习]在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,AC=2 ,PB⊥平面ABC,M,N分别为 AC,PB的中点,MN= ,Q为线段AB上(不包含端点)的点,使得异面直线PM与CQ所成角的余弦值为 , 则 =_________.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,AC=2 ,∴AB2+BC2=AC2, ∴AB⊥BC, 又∵PB⊥平面ABC, ∴以B为原点,BA,BC,BP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,   则A(2,0,0),B(0,0,0),C(0,2,0),M(1,1,0), ∴BM= ,又MN= , ∴BN= =2,∴PB=4, 则P(0,0,4),故 =(1,1,-4), 第1讲　描述运动的基本概念 则| |=3 . 设 =λ,0<λ<1,则 =λ , ∴Q(2λ,0,0),∴ =(2λ,-2,0), ∴ · =2λ-2,| |= . ∵异面直线PM与CQ所成角的余弦值为 , ∴ = = , 则4λ2-17λ+4=0, 解得λ= 或λ=4(舍去), ∴ = . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026福建厦门第二外国语学校月考]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱AA1的中点,若N为平面 A1B1C1D1内(不包含边界)一点,且满足MN∥平面BDC1.设直线MN与直线CC1所成的角为α,则tan α的最小 值为_________.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　设线段A1D1的中点为Q,A1B1的中点为P,连接MQ,MP,PQ,AB1,如图所示.   易知AB1∥DC1,AB1∥MP, 所以MP∥DC1. 因为MP⊄平面BDC1,DC1⊂平面BDC1, 所以MP∥平面BDC1, 同理可得MQ∥平面BDC1, 第1讲　描述运动的基本概念 又MP∩MQ=M,MP,MQ⊂平面MPQ, 故平面MPQ∥平面BDC1, 又MN∥平面BDC1, 故点N在线段PQ上,且不与P,Q重合. 以点B为坐标原点, , , 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为2, 则M(2,0,1),P(1,0,2),Q(2,1,2),C(0,2,0),C1(0,2,2), 所以 =(0,0,2), =(1,1,0), =(-1,0,1), 设 =λ ,0<λ<1, 则 = + = +λ =(-1,0,1)+(λ,λ,0)=(λ-1,λ,1), 第1讲　描述运动的基本概念 所以cos α=|cos< , >| = =  = , 当λ= 时,cos α取得最大值,为 , 此时tan2α= -1取得最小值,为 , 故tan α的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　直线与平面的夹角 6.[2025福建宁德部分达标学校联考]已知平面α的一个法向量为n=(1,-1,0),则y轴与平面α夹角的大小为  ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     解析　易知y轴的一个方向向量m=(0,1,0), 设y轴与平面α的夹角为θ, 则sin θ=|cos<n,m>|= = , 又θ∈ ,所以θ= . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026广东广州天河综合测试]在三棱锥P-ABC中,若PA⊥PB,∠APC=∠BPC=60°,则直线PC与平面 PAB夹角的正弦值是 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　以P为原点,PA,PB所在直线分别为x轴、y轴,过点P且垂直于平面PAB的直线为z轴,建立如图所 示的空间直角坐标系,   设PA=a,PB=b,则P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0), ∴ =(a,0,0), =(0,b,0), 设C(x,y,z)(z>0),则 =(x,y,z). ∵∠APC=∠BPC=60°, ∴ · =| || |cos 60°, 第1讲　描述运动的基本概念 即ax= | |, · =| || |cos 60°, 即by= | |, 设| |=t,则x= ,y= . ∵| |= , ∴t= , 解得z= (舍负), 则C , ∴ = , 第1讲　描述运动的基本概念 易得平面PAB的一个法向量n=(0,0,1), 设直线PC与平面PAB的夹角为θ, 则sin θ=|cos< ,n>=  = = , 故直线PC与平面PAB夹角的正弦值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026湖北孝感汉川第一高级中学质量检测]如图1,正方形ABCD中, = , = ,O是BD的中点. 将△ABD沿BD折叠到△A'BD的位置,使得平面A'BD⊥平面BCD(如图2),则直线BD与平面E'OF的夹角的 正弦值为 ( )  图1     图2 A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　连接A'O,CO, 由题意可知A'O⊥BD,CO⊥BD, 因为平面A'BD⊥平面BCD,平面A'BD∩平面BCD=BD,A'O⊥BD,A'O⊂平面A'BD, 所以A'O⊥平面BCD, 因为CO⊂平面BCD,所以A'O⊥CO, 故以O为坐标原点,OB,OC,OA'所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,   设BD=2,则O(0,0,0),B(1,0,0),A'(0,0,1),D(-1,0,0),C(0,1,0), 第1讲　描述运动的基本概念 由 = , = ,知E',F分别为A'B,CD的中点, 则E' ,F , 则 = , = , 设n=(x,y,z)为平面E'OF的一个法向量, 则  令x=1,得y=1,z=-1,则n=(1,1,-1), 易得直线BD的一个方向向量为 =(1,0,0). 设直线BD与平面E'OF的夹角为θ, 则sin θ=|cos<n, >|= = . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026江西宜春丰城第九中学开学考试]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC= ,BC=2BB1=2,P为 B1C1的中点,Q为A1B上一点. (1)证明:A1B⊥CP; (2)若 = ,求直线A1B与平面CPQ夹角的正弦值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:连接A1P,BP, ∵A1B1=A1C1,P为B1C1的中点, ∴A1P⊥B1C1, 由直棱柱的性质得,平面A1B1C1⊥平面CBB1C1, 又平面A1B1C1∩平面CBB1C1=B1C1,A1P⊂平面A1B1C1, ∴A1P⊥平面CBB1C1, 又CP⊂平面CBB1C1,∴A1P⊥CP, 在矩形CBB1C1中,易知CP=BP= , 则CP2+BP2=CB2,即CP⊥BP, ∵BP∩A1P=P,BP,A1P⊂平面A1BP, ∴CP⊥平面A1BP, 第1讲　描述运动的基本概念 又∵A1B⊂平面A1BP,∴A1B⊥CP. (2)取BC的中点M,连接PM,以P为原点,PM,PB1,PA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,   则P(0,0,0),C(1,-1,0),B(1,1,0), ∴ =(1,-1,0), ∵A1B1= ,PB1=1, ∴A1P= =2, ∴A1(0,0,2), 第1讲　描述运动的基本概念 ∴ =(1,1,-2), ∵ = ,∴Q为A1B的中点, ∴Q , ∴ = , 设n=(x,y,z)为平面CPQ的一个法向量, 则 即  令y=1,得x=1,z=-1,故n=(1,1,-1), 则直线A1B与平面CPQ夹角的正弦值为|cos< ,n>|= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　平面与平面的夹角、二面角 10.[2025河南百师联盟期中]已知平面α,β的一个法向量分别为n1=(2,1,-3),n2=(1,-3,2),则平面α,β的夹角 的大小为 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      C     解析　由题意得cos<n1,n2>=  = =- , 又0≤<n1,n2>≤π,故<n1,n2>= , 所以平面α,β的夹角的大小为 . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026广东东莞四校联考]如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,若A1A⊥平面ABC,AB⊥AC,A1C1=1,AB=AC= AA1=2,M为BC的中点,则平面MAC1与平面AC1C的夹角的余弦值为 ( )   A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由A1A⊥平面ABC,AB,AC⊂平面ABC,得A1A⊥AB,A1A⊥AC, 又AB⊥AC,故以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,   则A(0,0,0),M(1,1,0),C1(0,1,2), 则 =(1,1,0), =(0,1,2), 设n=(x,y,z)为平面MAC1的一个法向量,则  第1讲　描述运动的基本概念 取x=2,得y=-2,z=1, 所以n=(2,-2,1), 易知m=(1,0,0)为平面AC1C的一个法向量, 设平面MAC1与平面AC1C的夹角为θ, 则cos θ=|cos<m,n>|= = . 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026河北唐山迁安第一高级中学期中]在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠PAC=∠ABC=90 °,PA=BC=1,PB=AC=2,E是AB的中点,则二面角B-PC-E的余弦值为( )   A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为∠PAC=90°,所以PA⊥AC, 又因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PA⊂平面PAC, 所以PA⊥平面ABC, 又AB⊂平面ABC,所以AB⊥PA. 在Rt△ABC中,BC=1,AC=2,∠ABC=90°, 所以AB= = = . 以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,   第1讲　描述运动的基本概念 则B(0,0,0),P( ,0,1),C(0,1,0),E , 所以 =( ,-1,1), =(- ,0,-1), = . 设m=(x1,y1,z1)为平面BPC的一个法向量, 则  不妨取x1=1,得y1=0,z1=- , 则m=(1,0,- ), 设n=(x2,y2,z2)为平面EPC的一个法向量, 第1讲　描述运动的基本概念 则  不妨取x2=2,得y2= ,z2=- , 则n=(2, ,- ). 设二面角B-PC-E的平面角为θ, 由图可知θ∈ , 则cos θ= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 解题技法　求两个平面的夹角一般有两种思路:一种是先根据二面角的平面角及两个平面夹角的定义, 在两个半平面内分别找出与二面角的棱垂直的线段,然后利用两直线的方向向量的夹角得到两平面夹 角的大小;另一种是直接求出两个平面的法向量,通过法向量所成的角求得两平面夹角的大小,但要注 意两平面夹角的取值范围是 ,而两个法向量所成角的取值范围是[0,π]. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026广东东莞实验中学教学质量检查]如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,D为AC的中点, AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,将△ABD沿BD折起,使平面A'BD⊥平面BCD,如图2所示. (1)证明:A'E⊥平面BCD; (2)求二面角A'-DC-B的余弦值; (3)在线段A'F上是否存在点M,使得EM∥平面A'DC?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.  图1     图2 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:∵平面A'BD⊥平面BCD,平面A'BD∩平面BCD=BD,A'E⊥BD,A'E⊂平面ABD, ∴A'E⊥平面BCD. (2)由(1)知A'E⊥平面BCD, ∵EF⊂平面BCD,∴A'E⊥EF, 由题意知EF⊥BD,又A'E⊥BD, 故以E为坐标原点,EF,ED,EA'所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,   由题意知题图1中AB= AC,BD= AC, 第1讲　描述运动的基本概念 则AB=BD=AD,则△ABD为正三角形,不妨设AB=BD=DC=AD=2,∴BC=2 , ∵△ABD为正三角形,AE⊥BD, ∴E为BD的中点, ∴BE=ED=1,∠BAF=30°, ∴AE= ,AF= = , ∴EF=AF-AE= - = , 则E(0,0,0),D(0,1,0),B(0,-1,0),A'(0,0, ),F ,C( ,2,0), 则 =( ,1,0), =(0,1,- ). 设n=(x,y,z)为平面A'DC的一个法向量, 第1讲　描述运动的基本概念 则 即  令z=1,得y= ,x=-1, 则n=(-1, ,1), ∵A'E⊥平面BCD, ∴ =(0,0, )为平面DCB的一个法向量, ∴cos<n, >= = , 由图可知二面角A'-DC-B为锐角, ∴二面角A'-DC-B的余弦值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 (3)假设在线段A'F上存在点M,使得EM∥平面A'DC,则 ·n=0, 设 =λ ,λ∈[0,1], ∵ = , ∴ = , ∴ = + = , 由 ·n=0,即- λ+ - λ=0, 解得λ= , ∴在线段A'F上存在点M,使得EM∥平面A'DC,且 = . 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系 第1课时　空间中的角 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　利用空间向量求空间角 1.[2026北京第二中学段考]中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体. 该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分).在如图所示的“曲池” 中,AA1⊥平面A1B1C1D1,记弧AB、弧DC的长度分别为l1,l2,已知AA1=3AD=3,l1=2l2= ,E为弧A1B1的中点, 则直线CE与DB1夹角的余弦值为 ( )   A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设上底面扇环所对应的圆的圆心为O1,下底面扇环所对应的圆的圆心为O,连接OO1,O1D1,O1C1, OD,OC,在下底面作OF⊥OC,交弧AB于F,以O为原点,OC,OF,OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空 间直角坐标系,如图,   由l1=2l2= ,得OA=2OD, 又AD=1,所以OD=1, 又l2= ,所以∠COD= , 第1讲　描述运动的基本概念 所以D , 即D , 连接O1E,因为E为弧A1B1的中点, 所以∠B1O1E= , 所以E ,即E(1, ,3),易得C(1,0,0),B1(2,0,3), 则 =(0, ,3), = , 设直线CE与DB1的夹角为θ,则cos θ=|cos< , >|= = = , 故直线CE与DB1夹角的余弦值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025山东部分名校质量检测]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P满足 =λ (0<λ<1).设二面角 A1-AP-B的平面角为θ,则当λ增大时,θ的大小变化为( )   A.增大　　    B.减小 C.先增大后减小　　    D.先减小后增大     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图.   连接AD1,设AB=1,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1), 所以 =(1,1,-1), =(0,1,0), =(-1,0,1), =(-1,0,0), =(0,0,1), 则 = + = +λ =(λ-1,λ,-λ). 设m=(x,y,z)为平面A1AP的一个法向量, 则  第1讲　描述运动的基本概念 即  不妨取x=λ,得y=1-λ, 则m=(λ,1-λ,0). 连接A1D,则 =(-1,0,-1), 又 · =0, · =0, 故 ⊥ , ⊥ , 即A1D⊥AD1,A1D⊥AB,又AB∩AD1=A, AB,AD1⊂平面APB,则A1D⊥平面APB, 即平面APB的一个法向量为 =(-1,0,-1), 第1讲　描述运动的基本概念 所以cos<m, >=  =  =-  =- <0. 因为λ∈(0,1),所以 ∈(1,+∞), 所以cos<m, >的值随着λ的增大而减小,由图可知θ为钝角, 则cos θ=cos<m, >,所以θ随着λ的增大而增大. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026辽宁省实验中学月考]如图,四边形ABCD、四边ABEF均为正方形,∠CBE=120°,动点M,N分别在 AE,DB上,EM=BN,当| |取得最小值时,二面角A-MN-B的平面角的余弦值是( )   A.- 　　    B.- 　　    C.- 　　    D.-      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　以B为原点,BA,BC所在直线分别为x轴、y轴,过B且垂直于平面ABCD的直线为z轴,建立空间直角 坐标系,如图所示,   设正方形ABCD、正方形ABEF的边长均为m, 则B(0,0,0),A(m,0,0),D(m,m,0), E , 第1讲　描述运动的基本概念 设 =λ , =λ ,0≤λ≤1, 则M , N(λm,λm,0), 所以 = , 则| |=  =m =m , 当λ= 时,| |取得最小值,为 m, 第1讲　描述运动的基本概念 此时M , N , 所以 = ,  = ,  = . 设n=(x1,y1,z1)为平面AMN的一个法向量, 则  第1讲　描述运动的基本概念 即  令z1= ,得x1=1,y1=1, 所以n=(1,1, ), 设m=(x2,y2,z2)为平面BMN的一个法向量, 则  即  第1讲　描述运动的基本概念 令z2= ,得x2=-1,y2=1, 所以m=(-1,1, ). 设二面角A-MN-B的平面角为θ, 由题图知θ为钝角, 则cos θ=-|cos<n,m>|=- =- . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025江西宜春丰城中学期中]阅读材料:空间直角坐标系O-xyz中,过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n=(a, b,c)的平面α的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0.解决下面问题:已知平面α的方程为x-2y+z-7=0,直线l是两 平面x-y+1=0与y-z+2=0的交线,则直线l与平面α夹角的正弦值为_________.     0     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由阅读材料及平面α的方程得平面α的一个法向量为n=(1,-2,1), 平面x-y+1=0的一个法向量为m1=(1,-1,0),平面y-z+2=0的一个法向量为m2=(0,1,-1), 设直线l的一个方向向量为m=(x,y,z), 则 即  不妨取z=1,得x=1,y=1,则m=(1,1,1), 设直线l与平面α的夹角为θ,0°≤θ≤90°, 则sin θ=|cos<m,n>|= = =0, 所以直线l与平面α夹角的正弦值为0. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江西南昌第二中学月考]如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的半径为 ,AA1=AB,E,F分 别为棱BB1,A1C1的中点,则棱AB的长为2,平面AEF与平面BCC1B1夹角的余弦值为 .   第1讲　描述运动的基本概念 解析　取BC的中点D,连接AD,设三棱柱ABC-A1B1C1的外接球球心为O,半径为R,△ABC的外接圆圆心为 O1,半径为r, 连接OO1,OA, 则OO1= AA1= AB,OO1⊥AO1, OA=R= , AO1=r= × AB= AB, 由OA2=O +A , 得R2= + , 即 = AB2,解得AB=2(舍负). 第1讲　描述运动的基本概念 因为E,F分别为棱BB1,A1C1的中点, 所以AF=AE= , 以A为原点,AC,AA1所在直线分别为y轴、z轴,过点A作垂直于yAz平面的直线为x轴,建立空间直角坐标 系, 则A(0,0,0),F(0,1,2),E( ,1,1),D , 则 =(0,1,2), =( ,1,1), = . 设n=(x,y,z)为平面AEF的一个法向量, 则  第1讲　描述运动的基本概念 令z=1,得y=-2,x= , 则n= . 易知AD⊥BC, 因为BB1⊥平面ABC,AD⊂平面ABC, 所以AD⊥BB1, 又BC∩BB1=B,BC,BB1⊂平面BCC1B1, 所以AD⊥平面BCC1B1, 故 = (记为m)为平面BCC1B1的一个法向量. 设平面AEF与平面BCC1B1的夹角为α, 第1讲　描述运动的基本概念 则cos α=|cos<m,n>|= = , 所以平面AEF与平面BCC1B1夹角的余弦值为 .   第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026河北邯郸大名第一中学月考]如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=BC=2,PA=2  ,以AB为直径的圆上的弧 在平面PAB内,与PB交于点I,D是圆弧 上(不含边界)的动点,则三棱锥 C-ABD的体积的最大值是 ,异面直线CD与AB夹角的余弦值的取值范围是_________.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　易知VC-ABD=VD-ABC,因为PA⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,所以PA⊥AB, 因为PA⊥平面ABC,PA⊂平面PAB, 所以平面PAB⊥平面ABC, 在Rt△PAB中,因为PA=2 ,AB=2, 所以tan∠PBA= = , 所以∠PBA= , 所以圆弧 所对的圆心角为 , 又D是圆弧 上(不含边界)的动点, 所以三棱锥D-ABC的高的最大值为1, 所以三棱锥C-ABD的体积的最大值是 × ×2×2×1= . 第1讲　描述运动的基本概念 如图,在平面ABC内过A作Ax⊥AB,以A为坐标原点,Ax,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间 直角坐标系,   则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0), 设D(0,b,c), 所以 =(0,b,c), =(0,b-2,c), =(0,2,0), =(-2,b-2,c), 因为AD⊥BD, 所以 · =b(b-2)+c2=b2-2b+c2=0,0<b< , 设异面直线CD与AB的夹角为θ, 第1讲　描述运动的基本概念 则cos θ=|cos< , >|= = = , 令t= ,t∈ , 则b=4-t2,故cos θ= =  , 又y=t- 在 上单调递增, 所以y=t- ∈ , 所以异面直线CD与AB夹角的余弦值的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江西多校联考]如图,BD是矩形ABCD的对角线,以BD为折痕将△BCD折起,使点C到达点P的位置.   (1)若BP⊥AP,证明:平面PAB⊥平面ABCD; (2)若AB=4,AD=2,二面角P-BD-C的平面角的大小为 ,求直线BP与平面PAD夹角的正弦值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:因为BP⊥AP,BP⊥PD,AP∩PD=P,AP,PD⊂平面PAD, 所以BP⊥平面PAD, 又AD⊂平面PAD,所以BP⊥AD, 又AD⊥AB,AB∩BP=B,AB,BP⊂平面PAB,所以AD⊥平面PAB, 又AD⊂平面ABCD, 所以平面PAB⊥平面ABCD. (2)过点P作PE⊥BD,垂足为E, 连接CE,则CE⊥BD, 所以∠PEC即为二面角P-BD-C的平面角, 所以∠PEC= . 第1讲　描述运动的基本概念 由 BD·CE= CD·CB, 得CE= ,则PE= . 作PF⊥CE,垂足为F,连接PC, 则EF=PE·cos  = , PF=PE·sin = . 因为CE⊥BD,PE⊥BD,PE∩CE=E,PE,CE⊂平面PCE, 所以BD⊥平面PCE, 又PF⊂平面PCE,所以BD⊥PF, 又PF⊥CE,CE∩BD=E,CE,BD⊂平面ABCD, 第1讲　描述运动的基本概念 所以PF⊥平面ABCD. 过F作FG⊥BC,垂足为G, 易得∠BDC=∠FCG, 所以FG=CF·sin∠FCG=(CE-EF)·sin∠BDC= × = , CG=CF·cos∠FCG=(CE-EF)·cos∠BDC= × = . 以D为原点,DA,DC所在直线分别为x轴、y轴,过D作垂直于平面ABCD的直线为z轴,建立空间直角坐标 系D-xyz, 则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),P , 第1讲　描述运动的基本概念 所以 = , = , =(2,0,0). 设n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量, 则 即  令y= ,得z=-9, 则n=(0, ,-9). 设直线BP与平面PAD的夹角为θ, 则sin θ=|cos< ,n>|= = , 故直线BP与平面PAD夹角的正弦值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二    利用空间向量解决与角有关的探索性问题 8.[2026山东滨州月考]在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BAD= ,AB=2AD=2CD=4,P为AB的中点,线段AC与 DP交于点O(如图1).将△ACD沿AC折起到△ACD'的位置,使得D'O⊥OP(如图2). (1)求证:平面D'AC⊥平面ABC; (2)线段PD'上是否存在点Q,使得直线CQ与平面BCD'夹角的正弦值为 ?若存在,求出 的值;若不存 在,请说明理由.        第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:在题图1中连接PC, 由题意可得四边形APCD为菱形, ∴DO⊥AC,则在题图2中,AC⊥D'O, 又D'O⊥OP,AC∩OP=O,AC,OP⊂平面ABC, ∴D'O⊥平面ABC, 又∵D'O⊂平面D'AC, ∴平面D'AC⊥平面ABC. (2)存在, = ,理由如下: ∵D'O⊥平面ABC,OP⊥AC, ∴OA,OP,OD'两两垂直, 第1讲　描述运动的基本概念 如图,以点O为原点,OA,OP,OD'所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,   则C(- ,0,0),B(- ,2,0),D'(0,0,1),P(0,1,0), ∴ =( ,-2,1), =( ,0,1), 设平面BCD'的一个法向量为n=(x,y,z), 则 即  第1讲　描述运动的基本概念 不妨取x=1,则y=0,z=- , ∴n=(1,0,- ), 设 =λ (0≤λ≤1), ∵ =( ,1,0), =(0,-1,1), ∴ = + = +λ =( ,1-λ,λ), 设直线CQ与平面BCD'的夹角为θ, 则sin θ=|cos< ,n>|= = = , 即3λ2-7λ+2=0,又0≤λ≤1,∴λ= , ∴线段PD'上存在点Q,使得直线CQ与平面BCD'夹角的正弦值为 ,且 = . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025江西师大附中素养测评]如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,AB=2AA1=2A1B1=2, ∠ABC=60°,AA1⊥平面ABCD. (1)证明:BD⊥CC1; (2)若点M在棱AD上,且C1M∥平面ABB1A1,求线段AM的长; (3)棱BC上是否存在一点E,使得二面角E-AD1-D的余弦值为 ?若存在,求线段CE的长;若不存在,请说明 理由.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:连接AC,A1C1, 因为几何体ABCD-A1B1C1D1为棱台, 所以A,A1,C1,C四点共面, 因为四边形ABCD为菱形,所以BD⊥AC, 因为AA1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD, 所以AA1⊥BD, 又AA1∩AC=A,AA1,AC⊂平面ACC1A1, 所以BD⊥平面ACC1A1, 又因为CC1⊂平面ACC1A1, 所以BD⊥CC1. (2)取BC的中点Q,连接AQ, 第1讲　描述运动的基本概念 因为底面ABCD是菱形,且∠ABC=60°, 所以△ABC是正三角形, 所以AQ⊥BC,即AQ⊥AD, 又AA1⊥平面ABCD,AQ,AD⊂平面ABCD, 所以AA1⊥AQ,AA1⊥AD. 以A为原点,AQ,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,   第1讲　描述运动的基本概念 则A(0,0,0),A1(0,0,1),B( ,-1,0),C1 ,所以 =(0,0,1), =( ,-1,0), 设AM=m,则M(0,m,0), 所以 = , 设m=(x,y,z)为平面ABB1A1的一个法向量, 则  不妨取x=1,得y= ,z=0, 则m=(1, ,0), 由C1M∥平面ABB1A1,得 ⊥m, 第1讲　描述运动的基本概念 即有 ·m=- ×1+ × +(-1)×0=0, 解得m=1,即AM=1. (3)由(2)知D1(0,1,1),Q( ,0,0). 假设点E存在,设E( ,λ,0),-1≤λ≤1, 可得 =( ,λ,0), =(0,1,1), 设n=(a,b,c)为平面AD1E的一个法向量, 则  不妨取a=λ,得b=- ,c= , 所以n=(λ,- , ), 第1讲　描述运动的基本概念 易得平面ADD1的一个法向量为 =( ,0,0), 由|cos< ,n>|= = , 解得λ=± , 易知二面角E-AD1-D为锐角, 所以λ>0,所以λ= , 则CE=1- , 故棱BC上存在一点E,且当CE=1- 时,二面角E-AD1-D的余弦值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 $