精品解析：江苏省苏州市2025-2026学年高二上学期期中阳光调研数学试卷

苏州市2025~2026学年第一学期期中阳光调研试卷高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，若，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列等差中项的性质直接求解即可． 【详解】在等差数列中，． 故选：C． 2. 直线过点，，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的斜率，再由斜率的定义即可得到倾斜角. 【详解】因为直线过点，，所以直线的斜率， 设直线的倾斜角，则，又，所以， 所以直线的倾斜角为. 故选：D. 3. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（ ） A. 10 B. 19 C. 21 D. 29 【答案】B 【解析】 【分析】设项数为，则，再利用等差中项的性质和等差数列的求和公式化简，然后计算可得. 【详解】设项数为， 则， . 此数列共有19项. 故选：B 4. 直线与直线及直线相交于同一点，且为的一个方向向量，则在轴上的截距为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得交点，再由方向向量可得直线斜率，接着求出直线方程即可． 【详解】联立方程，直线过点， 又为直线的一个方向向量，则直线斜率为1， 直线，当，，即在轴上的截距为． 故选：A 5. 已知数列满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到数列是周期为3的周期数列，结合，即可求解. 【详解】因为数列满足， 可得，，，…， 可得数列是周期为3的周期数列，所以. 故选：B. 6. 已知点，，点在轴上，是直角三角形，这样的三角形的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设点C的坐标，讨论当分别为直角时的情况，求得点C的坐标，得满足题意的三角形共有3个. 【详解】设.显然直线斜率都存在. 若为直角，则，所以，解得； 若为直角，则，所以，解得； 若为直角，则，所以，解得. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 方法二：若为直角，则，解得； 若为直角，则，解得； 若为直角，则，解得. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 方法三：当为直角顶点时，显然有两个这样的直角三角形； 若为直角顶点，中点，，则，而点到距离为5，此时有唯一点，符合要求. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 7. 已知等比数列的首项为64，公比为，记为数列的前项积，则当时正整数的最大值为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式求出，再结合数列的单调性分析时正整数的取值. 【详解】由题意，，， ，，， 当时正整数的最大值为12. 故选A. 8. 已知点是圆上的动点，点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一根据几何意义并结合正弦定理直接求解；法二，再根据余弦定理并结合基本不等式得即可求解；法三设，则，结合为锐角，即可得到的最大值即可． 【详解】法一：如图，设过，，三点的圆的半径为， 则，又， 所以，则是锐角，可得， 故取最大，最大， 则时，取得最小值，此时， 而是锐角，此时， 法二：如图，结合圆的性质设， 则由余弦定理得， 由基本不等式得， 当且仅当，即时取等， 故， 则的最大值是； 法三：设，由正弦定理得， 即，则， 因为，所以， 故为锐角，得到的最大值为． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得相应的分数，有选错的得0分. 9. 正实数，，不全相等（ ） A. 若，，是等差数列，则，，也是等差数列 B. 若，，是等比数列，则，，也是等比数列 C. 若，，是等差数列，则，，也是等差数列 D. 若，，是等比数列，则，，也是等比数列 【答案】BD 【解析】 【分析】利用赋值法可判断AC；利用等比中项法可判断BD. 【详解】对于A，取，则，， 所以，，不成等差数列，故A错误； 对于B，若，，是等比数列，则，所以， 所以，，是等比数列，故B正确； 对于C，取，则， 又，故，，不是等差数列，故C错误； 对于D，若，，是等比数列，则， 又，所以，，是等比数列，故D正确. 故选：BD. 10. 已知直线，圆（ ） A. 对任意实数，直线恒过定点 B. 对任意实数，直线与圆相交，且被圆截得弦的长度最小值是4 C. 存在实数，使得直线分圆所得弧长之比为 D. 存在实数，使得圆上有3个点到直线的距离为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】将直线化为，即可求出直线恒过的定点，判断A；判断直线过的定点在圆内，结合额圆的结合性质以及弦长公式可判断B；由题意可确定劣弧所对圆心角为，求出此时弦长，结合B的分析可判断C；由题意可得圆心到直线距离为，结合圆心到直线的距离，比较大小，即可判断D. 【详解】直线即， 令，解得， 所以直线过定点，故A正确； ，故定点在圆内，直线与圆相交， 设，由圆的几何性质，当直线与垂直时，弦长最小， ，则最小弦长为，故B错误 对于C，若直线分圆所得弧长之比为1:3，则劣弧所对圆心角为， 此时弦长为，而，故这样的直线是存在的， 存在实数满足条件，故C正确 对于D，圆半径为，若圆上有3个点到直线的距离为1， 则圆心到直线距离为，圆心到直线的距离， 而，存在实数满足条件，故D正确 故选：ACD. 11. 已知数列满足，，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据递推式计算即可；对于B，由题可得，再根据即可推导；对于C，可举例判断；对于D，由题知，，再利用累加法即可求解． 【详解】，，，，，故A正确； 对于B，由， ，故B正确 对于C，当时，，而，，故C错误. 因为，， 即，，…， 累加得 ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点的直线与圆相交于，两点，且.请写出满足要求的一条直线的方程：___________. 【答案】或.（写出其中一个即可） 【解析】 【分析】讨论直线的斜率是否存在，斜率存在时，设出直线方程，结合弦长公式即可求出直线斜率，即可得答案. 【详解】由题意知过点的直线与圆相交于，两点， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，代入中， 可得，即坐标为，此时，符合题意； 当直线的斜率存在时，设方程为，即， 设圆心O到直线l的距离为d，则， 由，圆的半径可得，即，解得， 故，解得， 故直线l的方程为，即， 故答案为：或.（写出其中一个即可） 13. 已知数列满足，，则的值为___________. 【答案】29 【解析】 【分析】由已知可得，可得是等差数列，可求得. 【详解】由，可得，两式相减， 是首项为1，公差为4的等差数列， . 故答案为：. 14. 如图，在一个大圆中放入两个半径之比为1：2的小圆，使得两小圆外切，且它们均内切于大圆，且三个切点共线，记为一次操作.之后的每次操作，都在前一次放入的较大的圆中进行上述操作，现有一个半径为1的大圆，则4次操作后图中最小的圆的半径为___________，次操作后图中所有圆的面积总和为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意可知小圆半径是首项为，公比为等比数列；大圆半径是首项为，公比为等比数列，结合等比数列前项和公式计算即可求解. 【详解】次操作后，小圆的半径依次为， 大圆的半径依次为， 所以小圆半径是首项为，公比为等比数列， 大圆半径是首项为，公比为等比数列， 4次操作后图中最小的圆的半径为； 次操作后，小圆面积和为： ， 大圆面积和为： 所以大圆与小圆面积和为， 则所有圆的面积总和为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点分别是，，. （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求的外接圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出边的中点坐标，再根据直线两点间的斜率公式得到中线斜率，使用点斜式写出直线方程；（2）设圆的一般方程，代入顶点坐标即可求出外接圆的方程. 【详解】（1）线段中点为，则边中线的斜率为， 所以边上的中线所在直线方程为化简得， （2）设外接圆一般方程为，代入三点坐标得， 解得， 即的外接圆方程为， 即. 16. 已知圆，圆. （1）判断并证明圆，圆的位置关系； （2）若两圆与相交于，两点，满足，则称圆与圆正交.现有动圆与圆，圆均正交，自引动圆的切线.求证：切线长是定值. 【答案】（1） 两圆内含. 证明：因为圆圆心，半径，圆圆心，半径， 圆心距，所以两圆内含. （2） 证明：设动圆圆心，半径为，动圆与圆交于，两点，由题意有， 所以，即， 动圆与圆交于，两点， 同理可得，即，故， 则有整理得，即圆心， 所以半径， 自引动圆的切线，切线长， 所以切线长是定值. 【解析】 【分析】（1）求出圆心距即可判断两圆的位置关系. （2）设出动圆的圆心和半径，根据 “两圆正交” 的定义，分别列出动圆与圆，圆正交的方程； 联立方程，消去半径，推导出圆心的轨迹方程；利用切线长公式，结合圆心轨迹方程，计算从引动圆的切线，即可证明其为定值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 记数列的前项和为，满足.记数列的前项和为，满足，，. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用，的关系可求得；，可得递推关系，进而可得，可求通项公式； （2）利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 ，当时， 数列是首项为2，公比为2的等比数列， 由得， 整理得①，② ②-①得，即 即数列是等差数列，，，， 【小问2详解】 ， ， 两式相减， 即数列的前项和. 18. 已知数列的第项是由个1构成的位数，如：，，，…数列的第项是由1或2构成的所有位数的和，如：，，，… （1）求数列的通项公式及其前项和； （2）试求出，并直接写出数列的一个通项公式（无需说明理由）； （3）求满足不等式的正整数的最小值.（参考数据：，） 【答案】（1），； （2）， （3）7 【解析】 【分析】（1）依题意可得，从而得到，即可求出的通项公式，再由分组求和法计算可得； （2）依题意是由个位数相加，其个位上的数字和为， 十位上的数字和为，，第位上的数字和为，即可求出，再由，求出的通项公式； （3）由（1）（2）可得，再结合指数函数的性质计算可得. 【小问1详解】 依题意， 所以，又， 所以数列为常数列，， ， ； 【小问2详解】 依题意是由个位数相加，其个位上的数字和为， 十位上的数字和为，，第位上的数字和为， 又，，， 所以， ， 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即； 【小问3详解】 由，即，， 即，所以， 又在定义域上单调递增，且，， 所以的最小值为. 19. 已知圆，点是圆上一动点，点是平面直角坐标系中一点，动点满足. （1）若，点的坐标为，求动点的轨迹方程； （2）若，点为圆上的动点.试问：是否存在定点恒在动点的轨迹上？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若，，记为动点在时轨迹的面积，求满足对任意恒成立的最小正整数. 【答案】（1） （2）存在， （3）2 【解析】 【分析】（1）设，再根据，得到代入圆即可求轨迹方程； （2）设，，则，再代入得到的轨迹方程即可证明； （3）设，，则，进而得到的轨迹方程且，再根据进行放缩求和即可． 【小问1详解】 ，设，则 代入圆得：，即 即动点的轨迹方程为：； 【小问2详解】 ，设，，则 ，分别在圆和圆上，则 整理可得的轨迹方程为. 显然恒过定点，故； 【小问3详解】 时，，设，，则 代入圆得： 即的轨迹方程为：，则 ，则，故 时，，故 所以，因此最小正整数的值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州市2025~2026学年第一学期期中阳光调研试卷高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，若，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 直线过点，，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（ ） A. 10 B. 19 C. 21 D. 29 4. 直线与直线及直线相交于同一点，且为的一个方向向量，则在轴上的截距为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知数列满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 6. 已知点，，点在轴上，是直角三角形，这样的三角形的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知等比数列的首项为64，公比为，记为数列的前项积，则当时正整数的最大值为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 8. 已知点是圆上的动点，点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得相应的分数，有选错的得0分. 9. 正实数，，不全相等（ ） A. 若，，是等差数列，则，，也是等差数列 B. 若，，是等比数列，则，，也是等比数列 C. 若，，是等差数列，则，，也是等差数列 D. 若，，是等比数列，则，，也是等比数列 10. 已知直线，圆（ ） A. 对任意实数，直线恒过定点 B. 对任意实数，直线与圆相交，且被圆截得弦的长度最小值是4 C. 存在实数，使得直线分圆所得弧长之比为 D. 存在实数，使得圆上有3个点到直线的距离为1 11. 已知数列满足，，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点的直线与圆相交于，两点，且.请写出满足要求的一条直线的方程：___________. 13. 已知数列满足，，则的值为___________. 14. 如图，在一个大圆中放入两个半径之比为1：2的小圆，使得两小圆外切，且它们均内切于大圆，且三个切点共线，记为一次操作.之后的每次操作，都在前一次放入的较大的圆中进行上述操作，现有一个半径为1的大圆，则4次操作后图中最小的圆的半径为___________，次操作后图中所有圆的面积总和为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点分别是，，. （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求的外接圆的方程. 16. 已知圆，圆. （1）判断并证明圆，圆的位置关系； （2）若两圆与相交于，两点，满足，则称圆与圆正交.现有动圆与圆，圆均正交，自引动圆的切线.求证：切线长是定值. 17. 记数列的前项和为，满足.记数列的前项和为，满足，，. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和. 18. 已知数列的第项是由个1构成的位数，如：，，，…数列的第项是由1或2构成的所有位数的和，如：，，，… （1）求数列的通项公式及其前项和； （2）试求出，并直接写出数列的一个通项公式（无需说明理由）； （3）求满足不等式的正整数的最小值.（参考数据：，） 19. 已知圆，点是圆上一动点，点是平面直角坐标系中一点，动点满足. （1）若，点的坐标为，求动点的轨迹方程； （2）若，点为圆上的动点.试问：是否存在定点恒在动点的轨迹上？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若，，记为动点在时轨迹的面积，求满足对任意恒成立的最小正整数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $