精品解析：四川省南充高级中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

南充高中2025-2026学年度上学期期中考试 高2024级数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 命审题人：刘琳、刘佳弘、蒋敏、帅文飞、朱云川 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 经过两点，的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 2. 圆心为，半径的圆的标准方程为（　　） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，若向量，，共面，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 已知事件、相互独立，事件发生的概率为，事件发生的概率为，则“两个事件，至少有一个发生”的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知、、，则原点到平面的距离是（ ） A. B. C. 1 D. 6. 已知三点，，在同一条直线上，则（ ） A. 12 B. 24 C. 6 D. 10 7. 在平面直角坐标系中，动点到轴、轴、坐标原点的距离分别为，，，这3个距离均大于0，且，则动点的轨迹对应的图形大致为（ ） A. B. C. D. 8. 设圆：，圆：，圆：的半径分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若点在圆：的外部，则实数可能的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（ ） A. B. 为定值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 如图，直三棱柱所有棱长均为6，，，，分别在棱，，，上（不与端点重合），且，，分别为，中点，则（ ） A. 平面 B. 过，，三点的平面截三棱柱所得截面一定为等腰梯形 C. 若，分别是平面和内的动点，则周长的最小值为 D. 若在内部（含边界），，则到棱距离的最小值为 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则________. 13. 圆：关于直线：对称后的方程为________. 14. 平面内有两点与，定义这两点间的“物理距离”为，“光学距离”为.已知圆，定点，过点的直线上有一个动点，若的最小值为，则直线的方程为________. 三、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：与直线：互相垂直且交于点. （1）求的值及点的坐标； （2）若过点的直线与直线平行，求的直线方程. 16. 基孔肯雅热（chikungunya fever）是由基孔肯雅病毒引起，主要通过伊蚊叮咬而传播，以发热、皮疹及关节疼痛为主要特征的急性传染病.为更好地预防基孔肯雅热，某校举办了相关知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分.现从中随机抽取了50名学生的成绩，按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人来自不同的组的概率. 17. 已知圆过点和点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）经过点作圆的两条切线，切点分别为点，，求两条切线的方程. 18. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正切值； （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使平面与平面夹角正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 若集合表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是中的一条直线，则称该圆为集合的包络圆． （1）若圆是集合的包络圆． （i）求，满足的关系式； （ii）若，求的取值范围； （2）若集合的包络圆为，是上任意一点，判断轴上是否存在定点，，使得，若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充高中2025-2026学年度上学期期中考试 高2024级数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 命审题人：刘琳、刘佳弘、蒋敏、帅文飞、朱云川 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 经过两点，的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】利用斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】经过两点，的直线的斜率显然不存在， 所以其倾斜角为， 故选：C 2. 圆心为，半径的圆的标准方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的标准方程的形式，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】根据题意，圆心为，半径 圆的标准方程为； 故选：B． 3. 在空间直角坐标系中，若向量，，共面，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据共面定理列方程求解即可. 【详解】若向量共面，则存在实数，使得， 即，所以，解得. 故选：A 4. 已知事件、相互独立，事件发生的概率为，事件发生的概率为，则“两个事件，至少有一个发生”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用独立事件的概率乘法公式求“事件，都没有发生”的概率，然后由对立事件的概率关系可得. 【详解】“事件，至少有一个发生”的对立事件是“事件，都没有发生” 因为事件、相互独立，所以和也相互独立， 所以， 所以“事件，至少有一个发生”的概率为. 故选：D 5. 已知、、，则原点到平面的距离是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出平面的一个法向量的坐标，结合空间向量法可求得原点到平面的距离. 【详解】设平面的一个法向量为，，， 则，取，则，，所以， 又因为，所以原点到平面的距离是. 故选：B. 6. 已知三点，，在同一条直线上，则（ ） A. 12 B. 24 C. 6 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由三点共线可得，再列式求解即可． 【详解】因为、、三点共线，所以， 即， 解得. 故选：C． 7. 在平面直角坐标系中，动点到轴、轴、坐标原点的距离分别为，，，这3个距离均大于0，且，则动点的轨迹对应的图形大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据点到坐标轴和原点的距离公式，结合已知条件列出方程，再对轨迹方程进行分析，判断其对应的图形即可. 【详解】设，则，，. 因为，所以， 则，则， 所以动点的轨迹为两条直线与（除去坐标原点），其图形大致为选项A中的图象. 故选：A. 8. 设圆：，圆：，圆：的半径分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，把圆的一般方程转化为标准方程，得到，，，再比较即可. 【详解】圆：，得，则. 圆：， 得，则， 又，所以，则. 圆：， 得，则， 又，所以，则. 故. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若点在圆：的外部，则实数可能的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用点与圆的位置关系列出不等式求解即得. 【详解】由点在圆：的外部，得， 解得或，则实数可能的值为，，. 故选：ABD 10. 已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（ ） A. B. 为定值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出定点，，由两点间距离公式可判断A；根据方程判断两条直线垂直，由勾股定理可判断B；设，结合三角恒等变换可判断CD. 【详解】对A，的方程化为，由得定点的坐标为； 的方程化为，由得定点的坐标为. 所以，正确； 对B，因为，所以，即， 所以，正确； 对C，因为，所以设， 则， 所以当时，取得最大值，正确； 对D，， 当且仅当时，取得最大值时，D错误. 故选：ABC 11. 如图，直三棱柱所有棱长均为6，，，，分别在棱，，，上（不与端点重合），且，，分别为，中点，则（ ） A. 平面 B. 过，，三点的平面截三棱柱所得截面一定为等腰梯形 C. 若，分别是平面和内的动点，则周长的最小值为 D. 若在内部（含边界），，则到棱距离的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由直三棱柱性质以及线面平行判定定理可判断A正确，易知当分别为棱，的中点时截面为为矩形，即B错误；作出点关于平面和的对称点，再利用余弦定理可得C正确，易知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在内的部分，可判断D正确. 【详解】对于A，如图所示： 由可得，由三棱柱性质可得，因此可得， 因为平面，平面， 所以平面，即可知A正确； 对于B，由可知，结合A选项可知， 当分别为棱，的中点时，满足，如图所示： 结合直棱柱性质可知，此时过，，三点的平面截三棱柱所得截面为，为矩形，故B错误； 对于C，取点关于平面和的对称点分别为， 连接与平面和的交点分别为时，周长的最小，如图所示： 易知，， 由余弦定理可得， 因此周长的最小值为，即C正确. 对于D，易知，又， 所以在直角三角形中，，可得； 因此可得的轨迹是以为圆心，为半径的圆在内的部分，即圆弧；如图所示： 又是边长为6的正三角形，取为的中点，所以到的距离为， 因此可得当为圆弧的中点时，到棱距离的最小值为，即D正确； 故选：ACD 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由空间中两点间距离公式可解. 【详解】. 故答案为：. 13. 圆：关于直线：对称后的方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】求出圆心和半径，设圆心关于直线：的对称点为，则直线与直线垂直，利用，得到的一个等式，又和的中点在直线：上，将中点代入此直线方程得到的另一个等式，这的等式联立，解得的值，得到的坐标，即为所求圆的圆心，半径不变，从而得到所求圆的方程. 【详解】圆：，圆心，半径， 设圆心关于直线：的对称点为， 则直线与直线垂直， ，，，， 又和的中点为，且中点在直线：上， ，联立，解得， 为所求圆的圆心，半径为， 所求圆的方程为. 故答案为：. 14. 平面内有两点与，定义这两点间的“物理距离”为，“光学距离”为.已知圆，定点，过点的直线上有一个动点，若的最小值为，则直线的方程为________. 【答案】或 【解析】 【分析】即与的距离，由最小值转换成点到线的距离即可求解. 【详解】易知圆的圆心， 由，即与的距离， 设过点的直线方程为，因为过圆心，可得， 即方程为， 由题意，若的最小值为，即到的距离为， 可得， 平方化简可得，解得或，即， 所以直线方程为或. 故答案为：或. 三、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：与直线：互相垂直且交于点. （1）求的值及点的坐标； （2）若过点的直线与直线平行，求的直线方程. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据与垂直，由，再联立直线方程求交点； （2）根据直线与直线平行，设直线方程为，再将点P的坐标代入求解. 【小问1详解】 因为与垂直，所以， 于是，即. 由有，所以. 【小问2详解】 由题意设：， 将代入可得：. 所以直线的方程为：：. 16. 基孔肯雅热（chikungunya fever）是由基孔肯雅病毒引起，主要通过伊蚊叮咬而传播，以发热、皮疹及关节疼痛为主要特征的急性传染病.为更好地预防基孔肯雅热，某校举办了相关知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分.现从中随机抽取了50名学生的成绩，按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人来自不同的组的概率. 【答案】（1），平均数（分），中位数（分） （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1求，根据平均数和中位数的估算方法求解可得； （2）求出各层人数，使用列举法，结合古典概型概率公式求解即可. 【小问1详解】 由图可得：，解得， 估计所抽取50名学生成绩平均数为： （分）， 由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 所以中位数，由题意可得，解得（分）， 所以估计所抽取的50名学生成绩的中位数为（分）； 【小问2详解】 由题意可知，后三组中的人数分别为15，10，5， 故这三组中所抽取的人数分别为3，2，1， 记成绩在这组的3名学生分别为，，，成绩在这组的2名学生分别为，，成绩在这组的1名学生为， 则从中任抽取2人的所有可能结果为 、、、、、、、、、、、 、、、，共15种. 其中来自相同组的有、、、共4种，于是来自不同组的有11种. 故这2人来自不同组的概率为. 17. 已知圆过点和点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）经过点作圆的两条切线，切点分别为点，，求两条切线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求圆的方程即可； （2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，利用圆心到直线的距离求切线方程即可. 【小问1详解】 设圆标准方程. 则有，解得， 即圆的标准方程为； 【小问2详解】 由圆的标准方程为，即圆心为，半径为， 当直线斜率不存在时，：，此时圆心到直线的距离为， 故：与圆相切，故：符合要求； 当直线斜率存在时，设：，即， 则有，化简得，即， 即：，即：； 综上所述：两条切线的方程为或. 18. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正切值； （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使平面与平面夹角正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为，分别为，的中点，所以. 因为，所以，所以， 又，，，平面， 所以平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用中位线性质结合已知证明，然后由线面垂直的判定定理可证； （2）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量夹角公式，结合同角三角函数的基本关系求解可得； （3）求出两个平面的法向量，根据向量夹角公式列方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，，所以，，两两垂直. 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意有，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量， 则有 令，得，，所以是平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为， 则，于是可得 所以，所以直线与平面所成角的正切值为. 【小问3详解】 假设存在，使平面与平面夹角的正弦值为， 即使平面与平面夹角的余弦值为. 由（2）得，， 所以，，. 易得平面的一个法向量为. 设平面的法向量， ， 解得，令，得， 则是平面的一个法向量. 则有， 即，所以，解得或 又因为，所以. 故存在，使平面与平面夹角的正弦值为. 19. 若集合表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是中的一条直线，则称该圆为集合的包络圆． （1）若圆是集合的包络圆． （i）求，满足的关系式； （ii）若，求的取值范围； （2）若集合的包络圆为，是上任意一点，判断轴上是否存在定点，，使得，若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）. （2）存在，，或，. 【解析】 【分析】（1）（i）根据所给新定义，利用圆心到直线距离等于半径得解； （ii）转化为圆与直线有公共点列出不等式求解即可； （2）根据新定义，可得出圆的方程，再设轴上存在定点，，使得，化简可知方程有解，求解即可得出点的坐标. 【小问1详解】 （ⅰ）因为圆：是集合的包络圆， 所以圆心到直线的距离为2， 所以. （ⅱ）由及，可得圆与直线有公共点， 所以. 所以的取值范围是； 【小问2详解】 设，由题意可知：点到直线的距离是与无关的定值， 所以为无关的定值. 所以，故，此时. 所以圆：. 设，则即. 假设轴上存在点、，使得， 即， 即恒成立， 所以，解得或. 所以，或，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $