精品解析：江西省九江市瑞昌市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度上学期阶段监测试卷 九年级 数学 一、单选题（本题共6小题，每题3分） 1. 下列属于一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，熟记“只含有一个未知数（元），且未知数的次数是，等号两边都是整式”，这样的方程叫做一元一次方程是解题的关键．根据一元一次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程； B、不是等式，故不是一元一次方程； C、未知数的次数是，故不是一元一次方程； D、含有两个未知数，故不是一元一次方程； 故选：A． 2. 已知四边形是平行四边形，当时，它是（ 　　） A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】对角线相等的平行四边形是矩形，根据矩形的判定定理即可得出答案． 【详解】因为对角线相等的平行四边形是矩形， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的判定定理，掌握判定定理是本题的关键． 3. 小军和小丽两位同学乘坐合肥地铁去参观渡江战役纪念馆，已知该地铁站共有A，B，C三个出站口，小军和小丽各自随机选一个出站口出站，那么小军和小丽恰好都是从B口出站的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表得： 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中小军和小丽恰好都是从B口出站的情况只有种， 故小军和小丽恰好都是从B口出站的概率为， 故选：C． 4. 如图，给出下列条件：①∠ADC=∠ACB，②∠B=∠ACD，③，④，其中不能判定∽的条件为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答． 【详解】①∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ②∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ③可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定； ④中∠A不是已知的比例线段的夹角，不能判定两个三角形相似； 故选D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，理解和掌握相似三角形判定定理是解题的关键． 5. 用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用配方法解方程的方法对各选项进行判断． 【详解】解：A. ，故选项A不符合题意； B.由得，，故选项B不符合题意； C. ，故选项C符合题意； D. ，故选项D不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法；用配方法解一元二次方程时，先把原方程化为的形式；再方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边，然后把方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 6. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，再证明四边形MOND的面积等于，的面积，继而解得正方形的面积，据此解题． 【详解】解：在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC， 又 四边形MOND的面积是1， 正方形ABCD的面积是4， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 二、填空题（本题6小题，每题3分，共18分） 7. 把方程整理成一般形式后，得______________． 【答案】 【解析】 【分析】一元二次方程（是常数且）的分别是二次项系数、一次项系数、常数项． 【详解】解：整理成一般形式后，得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 8. 在菱形中，已知，，那么菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于两条对角线的积的一半求得． 【详解】解：由已知得，菱形的面积． 故答案为． 【点睛】本题主要考查菱形的面积等于两条对角线的积的一半，掌握菱形的面积的计算公式是解题的关键． 9. 为提升学生艺术素养，学校在周三同时开展了多种文艺社团活动．现从参加器乐、舞蹈和声乐这三个文艺社团的学生中随机抽取两名，他们恰好参加同一社团的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及他们恰好参加同一社团的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：把器乐、舞蹈和声乐这三个文艺社团分别记为、、， 画树状图得： 共有9种等可能的结果，他们恰好参加同一个社团的有3种情况， 两人恰好参加同一社团的概率为：； 故答案为：． 10. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：， ， 故答案为：． 11. 已知，是一元二次方程的两根，则a2b +ab2 = ____________. 【答案】6 【解析】 【详解】根据，是一元二次方程的两根，由根与系数的关系可以求得a2b +ab2的值． 解：∵，是一元二次方程的两根， ∴a+b=3，ab=2, ∴a2b +ab2 =ab(a+b)=2×3=6． 12. 菱形ABCD的对角线AC＝6cm，BD＝4cm，以AC为边作正方形ACEF，则BF长为______． 【答案】5cm或cm 【解析】 【分析】作出图形，根据菱形的对角线互相垂直平分求出AO、BO，然后分正方形以AC为边两种情况补成以BF为斜边的Rt△BGF，然后求出BG、FG，再利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵AC=6cm，BD=4cm， ∴AO=AC=×6=3cm，BO=BD=×4=2cm， 如图1，正方形ACEF在AC的上方时，过点B作BG⊥AF交FA的延长线于G， BG=AO=3cm，FG=AF+AG=6+2=8cm， 在Rt△BFG中，BF===cm， 如图2，正方形ACEF在AC的下方时，过点B作BG⊥AF于G， BG=AO=3cm， FG=AF-AG=6-2=4cm， 在Rt△BFG中，BF===5cm， 综上所述，BF长为cm或5cm， 故答案为：cm或5cm． 【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，难点在于分情况讨论并作辅助线构造出直角三角形，作出图形更形象直观． 三、解答题（本题5小题，每题6分，共30分） 13. （1）如图，在中，，，、、分别是、、边上的中点．求证：四边形是正方形． （2）解方程： 【答案】 （1）证明：∵，、分别是、边上的中点， ∴， ∵、、分别是、、边上的中点， ∴与为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形． （2）， 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，中位线的性质，以及一元二次方程的求解，解决本题的关键是先证明四边形是菱形；使用提取公因式的方法求解一元二次方程． （1）根据中点可得四边形的四边相等，再由即可证明正方形． （2）先移项，再提取公因式，由此可求解． 【详解】（1）略 （2）解： 移项可得 提取公因式， 即， 解得，． 14. 矩形中，平分交于，平分交于．求证：四边形为平行四边形． 【答案】 证明：矩形中，，， ， 平分，平分， ，， ， ， 由， 四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，平行四边形的判定，解题的关键是掌握相关知识．由矩形的性质可得，，推出，结合角平分线的定义得到，推出，即可得证． 【详解】略 15. 某超市销售一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应定为多少？ 【答案】60元. 【解析】 【详解】试题分析：设销售单价定为每千克x元，根据“销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克”，可知：月销售量=500-（销售单价-50）×10，然后根据利润=每千克的利润×销售的数量列出方程，求出x的值即可． 试题解析：设销售单价定为每千克x元时，则月销售量为：[500−(x−50)×10]=(1000−10x)千克，每千克的销售利润是：(x−40)元， 则(x−40)(1000−10x)=8000， 解得：x1=60，x2=80. ∵要“薄利多销”， ∴x=60 答：要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为60元． 点睛：此题考查了一元二次方程的应用，关键是读懂题意，根据题目中的数量关系正确表示出月销售量. 16. 如图，已知正方形ABCD，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图（1），若点E在AD边上，连接BE，请作出BEDF； （2）如图（2），若点E在正方形ABCD的对角线AC上，请以BE，DE为边作一个菱形． 【答案】（1）如图1，BEDF即为所求； （2）如图2．菱形BEDF即为所求． 【解析】 【分析】（1）连接AC和BD交于点O，连接点E与点O，并延长交BC于F，连接DF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形求解； （2）连接BD交AC于点O，延长BE与AD相交于点M，连接MO并延长，交BC于N，连接DN交AC于点F，连接BF、DF，利用一组邻边相等的平行四边形是菱形求解． 【详解】解：（1）连接AC和BD交于点O，连接点E与点O，并延长交BC于F，连接DF，BEDF即为所求； （2）连接BD交AC于点O，延长BE与AD相交于点M，连接MO并延长，交BC于N，连接DN交AC于点F，连接BF、DF，菱形BEDF即为所求． 【点睛】本题属于作图题．主要考查正方形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定等知识点． 17. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE． 【答案】 ∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC． 又∵CE⊥AB， ∴∠ADB=∠CEB=90°， 又∵∠B=∠B， ∴△ABD∽△CBE． 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，正确找到相似的条件是解题的关键． 四、（本题3小题，每题8分，共24分） 18. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）若是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根． 【答案】 （1）证明：方程的根的判别式为， ， ， ， 则无论取何值，此方程总有实数根； （2），它的另一个根为． 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程的根的判别式即可得； （2）先将代入方程可得一个关于k的一元一次方程，解方程可得k的值，再利用一元二次方程的根与系数的关系可得方程的另一个根． 【详解】（1）略 （2）由题意，将代入方程得：， 解得， 则方程为， 设此方程的另一个根为， 由一元二次方程的根与系数的关系得：， 解得， 综上，，它的另一个根为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 19. 如图，点C是的中点，四边形是平行四边形． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，求证：四边形是矩形． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，且AD=BC． ∵点C是BE的中点， ∴BC=CE， ∴AD=CE， ∵AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC， ∵AB=AE， ∴DC=AE， ∵四边形ACED是平行四边形， ∴四边形ACED是矩形． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED是平行四边形； （2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 20. 如图，在中，，是的中点，，垂足为． （1）证明：； （2）证明：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∵ ∴； （2） 证明：∵ ∴ ∵是的中点， ∴ ∴ 又∵ ∴． 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质， （1）根据题意得到，，即可证明出； （2）首先根据得到，然后由是的中点，等量代换得到，然后结合即可证明出． 解题的关键是掌握相似三角形的判定方法：①两组角对应相等的两个三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、（本题2小题，每题9分，共18分） 21. 年，仪征市某商场于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为元时，三月份销售件．四、五月该商品十分畅销．销售量持续上涨．在售价不变的基础上，五月份的销售量达到件． （1）求四、五这两个月的月平均增长率； （2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价元，月销量增加件，当商品降价多少元时，商场月获利元？ 【答案】（1） （2）当商品降价2或3元时，商场获利6240元 【解析】 【分析】设四、五这两个月的月平均增长率为x，利用五月的销量=三月的销售量×，即可得出关于x的一元二次方程，解出x即可求解． 设商品降价m元，则每件获利元，月销量为件，利用商场月销售利润=每件销售利润×月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解出m即可求解． 【小问1详解】 设四、五这两个月的月平均增长率为x， 依题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：四、五这两个月的月平均增长率为． 【小问2详解】 设商品降价m元，则每件获利元，月销量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 答：当商品降价2或3元时，商场获利6240元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，列出方程是解题关键． 22. 如图，在和中，，． （1）求证：； （2）连接，．若，求的长． 【答案】（1） 证明：， .. 在和中， ， . （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，证明并得到是解题的关键． （1）由等式的性质可得，然后根据，可证三角形相似； （2）由相似三角形的性质可得，然后结合可证，从而利用相似三角形的性质分析计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ， ． . 在和中， ， ． ， ． ． 六、（本题12分） 23. 中，，，点为直线上一动点（点不与，重合），以为边在右侧作正方形，连接． （1）探究猜想：如图，当点在线段上时， 与的位置关系为：______________； 、、之间的数量关系为：______________； （2）深入思考：如图，当点在线段的延长线上时，结论、是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸：如图，当点在线段的延长线上时，正方形对角线交于点．若已知，，请求出的长． 【答案】（1）； （2）结论成立，结论不成立，， 理由如下： 四边形是正方形， ，， ， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故结论仍然成立； ， ， ， ， 故结论不成立，正确结论是：； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，进而可证得，于是可得，利用直角三角形的两个锐角互余可证得，于是可得结论；由可得到，于是可得结论； （2）根据正方形的性质得到，进而可证得，于是可得，利用外角的性质可证得，于是可得结论；由可得到，于是可得结论； （3）利用勾股定理可求得，于是可得，，根据正方形的性质得到，进而可证得，于是可得，，利用直角三角形的两个锐角互余可证得，利用邻补角互补可求得，利用勾股定理可求得，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得出答案． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，， ， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即：， ， 故答案为：； ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 即：， ， ， 四边形是正方形， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等式的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，垂线的定义，外角的性质，勾股定理，利用邻补角互补求角度，直角三角形斜边中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期阶段监测试卷 九年级 数学 一、单选题（本题共6小题，每题3分） 1. 下列属于一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知四边形是平行四边形，当时，它是（ 　　） A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 平行四边形 3. 小军和小丽两位同学乘坐合肥地铁去参观渡江战役纪念馆，已知该地铁站共有A，B，C三个出站口，小军和小丽各自随机选一个出站口出站，那么小军和小丽恰好都是从B口出站的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，给出下列条件：①∠ADC=∠ACB，②∠B=∠ACD，③，④，其中不能判定∽的条件为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 5. 用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、填空题（本题6小题，每题3分，共18分） 7. 把方程整理成一般形式后，得______________． 8. 在菱形中，已知，，那么菱形的面积为______． 9. 为提升学生艺术素养，学校在周三同时开展了多种文艺社团活动．现从参加器乐、舞蹈和声乐这三个文艺社团的学生中随机抽取两名，他们恰好参加同一社团的概率为_____． 10. 若，则_________． 11. 已知，是一元二次方程的两根，则a2b +ab2 = ____________. 12. 菱形ABCD的对角线AC＝6cm，BD＝4cm，以AC为边作正方形ACEF，则BF长为______． 三、解答题（本题5小题，每题6分，共30分） 13. （1）如图，在中，，，、、分别是、、边上的中点．求证：四边形是正方形． （2）解方程： 14. 矩形中，平分交于，平分交于．求证：四边形为平行四边形． 15. 某超市销售一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应定为多少？ 16. 如图，已知正方形ABCD，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图（1），若点E在AD边上，连接BE，请作出BEDF； （2）如图（2），若点E在正方形ABCD的对角线AC上，请以BE，DE为边作一个菱形． 17. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE． 四、（本题3小题，每题8分，共24分） 18. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）若是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根． 19. 如图，点C是的中点，四边形是平行四边形． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，求证：四边形是矩形． 20. 如图，在中，，是的中点，，垂足为． （1）证明：； （2）证明：． 五、（本题2小题，每题9分，共18分） 21. 年，仪征市某商场于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为元时，三月份销售件．四、五月该商品十分畅销．销售量持续上涨．在售价不变的基础上，五月份的销售量达到件． （1）求四、五这两个月的月平均增长率； （2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价元，月销量增加件，当商品降价多少元时，商场月获利元？ 22. 如图，在和中，，． （1）求证：； （2）连接，．若，求的长． 六、（本题12分） 23. 中，，，点为直线上一动点（点不与，重合），以为边在右侧作正方形，连接． （1）探究猜想：如图，当点在线段上时， 与的位置关系为：______________； 、、之间的数量关系为：______________； （2）深入思考：如图，当点在线段的延长线上时，结论、是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸：如图，当点在线段的延长线上时，正方形对角线交于点．若已知，，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $