精品解析：甘肃省兰州市多校联考2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025－2026学年第一学期联片办学期中考试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分，每个小题只有一项符合题目要求） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，据此即可作答． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项不符合题意； B、是一元二次方程，故选项符合题意； C、的最高次数是，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、的最高次数是1，不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：B． 2. 如图，直线，直线分别交于点A，B，C，直线分别交于点D，E，F，若，，，则线段（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出，根据，，，得出的长，即可得出答案． 【详解】解：∵， ， ，，， ， ． 故选：D． 3. 如图，在矩形中，对角线，交于点，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：∵在矩形中，对角线，交于点， ∴，，， 矩形不一定有， ∴四个选项中只有D选项说法错误， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟知矩形对角线相等且互相平分，对边相等且平行是解题的关键． 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是掌握配方法解一元二次方程． 先将常数项移到方程的右边，再在两边加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 移项，得， 两边同时加上9，得， 即， 故选：A． 5. 如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形和四边形的相似比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质与判定，利用勾股定理求出两个四边形对应边的边长，可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，，，，，，，， ∴， ∴四边形和四边形的相似比是， 故选；C． 6. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6 C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D. 袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率．根据折线统计图可知，随着试验次数的增加频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【详解】根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下， A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，本选项不符合题意； B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是的概率是，本选项符合题意； C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，本选项不符合题意； D、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，本选项不符合题意； 故选：B． 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程（为常数，且）的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程无实数根． 根据一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的定义即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，， ， ， 的取值范围为且， 故选： D． 8. 如图，小明家有一块长，宽的长方形土地，为了种植方便，小明爸爸准备在横、纵方向各修建一条等宽的小路（阴影部分），并且要使种植面积为，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解图示，运用平移的方法得到种植地的长和宽是解题的关键． 根据题意，种植地的长为，宽为，根据种植面积为，列式即可求解． 【详解】解：如图所示，运用平移的方法得到种植地的长为，宽为， ∴， 故选：C ． 9. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的四边形学具，他先调整学具成为图1所示的图形，并测得，对角线，接着调整学具成为图2所示的图形，测得，则图2中对角线的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，连接．在图1中，证是等边三角形，得出．在图2中，由勾股定理求出即可． 【详解】解：如图1，图2中，连接． 图1中，四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 在图2中，四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形， ； 故选：B． 10. 我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、完全平方公式的几何背景，通过图形直观得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解题的关键． 【详解】解：整理一元二次方程， 可得：， 即长为，宽为的长方形的面积为， 构造边长为的正方形， 则正方形的面积是， 这个正方形的面积又是个长为、宽为的长方形的面积之和再加上中间的边长为的小正方形的面积， 即， ， 解得：， 能正确说明方程解法的构图，如下图所示， 故选：B． 11. 用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点的直线翻折纸片，得到折痕，使点落在上的点处，连接，，与交于点．有下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形折叠的性质、等边三角形判定、角度计算与线段关系，运用折叠对称性与几何推理思想，关键是结合正方形性质和折叠性质分析各结论，易错点是折叠后线段、角度的等量关系推导错误；解题思路是根据正方形折叠的对称性，逐一分析每个结论，结合等边三角形判定、角度计算和线段比例推导． 【详解】解：①折叠后是的对称轴（折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分），因此，即①正确； ②设正方形边长为，由折叠可知是正方形的中垂线，故，． 折叠后， ∵在中，， ∴， ∴为等边三角形； 即②正确； ③∵四边形为正方形， ∴, 又∵，为等边三角形； ∴，， ∴为等腰三角形； ∴, ∴； 即③正确； ④设正方形边长为2，则，，； 在中， ， ， ∵，为等边三角形，是的中点， ∴，， ∴即④正确． 故选D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 已知a，b，c，d是成比例线段，且，，，那么_____cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据四条线段成比例，列出比例式，再把，，代入计算即可． 【详解】，，，是成比例线段， ． ，，， ， ． 故答案为：. 【点睛】此题考查了比例线段的定义，注意，，，是成比例线段即，要理解各个字母的顺序． 13. 一个不透明的盒子中装有白球和红球共个，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验次，其中有次摸到红球．由此估计盒子中的红球有____个． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，概率公式，掌握相关知识是解决问题的关键．解题思路是先根据试验结果求出摸到红球的频率，再将频率近似看作概率，结合总球数求出红球个数． 【详解】解：计算摸到红球的频率：， ∵当试验次数很大时，频率可近似看作概率， ∴摸到红球的概率约为， 已知盒子中白球和红球共个，设红球有个，则 ， 解得， 故答案为：． 14. 一元二次方程的两根分别为m，n，则____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和与两根之积，再代入所求表达式求解． 【详解】解：对于一元二次方程 ，由根与系数的关系，得 ，， 则 ． 故答案为： 4． 15. 如图，在矩形中，E，F分别是边上的动点，P是线段的中点，，，G，H为垂足，连接．若，，，则的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线定理，勾股定理，线段和的最小值问题，解题的关键是熟练掌握以上性质． 连接，根据矩形的性质得出直角和相等的边，由勾股定理求出的长度，由垂直证明出四边形是矩形，得出对角线相等，根据直角三角形斜边中线定理得出，最后根据两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， 当时，的值最小，即的值最小，最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用配方法解方程即可； （2）用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 解得； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， ∴． 17. 已知关于x的一元二次方程的一个根为，求m的值及方程的另一根． 【答案】m的值为，方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，对于一元二次方程的两个实数根，则有． 设方程的另一个根为 t，利用根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系得，， 解得， 即m的值为，方程的另一个根为． 18. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，掌握相关知识是解决问题的关键．设，则，，，代入所求式子计算即可． 【详解】解：设，则，，， ∴． 19. 如图，，点为内部一条射线上的一点，请用尺规作图法在射线上分别求作点，连接，使得四边形是矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图所示，平行四边形是矩形，即为所求作图形： 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作垂线，掌握尺规作垂线的方法是关键． 过点作线段，交于点，以点为圆心，以为半径画弧交于点，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴， ∴，则，且， ∴四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是矩形，即为所求作图形． 20. 《哪吒》自年月日上映以来，便如同一颗重磅炸弹，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号，，，来表示，这张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____； （2）将哪吒和敖丙的组合或太乙真人和申公豹的组合称为“一套”，小明和小红依次从中随机抽取一张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了求概率． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）画出树状图，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，小明和小红他们抽到的两张卡片恰好配套的结果有种， 小明和小红他们抽到的两张卡片恰好一套的概率为 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根是负数，求k的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键； （1）根据根的判别式即可求出答案． （2）通过因式分解法求出方程的两根，根据题意列出方程即可求出答案． 【小问1详解】 证明：∵方程， ，，， ， ∴无论为何值，该方程总有两个实数根． 【小问2详解】 解：由方程得， ∴或， ，， ∵方程有一个根为负数， ． ∴． ∴的取值范围是． 22. 天水樱桃果实味美，营养丰富，深受消费者喜爱．某水果商店购入进价为元/千克的樱桃，若售价为元/千克，则一个月可售出千克；若售价在元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少千克．通过调查市场行情发现卖樱桃不会亏本． （1）当售价为元/千克时，每月销售樱桃多少千克？ （2）当月利润为元时，每千克樱桃售价为多少元？ 【答案】（1）千克； （2）元或元． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，有理数混合运算的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）当售价为元/千克时，根据售价在元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少千克知，会在千克的基础上减少千克，据此解答即可； （2）设每千克樱桃售价为元，根据单利润乘以数量为总利润列方程求解即可． 由题意可得： 【小问1详解】 解：当售价为元/千克时， 每月销售樱桃为（千克）； 答：每月销售樱桃千克； 【小问2详解】 解：设每千克樱桃售价为元， 由题意可得：， 整理得，解得：， 答：每千克樱桃售价为元或元． 23. 如图，在中，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明，则，再结合四边形是平行四边形，即可作答． （2）先得出然后，根据勾股定理列式，代入数值进行计算，得出，运用菱形的面积公式计算，即可作答． 【小问1详解】 证明：， ， 在和中 ∴ , 又四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形 【小问2详解】 解：， 在中，，， ∴菱形的面积 24. 综合与实践： 主题：将一张长为，宽为的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高为，求该收纳盒的底面的边的长； 任务二：若收纳盒的底面积为．求该收纳盒的高． 【答案】任务一：边的长分别为，；任务二： 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 任务一：由题意知，，，，计算求解即可； 任务二：设该收纳盒的高为，则，，，可求，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】任务一：解：由题意知，（）， ∵，， 解得，， ∴该收纳盒的底面的边的长分别为，； 任务二：解：设该收纳盒的高为，则，， ∴， 解得，， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴该收纳盒的高为． 25. 解方程时，我们可以运用分类的思想来解：当时，则原方程可化为，解得或；当时、则原方程可化为，解得或； 综上，原方程的解为：，，，； （1）请利用这种方法解方程，可得这个方程的解是______； （2）解方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握分类讨论的思想，是解题的关键： （1）参照题干的方法，分类讨论解方程即可； （2）参照题干的方法，分类讨论解方程即可． 【小问1详解】 解：当时，则原方程可化为， 解得或（舍去）； 当时，则原方程可化为， 解得或（舍去）； ∴这个方程的解是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：当，即：时，则原方程化为：， 解得：或， ∴或； 当，即：时，则原方程化为：， 解得：或， ∴或； ∴方程的解为：． 26. 如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、，设点P、Q运动的时间为． （1）当运动t秒时，线段______，______（用含有t的代数式表示）； （2）求当t为何值时，四边形是菱形； （3）如图2，在运动过程中，沿着把翻折，求当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【答案】（1）； （2） （3）当等于1或3时，翻折后点的对应点恰好落在边上． 【解析】 【分析】（1）由题意得：，， （2）先证明四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，利用勾股定理表示出，利用列出关于的方程，即可求解； （3）由折叠的性质可得，，，，由可得，进而得到，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，， 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， 根据勾股定理得：， 则， 解得， ∴当时，四边形是菱形； 【小问3详解】 解：由折叠的性质可得，，，，， 在矩形中，， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得，， 即当等于1或3时，翻折后点的对应点恰好落在边上． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、翻折的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握矩形与菱形的判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期联片办学期中考试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分，每个小题只有一项符合题目要求） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，直线，直线分别交于点A，B，C，直线分别交于点D，E，F，若，，，则线段（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 3. 如图，在矩形中，对角线，交于点，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形和四边形的相似比是（ ） A. B. C. D. 6. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6 C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D. 袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，小明家有一块长，宽的长方形土地，为了种植方便，小明爸爸准备在横、纵方向各修建一条等宽的小路（阴影部分），并且要使种植面积为，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的四边形学具，他先调整学具成为图1所示的图形，并测得，对角线，接着调整学具成为图2所示的图形，测得，则图2中对角线的长为（ ）． A. B. C. D. 10. 我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（　　） A. B. C. D. 11. 用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点的直线翻折纸片，得到折痕，使点落在上的点处，连接，，与交于点．有下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 已知a，b，c，d是成比例线段，且，，，那么_____cm． 13. 一个不透明的盒子中装有白球和红球共个，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验次，其中有次摸到红球．由此估计盒子中的红球有____个． 14. 一元二次方程的两根分别为m，n，则____． 15. 如图，在矩形中，E，F分别是边上的动点，P是线段的中点，，，G，H为垂足，连接．若，，，则的最小值是______． 三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知关于x的一元二次方程的一个根为，求m的值及方程的另一根． 18. 已知，求代数式的值． 19. 如图，，点为内部一条射线上的一点，请用尺规作图法在射线上分别求作点，连接，使得四边形是矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 《哪吒》自年月日上映以来，便如同一颗重磅炸弹，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号，，，来表示，这张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____； （2）将哪吒和敖丙的组合或太乙真人和申公豹的组合称为“一套”，小明和小红依次从中随机抽取一张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根是负数，求k的取值范围． 22. 天水樱桃果实味美，营养丰富，深受消费者喜爱．某水果商店购入进价为元/千克的樱桃，若售价为元/千克，则一个月可售出千克；若售价在元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少千克．通过调查市场行情发现卖樱桃不会亏本． （1）当售价为元/千克时，每月销售樱桃多少千克？ （2）当月利润为元时，每千克樱桃售价为多少元？ 23. 如图，在中，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 24. 综合与实践： 主题：将一张长为，宽为的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高为，求该收纳盒的底面的边的长； 任务二：若收纳盒的底面积为．求该收纳盒的高． 25. 解方程时，我们可以运用分类的思想来解：当时，则原方程可化为，解得或；当时、则原方程可化为，解得或； 综上，原方程的解为：，，，； （1）请利用这种方法解方程，可得这个方程的解是______； （2）解方程． 26. 如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、，设点P、Q运动的时间为． （1）当运动t秒时，线段______，______（用含有t的代数式表示）； （2）求当t为何值时，四边形是菱形； （3）如图2，在运动过程中，沿着把翻折，求当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $