浙江省宁波市余姚市子陵中学教育集团2025-2026学年九年级上学期11月月考数学试题

浙江省宁波市余姚市子陵世南中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷 1．（2025九上·余姚月考）下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（　　） A．瓜熟蒂落 B．旭日东升 C．守株待兔 D．夕阳西下 【答案】C 【知识点】事件的分类；可能性的大小 【解析】【解答】解：A、瓜熟蒂落，是必然事件，不符合题意； B、旭日东升，是必然事件，不符合题意； C、夕阳西下，是必然事件，不符合题意； D、守株待兔，是随机事件，所反映的事件发生的可能性很小，符合题意； 故选： D. 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案. 2．（2025九上·余姚月考）下列函数中，一定是二次函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：A选项 ，当a=0时，y=bx+c，不是二次函数； B选项 =-x2+x，是二次函数； C选项 =-2x+1，不是二次函数； D选项，是分式，故不是二次函数. 故答案为：B . 【分析】根据二次函数的定义作答，注意先化简再作判断. 3．（2025九上·余姚月考）将y=x2的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（　　） A．y=（x-1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=（x-1）2-2 D．y=（x+1）2-2 【答案】D 【知识点】二次函数图象的平移变换 【解析】【解答】解： 将y=x2的图象向左平移1个单位， 得 y=（x+1）2 ， 再向下平移2个单位，得 y=（x+1）2-2 ， 故答案为：D . 【分析】根据函数平移规律“左加右减，上加下减”写出表达式即可. 4．（2025九上·余姚月考）在一个不透明的袋子里装有红球2个、黄球5个、黑球3个，这些球除颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个小球，是红球的概率是（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【知识点】简单事件概率的计算 【解析】【解答】解：摸出红球的概率为=， 故答案为：C . 【分析】根据红球的数量与总球数的数量比估计概率. 5．（2025九上·余姚月考）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=30t-5t2，小球运动到最高点所需的时间是（　　） A．2s B．3s C．4s D．5s 【答案】B 【知识点】二次函数的最值 【解析】【解答】解： h=30t-5t2=-5（t2-6t）=-5（t2-6t+9-9）=-5（t-3）2+45， 当t=3时，h有最大值，即小球到达最高点， 故答案为：B . 【分析】根据“配方法”对函数进行变形，写成顶点式，从而确定最值. 6．（2025九上·余姚月考）下列说法正确的是（　　） A．“明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨 B．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯 C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖 D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩也一定在90分以上 【答案】B 【知识点】概率的意义 【解析】【解答】解：A.明天下雨的概率为80%，只是说明明天下雨的可能性大，与时间无关，故本选项不符合题意； B.经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，故本选项符合题意； C.某彩票中奖概率是1%，只能说明中奖的机会很小，并非一定中奖，故本选项不符合题意； D.小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩不一定在90分以上，故本选项不符合题意. 故答案为：B. 【分析】根据概率的意义可判断A、C、D；根据随机事件的概念可判断B. 7．（2025九上·余姚月考）若A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3）为二次函数y=（x-2）2+m图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1 【答案】D 【知识点】二次函数y=a（x-h）&#178;+k的性质；二次函数的对称性及应用 【解析】【解答】解： ∵二次函数y=（x-2）2+m ， ∴函数在x<2时，y随x的增大而减小，x>2时，y随x的增大而增大， ∴y1>y2，y3>y2， 当x=0时，y1=m+4；当x=3是，y3=m+2， ∴y1>y3， 综上所述， y2＜y3＜y1 ， 故答案为：D . 【分析】根据函数的对称轴及开口方向判断函数的增减性，结合函数的对称性判断函数值的大小. 8．（2025九上·余姚月考）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值如表所示： x … -1 0 1 3 … y … -3 1 3 1 … 下列判断中正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴的交于负半轴 C．当x=4时，y＞0 D．方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间 【答案】D 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：由图表知，该函数的对称轴是直线x==，有最大值， ∴抛物线开口向下，故选项A错误； ∵当x=0时，y=1， ∴抛物线与y轴的交点为（0，1），故选项B错误； 根据对称轴x=知，x=-1和x=4时的函数值相等， ∴当x=4时，y=-3<0，故选项C错误； 当x=3时，y=1>0；当x=4时，y=-3<0， ∴ 方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间，故选项D正确. 故答案为：D . 【分析】根据图表信息确定函数的对称轴、开口方向、与坐标轴交点位置等信息. 9．（2025九上·余姚月考）在同一坐标系中，二次函数y=（x-m）2与一次函数y=mx+m的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断 【解析】【解答】解：当m>0时， 二次函数y=（x-m）2 的对称轴x=m在y轴右侧， 一次函数y=mx+m 经过一、二、三象限，故B选项错误，C选项正确； 当m<0时，二次函数y=（x-m）2 的对称轴x=m在y轴左侧， 一次函数y=mx+m 经过二、三、四象限，故A选项错误，D选项正确； 故答案为：C . 【分析】分类讨论m的符号，根据m的符号确定函数图象位置. 10．（2025九上·余姚月考）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中-1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＜0；②2a+b＞0；③4a-2b+c＞0；④当x=m（1＜m＜2）时，am2+bm＜a+b.其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：据图像知，开口向下，故a<0；与y轴交点在y轴正半轴，故c>0；对称轴x=在y轴右侧，即0<<1，故b>0，2a+b<0，即②错误； ∴abc<0，故①正确； ∵当x=-1时，y<0， 又根据图像知，当x<0时，y随x的增大而增大， ∴当x=-2时，y<0，即 4a-2b+c<0，故③错误； ∵ 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）， ∴当x=1时，y=a+b+c=2， ∴c=2-（a+b）， ∵1<m<2， ∴当x=m时，y= am2+bm +c<2， ∴am2+bm +2-（a+b）<2， ∴ am2+bm＜a+b ，故④正确. 综上所述，①④正确. 故答案为：B . 【分析】根据二次函数图象，分析函数开口方向、对称轴、与坐标轴交点位置，从而分析各个结论的正确性. 11．（2025九上·余姚月考）若二次函数y=（2-a）x2的图象开口向下，则a的取值范围为　 　. 【答案】a＞2 【知识点】二次函数y=ax&#178;的性质 【解析】【解答】解：∵ 二次函数y=（2-a）x2的图象开口向下， ∴2-a<0， ∴a>2， 故答案为：a>2 . 【分析】根据函数图象的开口方向，确定a的取值范围. 12．（2025九上·余姚月考）已知二次函数y=ax2-2ax+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，其中一个交点为（4，0），则另一个交点为　 　. 【答案】（-2，0） 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的对称性及应用 【解析】【解答】解： ∵二次函数y=ax2-2ax+c， ∴其对称轴为x==1， ∵ 二次函数y=ax2-2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（4，0）， 设另一个交点为（k，0）， ∴=1， ∴k=-2， ∴另一个交点为（-2，0）， 故答案为：（-2，0） . 【分析】先确定函数的对称轴x=1，再根据函数对称性确定函数与x轴的交点. 13．（2025九上·余姚月考） 在一个不透明的袋子里装有红球和黄球共15个，这些球除颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个小球，是红球的概率是，则黄球有　 　个. 【答案】10 【知识点】解一元一次方程；简单事件概率的计算 【解析】【解答】解：设黄球有x个， ∴=， ∴x=10， 故答案为：10 . 【分析】利用方程思想，根据红球的概率列方程求解即可. 14．（2025九上·余姚月考）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为了广大人民生活中不可或缺的一部分，如图是一个面积为6cm2的正方形二维码，为了估计黑色阴影部分的面积，小明在二维码内随机掷点，经过大量重复试验，统计数据如下表： 掷点次数 10 100 200 400 500 落在黑色阴影部分次数 5 59 121 241 301 则可估计二维码中黑色阴影部分的面积为　 　cm2（结果精确到0.1） 【答案】3.6 【知识点】几何概率；利用频率估计概率 【解析】【解答】解：400÷241≈0.6， ∴ 掷点落在黑色阴影部分的概率大约0.6， ∴ 二维码中黑色阴影部分的面积为 0.6×6=3.6cm2， 故答案为：3.6 . 【分析】根据掷点落在黑色阴影部分的频率估算掷点落在黑色阴影部分的概率，从而估计二维码中黑色阴影部分的面积 . 15．（2025九上·余姚月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的一边AB在x轴上，点D在y轴上，抛物线y=x2-5x+4经过点C、D两点，则点B的坐标为　 　. 【答案】（2，0） 【知识点】点的坐标；二次函数图象与坐标轴的交点问题；菱形的性质 【解析】【解答】解：根据题意，令x=0，则y=4， ∴D（0，4），即OD=4， 令y=4，即 x2-5x+4 =4， ∴x1=0，x2=5， ∴C(5，4)， ∴CD=5， 在 菱形ABCD 中，AD=CD=AB=5， ∴由勾股定理得 AO==3， ∴OB=AB-AO=2， ∴B(2，0) 故答案为：（2，0） . 【分析】根据题意确定C、D的坐标，从而得菱形的边长，再根据勾股定理得AO的长，利用线段差计算OB的长，从而确定B的坐标. 16．（2025九上·余姚月考）二次函数y=x2-4x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，作直线l：y=t（t＞-1），将直线l下方的二次函数图象沿直线l向上翻折，与其它剩余部分组成一个组合图象W，若线段BC与组合图象W由两个交点，则t的取值范围　 　． 【答案】 【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的对称变换 【解析】【解答】解：令 x2-4x+3 =0，则x1=1，x2=3， ∵点A在点B左侧， ∴A(1，0)，B(3，0)， 令x=0，则y=3， ∴C（0，3）， ∴线段BC的表达式为：y=-x+3， 当 t=时，此时组合图形W与线段BC刚好有3个交点，故-1<t<； 当t=3时，此时组合图形W与线段BC刚好有3个交点，故0<t<3； 综上所述，. 故答案为： . 【分析】根据组合图像W与线段BC 的交点情况确定t的取值范围. 17．（2025九上·余姚月考） 已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过（1，0）和（4，-3）两点. （1）求二次函数的表达式. （2）求二次函数的顶点坐标和与x轴的交点坐标. 【答案】（1）解：将 （1，0）和（4，-3） 代入 二次函数y=x2+bx+c 中， 得， 解得 ∴ 二次函数的表达式为y=x2-6x+5. （2）解：令y=0， 即x2-6x+5=0 ， 解得x1=1，x2=5， ∴与x轴交点坐标为（1，0），（5，0）， 又y=x2-6x+5=（x-3）2-4， ∴ 二次函数的顶点坐标为（3，-4）， 综上所述， 二次函数的顶点为（3，-4），与x轴交点为（1，0），（5，0）. 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化 【解析】【分析】⑴根据待定系数法，将 （1，0）和（4，-3） 代入表达式求b、c即可. ⑵根据顶点式得顶点坐标，令y=0，得到与x轴的交点坐标. 18．（2025九上·余姚月考） 现有四张背面一模一样的卡片，四张卡片的正面分别写着数字2，5，6，8.现将这四张卡片翻至背面朝上，洗匀. （1）从这四张卡片中随机抽出一张，这张卡片上的数字是偶数的概率是　 　. （2）小明从这四张卡片中随机抽取一张，记下数字后，放回，翻至背面朝上，洗匀.然后小华从中随机抽取一张卡片，记下数字.请用画树状图或者列表的方法列举出事件发生的所有结果，并求出小华抽出的卡片上的数字比小明抽出的卡片上的数字大的概率. 【答案】（1） （2）解：假设摸到正面数字为 2，5，6，8 的事件分别为A，B，C，D， ∴共有16种等可能结果，分别为（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）， 其中 小华抽出的卡片上的数字比小明抽出的卡片上的数字大的事件有（A，B）（A，C）（A，D）（B，C）（B，D）（C，D），共6中等可能结果， ∴ 小华抽出的卡片上的数字比小明抽出的卡片上的数字大的概率P==. 【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算 【解析】【解答】（1）∵ 四张卡片的正面分别写着数字2，5，6，8 ， ∴有3张偶数数字卡片， ∴概率P=， 故答案为：. 【分析】（1）根据正面数字卡片数量与总卡片数量的比值计算事件概率. （2）借助树状图计算 小华抽出的卡片上的数字比小明抽出的卡片上的数字大的概率即可. 19．（2025九上·余姚月考）已知一次函数 与二次函数 相交于 A(3， a)、B(b， -6) 两点. （1）求a、b的值； （2）直接写出当y1＜y2时，x的取值范围. 【答案】（1）解：将 A(3， a)、B(b， -6) 代入 一次函数 中， 得a=2×3-2，2b-2=-6， ∴a=4，b=-2. （2）-2＜x＜3 【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用 【解析】【解答】 解：（2）∵一次函数 与二次函数 ， ∴ y1＜y2 对应的就是二次函数在一次函数上方的部分所对应的自变量取值范围， 由（1）知A(3，4)，B(-2，6)， ∴y1＜y2 对应的x的取值范围为：-2＜x＜3. 故答案为：-2＜x＜3. 【分析】⑴将 A(3， a)、B(b， -6) 两点 代入一次函数表达式即可求出a、b. ⑵借助图像分析不等式 y1＜y2 对应的自变量取值范围即可.​​​​​​​ 20．（2025九上·余姚月考） 一个不透明的箱子里装有2个红球和1个黄球，每个小球除颜色以外其他完全相同. （1）现从该箱子里摸出一个球，记下颜色后放回箱子里，摇匀，再摸出一个球，用画树状图或者列表的方法求两次摸出的小球颜色不同的概率； （2）如果在箱子里增加x个白球（与其他小球除颜色外完全相同），把箱子里的小球摇匀，再随机摸出一个小球，记下颜色后放回，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率逐渐稳定于0.4，请你估计增加的白球数量. 【答案】（1）解： 据图知，总共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球颜色不同的结果有4种， 故两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为. （2）解：设增加白球x个， 则=0.4， 解得x=2， 答：增加白球的个数为2个. 【知识点】用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率；简单事件概率的计算 【解析】【分析】⑴根据树状图求等可能事件的概率. ⑵根据频率估算概率，再结合方程作答求解. 21．（2025九上·余姚月考） 我校在每年中考后都会为毕业生举办毕业典礼活动，现计划在毕业典礼现场设计一个如图所示的抛物线型拱门入口，要在拱门上粘贴“毕”，“业”，“典”，“礼”四个大字（分别记作A，B，C，D），要求BC与地面平行，且BC∥AD，抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m，BC=2m，AD=4m如图所示： （1）请在图2上建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的表达式； （2）求点C到AD的距离. 【答案】（1）解：如图所示，平面直角坐标系： ， 据题意知：B(-1，0)，C(1，0)，E(0，0.6)， 设抛物线表达式为y=a(x+1)(x-1)， 将E(0，0.6)，代入y=a(x+1)(x-1)， 得-a=0.6， ∴a=-0.6， ∴抛物线的表达式：y=-0.6×(x+1)(x-1)=-0.6x2+0.6； （2）解：∵AD=4， ∴A(-2，y1)，D(2，y2)， 将A(-2，y1)代入y=-0.6x2+0.6中，得y1=-0.6×（-2）2+0.6=1.8， ∴A(-2，1.8)，D(2，1.8)， ∴ 点C到AD的距离是1.8 m. 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行线之间的距离；二次函数的对称性及应用 【解析】【分析】⑴建立适当的坐标系，确定B、C、E的坐标，再根据待定系数法求表达式即可. ⑵ 根据BC∥AD 计算平行线之间的距离即可. 22．（2025九上·余姚月考） 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日--14日在哈尔滨举行，本届赛会的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”，其中亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”.亚冬会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价，现在售价为每个60元，每天可销售100个.经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天销售量为y个. （1）写出y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围； （2）设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W关于x的函数表达式； （3）零售店定价为多少时，才能使得每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）解： 设每个吉祥物降价x元 ，则销售量增加8x， ∴ 每天销售量y=100+8x， ∴ y关于x的函数表达式y=8x+100，（0≤x≤20，x为整数）. （2）解：单个商品利润为(20-x )元， W=(8x+100)(20-x)=-8x2+60x+2000. （3）解：W=-8x2+60x+2000=-8(x-)2+2112.5， ∵-8<0，且x为整数， ∴当x=4时，最大值为2112， 此时定价60-4=56元， ∴当定价为56元时，才能使得每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大，最大利润2112元. 【知识点】函数自变量的取值范围；二次函数的最值；列二次函数关系式；列一次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题 【解析】【分析】⑴根据 总销售量=原有销售量+增加的销售量，列式即可. ⑵根据总利润=单个商品利润×总销售量 ，列式即可. ⑶对二次函数进行配方，求其最大值即可. 23．（2025九上·余姚月考） 如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（1，0）、点E. （1）求抛物线的表达式； （2）连接AB、AE，求△ABE的面积； （3）线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D的下方），且CD=BE，当AD+BC的值最小时，求点C的坐标. 【答案】（1）解：将 A（0，3），B（1，0）代入 y=x2+bx+c 中，得 ， ∴， ∴ 抛物线的表达式为y=x2-4x+3. （2）解：令x2-4x+3=0， ∴x1=1，x2=3， ∴E（3，0）， ∴BE=2， ∴S △ABE =×BE×OA=×2×3=3， ∴ △ABE的面积为3. （3）解： 如图，将A（0，3）往下平移2个单位得点F（0，1），连接CE、CF、EF， ∴AF=2， ∵BE=2， ∴CD=2， ∴AF=CD， 又AF∥CD， ∴四边形CDAF是平行四边形， ∴AD=CF， ∵BC与CE关于对称轴对称， ∴BC=CE， ∴AD+BC=CF+CE≥EF， ∴当E、C、F三点共线时， AD+BC的值最小， 设直线EF的表达式为y=kx+b， 则， ∴， ∴直线EF的表达式为y=， 当x=2时，y=， ∴C的坐标. 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的判定；函数几何问题中的最值 【解析】【分析】⑴根据待定系数法将A、B坐标代入 y=x2+bx+c 计算b、c即可. ⑵借助函数表达式计算出E的坐标，从而得BE的长，再根据三角形面积公式计算即可. ⑶通过证明平行四边形AFCD得AD=CF，结合抛物线的对称性知AD+BC=CF+CE≥EF，通过计算EF的表达式得EF与对称轴的交点C的坐标. 24．（2025九上·余姚月考） 在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax-3a（a≠0）的顶点为P，且抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）.我们定义：抛物线与x轴围成的封闭区域称为“U区域”（不包含边界），横、纵坐标都是整数的点称为整点. （1）求抛物线y=ax2-2ax-3a的顶点P的坐标（用含有a的代数式表示）； （2）若抛物线y=ax2-2ax-3a经过点（1，3）. ①求抛物线的表达式； ②在①的条件下，求出“U区域”内整点的坐标； （3）若抛物线y=ax2-2ax-3a在“U区域”内恰好有4个整点，直接写出a的取值范围. 【答案】（1）解： y=ax2-2ax-3a =a（x-1）2-4a， ∴顶点P的坐标为（1，-4a）. （2）解： ①将 （1，3） 代入 y=ax2-2ax-3a ，得 a-2a-3a=3， ∴a=， ∴ 抛物线的表达式； ②令， 解得x1=-1，x2=3， ∴A（-1，0）B（3，0）， 又顶点P（1，3）， ∴“U区域”内整点的坐标有（0，1），（0，2），（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）. （3）解： a的取值范围为或， 理由如下：当x=0时，y=-3a， ∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，-3a）， 当a<0时， ∵在“U区域”内恰好有4个整点， ∴， ∴； 当a＞0时， ∵在“U区域”内恰好有4个整点， ∴， ∴， 综上所述， a的取值范围为或. 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化；分类讨论 【解析】【分析】⑴通过配方法得到顶点P的坐标. ⑵先确定表达式抛物线，从而得到A（-1，0），B（3，0），P（1，3）及与y轴交点（0，），再根据“U区域” 整点的定义确定整点的坐标. ⑶先确定抛物线与y轴的交点及顶点，再结合““U区域”内恰好有4个整点”，分类讨论当a>0和a<0时，顶点和抛物线与y轴交点的位置，从而确定a的取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省宁波市余姚市子陵世南中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷 1．（2025九上·余姚月考）下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（　　） A．瓜熟蒂落 B．旭日东升 C．守株待兔 D．夕阳西下 2．（2025九上·余姚月考）下列函数中，一定是二次函数是（　　） A． B． C． D． 3．（2025九上·余姚月考）将y=x2的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（　　） A．y=（x-1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=（x-1）2-2 D．y=（x+1）2-2 4．（2025九上·余姚月考）在一个不透明的袋子里装有红球2个、黄球5个、黑球3个，这些球除颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个小球，是红球的概率是（　　） A． B． C． D．不确定 5．（2025九上·余姚月考）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=30t-5t2，小球运动到最高点所需的时间是（　　） A．2s B．3s C．4s D．5s 6．（2025九上·余姚月考）下列说法正确的是（　　） A．“明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨 B．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯 C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖 D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩也一定在90分以上 7．（2025九上·余姚月考）若A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3）为二次函数y=（x-2）2+m图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1 8．（2025九上·余姚月考）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值如表所示： x … -1 0 1 3 … y … -3 1 3 1 … 下列判断中正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴的交于负半轴 C．当x=4时，y＞0 D．方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间 9．（2025九上·余姚月考）在同一坐标系中，二次函数y=（x-m）2与一次函数y=mx+m的图象可能是（　　） A． B． C． D． 10．（2025九上·余姚月考）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中-1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＜0；②2a+b＞0；③4a-2b+c＞0；④当x=m（1＜m＜2）时，am2+bm＜a+b.其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（2025九上·余姚月考）若二次函数y=（2-a）x2的图象开口向下，则a的取值范围为　 　. 12．（2025九上·余姚月考）已知二次函数y=ax2-2ax+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，其中一个交点为（4，0），则另一个交点为　 　. 13．（2025九上·余姚月考） 在一个不透明的袋子里装有红球和黄球共15个，这些球除颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个小球，是红球的概率是，则黄球有　 　个. 14．（2025九上·余姚月考）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为了广大人民生活中不可或缺的一部分，如图是一个面积为6cm2的正方形二维码，为了估计黑色阴影部分的面积，小明在二维码内随机掷点，经过大量重复试验，统计数据如下表： 掷点次数 10 100 200 400 500 落在黑色阴影部分次数 5 59 121 241 301 则可估计二维码中黑色阴影部分的面积为　 　cm2（结果精确到0.1） 15．（2025九上·余姚月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的一边AB在x轴上，点D在y轴上，抛物线y=x2-5x+4经过点C、D两点，则点B的坐标为　 　. 16．（2025九上·余姚月考）二次函数y=x2-4x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，作直线l：y=t（t＞-1），将直线l下方的二次函数图象沿直线l向上翻折，与其它剩余部分组成一个组合图象W，若线段BC与组合图象W由两个交点，则t的取值范围　 　． 17．（2025九上·余姚月考） 已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过（1，0）和（4，-3）两点. （1）求二次函数的表达式. （2）求二次函数的顶点坐标和与x轴的交点坐标. 18．（2025九上·余姚月考） 现有四张背面一模一样的卡片，四张卡片的正面分别写着数字2，5，6，8.现将这四张卡片翻至背面朝上，洗匀. （1）从这四张卡片中随机抽出一张，这张卡片上的数字是偶数的概率是　 　. （2）小明从这四张卡片中随机抽取一张，记下数字后，放回，翻至背面朝上，洗匀.然后小华从中随机抽取一张卡片，记下数字.请用画树状图或者列表的方法列举出事件发生的所有结果，并求出小华抽出的卡片上的数字比小明抽出的卡片上的数字大的概率. 19．（2025九上·余姚月考）已知一次函数 与二次函数 相交于 A(3， a)、B(b， -6) 两点. （1）求a、b的值； （2）直接写出当y1＜y2时，x的取值范围. 20．（2025九上·余姚月考） 一个不透明的箱子里装有2个红球和1个黄球，每个小球除颜色以外其他完全相同. （1）现从该箱子里摸出一个球，记下颜色后放回箱子里，摇匀，再摸出一个球，用画树状图或者列表的方法求两次摸出的小球颜色不同的概率； （2）如果在箱子里增加x个白球（与其他小球除颜色外完全相同），把箱子里的小球摇匀，再随机摸出一个小球，记下颜色后放回，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率逐渐稳定于0.4，请你估计增加的白球数量. 21．（2025九上·余姚月考） 我校在每年中考后都会为毕业生举办毕业典礼活动，现计划在毕业典礼现场设计一个如图所示的抛物线型拱门入口，要在拱门上粘贴“毕”，“业”，“典”，“礼”四个大字（分别记作A，B，C，D），要求BC与地面平行，且BC∥AD，抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m，BC=2m，AD=4m如图所示： （1）请在图2上建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的表达式； （2）求点C到AD的距离. 22．（2025九上·余姚月考） 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日--14日在哈尔滨举行，本届赛会的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”，其中亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”.亚冬会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价，现在售价为每个60元，每天可销售100个.经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天销售量为y个. （1）写出y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围； （2）设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W关于x的函数表达式； （3）零售店定价为多少时，才能使得每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大？最大利润是多少元？ 23．（2025九上·余姚月考） 如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（1，0）、点E. （1）求抛物线的表达式； （2）连接AB、AE，求△ABE的面积； （3）线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D的下方），且CD=BE，当AD+BC的值最小时，求点C的坐标. 24．（2025九上·余姚月考） 在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax-3a（a≠0）的顶点为P，且抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）.我们定义：抛物线与x轴围成的封闭区域称为“U区域”（不包含边界），横、纵坐标都是整数的点称为整点. （1）求抛物线y=ax2-2ax-3a的顶点P的坐标（用含有a的代数式表示）； （2）若抛物线y=ax2-2ax-3a经过点（1，3）. ①求抛物线的表达式； ②在①的条件下，求出“U区域”内整点的坐标； （3）若抛物线y=ax2-2ax-3a在“U区域”内恰好有4个整点，直接写出a的取值范围. 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】事件的分类；可能性的大小 【解析】【解答】解：A、瓜熟蒂落，是必然事件，不符合题意； B、旭日东升，是必然事件，不符合题意； C、夕阳西下，是必然事件，不符合题意； D、守株待兔，是随机事件，所反映的事件发生的可能性很小，符合题意； 故选： D. 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案. 2．【答案】B 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：A选项 ，当a=0时，y=bx+c，不是二次函数； B选项 =-x2+x，是二次函数； C选项 =-2x+1，不是二次函数； D选项，是分式，故不是二次函数. 故答案为：B . 【分析】根据二次函数的定义作答，注意先化简再作判断. 3．【答案】D 【知识点】二次函数图象的平移变换 【解析】【解答】解： 将y=x2的图象向左平移1个单位， 得 y=（x+1）2 ， 再向下平移2个单位，得 y=（x+1）2-2 ， 故答案为：D . 【分析】根据函数平移规律“左加右减，上加下减”写出表达式即可. 4．【答案】C 【知识点】简单事件概率的计算 【解析】【解答】解：摸出红球的概率为=， 故答案为：C . 【分析】根据红球的数量与总球数的数量比估计概率. 5．【答案】B 【知识点】二次函数的最值 【解析】【解答】解： h=30t-5t2=-5（t2-6t）=-5（t2-6t+9-9）=-5（t-3）2+45， 当t=3时，h有最大值，即小球到达最高点， 故答案为：B . 【分析】根据“配方法”对函数进行变形，写成顶点式，从而确定最值. 6．【答案】B 【知识点】概率的意义 【解析】【解答】解：A.明天下雨的概率为80%，只是说明明天下雨的可能性大，与时间无关，故本选项不符合题意； B.经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，故本选项符合题意； C.某彩票中奖概率是1%，只能说明中奖的机会很小，并非一定中奖，故本选项不符合题意； D.小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩不一定在90分以上，故本选项不符合题意. 故答案为：B. 【分析】根据概率的意义可判断A、C、D；根据随机事件的概念可判断B. 7．【答案】D 【知识点】二次函数y=a（x-h）&#178;+k的性质；二次函数的对称性及应用 【解析】【解答】解： ∵二次函数y=（x-2）2+m ， ∴函数在x<2时，y随x的增大而减小，x>2时，y随x的增大而增大， ∴y1>y2，y3>y2， 当x=0时，y1=m+4；当x=3是，y3=m+2， ∴y1>y3， 综上所述， y2＜y3＜y1 ， 故答案为：D . 【分析】根据函数的对称轴及开口方向判断函数的增减性，结合函数的对称性判断函数值的大小. 8．【答案】D 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：由图表知，该函数的对称轴是直线x==，有最大值， ∴抛物线开口向下，故选项A错误； ∵当x=0时，y=1， ∴抛物线与y轴的交点为（0，1），故选项B错误； 根据对称轴x=知，x=-1和x=4时的函数值相等， ∴当x=4时，y=-3<0，故选项C错误； 当x=3时，y=1>0；当x=4时，y=-3<0， ∴ 方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间，故选项D正确. 故答案为：D . 【分析】根据图表信息确定函数的对称轴、开口方向、与坐标轴交点位置等信息. 9．【答案】C 【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断 【解析】【解答】解：当m>0时， 二次函数y=（x-m）2 的对称轴x=m在y轴右侧， 一次函数y=mx+m 经过一、二、三象限，故B选项错误，C选项正确； 当m<0时，二次函数y=（x-m）2 的对称轴x=m在y轴左侧， 一次函数y=mx+m 经过二、三、四象限，故A选项错误，D选项正确； 故答案为：C . 【分析】分类讨论m的符号，根据m的符号确定函数图象位置. 10．【答案】B 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：据图像知，开口向下，故a<0；与y轴交点在y轴正半轴，故c>0；对称轴x=在y轴右侧，即0<<1，故b>0，2a+b<0，即②错误； ∴abc<0，故①正确； ∵当x=-1时，y<0， 又根据图像知，当x<0时，y随x的增大而增大， ∴当x=-2时，y<0，即 4a-2b+c<0，故③错误； ∵ 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）， ∴当x=1时，y=a+b+c=2， ∴c=2-（a+b）， ∵1<m<2， ∴当x=m时，y= am2+bm +c<2， ∴am2+bm +2-（a+b）<2， ∴ am2+bm＜a+b ，故④正确. 综上所述，①④正确. 故答案为：B . 【分析】根据二次函数图象，分析函数开口方向、对称轴、与坐标轴交点位置，从而分析各个结论的正确性. 11．【答案】a＞2 【知识点】二次函数y=ax&#178;的性质 【解析】【解答】解：∵ 二次函数y=（2-a）x2的图象开口向下， ∴2-a<0， ∴a>2， 故答案为：a>2 . 【分析】根据函数图象的开口方向，确定a的取值范围. 12．【答案】（-2，0） 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的对称性及应用 【解析】【解答】解： ∵二次函数y=ax2-2ax+c， ∴其对称轴为x==1， ∵ 二次函数y=ax2-2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（4，0）， 设另一个交点为（k，0）， ∴=1， ∴k=-2， ∴另一个交点为（-2，0）， 故答案为：（-2，0） . 【分析】先确定函数的对称轴x=1，再根据函数对称性确定函数与x轴的交点. 13．【答案】10 【知识点】解一元一次方程；简单事件概率的计算 【解析】【解答】解：设黄球有x个， ∴=， ∴x=10， 故答案为：10 . 【分析】利用方程思想，根据红球的概率列方程求解即可. 14．【答案】3.6 【知识点】几何概率；利用频率估计概率 【解析】【解答】解：400÷241≈0.6， ∴ 掷点落在黑色阴影部分的概率大约0.6， ∴ 二维码中黑色阴影部分的面积为 0.6×6=3.6cm2， 故答案为：3.6 . 【分析】根据掷点落在黑色阴影部分的频率估算掷点落在黑色阴影部分的概率，从而估计二维码中黑色阴影部分的面积 . 15．【答案】（2，0） 【知识点】点的坐标；二次函数图象与坐标轴的交点问题；菱形的性质 【解析】【解答】解：根据题意，令x=0，则y=4， ∴D（0，4），即OD=4， 令y=4，即 x2-5x+4 =4， ∴x1=0，x2=5， ∴C(5，4)， ∴CD=5， 在 菱形ABCD 中，AD=CD=AB=5， ∴由勾股定理得 AO==3， ∴OB=AB-AO=2， ∴B(2，0) 故答案为：（2，0） . 【分析】根据题意确定C、D的坐标，从而得菱形的边长，再根据勾股定理得AO的长，利用线段差计算OB的长，从而确定B的坐标. 16．【答案】 【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的对称变换 【解析】【解答】解：令 x2-4x+3 =0，则x1=1，x2=3， ∵点A在点B左侧， ∴A(1，0)，B(3，0)， 令x=0，则y=3， ∴C（0，3）， ∴线段BC的表达式为：y=-x+3， 当 t=时，此时组合图形W与线段BC刚好有3个交点，故-1<t<； 当t=3时，此时组合图形W与线段BC刚好有3个交点，故0<t<3； 综上所述，. 故答案为： . 【分析】根据组合图像W与线段BC 的交点情况确定t的取值范围. 17．【答案】（1）解：将 （1，0）和（4，-3） 代入 二次函数y=x2+bx+c 中， 得， 解得 ∴ 二次函数的表达式为y=x2-6x+5. （2）解：令y=0， 即x2-6x+5=0 ， 解得x1=1，x2=5， ∴与x轴交点坐标为（1，0），（5，0）， 又y=x2-6x+5=（x-3）2-4， ∴ 二次函数的顶点坐标为（3，-4）， 综上所述， 二次函数的顶点为（3，-4），与x轴交点为（1，0），（5，0）. 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化 【解析】【分析】⑴根据待定系数法，将 （1，0）和（4，-3） 代入表达式求b、c即可. ⑵根据顶点式得顶点坐标，令y=0，得到与x轴的交点坐标. 18．【答案】（1） （2）解：假设摸到正面数字为 2，5，6，8 的事件分别为A，B，C，D， ∴共有16种等可能结果，分别为（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）， 其中 小华抽出的卡片上的数字比小明抽出的卡片上的数字大的事件有（A，B）（A，C）（A，D）（B，C）（B，D）（C，D），共6中等可能结果， ∴ 小华抽出的卡片上的数字比小明抽出的卡片上的数字大的概率P==. 【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算 【解析】【解答】（1）∵ 四张卡片的正面分别写着数字2，5，6，8 ， ∴有3张偶数数字卡片， ∴概率P=， 故答案为：. 【分析】（1）根据正面数字卡片数量与总卡片数量的比值计算事件概率. （2）借助树状图计算 小华抽出的卡片上的数字比小明抽出的卡片上的数字大的概率即可. 19．【答案】（1）解：将 A(3， a)、B(b， -6) 代入 一次函数 中， 得a=2×3-2，2b-2=-6， ∴a=4，b=-2. （2）-2＜x＜3 【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用 【解析】【解答】 解：（2）∵一次函数 与二次函数 ， ∴ y1＜y2 对应的就是二次函数在一次函数上方的部分所对应的自变量取值范围， 由（1）知A(3，4)，B(-2，6)， ∴y1＜y2 对应的x的取值范围为：-2＜x＜3. 故答案为：-2＜x＜3. 【分析】⑴将 A(3， a)、B(b， -6) 两点 代入一次函数表达式即可求出a、b. ⑵借助图像分析不等式 y1＜y2 对应的自变量取值范围即可.​​​​​​​ 20．【答案】（1）解： 据图知，总共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球颜色不同的结果有4种， 故两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为. （2）解：设增加白球x个， 则=0.4， 解得x=2， 答：增加白球的个数为2个. 【知识点】用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率；简单事件概率的计算 【解析】【分析】⑴根据树状图求等可能事件的概率. ⑵根据频率估算概率，再结合方程作答求解. 21．【答案】（1）解：如图所示，平面直角坐标系： ， 据题意知：B(-1，0)，C(1，0)，E(0，0.6)， 设抛物线表达式为y=a(x+1)(x-1)， 将E(0，0.6)，代入y=a(x+1)(x-1)， 得-a=0.6， ∴a=-0.6， ∴抛物线的表达式：y=-0.6×(x+1)(x-1)=-0.6x2+0.6； （2）解：∵AD=4， ∴A(-2，y1)，D(2，y2)， 将A(-2，y1)代入y=-0.6x2+0.6中，得y1=-0.6×（-2）2+0.6=1.8， ∴A(-2，1.8)，D(2，1.8)， ∴ 点C到AD的距离是1.8 m. 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行线之间的距离；二次函数的对称性及应用 【解析】【分析】⑴建立适当的坐标系，确定B、C、E的坐标，再根据待定系数法求表达式即可. ⑵ 根据BC∥AD 计算平行线之间的距离即可. 22．【答案】（1）解： 设每个吉祥物降价x元 ，则销售量增加8x， ∴ 每天销售量y=100+8x， ∴ y关于x的函数表达式y=8x+100，（0≤x≤20，x为整数）. （2）解：单个商品利润为(20-x )元， W=(8x+100)(20-x)=-8x2+60x+2000. （3）解：W=-8x2+60x+2000=-8(x-)2+2112.5， ∵-8<0，且x为整数， ∴当x=4时，最大值为2112， 此时定价60-4=56元， ∴当定价为56元时，才能使得每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大，最大利润2112元. 【知识点】函数自变量的取值范围；二次函数的最值；列二次函数关系式；列一次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题 【解析】【分析】⑴根据 总销售量=原有销售量+增加的销售量，列式即可. ⑵根据总利润=单个商品利润×总销售量 ，列式即可. ⑶对二次函数进行配方，求其最大值即可. 23．【答案】（1）解：将 A（0，3），B（1，0）代入 y=x2+bx+c 中，得 ， ∴， ∴ 抛物线的表达式为y=x2-4x+3. （2）解：令x2-4x+3=0， ∴x1=1，x2=3， ∴E（3，0）， ∴BE=2， ∴S △ABE =×BE×OA=×2×3=3， ∴ △ABE的面积为3. （3）解： 如图，将A（0，3）往下平移2个单位得点F（0，1），连接CE、CF、EF， ∴AF=2， ∵BE=2， ∴CD=2， ∴AF=CD， 又AF∥CD， ∴四边形CDAF是平行四边形， ∴AD=CF， ∵BC与CE关于对称轴对称， ∴BC=CE， ∴AD+BC=CF+CE≥EF， ∴当E、C、F三点共线时， AD+BC的值最小， 设直线EF的表达式为y=kx+b， 则， ∴， ∴直线EF的表达式为y=， 当x=2时，y=， ∴C的坐标. 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的判定；函数几何问题中的最值 【解析】【分析】⑴根据待定系数法将A、B坐标代入 y=x2+bx+c 计算b、c即可. ⑵借助函数表达式计算出E的坐标，从而得BE的长，再根据三角形面积公式计算即可. ⑶通过证明平行四边形AFCD得AD=CF，结合抛物线的对称性知AD+BC=CF+CE≥EF，通过计算EF的表达式得EF与对称轴的交点C的坐标. 24．【答案】（1）解： y=ax2-2ax-3a =a（x-1）2-4a， ∴顶点P的坐标为（1，-4a）. （2）解： ①将 （1，3） 代入 y=ax2-2ax-3a ，得 a-2a-3a=3， ∴a=， ∴ 抛物线的表达式； ②令， 解得x1=-1，x2=3， ∴A（-1，0）B（3，0）， 又顶点P（1，3）， ∴“U区域”内整点的坐标有（0，1），（0，2），（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）. （3）解： a的取值范围为或， 理由如下：当x=0时，y=-3a， ∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，-3a）， 当a<0时， ∵在“U区域”内恰好有4个整点， ∴， ∴； 当a＞0时， ∵在“U区域”内恰好有4个整点， ∴， ∴， 综上所述， a的取值范围为或. 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化；分类讨论 【解析】【分析】⑴通过配方法得到顶点P的坐标. ⑵先确定表达式抛物线，从而得到A（-1，0），B（3，0），P（1，3）及与y轴交点（0，），再根据“U区域” 整点的定义确定整点的坐标. ⑶先确定抛物线与y轴的交点及顶点，再结合““U区域”内恰好有4个整点”，分类讨论当a>0和a<0时，顶点和抛物线与y轴交点的位置，从而确定a的取值范围. 1 / 1 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