专题03 组合与组合数八大题型（高效培优专项训练）数学人教B版2019高二选择性必修第二册

专题03 组合与组合数 题型一：组合数的化简及简单计算 题型二：组合数方程与不等式 题型三：简单的组合应用问题 题型四：代数中的组合问题 题型五：几何中的组合问题 题型六：分组分配问题 题型七：x+y+z=n的整数问题 题型八：其它排列与组合的综合问题 题型一：组合数的化简及简单计算 1．（2025高二·全国·专题练习）给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 2．（24-25高二上·甘肃武威·期中）下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 3．计算（    ） A．252 B．126 C．84 D．63 4．（24-25高二下·广东江门·期末）计算的值是（ ） A．41 B．61 C．62 D．82 5．（24-25高二下·福建福州·期末）计算的值是（   ） A．48 B．76 C．148 D．176 6．（24-25高二下·湖北恩施·期末）（   ） A．20 B．30 C．40 D．50 7．（多选题）给出下列问题，属于组合问题的有（    ） A．从2，11，13，17中任选两个数相除，可以得到多少个不同的商. B．有5张广场演唱会门票，要在8人中确定5人去观看，有多少种不同的选法 C．从20只不同颜色的气球中选出6只布置教室，有多少种不同的选法 D．艺术节排练，从甲、乙、丙等9名同学中选出4名分别去参加两个不同的节目，有多少种不同的安排方法 8．（多选题）下列问题是组合问题的有（　　） A．设集合，则集合A的含有3个元素的子集有多少个 B．某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种票价 C．3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法 D．把3本相同的书分给5个学生，每人最多分得1本，有几种分配方法 题型二：组合数方程与不等式 1．（24-25高二下·广西来宾·阶段练习）已知，则（   ） A．7 B．21 C．35 D．42 2．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26高三上·北京·阶段练习）满足条件的正整数的个数是（    ） A．10 B．9 C．4 D．3 4．若，则的取值集合是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·上海宝山·期中）若 为正整数，则不等式 的解集是 6．（24-25高二下·全国·课后作业）已知组合数，则关于的不等式的解集为 ． 7．不等式的解集为 ． 8．（1）若，则x= . （2）不等式的解集为 . 题型三：简单的组合应用问题 1．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）甲盒子中有大小材质完全相同的5个红球和3个蓝球；乙盒子中有大小材质完全相同的6个红球和2个蓝球．若从甲、乙两个盒子中各随机取出2个球，则取出的4个球中恰有3个红球的不同取法共有（    ） A．150种 B．180种 C．300种 D．345种 2．（25-26高三上·广东佛山·阶段练习）一支军事特别任务部队由18名士兵组成，当中共有6名女士兵，其余的是男士兵．若从该部队中随机选出8名士兵，求选出不多于4名女士兵的概率．（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·广东佛山·阶段练习）某校的音乐学会有7名男生及5名女生．某舞台上放了两行椅子，且每行有3张椅子．从该音乐学会中随机选出3名男生及3名女生在舞台上就座．若选出的女生必须坐在首行：求编排男生和女生在舞台上就座的方法的数目．（　　） A．350 B．720 C．12600 D．25200 4．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子．已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·陕西商洛·阶段练习）洛南县被誉为“汉字故里、核桃之乡、避暑名城”.国庆期间，小明准备到洛南县的“音乐小镇”、“仓颉小镇”、“花溪弄”、“馒头山”、“文庙”、“抚龙湖”这6个景区中随机选择2个景区游览，则这2个景区中有“音乐小镇”的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）某公司的一个部门有6名男员工和4名女员工，从该部门选3人组成一个项目组，要求该项目组男、女员工都有，则不同的选法种数为（    ） A．84 B．90 C．96 D．100 7．（25-26高三上·上海·期中）某高校需要从4名男学生和3名女学生中选出3名学生去“上海进博会”做志愿者，则选出的3名学生中，恰有1名女学生的概率是 ． 8．（2025·河北沧州·模拟预测）现有6个形状、大小完全相同但颜色均不相同的小球，甲、乙两人采用不同方式分别从中拿取3个球：甲从所有球中一次性随机抽取3个；乙将小球平均分为A，B两堆后，先从A堆中一次性取i个，再从B堆中一次性取个（），则乙的不同取法种数比甲多 种. 9．（25-26高三上·河南驻马店·开学考试）如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位长度，记为第次跳跃后对应数轴上的数字，则满足的跳跃方法有 种． 10．（25-26高三上·重庆南岸·阶段练习）纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会于2025年9月3日上午在天安门广场隆重举行，以盛大阅兵仪式同世界人民一道纪念这个伟大的日子，共同开创更加光明的未来.这次阅兵中亮相的某新式武器的信息设备由装有一排四只发光电子元件组成，每个电子元件被点亮时可发出红色光、蓝色光、绿色光中的一种光，若每次恰有两个电子元件被点亮，但相邻的电子元件不能同时被点亮，根据这两个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这四个电子元件能表示的信息种数共有 种. 题型四：代数中的组合问题 1．（25-26高二上·河南焦作·期中）从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机一次性抽取2张，则抽到的2张卡片编号之和为奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·湖北黄冈·期中）从中任取2个数字，从中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字四位数有（    ） A．216个 B．162个 C．108个 D．180个 3．（24-25高二下·安徽合肥·阶段练习）从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中大于230的共有（   ） A．504个 B．552个 C．559个 D．660个 4．（2025·湖南长沙·一模）已知一组数据0，9，7，4，5，从1到10中的整数里随机选择2个不同的数加入这组数据，则得到的新数据与原数据中位数相同的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·福建福州·期末）从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，记事件A为“这3个数中含1但不含5”，则 ． 6．（24-25高二下·陕西西安·期末）用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 个． 7．（24-25高二下·山西·期中）从1，2，3，4，5，6，7这7个数中任取3个不同的数，则这3个不同的数的中位数为4的概率为 ． 8．（24-25高三上·上海·期中）从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为4的概率为 （用最简分数表示） 9．（2024·浙江金华·一模）从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选法有 种 题型五：几何中的组合问题 1．（2025高三·全国·专题练习）从正方体6个面的对角线中任取两条作为一对，这对对角线所成的角为的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）正八边形的对角线的条数是（    ） A．16 B．20 C．28 D．40 3．（2024·青海·一模）从五棱锥的6个顶点中随机选取4个，则这4个顶点在同一个平面内的概率是（    ） A． B． C． D． 4．北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星．北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一．如图，用点表示某一时期的北斗七星．其中四点看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（    ） A．18 B．17 C．16 D．15 5．有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，在直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有（　　） A．70个 B．80个 C．82个 D．84个 6．如图，点，，，分别是四面体的顶点或其棱的中点，则在同一平面内的四点组共有 个． 7．（24-25高二下·河南郑州·期末）如图是由5个正方形拼成的图案，从图中小正方形的11个顶点中任取3个顶点为一组，可以构成的三角形个数为 . 8．如图，6只小狗恰好在正六边形广场的顶点上玩耍，从中随机选取三只（视作点）连结成线，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是 . 9．（2023·陕西咸阳·一模）如图，奥林匹克标志由五个互扣的环圈组成，五环象征五大洲的团结，五个奥林匹克环总共有8个交点，从中任取3个点，则这3个点恰好位于同一个奥林匹克环上的概率是 . 题型六：分组分配问题 1．（24-25高二下·浙江温州·期末）某校招聘了6名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2名英语教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（    ） A．12种 B．14种 C．24种 D．48种 2．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每年都对本市所有在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量.现有5名即将毕业的定向师范生拟分配到3所学校进行跟岗培训，每名师范生只能跟岗1所学校，每所学校至少分配1名师范生，则不同的跟岗分配方案共有（ ） A．90种 B．150种 C．300种 D．360种 3．（24-25高二下·贵州贵阳·期末）4月15日，人工智能模型OpenAI推出参数规模达10万亿级的GPT-5，支持20万字长文本理解，推理速度较GPT-4提升3倍．小明等5位同学组成人工智能调研小组，准备对OpenAl、DeepSeek、百度文心一言和腾讯元宝等4种人工智能模型展开学习研究，每位同学只调研一种模型，每个模型至少由一位同学调研，则不同的总方案数为（   ） A．180 B．240 C．288 D．360 4．（24-25高二下·湖南郴州·期末）2025年第十三届中国（湖南）国际矿物宝石博览会5月16日在郴州国际会展中心举行，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，则不同的志愿者分配方案的种数是（   ） A．120 B．150 C．180 D．300 5．（24-25高二下·安徽安庆·期末）江淮地区不仅风景优美，而且美食也是远近闻名.现有一游客计划用三天品尝山粉圆子烧肉、秋浦花鳜、大通茶干、八公山豆腐这4种特色美食，每天至少选择一种（4种美食不重复选择且每天美食的选择不分先后顺序），游客三天后恰好品尝完这4种美食.则这三天他选择美食的不同选法种数为（ ） A．24种 B．36种 C．42种 D．48种 6．（24-25高二下·广东肇庆·期末）从7名工程师中选出4人去3个不同的工地执行任务，其中甲、乙两名工程师要么都去，要么都不去，每个工地要求至少有一名工程师，则不同分配方法的种数为（   ） A．540 B．180 C．360 D．1080 7．（25-26高三上·安徽·开学考试）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行，期间将3名志愿者小李、小张、小明分配到A，B两个场馆服务，每个场馆至少分配一名，恰好小李与小明分到一个场馆的概率为 ． 8．（24-25高二下·福建三明·期末）《数术记遗》记述了我国古代十余种算法.甲、乙、丙三人拟收集该书中运筹算、九宫算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，则不同的分工收集方案有 种. 9．（24-25高二下·四川绵阳·期中）我校新采购了5套不同的实验器材，预计分配到高一、高二、高三三个年级的实验室，要求每个年级至少分到1套实验器材，那么共有 种不同的分配方案. 10．（24-25高二下·河南新乡·期中）某高校安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去郑州、新乡、焦作、安阳四个城市进行暑期社会实践，每位大学生只分配到一个城市，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有 ． 11．（24-25高二下·广东深圳·期中）为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，坪山高级中学教育集团选派了3名男教师和2名女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有 种 题型七：x+y+z=n的整数问题 1．（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）已知，，，则关于，，的方程共有（    ）组不同的解. A．36 B．45 C．50 D．24 2．方程的非负整数解有（    ） A．组 B．136组 C．190组 D．68组 3．学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（    ）种分配方案． A．135 B．10 C．75 D．120 4．袋中有十个完全相同的乒乓球，四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，最后四个小朋友手中乒乓球个数的情况一共有（    ） A．84种 B．504种 C．729种 D．39种 5．（2024·湖北·二模）已知，且，，，则方程的解的组数为 . 6．个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学（每人至少分得一个），不同分法的总数为 ． 7．已知，满足方程，则这个方程解的组数为 ．（用数字作答） 8．六元一次方程的正整数解有 组． 题型八：其它排列与组合的综合问题 1．（24-25高二下·江西景德镇·期中）总共有13个大小颜色重量外观等都一样的小球，如图所示①、②、③号三个足够大的杯子，其中①号杯子至少放一个小球，②号杯子至少放两个小球，③号杯子至少放三个小球，问总共有（    ）种放小球方法 A．120 B．84 C．45 D．36 2．如图，一圆形信号灯分成四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（    ） A．18 B．24 C．30 D．42 3．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）如图是某城区的街道平面网格，它由24个全等的小正方形构成，每个小正方形的边界都是能通行的街道道路，而小正方形的内部都有楼房建筑（不能跨越通行）．小张家居住在街道网格的M处，她的工作单位在街道网格的N处，每天早上她从家出发，沿着街道道路去单位上班，若她要选择最短路径前往，则小张上班一共有 种走法；若小张某天早上从家出发前往单位上班，途中要先到达街道P处吃早餐，吃完早餐再前往单位，则她一共有 种最短路径的走法． 4．（23-24高二下·上海宝山·期末）设集合A是由所有满足下面条件的有序实数组构成的：每一个元素等于0、1、中之一，其中，2，3，4，5.那么集合A中满足条件“”的元素个数为 . 5．某校社团召开学生会议，要将个学生代表名额，分配到高二年级的个班级中，若高二（一）班至少个名额，其余个班每班至少个名额，共有 种不同分法.（用数字作答） 6．9名学生报名参加学校联欢晚会，其中4人只会唱歌，2人只会跳舞，其余3人既会唱歌又会跳舞，现从中选6人，3人唱歌，3人跳舞，共有 种不同的选法. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 组合与组合数 题型一：组合数的化简及简单计算 题型二：组合数方程与不等式 题型三：简单的组合应用问题 题型四：代数中的组合问题 题型五：几何中的组合问题 题型六：分组分配问题 题型七：x+y+z=n的整数问题 题型八：其它排列与组合的综合问题 题型一：组合数的化简及简单计算 1．（2025高二·全国·专题练习）给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】组合意义理解 【分析】根据组合的定义分别判断即可. 【详解】对于①，集合的元素与顺序无关，故①是组合问题； 对于②，从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动与顺序有关，故②是排列问题； 对于③，从7本不同的书中选出5本给某一个同学，与顺序无关，故③是组合问题； 对于④，因为飞机有起始站与终点站，故四个城市之间需要准备的飞机票的种数与顺序有关，故④是排列问题； 对于⑤，因为书是相同的，所以问题就等价于从5人中选出3人，故⑤是组合问题． 故选：C． 2．（24-25高二上·甘肃武威·期中）下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】排列的意义理解、组合意义理解 【分析】根据排列和组合的概念可确定选项. 【详解】A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. C. 从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式，与顺序无关，是组合问题. D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. 故选：C. 3．计算（    ） A．252 B．126 C．84 D．63 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】排列数的计算、组合数的计算 【分析】根据排列数和组合数运算法则计算即可 【详解】． 故选：B． 4．（24-25高二下·广东江门·期末）计算的值是（ ） A．41 B．61 C．62 D．82 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】排列数的计算、组合数的计算 【分析】利用排列数和组合数公式计算即可． 【详解】， ，, 因此. 故选：B. 5．（24-25高二下·福建福州·期末）计算的值是（   ） A．48 B．76 C．148 D．176 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】排列数的计算、组合数的计算 【分析】根据排列数和组合数的计算公式得到答案. 【详解】. 故选：B 6．（24-25高二下·湖北恩施·期末）（   ） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】排列数的计算、组合数的计算 【分析】根据题意，利用排列数与组合数的计算公式，即可求解. 【详解】由排列数与组合数的计算公式，可得. 故选：D. 7．（多选题）给出下列问题，属于组合问题的有（    ） A．从2，11，13，17中任选两个数相除，可以得到多少个不同的商. B．有5张广场演唱会门票，要在8人中确定5人去观看，有多少种不同的选法 C．从20只不同颜色的气球中选出6只布置教室，有多少种不同的选法 D．艺术节排练，从甲、乙、丙等9名同学中选出4名分别去参加两个不同的节目，有多少种不同的安排方法 【答案】BC 【难度】0.94 【知识点】组合意义理解 【分析】利用组合的定义一一判定选项即可. 【详解】对于选项A，选数后作商有顺序，故不是组合问题，A错误； 对于选项B，从8人中选5人，无顺序，符合组合定义，B正确； 对于选项C，从20只不同的球中选6只，无顺序，符合组合定义，C正确； 对于选项D，9人中选4人参加两个不同节目，有先后顺序，不是组合问题，D错误. 故选：BC 8．（多选题）下列问题是组合问题的有（　　） A．设集合，则集合A的含有3个元素的子集有多少个 B．某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种票价 C．3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法 D．把3本相同的书分给5个学生，每人最多分得1本，有几种分配方法 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】组合意义理解 【分析】利用排列与组合的定义判断各选项中的问题. 【详解】A选项，取出的元素与顺序无关，故是组合问题. B选项，甲站到乙站的车票与乙站到甲站的车票是不同的，但票价与顺序无关，甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题. C选项，从5种不同的工作中选出3种，并按一定顺序分给3个人去干，故是排列问题. D选项，因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需要考虑它们的顺序，故是组合问题. 故选：ABD 题型二：组合数方程与不等式 1．（24-25高二下·广西来宾·阶段练习）已知，则（   ） A．7 B．21 C．35 D．42 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】组合数方程和不等式、组合数的计算 【分析】根据组合数性质列出关于x的方程和不等式组求出，再根据组合数定义即可求解. 【详解】由，得或，且， 解得或， 当时，， 当时，. 故选：B． 2．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】组合数的性质及应用、组合数方程和不等式 【分析】利用组合数的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，所以或， 当时，解得，经检验，符合题意， 当时，解得，经检验，符合题意， 综上，得到，故B正确. 故选：B 3．（25-26高三上·北京·阶段练习）满足条件的正整数的个数是（    ） A．10 B．9 C．4 D．3 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】组合数方程和不等式、组合数的计算 【分析】用阶乘表示组合数，化简求出范围. 【详解】由可得， 整理得，解得，且， 所以，又，所以. 故选：C. 4．若，则的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】组合数方程和不等式 【分析】根据组合数的运算公式及性质化简不等式求其解集即可. 【详解】∵， ∴ 即解得. ∵， ∴. ∴的取值集合为. 故选：A. 5．（24-25高二下·上海宝山·期中）若 为正整数，则不等式 的解集是 【答案】 【难度】0.65 【知识点】组合数方程和不等式、组合数的计算 【分析】利用组合数公式，结合一元二次不等式求解即得. 【详解】 化为，即.解得，因为，则.故原不等式的解集为. 故答案为：. 6．（24-25高二下·全国·课后作业）已知组合数，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】组合数方程和不等式、组合数的计算 【分析】利用组合数的计算展开不等式求解即可； 【详解】不等式， 即不等式， 解得，又因且为正整数， 所以原不等式的解集为． 故答案为：. 7．不等式的解集为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】组合数方程和不等式 【分析】利用组合数公式，结合一元二次不等式求解即得. 【详解】不等式化为：，整理得，解得，而， 所以，原不等式的解集为. 故答案为： 8．（1）若，则x= . （2）不等式的解集为 . 【答案】 5 【难度】0.65 【知识点】排列数方程和不等式、组合数方程和不等式 【分析】（1）根据排列数公式即可求解； （2）根据组合数的运算公式及性质化简不等式求其解集即可. 【详解】（1）且， ，化简得， 解得（不合题意，舍去），； （2）∵，∴，即，解得. ∵，∴.∴的取值集合为. 故答案为：5；. 题型三：简单的组合应用问题 1．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）甲盒子中有大小材质完全相同的5个红球和3个蓝球；乙盒子中有大小材质完全相同的6个红球和2个蓝球．若从甲、乙两个盒子中各随机取出2个球，则取出的4个球中恰有3个红球的不同取法共有（    ） A．150种 B．180种 C．300种 D．345种 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、实际问题中的计数问题 【分析】分为两种情况：甲盒取出1红1蓝、乙盒取出2红；甲盒取出2红、乙盒取出1红1蓝，分别计算种数再相加即可． 【详解】4个球中恰有3个红球，可分为两种情况： 第一种：甲盒取出1红1蓝、乙盒取出2红，此时有； 第二种：甲盒取出2红、乙盒取出1红1蓝，此时有； 故共有种不同的取法． 故选：D. 2．（25-26高三上·广东佛山·阶段练习）一支军事特别任务部队由18名士兵组成，当中共有6名女士兵，其余的是男士兵．若从该部队中随机选出8名士兵，求选出不多于4名女士兵的概率．（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、组合数的计算、利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】首先根据组合数求解名士兵中随机选出名士兵的总情况数，然后再计算名士兵中包含5名女士兵，3名男士兵或6名女士兵，2名男士兵情况数，通过总体排除法即可得到名士兵中选出不多于4名女士兵的情况数，进而根据古典概率进行求解即可. 【详解】从名士兵中随机选出名士兵共有种情况， 选出的名士兵中包含5名女士兵，3名男士兵有种情况； 选出的名士兵中包含6名女士兵，2名男士兵有种情况； 由此可得：选出的名士兵中不多于4名女士兵有种情况. 综上可得：从该部队随机选出8名士兵中选出不多于4名女士兵的概率. 故选：D 3．（25-26高三上·广东佛山·阶段练习）某校的音乐学会有7名男生及5名女生．某舞台上放了两行椅子，且每行有3张椅子．从该音乐学会中随机选出3名男生及3名女生在舞台上就座．若选出的女生必须坐在首行：求编排男生和女生在舞台上就座的方法的数目．（　　） A．350 B．720 C．12600 D．25200 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】利用分步乘法计数原理和组合数的性质求解即可. 【详解】先选女生：从5名女生中选3名，可以选种， 再选男生：从7名男生中选3名，可以选种， 再对女生排列：3名女生在首行3张椅子上排列，有种， 再对男生排列：3名男生在第二行3张椅子上排列，有种， 由分步乘法计数原理得，总方法数为种，故C正确. 故选：C 4．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子．已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率 【分析】根据给定的条件，求出买4个盲盒的基本事件数，再求出集齐3种玩偶的基本事件数即可. 【详解】总情况数：每个盲盒有3种可能，4个盲盒的总情况数为，即种， 符合条件的情况数：要集齐三种玩偶，需在4个盲盒中包含所有3种玩偶，即一种玩偶出现2次，其余两种出现1次， 选择出现2次的种类：种，分配位置：将4个位置中选2个给该种类，剩余2个位置分别给另外两种：种，总符合条件的情况数：种， 因此，总概率为. 故选：C． 5．（25-26高二上·陕西商洛·阶段练习）洛南县被誉为“汉字故里、核桃之乡、避暑名城”.国庆期间，小明准备到洛南县的“音乐小镇”、“仓颉小镇”、“花溪弄”、“馒头山”、“文庙”、“抚龙湖”这6个景区中随机选择2个景区游览，则这2个景区中有“音乐小镇”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率 【分析】可先求出从6个景区中随机选择2个景区的所有可能情况，再求出这2个景区中有“音乐小镇”的情况，最后根据古典概型概率公式计算概率即可. 【详解】从6个景区中随机选择2个景区，则所有可能的情况数为：（种）， 若这2个景区中有“音乐小镇”，则只需从剩下的5个景区中再选1个即可， 则情况数为：（种）， 设“这2个景区中有‘音乐小镇’”为事件， 故根据古典概型概率公式可得, 故选：. 6．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）某公司的一个部门有6名男员工和4名女员工，从该部门选3人组成一个项目组，要求该项目组男、女员工都有，则不同的选法种数为（    ） A．84 B．90 C．96 D．100 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】可用直接法或间接法求解. 【详解】法1：直接法：选取的员工中可以有：1男2女，2男1女两类情况， 所以不同的选法种数为：. 法2：间接法：从10人中任选3人的方法中减去全是男生或全是女生的选法可得所求不同的选法种数为． 故选：C 7．（25-26高三上·上海·期中）某高校需要从4名男学生和3名女学生中选出3名学生去“上海进博会”做志愿者，则选出的3名学生中，恰有1名女学生的概率是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率 【分析】总的方法数为，恰有一名女生则是从三个女生中选一个，再从个男生里面选两个即可。 【详解】从4名男学生和3名女学生中选出3名学生总的方法数为， 恰有一名女生则是从三个女生中选一个，再从个男生里面选两个，方法数为 ，所以概率为. 故答案为：. 8．（2025·河北沧州·模拟预测）现有6个形状、大小完全相同但颜色均不相同的小球，甲、乙两人采用不同方式分别从中拿取3个球：甲从所有球中一次性随机抽取3个；乙将小球平均分为A，B两堆后，先从A堆中一次性取i个，再从B堆中一次性取个（），则乙的不同取法种数比甲多 种. 【答案】380 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】根据组合数的定义及分步乘法原理求解. 【详解】由于甲是在6个球中一次性取出3个，从而不同的取法数有种； 对于乙，将小球平均分为A，B两堆有种方法， 而对于每一个给定的分堆方式，其取法数为， 所以乙的不同取法数为种，故乙的不同取法数比甲多380种， 故答案为：380. 9．（25-26高三上·河南驻马店·开学考试）如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位长度，记为第次跳跃后对应数轴上的数字，则满足的跳跃方法有 种． 【答案】448 【难度】0.4 【知识点】实际问题中的组合计数问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】分和两种情况，讨论向左和向右的次数，再结合组合数公式，即可求解. 【详解】因为，所以或． 当时，前8次向左跳跃6次，向右跳跃2次，后6次向右跳跃6次， 所以有（种）跳跃方法； 当时，前8次向右跳跃6次，向左跳跃2次，后6次向左跳跃4次，向右跳跃2次， 所以有（种）跳跃方法． 综上所述，满足的跳跃方法有（种）． 故答案为： 10．（25-26高三上·重庆南岸·阶段练习）纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会于2025年9月3日上午在天安门广场隆重举行，以盛大阅兵仪式同世界人民一道纪念这个伟大的日子，共同开创更加光明的未来.这次阅兵中亮相的某新式武器的信息设备由装有一排四只发光电子元件组成，每个电子元件被点亮时可发出红色光、蓝色光、绿色光中的一种光，若每次恰有两个电子元件被点亮，但相邻的电子元件不能同时被点亮，根据这两个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这四个电子元件能表示的信息种数共有 种. 【答案】27 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据题意先计算选两个不相邻的电子元件的方案数，接着计算两个元件表示的不同信号数，最后根据分步乘法计算原理求解． 【详解】设四只发光电子元件分别为， 则选两个不相邻的电子元件共有三种情况； 每种情况可表示种信息， 所以共可表示种不同信号． 故答案为：27． 题型四：代数中的组合问题 1．（25-26高二上·河南焦作·期中）从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机一次性抽取2张，则抽到的2张卡片编号之和为奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率 【分析】利用组合计数求出从4张卡片中抽取2张及抽到的2张卡片编号之和为奇数的选法，利用古典概率公式求解. 【详解】从4张卡片中抽取2张共有种选法， 抽到的2张卡片编号之和为奇数，即一奇一偶，共种选法， 所以抽到的2张卡片编号之和为奇数的概率. 故选：C. 2．（25-26高三上·湖北黄冈·期中）从中任取2个数字，从中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字四位数有（    ） A．216个 B．162个 C．108个 D．180个 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、数字排列问题 【分析】对首位数字分类讨论并结合组合数的性质求解即可. 【详解】当选的数字包括时，共有种数字组合， 而不能放在首位，则每个组合的情况数为个， 可得总情况数共有个， 当选的数字不包括时，共有种数字组合， 此时每个组合的情况数为个， 可得总情况数共有个， 即一共可以组成没有重复数字四位数有个，故D正确. 故选：D 3．（24-25高二下·安徽合肥·阶段练习）从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中大于230的共有（   ） A．504个 B．552个 C．559个 D．660个 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】分类加法计数原理、实际问题中的组合计数问题、数字排列问题 【分析】根据百位数大于2或百位数为2时分类结合组合数计算求解. 【详解】当百位数大于2时，三位数均符合题意，共有个； 当百位数为2时， （1）若十位数大于3，此时三位数均符合题意，共有个； （2）若十位数为3，符合题意的三位数共有个． 综上所述，共有个． 故选:C． 4．（2025·湖南长沙·一模）已知一组数据0，9，7，4，5，从1到10中的整数里随机选择2个不同的数加入这组数据，则得到的新数据与原数据中位数相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】计算几个数的中位数、实际问题中的组合计数问题、组合数的计算、计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意，得到原数据的中位数为5，要使得新数据与原数据中位数相同，可分为两类：两数中不含5和两数中含5，求得不同的选法的种数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】数据0，9，7，4，5，从小到大排列为0，4，5，7，9，可得其中位数为5， 从1到10中的整数里随机选择2个不同的数加入这组数据有种选法， 要使得新数据与原数据中位数相同，则可分为两类： 若两数中不含5，不同的选法有种； 若两数中含5，则不同的选法有种， 所以共有种不同的选法，所以概率为 故选：B. 5．（24-25高二下·福建福州·期末）从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，记事件A为“这3个数中含1但不含5”，则 ． 【答案】/0.3 【难度】0.85 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概型概率计算方法，求出事件概率. 【详解】从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，共有种不同取法； 符合“这3个数中含1但不含5”有三种取法， 则； 故答案为：. 6．（24-25高二下·陕西西安·期末）用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 个． 【答案】30 【难度】0.85 【知识点】实际问题中的组合计数问题、其他排列模型、组合数的计算 【分析】根据个位数字，分类讨论，结合排列组合即可求解. 【详解】若个位数字为0，则百位和十位从剩余4个数字中任选2个排列，可得个符合条件的偶数， 若个位数字是2或4，则从除0外的其他3个数字中选择一个作百位数字，再从剩余数字中选择一个作为十位数字，此时共有个符合条件的偶数， 因此一共有个符合条件的偶数， 故答案为：30 7．（24-25高二下·山西·期中）从1，2，3，4，5，6，7这7个数中任取3个不同的数，则这3个不同的数的中位数为4的概率为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率 【分析】根据排列组合即可结合古典概型的概率公式求解. 【详解】从这7个数中任取3个不同的数，所有的情况有种， 要使得这3个不同的数的中位数为4，则需要从1,2,3中任选一个数，从5,6,7中任选一个数，再加上4，即可满足，故有, 故概率为， 故答案为： 8．（24-25高三上·上海·期中）从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为4的概率为 （用最简分数表示） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】实际问题中的组合计数问题、组合数的计算、计算古典概型问题的概率 【分析】首先利用组合数求出基本事件总数以及这5个不同的数的中位数为4的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式求解即可． 【详解】根据题意，从10个数中任取5个数，则基本事件总数为， 而这5个数的中位数是4的基本事件数为， 故这5个不同的数的中位数为4的概率为. 故答案为：. 9．（2024·浙江金华·一模）从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选法有 种 【答案】16 【难度】0.85 【知识点】实际问题中的组合计数问题、写出某事件的对立事件 【分析】由组合数公式计算出所有选法，减去三个数都不相邻的选法即可. 【详解】从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，共有种选法， 其中三个数都不相邻的，有135，136，146，246这4种， 所以至少有两个数为相邻整数的选法有20-4=16种. 故答案为：16 题型五：几何中的组合问题 1．（2025高三·全国·专题练习）从正方体6个面的对角线中任取两条作为一对，这对对角线所成的角为的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求异面直线所成的角、几何组合计数问题、计算古典概型问题的概率 【分析】正方体的面对角线共有12条，能够数出每一条对角线和另外的8条构成8对直线所成角为，得共有12×8对对角线所成角为60°，并且容易看出有一半是重复的，得正方体的所有对角线中，所成角是的有48对，根据古典概型概率公式求解即可． 【详解】如图，在正方体中， 与上平面中一条对角线成的直线有，，，，，，，共8条直线， 总共12条对角线；． 从正方体6个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有48对． 而正方体面的对角线共有12条，所以概率为． 故选：B． 2．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）正八边形的对角线的条数是（    ） A．16 B．20 C．28 D．40 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】几何组合计数问题 【分析】正八边形中，任取2个顶点可以得到一条线段，利用组合数计算可得得到线段的数目，再排除其中正八边形的8条边即可得对角线条数． 【详解】正八边形中，任取2个顶点可以得到一条线段，则可以得到条线段，其中包括了正八边形的8条边，则正八边形对角线的条数为条. 故选：B． 3．（2024·青海·一模）从五棱锥的6个顶点中随机选取4个，则这4个顶点在同一个平面内的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】几何组合计数问题、计算古典概型问题的概率 【分析】计算出所有可能情况及符合要求的情况即可得. 【详解】从五棱锥的6个顶点中随机选取4个的不同选取方法有种， 其中选取的4个顶点在同一个平面内的不同选取方法有种， 则所求概率． 故选：C. 4．北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星．北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一．如图，用点表示某一时期的北斗七星．其中四点看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（    ） A．18 B．17 C．16 D．15 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】几何组合计数问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】计算出从七个点中任意选两个点的总条数，再减去四点共线重复的直线条数，可得结果. 【详解】根据题意从七个点中任意选两个点作直线共有种， 其中四点中任意选两点只能作一条直线，有种重复， 所以所得直线的条数为种. 故选：C 5．有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，在直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有（　　） A．70个 B．80个 C．82个 D．84个 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】分类加法计数原理、几何组合计数问题 【分析】分从直线a上任取一个点直线b上任取两个点，和从直线a上任取两个点直线b上任取一个点，两种情况讨论即可. 【详解】第1类：从直线a上任取一个点，从直线b上任取两个点，共有种方法； 第2类：从直线a上任取两个点，从直线b上任取一个点，共有种方法， 故满足条件的三角形共有个． 故选：A. 6．如图，点，，，分别是四面体的顶点或其棱的中点，则在同一平面内的四点组共有 个． 【答案】33 【难度】0.85 【知识点】空间中的点（线）共面问题、几何组合计数问题 【分析】先将四点组分成两类，一类在四面体的侧面上，一类在一条侧棱和其对棱中点组成的平面上，分别计数，再由分类加法计数原理即得. 【详解】因在同一平面内的四点组都含有点，故可以分成两类情况： ①四点组在四面体的侧面上，如在平面中，除去点，还剩5个点，选其中3点，有个， 同理在平面和平面中也各有10个，共有30个； ②四点组在一条侧棱和其对棱中点组成的平面上，如平面中，除去点还剩3个点，故有1个， 同理在平面和平面上，也各有1个，共有3个. 综上，在同一平面内的四点组共有33个. 故答案为：33. 7．（24-25高二下·河南郑州·期末）如图是由5个正方形拼成的图案，从图中小正方形的11个顶点中任取3个顶点为一组，可以构成的三角形个数为 . 【答案】150 【难度】0.85 【知识点】几何组合计数问题、实际问题中的组合计数问题、组合数的计算 【分析】根据题意，用间接法，首先计算从11个顶点中任取3个的取法数目，再分析其中不能组成三角形即取出的三点共线的情况，进而可得可以构成三角形的组数． 【详解】从11个顶点中任取3个，有种取法， 而其中不能组成三角形即取出的三点共线的情况有： 三点都在三条水平边上，有种， 三点都在三条竖直边上，有3种， 三点在正方形的对角线方向上，有3种， 则不能组成三角形即取出的三点共线的情况有种； 所以可以构成三角形的组数为组. 故答案为：150. 8．如图，6只小狗恰好在正六边形广场的顶点上玩耍，从中随机选取三只（视作点）连结成线，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】几何组合计数问题、计算古典概型问题的概率 【分析】从正六边形的6个顶点中随机选择3个顶点，选择方法有种，且每种情况出现的可能性相同，故为古典概型，由列举法计算出它们作为顶点的三角形是直角三角形的方法种数，求比值即可． 【详解】从正六边形的6个顶点中随机选择3个顶点，选择方法有种， 在正六边形中，直角三角形有，共12个， 由古典概型可知以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率 故答案为：． 9．（2023·陕西咸阳·一模）如图，奥林匹克标志由五个互扣的环圈组成，五环象征五大洲的团结，五个奥林匹克环总共有8个交点，从中任取3个点，则这3个点恰好位于同一个奥林匹克环上的概率是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】几何组合计数问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】根据排列组合计算个数，即可利用古典概型的概率公式求解． 【详解】从8个点中任取3个点，共有种情况， 这三个点恰好位于同一个奥林匹克环上有种， 则所求的概率． 故答案为： 题型六：分组分配问题 1．（24-25高二下·浙江温州·期末）某校招聘了6名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2名英语教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（    ） A．12种 B．14种 C．24种 D．48种 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】先将2名英语教师分到两个校区，再将3名数学老师分成2组再分到两个校区，最后只需将其他1人到人数少的一个校区即可. 【详解】由题意知，先将2名英语教师分到两个校区，有2种方法， 第二步将3名数学老师分成2组，一组1人另一组2人，有种分法， 然后再分到两个校区，共有种方法， 第三步只需将其他1人分到人数少的一个校区， 根据分布乘法计数原理知不同的分配方案共有. 故选：A 2．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每年都对本市所有在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量.现有5名即将毕业的定向师范生拟分配到3所学校进行跟岗培训，每名师范生只能跟岗1所学校，每所学校至少分配1名师范生，则不同的跟岗分配方案共有（ ） A．90种 B．150种 C．300种 D．360种 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】分类讨论人数的配比，结合捆绑法和部分平均分组法运算求解. 【详解】若3所学校分配1名师范生的人数为时，先取3人看成一个整体，再进行排列， 所以不同的跟岗分配方案有种； 若3所学校分配1名师范生的人数为时，注意到有2个学校均分配2名师范生， 所以不同的跟岗分配方案有种； 综上所述：不同的跟岗分配方案共有种. 故选：B 3．（24-25高二下·贵州贵阳·期末）4月15日，人工智能模型OpenAI推出参数规模达10万亿级的GPT-5，支持20万字长文本理解，推理速度较GPT-4提升3倍．小明等5位同学组成人工智能调研小组，准备对OpenAl、DeepSeek、百度文心一言和腾讯元宝等4种人工智能模型展开学习研究，每位同学只调研一种模型，每个模型至少由一位同学调研，则不同的总方案数为（   ） A．180 B．240 C．288 D．360 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】分组分配问题 【分析】5位同学，分为2,1,1,1，根据组合和排列相关公式求解. 【详解】由题意得，5位同学对4种人工智能模型展开学习研究，分为2,1,1,1， 故不同的总方案数为. 故选：B 4．（24-25高二下·湖南郴州·期末）2025年第十三届中国（湖南）国际矿物宝石博览会5月16日在郴州国际会展中心举行，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，则不同的志愿者分配方案的种数是（   ） A．120 B．150 C．180 D．300 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】分组分配问题 【分析】根据题意可知有，两种分配方案，进而求解即可. 【详解】由题意，按分配，方案的种数为, 按分配，方案的种数为, 所以不同的志愿者分配方案的种数是. 故选：B. 5．（24-25高二下·安徽安庆·期末）江淮地区不仅风景优美，而且美食也是远近闻名.现有一游客计划用三天品尝山粉圆子烧肉、秋浦花鳜、大通茶干、八公山豆腐这4种特色美食，每天至少选择一种（4种美食不重复选择且每天美食的选择不分先后顺序），游客三天后恰好品尝完这4种美食.则这三天他选择美食的不同选法种数为（ ） A．24种 B．36种 C．42种 D．48种 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】分组分配问题 【分析】由题知，4种美食的分配给3天的分配方案为2,1,1，再根据分组分配原理及部分平均分配问题可得不同选法. 【详解】根据题意，4种美食的分配给3天的分配方案为2,1,1， 所以不同的选法有种. 故选：B. 6．（24-25高二下·广东肇庆·期末）从7名工程师中选出4人去3个不同的工地执行任务，其中甲、乙两名工程师要么都去，要么都不去，每个工地要求至少有一名工程师，则不同分配方法的种数为（   ） A．540 B．180 C．360 D．1080 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】分组分配问题 【分析】根据分组分配原理，先确定甲乙的去留情况，再计算符合条件得分配方式，，结合组合数和排列数进行分步计算. 【详解】由题意得，先选人，甲乙都去有种选择，甲乙都不去有种选择， 又每个工地要求至少有一名工程师，所以分配方案为2,2,1， 根据分组分配部分均分问题有种方案， 所以不同分配方法的种数为. 故选：A. 7．（25-26高三上·安徽·开学考试）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行，期间将3名志愿者小李、小张、小明分配到A，B两个场馆服务，每个场馆至少分配一名，恰好小李与小明分到一个场馆的概率为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分组分配问题、计算古典概型问题的概率 【分析】现将三人分成两组，再将两组人分配到两个场馆，根据分步乘法计数原理即可求出总的分法；再求出小李与小明分到一个场馆的分法数量，最后利用概率计算公式即可求解． 【详解】将小李、小张、小明分为两组，一组一人，另外一组两人，共种分法， 再将两组人分配到A，B两个场馆，共种分法， 根据分步乘法计数原理可知，共种分法； 小李和小明分到一个场馆的分法有种； 故小李与小明分到一个场馆的概率为． 故答案为：． 8．（24-25高二下·福建三明·期末）《数术记遗》记述了我国古代十余种算法.甲、乙、丙三人拟收集该书中运筹算、九宫算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，则不同的分工收集方案有 种. 【答案】150 【难度】0.85 【知识点】分组分配问题 【分析】把5种算法按1，1，3或1，2，2分成三组，再安排给3人，由此计算可得. 【详解】5种算法按1，1，3或1，2，2分成三组的方法数为：， 再安排给3人，总方法数为， 故答案为：150. 9．（24-25高二下·四川绵阳·期中）我校新采购了5套不同的实验器材，预计分配到高一、高二、高三三个年级的实验室，要求每个年级至少分到1套实验器材，那么共有 种不同的分配方案. 【答案】150 【难度】0.85 【知识点】实际问题中的组合计数问题、分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】先将套不同的实验器材分成组，再将分好的组全排列分配到三个年级，根据分步乘法计数原理计算出不同的分配方案数. 【详解】将套不同的实验器材分成组，有两种分法： 按1，1，3分组：从套器材中选套为一组，其余套各为一组，共有种分法. 按2，2，1分组：从套器材中选套为一组，再从剩下的套中选套为一组，剩下套为一组，但这里有重复情况，需要除以消除重复，所以共有种分法. 则将套不同的实验器材分成组，共有种分法. 将分好的组全排列分配到三个年级， 将分好的组全排列，对应高一、高二、高三三个年级，共有种排法. 所以不同的分配方案共有种. 故答案为：150. 10．（24-25高二下·河南新乡·期中）某高校安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去郑州、新乡、焦作、安阳四个城市进行暑期社会实践，每位大学生只分配到一个城市，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分组分配问题 【分析】根据题意，将5人分成四组，再分配得解. 【详解】由题，先将5人分成四组有种，再将四组分配给4个城市有种， 所以不同的报名方法有种. 故答案为： 11．（24-25高二下·广东深圳·期中）为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，坪山高级中学教育集团选派了3名男教师和2名女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有 种 【答案】36 【难度】0.85 【知识点】分组分配问题 【分析】根据2名女教师分派到同一个学校考虑该校是否分配男教师，即可求出答案. 【详解】根据题意，分派方案可分为两种情况: ①2名女教师和1名男教师分派到同一个学校，则有种方法. ②2名女教师分派到同一个学校，且该学校没有分配没有男教师，则有：种方法.故一共有：36种分配方法. 故答案为：36 题型七：x+y+z=n的整数问题 1．（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）已知，，，则关于，，的方程共有（    ）组不同的解. A．36 B．45 C．50 D．24 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数 【分析】根据题意将问题转化为把10个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放入1个小球的不同放法，由挡板分析可得答案. 【详解】根据题意，对于方程将10看成10个相同的小球，将其分成3组，每组至少1个， 第一组有个，第二组有个，第三组有个，即可得一个方程的解， 所以10个相同的小球形成9个空，从中选2个，插入隔板即可， 所以共有组不同的解. 故选：A 2．方程的非负整数解有（    ） A．组 B．136组 C．190组 D．68组 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数 【分析】根据题意，将问题转化，利用插空法分析即可得出答案. 【详解】根据题意，对于方程， 将“18”看成18个“1”， 18个“1”共有19个空， 从19个空中选两个空进行隔板，或从19个空中选1个空插2个隔板， 即可以将18个“1”分为三组，每组对应“1”的数目依次为的数值， 则有. 方程的非负整数解有190组. 故选：C 3．学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（    ）种分配方案． A．135 B．10 C．75 D．120 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数 【分析】“学生名额”是相同元素，故相同元素分配分组问题，用“隔板法” 【详解】解：“学生名额”是相同元素，故相同元素分配分组问题，用“隔板法”， 故有， 故选：B. 4．袋中有十个完全相同的乒乓球，四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，最后四个小朋友手中乒乓球个数的情况一共有（    ） A．84种 B．504种 C．729种 D．39种 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数 【分析】相同元素分组可以采用“隔板法”求解. 【详解】四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完， 即将个球分成了份： 个球有个空隙，选个空隙插上“隔板”即可分成4份， 即：种. 故选：A. 5．（2024·湖北·二模）已知，且，，，则方程的解的组数为 . 【答案】15 【难度】0.85 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数 【分析】问题等价于将7个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子中至少放入1个小球的方法个数，利用隔板法求解即可. 【详解】由题意，原问题等价于将7个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子中至少放入1个小球的方法个数，在7个相同的小球之间形成的6个空中，任选2个放入两个隔板，共有种方法， 即方程的解的组数为15. 故答案为：15 6．个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学（每人至少分得一个），不同分法的总数为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数 【分析】在个相同的篮球中间形成的个空位中插入两块板，结合隔板法可得出结果. 【详解】问题等价于：在个相同的篮球中间形成的个空位中插入两块板， 所以，不同的分法种数为种. 故答案为：. 7．已知，满足方程，则这个方程解的组数为 ．（用数字作答） 【答案】286 【难度】0.85 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数 【分析】由题意分解中没有0，有1个解为0，有2个解为0，有3个解为0四种情况求解即可 【详解】解：当解中没有0时，相当于10个球分成4堆，则10个球中间有9个空，分成4堆也就是在其中插上3个板，有种， 当有1个解为0时，相当于10个球分成三堆，但先要选出谁为0，所以共有种， 当有2个解为0时，相当于10个球分成两堆，所以共有， 当有3个解为0时，相当于10个球分成一堆，所以有， 所以共有， 这个方程解的组数为286组， 故答案为：286 8．六元一次方程的正整数解有 组． 【答案】126 【难度】0.85 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数 【分析】利用隔板法可求正整数解的组数. 【详解】的正整数解的组数为， 故答案为：. 题型八：其它排列与组合的综合问题 1．（24-25高二下·江西景德镇·期中）总共有13个大小颜色重量外观等都一样的小球，如图所示①、②、③号三个足够大的杯子，其中①号杯子至少放一个小球，②号杯子至少放两个小球，③号杯子至少放三个小球，问总共有（    ）种放小球方法 A．120 B．84 C．45 D．36 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、其他组合计数模型、分组分配问题 【分析】将其转化为隔板法解决即可. 【详解】已知①号杯子至少放一个小球，②号杯子至少放两个小球，③号杯子至少放三个小球. 我们先在②号杯子中放个小球，在③号杯子中放个小球， 这样就满足了每个杯子的最少放置要求.此时总共放了个小球， 还剩下个小球. 将问题转化为标准隔板法问题： 现在要把这10个相同的小球放入①、②、③号三个杯子中，且每个杯子至少放个小球. 这就相当于在10个小球形成的个间隔中插入个隔板， 将其分成组，每组对应一个杯子. 根据隔板法公式，所以方法数为. 根据组合数公式，可得（种）. 故选：D. 2．如图，一圆形信号灯分成四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（    ） A．18 B．24 C．30 D．42 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】其他排列模型、其他组合计数模型 【分析】根据涂色问题，按照使用颜色种数进行分类，再结合分步计数原理，即可得总的方法数. 【详解】若用3种不同的颜色灯带，故有两块区域涂色相同，要么，要么相同，有2种方案，则不同的信号数为； 若只用2种不同的颜色灯带，则颜色相同，颜色相同，只有1种方案，则不同的信号数为； 则不同的信号总数为. 故选：A． 3．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）如图是某城区的街道平面网格，它由24个全等的小正方形构成，每个小正方形的边界都是能通行的街道道路，而小正方形的内部都有楼房建筑（不能跨越通行）．小张家居住在街道网格的M处，她的工作单位在街道网格的N处，每天早上她从家出发，沿着街道道路去单位上班，若她要选择最短路径前往，则小张上班一共有 种走法；若小张某天早上从家出发前往单位上班，途中要先到达街道P处吃早餐，吃完早餐再前往单位，则她一共有 种最短路径的走法． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、其他组合计数模型 【分析】小张从处出发选择最短路径前往处，需要向右走条街道和向上走条街道，共走条街道．因此只需从条街道里面选择条街道向右走和条街道向上走即可；同理先求出从处出发选择最短路径前往处的种数，再求从处出发选择最短路径前往处的种数，根据分布乘法计数原理求解即可. 【详解】小张从处出发选择最短路径前往处，需要向右走条街道和向上走条街道，共走条街道． 所以从处出发选择最短路径到达处一共有种走法； 同理，从处到达处有种走法，从处到达处有种走法， 所以根据分步乘法计数原理，小张每天早上上班途经街道处的最短路径走法有种． 故答案为：210，90 4．（23-24高二下·上海宝山·期末）设集合A是由所有满足下面条件的有序实数组构成的：每一个元素等于0、1、中之一，其中，2，3，4，5.那么集合A中满足条件“”的元素个数为 . 【答案】130 【难度】0.65 【知识点】其他组合计数模型 【分析】从条件入手，由于只能取0或1，因此5个数值的有2个0，3个0，或4个0，讨论这三种情况，即可求解. 【详解】因为，，集合中元素满足条件， 由于只能取0或1，因此5个数值中有2个0，3个0或4个0的三种情况， ①中有2个取值为0，另外3个从中取，共有方法数：， ②中有3个取值为0，另外2个从中取，共有方法数：， ③中有4个取值为0，另外1个从中取，共有方法数：， 所以总共方法数为， 即集合中满足条件的元素个数有个. 故答案为：130 5．某校社团召开学生会议，要将个学生代表名额，分配到高二年级的个班级中，若高二（一）班至少个名额，其余个班每班至少个名额，共有 种不同分法.（用数字作答） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、其他组合计数模型 【分析】先分配给高二（一）班2个名额，剩余9个名额用隔板法分配. 【详解】先给高二（一）班2个名额，还有9个名额分到6个班级去， 每班至少个名额，使用隔板法， 有9个相同元素共8个空（不含两端），插入5个板，共有种插法， 两个板之间元素个数即为相应班级名额. 故答案为： 6．9名学生报名参加学校联欢晚会，其中4人只会唱歌，2人只会跳舞，其余3人既会唱歌又会跳舞，现从中选6人，3人唱歌，3人跳舞，共有 种不同的选法. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、其他组合计数模型 【分析】从只会跳舞的人入手，分只会跳舞的选人，只会跳舞的选人和只会跳舞的选人，三种情况讨论，即可得解. 【详解】只会跳舞的选人，则有种， 只会跳舞的选人，则有种， 只会跳舞的选人，则有种， 所以共有种不同的选法. 故答案为：. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $