云南省曲靖市马龙区2026-2027学年高三上学期10月期中数学试题

高三数学参考答案 题序 1 2 3 4 5 6 6 9 10 11 12 13 14 答案 C A B B C 17 A D ABD AC ACD 一0∞，一2 ±2 2 【评分细则】 【1】第1~8题，凡与答案不符的均不得分. 【2】第9~11题，全部选对的得6分，有选错的不得分，部分选对的得部分分（第9,11题，每选对 一个得2分：第10题，每选对一个得3分) 【3】第12~14题，凡与答案不符的均不得分（第14题，只答对士2中的一个数不给分）. 1.A【解析】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养 -2+5i=5+2i. i 2.C【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养。 因为B={0,士1，±8，±27，…}，所以A∩B={-1,0,1}. 3.A【解析】本题考查统计，考查数据分析与数学运算的核心素养 去掉最小数与最大数后所得新数据为6,7,9,10，中位数是8，原数据的中位数也是8，A 正确。 去掉最小数与最大数前和去掉最小数与最大数后数据的极差分别是8和4，B错误 去掉最小数与最大数前和去掉最小数与最大数后数据的平均数都是8，C错误， 这组样本数据的80%分位数是10，D错误 4.B【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查数学运算的核心素养。 设圆O的半径为r,圆心O到l的距离为d,则|AB|=2Vr2-d2=2√8-2=4. 5.B【解析】本题考查函数的性质，考查直观想象与逻辑推理的核心素养. 因为f(1一x)=f(1十x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称.又f(x)在[1，十∞)上是 增函数，所以f(x)在(-∞，1)上是减函数，且f(3)=f(一1)=0.不等式(x+1)f(x)>0可 转化为 x+1>0,.x+1<0, 或 f(x)>0f(x)<0, 解得x>3,即不等式的解集为(3，十∞). 6.C【解析】本题考查等差数列，考查应用意识与数学运算的核心素养 记第n层挂的灯笼数量为am,则{an}为等差数列，且a1=l0.记{an}的公差为d,则{a,}的前 7项和为7a1十7X6d=49,解得d=一1，所以a,=a1十6d=4,故最上面一层挂的灯笼数量 2 为4. 7.A【解析】本题考查椭圆的定义与性质，考查直观想象的核心素养， 【高三数学·参考答案第1页（共7页）】 如图，易得|PM=|MF1|,所以PF2|=2a.连接ON,则ION|= a,点N在以O为圆心，a为半径的圆上，且N与短轴顶点的最大距 离为a+6=,则a=6,所以离心率e-√-（合）-2 1 8.D【解析】本题考查圆台的外接球的表面积，考查直观想象的核心素养 不妨设球心O在圆台M的内部，球O的半径为r,球心O到圆台M的上底面的距离为d,则 球心O到圆台M的下底面的距离为17-d.又r2=52+d2=12+(17-d)2,解得d=12,则 r=13,所以球O的表面积为4πr2=676π. 9.ABD【解析】本题考查导数在研究函数中的应用，考查逻辑推理的核心素养！ f'(x)=3ax2+2bx十c.因为函数f(x)的单调递增区间为（一2,2），所以f'(x)=0的两根 为-2,2，且当x∈(-2,2)时，f'(x)>0,所以a<0,A正确 根与系数的关系得一2=0，=一4，所以b=0,c=一12Q>0,B,D均正确，C错西 10.AC【解析】本题考查数列，考查推理论证能力与数学运算的核心素养. 因为a1=1,a2=2,am+2=am+1am,所以a3=2,a4=4,a5=8,a6=32,a7=256, S5=1+2+2+4+8=17,A正确， 由已知得a2026=a2025a2024,a2024=a2023a2022,a2022=a2021a2020,·,a4=a3a2,a2=2, a1=1,所以a2026=a2025a2023a2021…a5a3a2=a202sa2023a2021…a5a3·2=2a2025a2023· a2o21a5a3a1,B错误. 又T2026=a2026T2025,所以T2026=2a1a3a5…a2023a2025T2025,C正确. 因为T1=S1=a1,且由题设可知当n>1时，an均为偶数，所以当n>1时，Sm恒为奇数，Tm 恒为偶数，所以不存在不相等的两个正整数m,,使得Tm=S,m,D错误， 11.ACD【解析】本题考查双曲线的性质，考查数学运算的核心素养 离心率eE(,2,胍2<<2，得2<4,2<1十64，所以1<<8， 0 y一合：的斜率及=名∈1w),则该直线的倾斜角的取值范国为（于，），故Λ正确 直线1与双曲线E的两个交点A,B可能都在同一支（右支）上，也可能分别在左、右两支上 当两个交点A,B都在右支上时，通径最短，即直线l与x轴垂直时，弦AB最短，这时|AB =26 ;当直线1与双曲线E的两支都相交时，交点A,B都在x轴上时，弦AB最短，这时 A8-2a.由e∈2,2》，可得1<台<5，所以20>2a,所以弦AB长度的最小值为2a, 故B错误 6 因为渐近线y一名的倾斜角总大于T,所以当直线1垂直于渐近线y一名x时，直线1的倾 斜角大于不，这时直线1与另一条渐近线y=名：的交点在第二象限，则直线1与双曲线 【高三数学·参考答案第2页（共7页）】 E的两支都相交，故C正确. y=2x-2c, 当直线1的斜率为2时，l的方程为y=2x-2c.由x2y2,消去y整理得(b2-4a2)x2 (a26-1, +8a2cx-4a2c2-a2b2=0(b2-4a2≠0)， 则△=(8a2c)2-4(b2-4a2)(-4a2c2-a2b2)=4a2b2(4c2+b2-4a2)=20a2b4>0. 设Axi,B(xy).因为1<名<3，可得a2<b<3a,4a2-62>0, 则x1十x2=一 8a2c 8a2c -4a2c2-a2b24a2c2+a2b2 2-4a2-4a2-b2x1x2= b2-4a2 4a2-62, 10a·a2 62 所以AB1=5引x1-xa=5·√(4a-6》 /8a2c1216a2c2+4a2b210ab2 4a2-b2 4a2-b2 4 a2 —(1<3,则AB1-20∈，3》所以g<1AB<30a,D正确， 4-4-1 t 12. 【解析】本题考查平面向量的模与夹角，考查数学运算的核心素养， 因为a+b|=√2，所以a2+b2+2a·b=1+1十2a·b=2,即a·b=0,所以a与b的夹角 为经 13.(-o,-2] 【解析】本题考查函数与不等式恒成立问题，考查数学运算的核心素养」 当x>0时，ex∈(0,1)，ex-1∈(-1,0)；当x≤0时，3-2x∈[3，+∞).所以f(x)> -1,则2a≤-1，解得a≤-2： 14.士2【解析】本题考查三角函数与三角恒等变换，考查数学运算与逻辑推理的核心素养. 由题意可得asin a+csa-b,即a·2sin2cos号=b(1-cosa)=2bsin号.当sin号-0 时，a=2kπ，k∈Z.若k=0,则a=0,|OM1=√a+b=|b1=2,解得b=±2.若k≠0， Oi=Va+不≥|a≥2，不符合题意.当sin号≠0时，acos号=bsin号，即6- a a acos 2 a'cos ,|OM=√a2+b= a2 2 2 =2· .因为|xl>|sinx|(x≠0)，所 a sin 2 2 sin 2 a 以号>sin号引，即1oi=2.2 >2,不符合题意.综上，b=士2. sin 2 【高三数学·参考答案第3页（共7页）】 15.解：(1)由题意得X~B(10,), 2分 所以Dx)-10x号×1-)-号 …5分 (2)由(1蜘E(X)=10x号=6. …7分 因为Y=5X-3(10-X)=8X-30, 10分 所以E(Y)=E(8X-30)=8E(X)-30=18. 13分 16.解：(1)因为os(A十B) sin(g-B） =0 6 所以-cosC+cosB b 0. 2分 由正弦定理得os Bcos C sin C sin B’… 3分 所以sin2B=sin2C.… 4分 因为0B<π，0<C<π，所以2B=2C或2B十2C=π，… 6分 所以B-C或B十C-受，则B=C或A=云，故△ABC是等腰三角形或直角三角形. …8分 2)因为A=石≠7，所以B=C,从而b=c.…10分 (方法一B=2-晋由品BA得6-需日 b a asm(+) =1十√3，… sin A sin 6 。。 14分 所以△ABC的周长为2(1十√3)+√2=2√3十√2+2.…15分 (方法二)设b=c=x,由余弦定理得2=x2十x2-2x2cos 6,…11分 解得x2=2 =4十2W3,…13分 2-√3 所以x=1十√3.… …14分 所以△ABC的周长为2(1十√3)+√2=2√3+√2+2. 15分 17.(1)证明：因为AD⊥平面PAB,PBC平面PAB,所以AD⊥PB.…2分 又AB=AP,E为PB的中点，所以AE⊥PB.…3分 因为AD∩AE=A,所以PB⊥平面ADE.…4分 因为DEC平面ADE,所以PB⊥DE.…5分 【高三数学·参考答案第4页（共7页）】 又E为PB的中点，所以DB=DP.… 6分 (2)解：以A为坐标原点，AD,AB所在直线分别为x,y轴建立如图所示的空间直角坐 标系。 …7分 13 设AB=2,则A(0,0,0),B(0,2,0),P(0,-1wW3),E(0,2,2)C(1,1,0).…9分 由(I)知PB⊥平面ADE,所以平面ADE的一个法向量为BP =(0,-3,W3).…10分 设平面ACE的法向量为n=(x,y,z), 因为aC-1,10).A-(0,2,》, …11分 (AC.n=x+y=0, 所以 000e400g 12分 令x=1,得n=(3,-√3,1). 13分 设平面ADE与平面ACE的夹角为0， 则cos0=|cos(B产，n1=IB2·n_3W3+V3 2√7 IBP1In2√3×√7 7 2√7 即平面ADE与平面ACE夹角的余弦值为7 15分 18.(1)解：易知D(号±p): 1分 因为△ODF的面积为1，所以2·号·p=1, 2分 解得p=2,… 3分 故C的方程为y2=4x. …4分 (2)(1)证明：由(1)知E(-1,0),F(1,0). 设直线AB的方程为x=y十1(2≠行)，A(1y）,B(c2g）.…5分 (x=ty+1, 由 消去x得y2-4ty-4=0,…6分 y2=4x, 所以y1十y2=4t,y1y2=一4，则A,B两点的纵坐标之积为定值.…7分 )解：直线EA的方程为y二十《z十)，…8分 设1的方程为x=3y十m,G(a,9c),HHr). 【高三数学·参考答案第5页（共7页）】 3y十m, 由 得北=6同理得y=后 3(m+1)y2 …10分 7+ y= 1 x=3y+m'得yM 3(m-1) 设M(xM,yM).由 3t-1 11分 x=ty+1, 因为X-所以NP=GN1·HN, 则坊=一0化商--中 …13分 易知m≠1，所以m-1)2_(3-1)2 (m+1)2 9t2+8 …14分 因为多-（片+号广+吕≥8当=时等号成. …15分 t 3 所以m十1)只8 m-≥9，解得m≤-17-122或m≥-17+122且m≠1. 故l在x轴上的截距的取值范围为(-∞，-17-12√2]U[一17+12√2,1)U(1,+∞) …17分 19.(1D解：因为f(x)=x-x2+lhx,x>0,所以f'(x)=1-2z十1=-(2x+1Dz-1) 工 …分 当x∈(0,1)时，f(x)>0,f(x)单调递增，当x∈(1，+∞)时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 2分 故f(x)的最大值为f(1)=0.…3分 2)解：由Vxe0,1,fc)≥a--+1,得Vxe0.1]a≤1++- 4分 令Ax=1++20≤.则=是+1h+号-2-h》9 xx …5分 令p(x)=x(2-lnx)-2(0<x≤1)，则p'(x)=1-lnx>0在(0,1]上恒成立，则p(x)在 (0,1门上单调递增，则p(x)≤p(1)=0,…6分 从而h'(x)≤0在(0,1]上恒成立，则h(x)在(0,1]上单调递减，则h(x)≥h(1)=1,… …7分 故a的取值范围为（一∞，1].… ……8分 (3)证明：不妨令an<bn,则由(1)可知0<an<1<bn 9分 【高三数学·参考答案第6页（共7页）】 令H(x)=g(x)-g(2-x)(0<x<1),则H'(x)=g'(x)+g'(2-x)= -(2x+1)(x-1)_(5-2x)(1-x)_2(1-x)2 2-x x(2>0在(0,1)上恒成立，则H(x)在(0,1) 上单调递增，则H(x)<H(1)=0,则g(x)<g(2一x)在(0,1)上恒成立.·10分 由0<am<1<bn,得g(am)<g(2-am).因为g(bn)=g(an),所以g(bu)<g(2-am).… …11分 又bn∈(1，十∞)，2-an∈(1，十∞)，且g(x)在(1，十∞)上单调递减，所以bm>2-am,即 an十bn>2.…12分 由bn-b员+nbn+n=0,得lnbn=b号-bn-n. 因为bm>1,所以易得lnbn<bn-1,…13分 则由lnbn=b-bn-n,得b员-bn-n<bm-1,则b%-2bnm-n十1<0， 即[bn-(√n+1)][bn+(√n-1)]<0,得1-√n<bn<√n+1, 从而1<b<√十1.…14分 同理，由0<an<l,g(an)-an-a十lnan十n-0,得an-a+lnan=-n. 由g(am+1)=am+1-a+1十lna+1+n+1=0,得an+1-a2+1十lna+1=-n-l, 则am+1一a员+1十In an+1<am一a员+lnam,即f(amt1)<f(am). 因为f(x)在(0,1)上单调递增，所以an+1<am,故an≤a1.…15分 由2)可知，当a=1时，由fx≥x-2-+1,得1nx1-。 因为a1a号+ha1+1=0(0<a,<1),所以1na1>1- ar' 则ai-a-1>1-即a-a-2a,+1>0 设k(x)=x3-x2-2x+1(0<x<1), 则k'(x)=3x2-2x-2,当0<x<1时，k'(x)<0, 则)在0,1上单调递减，因为k(0)=1>0,k(分)=-日<0， 所以0<a1<则a,<a<号则a,+b,<瓜+， 16分 放2<a,+6.<n+ 17分 【高三数学·参考答案第7页（共7页）】 高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． A． B． C． D． 2．已知集合，，则 A． B． C． D． 3．已知一组样本数据为4，6，7，9，10，12，则 A．去掉最小数与最大数后所得新数据与原数据相比，中位数不变 B．去掉最小数与最大数后所得新数据与原数据相比，极差不变 C．去掉最小数与最大数后所得新数据与原数据相比，平均数变小 D．这组样本数据的80%分位数是9 4．已知直线与圆相交于，两点，若圆心到直线的距离为2，则 A．2 B．4 C．6 D．8 5．已知函数在上单调递增，，，则不等式的解集是 A． B． C． D． 6．挂灯笼是中国年俗文化的重要组成部分．某七层古塔共挂了49盏灯笼，最下面一层挂了10盏灯笼，每上一层灯笼减少盏，则最上面一层挂的灯笼数量为 A．6 B．5 C．4 D．3 7．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是该椭圆上的任意一点，过作的外角平分线的垂线，垂足为，且点与短轴顶点的最大距离为，则该椭圆的离心率为 A． B． C． D． 8．已知圆台的上底面的半径为5，下底面的半径为12，高为17．若圆台的上、下底面的圆周都在球上，则球的表面积为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的单调递增区间为，则 A． B． C． D． 10．已知数列满足，，，为的前项和，为的前项积，则 A． B． C． D．存在正整数，，使得 11．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，的离心率，过右焦点的直线交双曲线于，两点，则下列结论正确的是 A．直线的倾斜角的取值范围为 B．弦长度的最小值为 C．当直线垂直于渐近线时，直线与双曲线的左、右两支都相交 D．若直线的斜率为2，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知单位向量，满足，则与的夹角为________． 13．已知函数若恒成立，则的取值范围为________． 14．已知为坐标原点，点在函数的图象上．若，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 小明参加某次科技知识竞赛，需解答10个题目，已知小明答对每道题目的概率均为．设小明答对的题数为． （1）求； （2）已知每答对一题得5分，答错一题扣3分，小明最后的得分为分，求． 16．（15分） 记的内角，，的对边分别是，，，已知． （1）判断的形状； （2）若，，求的周长． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点． （1）证明：平面，且． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18．（17分） 如图，已知抛物线的焦点为，点在上，（为坐标原点），的面积为1． （1）求的方程． （2）设的准线与轴的交点为，过的直线与交于，两点，若斜率为3的直线与直线，，，轴依次交于点，，，，且满足． （ⅰ）证明：，两点的纵坐标之积为定值． （ⅱ）求在轴上的截距的取值范围． 19．（17分） 已知函数． （1）求的最大值； （2）若，，求的取值范围； （3）记函数的零点分别为和，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $