24.2直角三角形的性质(基础篇）练习2025-2026学年华东师大版 数学九年级上册

24.2直角三角形的性质 (30分提至70分使用) 讲 义 概 览 直角三角形的性质 新课探索 直角三角形的判定 讲义内容 斜边的中线等于斜边的一半 题型练习 含30度角的直角三角形 新 课 探 索 考点一、直角三角形的性质 1.直角三角形的两个锐角互余. 可表示如下：∠C-90°→∠A+∠B-90° 2.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 4.勾股定理 直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方，即 a2+b2=c2. 5.摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影 的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比 例中项 6.常用关系式 由三角形面积公式可得：AB.CDAC.BC 考点二、直角三角形的判定 1.有一个角是直角的三角形是直角三角形. 2.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形 是直角三角形. 3.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a,b,c有关系a2+b2=c2,那么这个三 角形是直角三角形. 题 型 练 具 斜边的中线等于斜边的一半 1.已知：如图，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点. (I)求证：MN⊥BD (2)当LBAD=-时，MN=BD 2.如图，已知ABC中，AD是BC边上的中线，点E、F分别在边AB、AC上，且 EF∥BC,EF与AD相交于点M. M D (I)求证：EM=MF; (2)连接DE、DF,若DE⊥DF,BC=6,AD=4,求EF的长. 3.己知：如图，在ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，点E是ABC外的一 点，AE∥CD,CE∥AB.试判断四边形ADCE的形状，并说明理由. B 4.如图，在平面直角坐标系中，0A=4,0B=3,AC=0C,且∠0CA=90°，AB与0C 交于点D.求： A ◇C D O B衣 (I)直线AB对应的函数表达式； (2)△AOD的面积. 5.已知，如图，∠ABC=∠ADC=90°，M,N分别是AC,BD的中点. D BL (I)求证：BM=DM; (2)求证：MN⊥BD. 含30度角的直角三角形 6.如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O,∠AOD=120°，AB=3,求： O (①)求∠ADB的度数； (2)求矩形ABCD的面积. 7.在平面直角坐标系中，点Aa,0),C(0,a,a>1,点B在线段0C上，连接AB,点 D1,I在AB上，连接OD,CD. B D y (1)求证：OD垂直平分AC; (2)若BD=BC,求AOB的面积.（用含a的式子表示） 8.如图，ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E,使CE=CD. D B (I)求证：DB=DE; (2)过点D作DF⊥BE,垂足为F,若CF=2,则△ABC的周长为_， 9.已知：如图，在ABC中，AB=AC,∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC, AB于点M,N,求证：CM=2BM. N A IO.如图，在等边ABC中，P为AB边上的一点，线段BC与DC关于直线CP对称，连接 DA并延长交直线CP于点E. D (①)若∠ACE=20°，求LCED的度数； (2)若AE=1,CE=5,求AD的长 24.2直角三角形的性质 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 考点一、直角三角形的性质 1. 直角三角形的两个锐角互余． 可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90° 2. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 4. 勾股定理 直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即． 5. 摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项． 6. 常用关系式 由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC 考点二、直角三角形的判定 1. 有一个角是直角的三角形是直角三角形． 2. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 3. 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形． 型 习 练 题 斜边的中线等于斜边的一半 1．已知：如图，，M、N分别是的中点． (1)求证： (2)当 时，． 【答案】(1)见解析 (2)45 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用直角三角形斜边上的中线性质可得，，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答； （2）先利用直角三角形斜边上的中线性质可得，，从而可得，，然后利用三角形的外角性质可得，，从而可得，最后在中利用直角三角形的斜边上的中线性质可得，即可解答． 【详解】（1）证明：，点M是的中点， ，， ，即是等腰三角形， 点N是的中点， ； （2）解：当时，， 理由：，点M是的中点， ，， ，， 是的一个外角， ， 是的一个外角， ， 当时， ， 点N是的中点， ， 故答案为：． 2．如图，已知中，是边上的中线，点E、F分别在边上，且，与相交于点 (1)求证：； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，证明、是解题的关键． （1）由中，是边上的中线可得，由，与相交于点M，可证明、，则，所以，则 （2）由可得，所以，因为，，所以，，由，得，求得，则 【详解】（1）证明：中，是边上的中线， ， ，与相交于点， ，， ，， ，， ， ， ． （2）解：， ， 是的中点， ， ，， ，， ， ，解得：， ， 的长为． 3．已知：如图，在中，，为边上的中线，点是外的一点，，．试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】菱形，见解析 【分析】本题考查了证明四边形是平行四边形，证明四边形是菱形，斜边的中线等于斜边的一半，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定求解． 【详解】解：四边形是菱形．理由如下， 在中，，是边上的中线， ，， ． ，， 四边形是平行四边形． ， 是菱形． 4．如图，在平面直角坐标系中，，，，且，与交于点D．求： (1)直线对应的函数表达式； (2)的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的图像和性质是解题的关键． （1）用待定系数法求解解析式即可； （2）过点C作于点H，求出直线解析式，再求点D坐标，由三角形面积公式可求解． 【详解】（1）解：，， 点A，B的坐标分别为，． 设直线对应的函数表达式为． 把，代入， 得，解得   直线对应的函数表达式为． （2）解：过点C作于点H． ，， ． 点C的坐标为． 设直线对应的函数表达式为． 把代入，得，解得． 直线对应的函数表达式为． 联立方程组解得； 点D的坐标为． 的面积为：． 5．已知，如图，，分别是的中点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】本题考查三角形相关性质证明，涉及直角三角形性质、等腰三角形性质，熟记三角形相关性质是解决问题的关键． （1）连接，如图所示，在和中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，等量代换即可得证； （2）由（1）知，，在中，点是的中点，即是底边上的中线，由等腰三角形“三线合一”性质即可得证． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ，是的中点， ，， ； （2）证明：如图所示： 由（1）知，， 在中，点是的中点，即是底边上的中线， 又， 由等腰三角形“三线合一”性质可得，． 含30度角的直角三角形 6．如图，在矩形中，两条对角线相交于点，，，求： (1)求的度数； (2)求矩形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，再根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理求出角度即可； （2）借助角所对直角边是斜边的一半得到，再根据勾股定理求出的长度，进而求出面积． 【详解】（1）解：因为四边形是矩形，根据矩形性质， 对角线，且对角线互相平分， 即， ， 在中，， ， ． （2）在中，， 根据直角三角形中，斜边是角对边的2倍， ， 根据勾股定理可得， 故矩形面积为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，含角的直角三角形性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 7．在平面直角坐标系中，点，，，点在线段上，连接，点在上，连接， ． (1)求证：垂直平分； (2)若，求的面积．（用含的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长交于，过点作，则，进而得是的平分线，再根据等腰直角三角形的性质即可得出结论； （2）先证明，在根据得，则，由此得，然后再利用含 有角的直角三角形的性质及勾股定理可求出的长，即可求解． 【详解】（1）证明：延长交于，过点作，如图所示： ∵ ∴ ∴点在的平分线上， ∴是的平分线， ∵点，，， ∴ ∴， ∴垂直平分 （2）解：∵ ∴ ∵垂直平分 ∴ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ 由勾股定理得： ∴ ∴ ∴ . 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解线段垂直平分线的定义，坐标与图形，熟练掌握等腰三角形的性质，灵活运用含有角直角三角形的性质，勾股定理进行计算是解决问题的关键． 8．如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使． (1)求证：； (2)过点D作，垂足为F，若，则的周长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查等边三角形的性质，直角三角形性质及三角形外角的性质；利用三角形外角的性质得到是正确解答本题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，，再根据角之间的关系求得，根据等角对等边即可得到． （2）由的长可求出，进而可求出的长，则的周长即可求出． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，由（1）知，， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 9．已知：如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点M，N，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了含的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟知含的直角三角形的性质定理．连接，根据垂直平分线的性质可得，从而得到，再由等腰三角形的性质可得，进而得到，再由的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵在中，， ∴． 10．如图，在等边中，为边上的一点，线段与关于直线对称，连接并延长交直线于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据等边三角形的性质可得，设，从而可得，再根据轴对称的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的性质可得的度数，最后根据三角形的内角和定理、以及即可得； （2）先同（1）的方法可得，过点作于点，根据含度角的直角三角形的性质求得，根据，然后根据等腰三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， 设，则， 由轴对称的性质得：， ， 又， ， ， 当，即时， 则， ， ； （2）解：设， 由（1）已得：， ， 如图，过点作于点， 在中，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $