精品解析：四川省荣县中学校2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

荣县中学高2024级下学期数学期中考试卷 命题人：杨茂钢 审题人：林正坤 第I卷（选择题） 一、单选题. 1. 树人中学田径队有男运动员30人，女运动员20人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为10的样本，则应抽取男运动员的人数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】用分层抽样知识计算即可求解. 【详解】应抽取男运动员的人数为人. 故选：C. 2. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示求出，进而由向量的坐标运算求出结果. 【详解】∵，， ∴， ∴. 故选：A. 3. 已知一组数据：的平均数为4，方差为10，则的平均数和方差分别是（ ） A. 10，90 B. 4，12 C. 4，10 D. 10，10 【答案】A 【解析】 【分析】利用数据的平均数和方差的性质及计算公式直接求解. 【详解】一组数据的平均数是4，方差为10， 另一组数的平均数和方差分别是 ，， 故选：A 【点睛】本题主要考查平均数、方差的求法，解题时要认真审题,注意平均数、方差的性质的合理运用，属于容易题. 4. 中国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”．如4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，…，现从3，5，7，11，13这5个素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出3，5，7，11，13这5个素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求． 【详解】解：从3，5，7，11，13这5个素数中，随机选取两个不同的数共有钟可能， 其和等于16的结果（3，13），（5，11）2种等可能的结果， 所以概率. 故选：B. 5. 已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基底的定义进行判断即可. 【详解】A：因为， 所以是共面向量，因此本选项向量不能构成空间的一个基底； B：假设是共面向量， 所以存在实数，使得成立， 因为为空间的一个基底， 所以有，显然方程组无实数解，因此假设不成立， 所以本选项向量能构成空间的一个基底； C：因为， 所以是共面向量，因此本选项向量不能构成空间的一个基底； D：因为， 所以是共面向量，因此本选项向量不能构成空间的一个基底， 故选：B 6. 已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用反射原理，先求出点关于直线的对称点的坐标，再求直线的方程即可. 【详解】 如图，设点关于直线的对称点为， 则有，解得，即， 依题意，反射光线即直线，因，则直线的斜率为， 于是反射光线所在的直线方程为，即. 故选：C. 7. 若函数的图象与直线有公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. ． C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出函数的图象，利用直线与圆的位置关系求解. 【详解】函数的图象如图所示： 由图象知：当直线过点A（-1，0）时，m=1； 当直线与半圆相切时：，解得或（舍去）； 因为函数的图象与直线有公共点， 所以实数的取值范围是， 故选：A 8. 如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论不正确的（ ） A. 当时，点一定在线段上 B. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 C. 当点在棱上运动时，的最小值为 D. 线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直判定A，应用空间向量法计算角及外接球球心，结合表面积公式计算判断B，D，应用展开图及勾股定理计算判断C. 【详解】对于A，若， 又因为平面，平面， 所以，又平面，可得平面， 所以，又因为是正方形，所以，所以点一定在线段上，故A正确；   ， 对于C，如图，旋转平面，使之与平面共面， 连接交于，此时最短为，大小为，故C错误， 对于B，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 当为的中点时，则，，， 设三棱锥的外接球的球心为，则， 即，解得， ∴三棱锥的外接球半径， ∴三棱锥的外接球表面积为，则B正确；    设线段上存在点，设， 则可得，又，，， 则， 设异面直线与所成角为，若正切值为，则， 即，化简得， 解得，故线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为，故D正确. 故选：C. 二、多选题. 9. 某区创建全国文明城市，指挥部办公室对所辖街道当月文明城市创建工作进行考评.工作人员在本区选取了甲、乙两个街道，并在这两个街道各随机抽取10个实地点位进行现场测评，下表是两个街道的测评分数（满分100分），则下列说法错误的是（ ） 甲 75 79 82 84 86 87 90 91 93 98 乙 73 81 81 83 87 88 95 96 97 99 A. 甲、乙两个街道的测评分数的极差相等 B. 甲、乙两个街道的测评分数的平均数相等 C. 街道乙的测评分数的第75百分位数为95 D. 甲、乙两个街道测评分数的中位数中，乙的中位数较大 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据表格数据分别计算极差，平均数，第75百分位数和中位数即可. 【详解】对于A，甲街道测评分数的极差为； 乙街道测评分数的极差为；两者不相等，故A错误； 对于B，甲街道测评分数的平均数； 乙街道测评分数的平均数为；两者不相等，故B错误； 对于C，而，则街道乙的测评分数的第75百分位数为96，故C错误. 对于D，甲街道测评分数的中位数为； 乙街道测评分数的中位数为；则乙的中位数较大，故D正确. 故选：ABC. 10. 已知圆，点为圆上一点，点为坐标原点，则下列叙述正确的有（ ） A. 点在圆外 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项把点的坐标代入圆的方程即可，B选项把圆上的点到原点的距离的最值转化为圆心到原点的距离减半径，选项C,D转化为圆心到直线的距离与半径的关系，解不等式得最值. 【详解】选项A，点坐标代入圆的方程左侧得，即原点在圆外，所以A正确； 选项B，圆的标准方程为，所以圆心，半径，，所以，所以B错误； 选项C，令，则直线与圆有公共点，根据点到直线的距离公式得，解得的最小值为，故C正确; 选项D，设，则直线与圆有公共点,根据点到直线的距离公式得，解得，所以的最小值为，故D错误. 故选：AC 11. 在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”.又设点P及直线上任意一点Q，称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（ ） A. ，，则 B. O为坐标原点，动点R满足，则R的轨迹为直线 C. 对任意三点A、B、C，都有 D. 已知点和直线：，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据切比雪夫距离的定义直接运算即可；对于B：设，分析可得，且等号至少有一个成立，即可得结果；对于C：根据题意结合绝对值不等式的分析判断；对于D：设点可得，讨论可得距离，再由函数的性质，求得最小值即可. 【详解】对于选项A：若，，则， 因为，所以，故A正确； 对于选项B：设，若，则，且等号至少有一个成立，故轨迹不是直线，B错误； 对于选项C：设， 则 ， 同理可得， 所以，故C正确； 对于选项D：设为直线上一点， 则， 当，即时，则， 可知当时，取得最小值； 当，即或，则，无最小值， 综上可得：，故D正确； 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题. 12. 如图，直线、、的斜率、、由小到大排序为______． 【答案】 【解析】 【分析】由图可得直线、、倾斜角大小关系，据此可得斜率关系． 【详解】设直线、、的倾斜角分别为、、，由图可得，则，也即． 故答案为：． 13. 由直线上的一点向圆引切线,切点分别为，则四边形面积的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据切线的性质可确定所求四边形面积为，可知当所求面积最小时，，利用点到直线距离公式可求得，进而得到所求面积的最小值. 【详解】 由题意知，圆的圆心，半径 两切线关于对称 四边形面积为 当时，最小，此时 四边形面积的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查与圆的切线有关的四边形面积最值的求解问题，关键是能够根据切线的性质将问题转化为圆心到直线距离的求解问题. 14. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，则面积为_____________ 【答案】## 【解析】 【分析】设，由AB的中点坐标在直线上，进而求出a的值，根据角平分线的性质知点A关于角平分线对称的点在直线BC上，进而求得，求出直线BC方程，进而求出点C坐标，结合两点距离公式和点线距公式计算即可求解. 【详解】由题意知，设， ∵AB的中点在直线上， ∴，解得，∴. 由角平分线的性质，点A关于平分线的对称点在直线BC上， 得，解得，所以， 由和B得BE的方程. 由，解得，即， 得， 点A到直线BE的距离为， 所以. 故答案为： 四、解答题. 15. 已知圆：和点. （1）过点作一条直线与圆交于，两点，且，求直线的方程； （2）过点作圆的两条切线，切点分别为，，求所在的直线方程，并求线段的长. 【答案】（1）或 （2）， 【解析】 【分析】（1）利用弦长公式可求出圆心到直线的距离，再分别讨论直线的斜率是否存在即可； （2）求出所在圆的方程，将两圆相减即可得出所在的直线方程，再由几何法可求得线段的长. 【小问1详解】 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或； 【小问2详解】 因为，则， 所以以点为圆心，为半径的圆的方程为， 点也在该圆上，因此在两圆的公共弦上； 联立，两式相减整理可得， 即所在的直线方程为， 圆心到的距离 所以. 16. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的众数，中位数和平均数； （3）已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩合并后的平均数和方差. 【答案】（1） （2）众数为，中位数为，平均数为 （3）平均数为，方差为 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中小矩形的面积之和为求解出的值； （2）由面积最大的小矩形确定出众数，先判断出中位数所在区间，然后根据公式求得结果； （3）先计算成绩在的样本数，然后根据公式计算出成绩合并后的平均数和方差. 【小问1详解】 由每组小矩形的面积之和为，得，解得； 【小问2详解】 由，得样本成绩的众数为， 成绩落在内的频率为， 成绩落在内的频率为， 故中位数在内，由，得样本成绩的中位数为， 由，得样本成绩的平均数为； 【小问3详解】 由频率分布直方图知，成绩在的样本数为， 成绩在的样本数为， 所以平均数， 总方差为. 17. 多项选择题是标准化考试中常见题型，从，，，四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中至少有两个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. （1）甲同学有一道多项选择题不会做，他随机选择至少两个选项，求他猜对本题得5分的概率； （2）现有2道多项选择题，根据训练经验，每道题乙同学得5分的概率为，得2分的概率为；丙同学得5分的概率为，得2分的概率为.乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙比丙总分刚好多得5分的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出样本空间基本事件总数，由古典概型概率计算公式即可求解. （2）由互斥加法以及独立乘法公式即可求解. 【小问1详解】 甲同学所有可能的选择答案有11种： ，其中正确选项只有一个， 样本空间, 共11个基本事件， 所以他猜对本题得5分的概率为. 【小问2详解】 由题意得乙得0分的概率为，丙得0分的概率为， 乙比丙刚好多得5分的情况包含： 事件：乙得10分，丙得5分，则； 事件：乙得7分，丙得2分，则； 事件：乙得5分，丙得0分，则； 所以乙比丙总分刚好多得5分的概率. 18. 已知平面内有三个不同点，分别为，， （1）已知一个圆，点、、在圆上，求圆的方程. （2）已知为圆上一点，设，满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程，代入三点后解方程组可得； （2）设，，利用坐标表示出后可得，然后利用点和在圆上求出圆与圆有公共点，再利用圆与圆的位置关系可得. 【小问1详解】 设圆的方程为， 则，解得， 所以， 所以圆. 【小问2详解】 由（1）知，圆，即，其圆心为，半径， 设，， 又由，则，，， 若，则有，变形可得， 若在圆上，则， 则有，变形可得：， 即点也在圆上， 从而圆与圆有公共点， 则有， 变形可得：， 解得：，即的取值范围为； 19. 如图1，在直角中，为中点，，取中点，连接，现把沿着翻折，形成三棱锥如图2，此时，取中点，连接，记平面和平面的交线为为上异于的一点. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 【答案】（1）证明：由题意知为等腰直角三角形，又为的中点，所以，，， 由，解得， 当时，有，即， 而平面，故平面； （2）或 【解析】 【分析】（1）依题意可得，利用余弦定理求出，即可得到，从而得证； （2）以为轴，轴，过作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用余弦定理求出，即可求出点坐标，求出平面的法向量，设，表示出点坐标，利用空间向量法求出线面角的正弦值，即可求出，再由坐标法求模即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为轴，轴，过作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 又， 所以 所以，，所以， 于是， 设平面的法向量为， 则，不妨取，解得， 设，则，， 因为为中点，为中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 平面和平面的交线为，平面， 所以，又为上异于的一点，所以，即与共线， 设为，则， 故， 因此. 设直线与平面所成角为， 则， 化简得，解得或， 当时，则， 当时，则， 因此或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荣县中学高2024级下学期数学期中考试卷 命题人：杨茂钢 审题人：林正坤 第I卷（选择题） 一、单选题. 1. 树人中学田径队有男运动员30人，女运动员20人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为10的样本，则应抽取男运动员的人数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知一组数据：的平均数为4，方差为10，则的平均数和方差分别是（ ） A. 10，90 B. 4，12 C. 4，10 D. 10，10 4. 中国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”．如4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，…，现从3，5，7，11，13这5个素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的图象与直线有公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. ． C. D. 8. 如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论不正确的（ ） A. 当时，点一定在线段上 B. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 C. 当点在棱上运动时，的最小值为 D. 线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为 二、多选题. 9. 某区创建全国文明城市，指挥部办公室对所辖街道当月文明城市创建工作进行考评.工作人员在本区选取了甲、乙两个街道，并在这两个街道各随机抽取10个实地点位进行现场测评，下表是两个街道的测评分数（满分100分），则下列说法错误的是（ ） 甲 75 79 82 84 86 87 90 91 93 98 乙 73 81 81 83 87 88 95 96 97 99 A. 甲、乙两个街道的测评分数的极差相等 B. 甲、乙两个街道的测评分数的平均数相等 C. 街道乙的测评分数的第75百分位数为95 D. 甲、乙两个街道测评分数的中位数中，乙的中位数较大 10. 已知圆，点为圆上一点，点为坐标原点，则下列叙述正确的有（ ） A. 点在圆外 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”.又设点P及直线上任意一点Q，称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（ ） A. ，，则 B. O为坐标原点，动点R满足，则R的轨迹为直线 C. 对任意三点A、B、C，都有 D. 已知点和直线：，则 第II卷（非选择题） 三、填空题. 12. 如图，直线、、的斜率、、由小到大排序为______． 13. 由直线上的一点向圆引切线,切点分别为，则四边形面积的最小值为_____. 14. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，则面积为_____________ 四、解答题. 15. 已知圆：和点. （1）过点作一条直线与圆交于，两点，且，求直线的方程； （2）过点作圆的两条切线，切点分别为，，求所在的直线方程，并求线段的长. 16. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的众数，中位数和平均数； （3）已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩合并后的平均数和方差. 17. 多项选择题是标准化考试中常见题型，从，，，四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中至少有两个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. （1）甲同学有一道多项选择题不会做，他随机选择至少两个选项，求他猜对本题得5分的概率； （2）现有2道多项选择题，根据训练经验，每道题乙同学得5分的概率为，得2分的概率为；丙同学得5分的概率为，得2分的概率为.乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙比丙总分刚好多得5分的概率. 18. 已知平面内有三个不同点，分别为，， （1）已知一个圆，点、、在圆上，求圆的方程. （2）已知为圆上一点，设，满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围. 19. 如图1，在直角中，为中点，，取中点，连接，现把沿着翻折，形成三棱锥如图2，此时，取中点，连接，记平面和平面的交线为为上异于的一点. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $