3.1.3 组合与组合数（十一大题型）训练-2025-2026学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

3.1.3 组合与组合数 题型一 组合意义理解 1．学校要求学生从物理、历史、化学、生物、政治、地理这6科中选3科参加考试，规定先从物理和历史中任选1科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为（   ） A．12 B．20 C．24 D．120 2．（多选）给出下列问题，属于组合问题的有（    ） A．从2，11，13，17中任选两个数相除，可以得到多少个不同的商. B．有5张广场演唱会门票，要在8人中确定5人去观看，有多少种不同的选法 C．从20只不同颜色的气球中选出6只布置教室，有多少种不同的选法 D．艺术节排练，从甲、乙、丙等9名同学中选出4名分别去参加两个不同的节目，有多少种不同的安排方法 3．从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，则这样的三位数有 个． 4．判断下列问题是排列问题还是组合问题． (1)集合中含三个元素的子集的个数是多少？ (2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一名，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？ 题型二 排列（数）与组合（数）的区别 5．下列问题不是组合问题的是（　　） A．从甲、乙、丙、丁四位老师中选取两位去参加学习交流会，有多少种选法？ B．平面上有2016个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C．集合{a1，a2，a3，…，an}含有三个元素的子集有多少个？ D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 6．（多选）下列是组合问题的是（    ） A．10人相互通一次电话，共通多少次电话？ B．10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？ C．从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？ D．从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？ 7．用数字0、1、2、3、4、5组成无重复数字的6位自然数，其中相邻两个数字奇偶性不同的有 个． 8．北京队、上海队、天津队、广东队四个足球队举行友谊比赛，每每两个队都要比赛一场； (1)列出所有各场比赛的双方； (2)最终产生冠、亚军各一个队，列出所有可能的冠亚军情况． 题型三 组合数的计算 9．从4名男生和3名女生中任选4人参加主持人大赛，则选中的4人中恰有1名女生的选法共有（　　） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 10．（多选）下列关于排列数、组合数的计算中，正确的是（    ）． A． B． C． D．是一个常数 11．从0，2，4，6，8和1，3，5，7，9两组数中各取两个数，能组成无重复数字的四位偶数 个.（用数字作答） 12．（1）求满足等式的所有正整数； （2）已知正整数满足，求正整数的值. 题型四 组合数方程和不等式 13．已知，则（   ） A．7 B．21 C．35 D．42 14．（多选）若，则x的值为（   ） A．8 B．5 C．12 D．7 15．若，则正整数的值为 . 16．（1）解方程：（）. （2）甲乙丙丁戊五个同学计划五一假期去上海、北京、广州游玩，每人只能选择去一个城市，每个城市至少去一人，共有多少种不同游玩方法？ 题型五 组合数的性质及应用 17．若，则n的值为（    ） A．8 B．13或8 C．13 D．8或5 18．（多选）下列结论正确的是（    ） A．为正整数且 B．满足方程的值可能为或 C．甲、乙、丙等人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有种排法 D．把个相同的小球分到个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有种 19．若，则的值为 ． 20．（1）证明：，其中，； （2）化简：，其中． 题型六 实际问题中的组合计数问题 21．从长度为1，3，6，9，12的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为（   ） A． B． C． D． 22．（多选）现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论不正确的有（ ） A．没有空盒子的方法共有16种 B．有空盒子的方法共有256种 C．恰有1个盒子不放球的方法共有144种 D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种 23．现有6个形状、大小完全相同但颜色均不相同的小球，甲、乙两人采用不同方式分别从中拿取3个球：甲从所有球中一次性随机抽取3个；乙将小球平均分为A，B两堆后，先从A堆中一次性取i个，再从B堆中一次性取个（），则乙的不同取法种数比甲多 种. 24．修水一中文学社团共有学生9名，其中有5名男生和4名女生，现从中选出4人去参加全县辩论大赛．（列式表明计算过程，结果用数字表示） (1)如果4人中，男生甲当队长必须参加，那么有多少种选法？ (2)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ (3)辩论赛要求2男2女参加，坐成一排，且男生不相邻的，有多少种排座位方法？ 题型七 代数中的组合计数问题 25．从集合中随机取出4个不同的数，并将其从大到小依次排列，第二个数是6的概率为（   ） A． B． C． D． 26．（多选）下列叙述正确的是（   ） A．甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法 B．用数字0，1，2，3这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有18个 C．4个人分别从3个景点中选择一处游览，有81种不同选法 D．正十二边形的对角线的条数是54 27．将分别写有2，0，2，6的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数有 ．（用数字作答） 28．已知集合. (1)从中取出个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？ (2)从集合中取出个元素，从集合中取出个元素，可以组成多少个无重复数字且比大的正整数？ 题型八 几何组合计数问题 29．现提供5种不同的颜色给图中①②③④⑤这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同1种颜色，每个区域只涂1种颜色，则不同的涂色方案共有（   ）    A．360种 B．420种 C．120种 D．480种 30．（多选）平面内有两组平行线，一组有10条，另一组有7条，且这两组平行线相交，则（   ） A．这两组平行线有70个交点 B．这两组平行线有140个交点 C．这两组平行线可以构成280条射线 D．这两组平行线可以构成945个平行四边形 31．已知正四棱锥，从底面四个顶点A，B，C，D和四条侧棱的中点共8个点中任选4个作为三棱锥的顶点，可得三棱锥 个.（用数字作答） 32．在平面直角坐标系中，确定若干个点，点的横、纵坐标均取自集合，这样的点共有n个. (1)求以这n个点中的2个点为端点的线段的条数； (2)求这n个点能确定的直线的条数； (3)若从这n个点中选出3个点分别为三角形的3个顶点，求这样的三角形的个数. 题型九 分组分配问题 33．哈三中百年校庆活动将5名教师志愿者分配到教学楼、田径场、艺体中心、普育广场4个地点参加志愿活动，每名志愿者仅去1个地点，每个地点至少需要1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 34．（多选）将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本，则下列说法正确的是（   ） A．若甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则有60种方案 B．若每人分得2本，则有90种方案 C．若三人分得书本数互不相同，则有360种方案 D．共有450种分配方案 35．某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务，若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往不同基地，则不同的分配方案共有 种. 36．某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 题型十 x+y+z=n的整数解的个数 37．方程的正整数解共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 38．（多选）下列说法正确的是（   ） A．集合的子集共有32个 B．若把英文“small”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种 C．3封信投入5个信箱，不同方法数有种 D．6个三好学生名额分给3个班，每个班至少一个名额，不同方法数有10种 39．若方程，其中，则方程的自然数解的个数为 . 40．将10个优秀指标分配给3个班级： (1)每班至少一个，则共有多少种分配方法？ (2)任意分配共有多少种分配方法？ (3)若班级为一、二、三班，名额数不少于班级数，则共有多少种分配方法？ 题型十一 其他组合计数模型 41．一个集合有5个元素，这个集合的含有3个元素的子集有（    ）个 A．10 B．20 C．30 D．40 42．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．从五个人中选三个人站成一排，则不同的排法有60种 C．过三棱柱任意两顶点的直线中，异面直线共有36对 D．用0，1，2，…，9这十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为252 43．有10个评优指标分到3个不同的班级.若每班至少分配到1个指标，则指标个数的不同分配方法共有 种. 44．将6个不同的小球放入编号分别为的三个不同盒子.（过程要用文字简要说明，结果用数字作答） (1)求共有多少种不同放法； (2)当每个盒子的球数不小于它的编号数时，求共有多少种不同放法； (3)当每个盒子至少有一个小球时，求共有多少种不同放法； (4)若将题干中“6个不同的小球”改为“9个相同的小球”，其他条件不变，则当每个盒子的球数不小于它的编号数时，共有多少种不同放法？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.3 组合与组合数 题型一 组合意义理解 1．学校要求学生从物理、历史、化学、生物、政治、地理这6科中选3科参加考试，规定先从物理和历史中任选1科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为（   ） A．12 B．20 C．24 D．120 【答案】A 【分析】根据组合数的定义，结合分步乘法计数原理即可求解. 【详解】第一步：从物理和历史中选择1科有种方法， 第二步：从其他4科中任选2科有种方法， 故总的选法共有， 故选：A 2．（多选）给出下列问题，属于组合问题的有（    ） A．从2，11，13，17中任选两个数相除，可以得到多少个不同的商. B．有5张广场演唱会门票，要在8人中确定5人去观看，有多少种不同的选法 C．从20只不同颜色的气球中选出6只布置教室，有多少种不同的选法 D．艺术节排练，从甲、乙、丙等9名同学中选出4名分别去参加两个不同的节目，有多少种不同的安排方法 【答案】BC 【分析】利用组合的定义一一判定选项即可. 【详解】对于选项A，选数后作商有顺序，故不是组合问题，A错误； 对于选项B，从8人中选5人，无顺序，符合组合定义，B正确； 对于选项C，从20只不同的球中选6只，无顺序，符合组合定义，C正确； 对于选项D，9人中选4人参加两个不同节目，有先后顺序，不是组合问题，D错误. 故选：BC 3．从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，则这样的三位数有 个． 【答案】51 【分析】根据题意可分三类分析：第一类：没有2，3；第二类：只有2或3； 第三类：2，3均有，2需排在3的前面，求出每种情况的个数求和即可. 【详解】解：由题可得分三类：第一类，没有2，3，由其他三个数字组成三位数，有个； 第二类：只有2或3，需从1，4，5中选两个数字，可组成个； 第三类：2，3均有，再从1，4，5中选一个，因为2需排在3的前面， 所以可组成个, 综上：这样的三位数共有6＋36＋9＝51(个)． 故答案为：51. 4．判断下列问题是排列问题还是组合问题． (1)集合中含三个元素的子集的个数是多少？ (2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一名，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？ 【答案】(1)组合问题 (2)选出正、副班长各一名是排列问题，选代表参加会议是组合问题． 【分析】（1）考虑到集合中的元素是无序的，故是组合问题； （2）选正、副班长时要考虑顺序，选代表参加会议不用考虑顺序，得到答案. 【详解】（1）由于集合中的元素是无序的，一个含三个元素的集合就是一个从0，1，2，3，4中取出3个数组成的集合．这是一个组合问题． （2）选正、副班长时要考虑顺序，所以是排列问题；选代表参加会议是不用考虑顺序的，所以是组合问题． 题型二 排列（数）与组合（数）的区别 5．下列问题不是组合问题的是（　　） A．从甲、乙、丙、丁四位老师中选取两位去参加学习交流会，有多少种选法？ B．平面上有2016个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C．集合{a1，a2，a3，…，an}含有三个元素的子集有多少个？ D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 【答案】D 【分析】发现选项A、B、C中都与顺序无关，利用组合问题的定义处理即可. 【详解】易知组合问题与顺序无关，排列问题与顺序有关， 在D选项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱， 乙参加独舞”与“乙参加独唱，甲参加独舞”是两个不同的选法，与顺序有关， 因此是排列问题，不是组合问题，故D正确． 故选：D 6．（多选）下列是组合问题的是（    ） A．10人相互通一次电话，共通多少次电话？ B．10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？ C．从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？ D．从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？ 【答案】ABC 【分析】根据受不受顺序影响判断每个选项是排列问题还是组合问题即可. 【详解】对于选项A，甲与乙打电话和乙与甲打电话是同一事件，即不受顺序影响，是组合问题； 对于选项B，两个队只打一场比赛，不受顺序影响，是组合问题； 对于选项C，三个人入选的顺序不影响结果，是组合问题； 对于选项D，同样的三个人如果每个人任职的科目不同对最后结果是有影响的，即顺序会影响最后结果，是排列问题，不是组合问题. 故选：ABC 7．用数字0、1、2、3、4、5组成无重复数字的6位自然数，其中相邻两个数字奇偶性不同的有 个． 【答案】 【分析】根据题意，分首位非零偶数和首位为奇数，两种情况讨论，结合分类计数原理，即可求解. 【详解】由题意，用数字组成无重复数字的6位自然数，其中相邻两个数字奇偶性不同， 若首位为偶数，则首位不能为，共有个不同的自然数列； 若首位为奇数，共有个不同的自然数列， 由分类计数原理可得，共有个不同的自然数列. 故答案为：. 8．北京队、上海队、天津队、广东队四个足球队举行友谊比赛，每每两个队都要比赛一场； (1)列出所有各场比赛的双方； (2)最终产生冠、亚军各一个队，列出所有可能的冠亚军情况． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）利用组合的定义即可写出答案； （2）利用排列的定义即可写出答案. 【详解】（1）{北京队，上海队}，{北京队，天津队}，{北京队，广东队}，{上海队，天津队}，{上海队，广东队}，{天津队，广东队}； （2）（注：冠军在前，亚军在后）（北京队，上海队）（北京队，天津队），（北京队，广东队），（上海队，天津队）， （上海队，广东队），（天津队，广东队），（上海队，北京队），（天津队，北京队），（广东队，北京队）， （天津队，上海队），（广东队，上海队），（广东队，天津队）. 题型三 组合数的计算 9．从4名男生和3名女生中任选4人参加主持人大赛，则选中的4人中恰有1名女生的选法共有（　　） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 【答案】B 【分析】利用直接法求满足条件的组合个数. 【详解】满足条件的选法有：种. 故选：B 10．（多选）下列关于排列数、组合数的计算中，正确的是（    ）． A． B． C． D．是一个常数 【答案】BD 【分析】由排列数公式判断AB，由组合数的性质化简判断C，根据组合数的性质得，然后代入计算判断D. 【详解】由排列数公式知A不正确， ，B正确， 由组合数的性质可知，，故C不正确， D选项中，n应该满足，且，，解得， 因此，D正确． 故选：BD． 11．从0，2，4，6，8和1，3，5，7，9两组数中各取两个数，能组成无重复数字的四位偶数 个.（用数字作答） 【答案】1120 【分析】分情况①所取的数字含有0，②所取的数字不含0进行讨论，利用分步乘法计数原理计算即可. 【详解】由于0不能放在首位，因此根据所取的数字中是否含0分成两类情况讨论. ①所取的数字含有0，那么从余下的四个偶数中取一个，有种；从五个奇数中取两个，有种.若0在个位，则有种； 若0不在个位，则个位是另一个偶数，0在中间的位置选择一个，两个奇数全排列， 有种.因此，共有种. ②所取的数字不含0，那么从余下的四个偶数中取两个，有种；从五个奇数中取两个，有种个位数字从两个偶数中选择一个，有种； 余下的三个数字全排列.因此共有种. 由分类加法计数原理可知共有个符合条件的偶数. 故答案为：1120 12．（1）求满足等式的所有正整数； （2）已知正整数满足，求正整数的值. 【答案】（1）3或7 （2） 【分析】（1）利用组合数的性质求解即可； （2）根据排列数的公式计算即可. 【详解】（1）因为，所以或， 解得：或 （2）因为，所以，， 解得： 题型四 组合数方程和不等式 13．已知，则（   ） A．7 B．21 C．35 D．42 【答案】B 【分析】根据组合数性质列出关于x的方程和不等式组求出，再根据组合数定义即可求解. 【详解】由，得或，且， 解得或， 当时，， 当时，. 故选：B． 14．（多选）若，则x的值为（   ） A．8 B．5 C．12 D．7 【答案】AC 【分析】根据组合数的性质计算即可. 【详解】因为，所以或， 解得或， 因为，故或均符合题意. 故选：AC 15．若，则正整数的值为 . 【答案】5或7 【分析】根据组合数的性质化简，列出方程，并计算出结果. 【详解】由组合数的性质，可得， 则，可得或， 解得或. 故答案为：5或7. 16．（1）解方程：（）. （2）甲乙丙丁戊五个同学计划五一假期去上海、北京、广州游玩，每人只能选择去一个城市，每个城市至少去一人，共有多少种不同游玩方法？ 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）根据组合数的性质计算可得； （2）先分组，再分配，部分平均分组需除以组（相等的组）数的全排列. 【详解】（1）因为，所以或， 解得或，经检验符合题意. （2）先把人按分组，有种分组方法， 按分组，有种分组方法， 因此不同分组方法数为， 再把每一种分组安排到三个城市，有种方法， 所以不同的游玩方法有种. 题型五 组合数的性质及应用 17．若，则n的值为（    ） A．8 B．13或8 C．13 D．8或5 【答案】B 【分析】利用组合数的性质，即从个元素取个的组合数与取个的组合数相等. 【详解】由组合数的性质可得或，解得或． 故选：B． 18．（多选）下列结论正确的是（    ） A．为正整数且 B．满足方程的值可能为或 C．甲、乙、丙等人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有种排法 D．把个相同的小球分到个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有种 【答案】ABD 【分析】利用排列组合数公式及性质计算判断AB；利用插空法求得排列数判断C；利用隔板法求得总的方法数判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，由，得或，解得或，B正确； 对于C，将除甲和丙以外的3人全排列，再将甲与丙插入3人所形成的4个空中的2个空，共有排法，C错误； 对于D，由隔板法得共有种不同的分法，D正确. 故选：ABD 19．若，则的值为 ． 【答案】34 【分析】先由组合数的性质求解，再由组合数的性质化简求解即可. 【详解】因为，所以或（舍去），解得， 所以 ． 故答案为：． 20．（1）证明：，其中，； （2）化简：，其中． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【分析】（1）根据题意，利用组合数的公式，进行化简，即可得证； （2）根据题意，结合倒序相加法，以及组合数的运行性质，即可求解. 【详解】（1）证明：由组合数的计算公式，可得， 又由，所以； （2）解：设， 则， 两式相加，可得， 所以，即. 题型六 实际问题中的组合计数问题 21．从长度为1，3，6，9，12的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】5条线段中任取3条共有种取法，利用三角形两边之和大于第三边可得符合条件的组合，再利用古典概型概率公式计算即可. 【详解】5条线段中任取3条共有种取法， 利用三角形两边之和大于第三边可得符合条件的组合为： ，共有一个， 所以所求概率为， 故选：. 22．（多选）现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论不正确的有（ ） A．没有空盒子的方法共有16种 B．有空盒子的方法共有256种 C．恰有1个盒子不放球的方法共有144种 D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种 【答案】ABD 【分析】没有空盒即将4个球在4个盒子上进行全排列即可判断A；有4个球，每个球有4种放法，再减去没有空盒的情况，即可求解判断B；恰有1个空盒，即另外3个盒子都有球，且必然有1个盒子中放了2个球，求解即可判断C；只需从4盒4球中选定标号相同的球和盒，另外的球与盒不能对应，求解即可判断D． 【详解】对于A，没有空盒子，即将4个球在4个盒子上进行全排列，共有种方法，故A不正确； 对于B，有空盒子，因为有4个球，每个球有4种放法，再减去没有空盒的情况，共有种方法，故B不正确； 对于C，恰有1个空盒，即另外3个盒子都有球，而球共4个，必然有1个盒子中放了2个球， 先从4个盒中选1个作为空盒，再将4球中选出2球绑在一起，与另外两个球对余下的3个盒子全排列， 则共有种方法，故C正确； 对于D，没有空盒子恰有1个小球放入自己编号的盒子，则可从4盒4球中选定标号相同的球和盒有种方法， 另外3个球3个盒不能互相对应共2种方法，则共有种方法，故D不正确． 故选：ABD. 23．现有6个形状、大小完全相同但颜色均不相同的小球，甲、乙两人采用不同方式分别从中拿取3个球：甲从所有球中一次性随机抽取3个；乙将小球平均分为A，B两堆后，先从A堆中一次性取i个，再从B堆中一次性取个（），则乙的不同取法种数比甲多 种. 【答案】380 【分析】根据组合数的定义及分步乘法原理求解. 【详解】由于甲是在6个球中一次性取出3个，从而不同的取法数有种； 对于乙，将小球平均分为A，B两堆有种方法， 而对于每一个给定的分堆方式，其取法数为， 所以乙的不同取法数为种，故乙的不同取法数比甲多380种， 故答案为：380. 24．修水一中文学社团共有学生9名，其中有5名男生和4名女生，现从中选出4人去参加全县辩论大赛．（列式表明计算过程，结果用数字表示） (1)如果4人中，男生甲当队长必须参加，那么有多少种选法？ (2)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ (3)辩论赛要求2男2女参加，坐成一排，且男生不相邻的，有多少种排座位方法？ 【答案】(1)56； (2)91； (3)720. 【分析】（1）由题意从剩下的8人中选3人，应用组合数求方法数； （2）应用间接法，9人任选4人的选法数减去甲乙都不去的选法数，即可得； （3）应用分步计数，结合排列组合数求不同的排法数. 【详解】（1）如果男生甲必须去，从剩下的8人中选3人即可，有种选法； （2）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，共有种选法； （3）选2男2女，先排2位女生，将2为男生插入其中的3个空中，则有种排法. 题型七 代数中的组合计数问题 25．从集合中随机取出4个不同的数，并将其从大到小依次排列，第二个数是6的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题随机取出4个不同的数共有，第二个数是6，则4个数中第二大的是6，在7，8，9中选一个，1，2，3，4，5中选2个数，再求概率即可. 【详解】由题知随机取出4个不同的数共有种， 第二个数是6，则4个数中第二大的是6，所以有， 所以概率为. 故选：C. 26．（多选）下列叙述正确的是（   ） A．甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法 B．用数字0，1，2，3这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有18个 C．4个人分别从3个景点中选择一处游览，有81种不同选法 D．正十二边形的对角线的条数是54 【答案】BCD 【分析】应用间接法求不同排法数判断A；先排千位，再排其它三位判断B；应用分步计数原理判断C；根据对角线定义及分步计数原理求对角线条数判断D. 【详解】A：将5人作全排列有种，先求甲丙相邻的情况，将甲和丙捆绑，再和其他三人全排列，有， 若甲与丙不相邻，则共有种，错； B：从1、2、3中选一个放在千位有种，再把余下的3个数作全排种，共有种，对； C：由题意，每个人都有3种选择，故共有种，对； D：对于任意一个顶点都有9条对角线，但会重复计算一次，故共有条，对. 故选：BCD 27．将分别写有2，0，2，6的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数有 ．（用数字作答） 【答案】9 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题，结合分步乘法计数原理列式计算. 【详解】依题意，排数字0有种方法；排数字2有种方法；排数字6有1种方法， 所以组成的不同四位数的个数是. 故答案为：9 28．已知集合. (1)从中取出个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？ (2)从集合中取出个元素，从集合中取出个元素，可以组成多少个无重复数字且比大的正整数？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得以及，然后根据排列数的知识求得正确答案. （2）根据取出的元素是否包含进行分类讨论，结合排列、组合的知识求得正确答案. 【详解】（1）由，得， 所以，所以，所以， 从中取出个不同的元素组成三位数， 可以组成个三位数. （2）由（1）得，而， 若从集合中取元素，则不能作千位上的数字， 有个满足题意的正整数； 若不从集合中取元素，则有个满足题意的自然数. 所以，满足题意的自然数的个数共有. 题型八 几何组合计数问题 29．现提供5种不同的颜色给图中①②③④⑤这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同1种颜色，每个区域只涂1种颜色，则不同的涂色方案共有（   ）    A．360种 B．420种 C．120种 D．480种 【答案】B 【分析】根据题意，分只用3种颜色涂色，只用4种颜色涂色和只用5种颜色涂色，三种情况分类讨论，结合排列数和组合数的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，可得按使用的颜色数分类： 若只用3种颜色涂色，则①③同色且②④同色，不同的涂色方案有种； 若只用4种颜色涂色，则①③同色或②④同色，不同的涂色方案有种； 若用5种颜色涂色，则不同的涂色方案有种， 故不同的涂色方案共有种． 故选：B. 30．（多选）平面内有两组平行线，一组有10条，另一组有7条，且这两组平行线相交，则（   ） A．这两组平行线有70个交点 B．这两组平行线有140个交点 C．这两组平行线可以构成280条射线 D．这两组平行线可以构成945个平行四边形 【答案】ACD 【分析】利用分步计数原理判断A、B，根据交点个数确定射线条件，即可判断C，利用组合数公式及分步计数原理判断D. 【详解】对于A、B，这两组平行线相交有个交点，故A正确，B错误； 对于C，一个交点可以引出4条射线，则可以构成条射线，故C正确； 对于D，10条平行线中的每2条平行线与7条平行线中的每2条平行线可以构成一个平行四边形， 则可以构成个平行四边形，故D正确. 故选：ACD 31．已知正四棱锥，从底面四个顶点A，B，C，D和四条侧棱的中点共8个点中任选4个作为三棱锥的顶点，可得三棱锥 个.（用数字作答） 【答案】58 【分析】根据三棱锥的性质，结合三角形中位线定理、确定平面的条件、组合的定义进行求解即可. 【详解】如图所示：在正四棱锥中，分别是侧棱的中点， 于是有， 而是正方形，所以有， 因此有， 因为一对平行线确定唯一的一个平面， 当时，此时一共确定平面的个数为， 当时，此时一共确定平面的个数为， 当时，可以确定2个平面， 其中平面均被计算了两次，所以共四点共面的情况共有个， 一共8个点，任取四个点，一共有种情形， 所以可得三棱锥个， 故答案为：    32．在平面直角坐标系中，确定若干个点，点的横、纵坐标均取自集合，这样的点共有n个. (1)求以这n个点中的2个点为端点的线段的条数； (2)求这n个点能确定的直线的条数； (3)若从这n个点中选出3个点分别为三角形的3个顶点，求这样的三角形的个数. 【答案】(1)120 (2)63 (3)518 【分析】利用分步相乘计数原理和分类相乘计数原理结合排列组合的知识计算方法每一小问的方法种类数. 【详解】（1）点的横、纵坐标均有4种可能，则， 所以所求线段的条数为. （2）如图，在这个点中，仅有4点共线的直线有9条， 仅有3点共线的直线有6条， 所以这个点能确定的直线的条数为 （3）从这个点中选出3个点，共有种选法. 在同一条直线上的3个点不能构成三角形，所以所求的三角形的个数为. 题型九 分组分配问题 33．哈三中百年校庆活动将5名教师志愿者分配到教学楼、田径场、艺体中心、普育广场4个地点参加志愿活动，每名志愿者仅去1个地点，每个地点至少需要1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 【答案】C 【分析】根据题意，先将5名教师志愿者分为4组，再将分好的4组安排4个地点参加志愿活动，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，分2步进行： ①将5名教师志愿者分为4组，有种分组方法， ②将分好的4组安排4个地点参加志愿活动，有种情况， 则有种分配方案. 故选：C 34．（多选）将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本，则下列说法正确的是（   ） A．若甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则有60种方案 B．若每人分得2本，则有90种方案 C．若三人分得书本数互不相同，则有360种方案 D．共有450种分配方案 【答案】ABC 【分析】利用分组分配问题的解法即可得解. 【详解】对于A，甲1本､乙2本､丙3本，方案数为，故A正确； 对于B，每人2本，方案数为，故B正确； 对于C，书本数互不相同（即1，2，3），所以方案数为，故C正确； 对于D，分三类：第一类，每人2本，方案数为90种；第二类，一人1本，一人2本，一人3本，方案数为360种； 第三类，一人4本，另外两人各1本，方案数为， 故总的分配方案数为种，故D错误. 故选：ABC. 35．某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务，若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往不同基地，则不同的分配方案共有 种. 【答案】114 【分析】正难则反，采用间接法，先求每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往的方法种数，再求在此条件下，甲，乙两名成员前往同一基地的方法种数，两数相减即可得解. 【详解】若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往， 则分组方式为1，1，3；1，2，2； 此时不同的分配方案共有种； 若甲，乙两名成员前往同一基地，考虑到甲乙特殊， 若三组人数为3，1，1，则甲乙还需一名成员，故不同的分配方案有； 若三组人数为2，2，1，则甲乙为一组，不同的分配方案有，所以共计36种， 故所求为种. 故答案为：114. 36．某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 【答案】(1)90 (2)30 (3)540 【分析】（1）利用分步乘法计数原理、组合计数问题列式计算. （2）利用组合计数问题、排列计数问题列式计算. （3）将学生人数按分组，财利用排列组合综合问题列式计算. 【详解】（1）若三科竞赛均有2人报名参加，则报名方法有种. （2）若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，则报名方法有种. （3）由题可得报名人数的分配方案可以是，，或，，或，，. 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种. 所以三科竞赛均有人报名参加，报名方法共有种. 题型十 x+y+z=n的整数解的个数 37．方程的正整数解共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】C 【分析】转化为将21瓶相同的矿泉水分给5人，每人至少1瓶，利用隔板法求解即可. 【详解】原题等价于下面这个问题： 将21瓶相同的矿泉水分给5人，每人至少1瓶，有多少种不同的分法? 由隔板法可得，方程的正整数解共有组． 故选：C 38．（多选）下列说法正确的是（   ） A．集合的子集共有32个 B．若把英文“small”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种 C．3封信投入5个信箱，不同方法数有种 D．6个三好学生名额分给3个班，每个班至少一个名额，不同方法数有10种 【答案】ABD 【分析】根据元集合的子集共有个判断A；利用排除法列式计算判断B；根据分步乘法计数原理判断C；利用隔板法计算判断D. 【详解】对于A，集合有5个元素，子集个数为个，故A正确； 对于B，“small”的所有字母排列总数为种，其中1种是正确的排列，因此，错误的排列共有共有种，故B正确； 对于C，3封信投入5个信箱，不同方法数有种，故C不正确； 对于D，将6个人站成一排，每班至少要1名，就有5个空然后插入2个板子把他们隔开，从5个里选2五个，即有种．故D正确. 故选：ABD. 39．若方程，其中，则方程的自然数解的个数为 . 【答案】28 【分析】依据隔板法去求解即可. 【详解】已知方程，且， 则，其中均为自然数. 将其转化为， 其中为正整数. 运用隔板法将其转化为有9个1排成一列，利用2个隔板法将其分成3组， 第一组1的数目为，第二组1的数目为，第三组1的数目为，则. 2个隔板的放置方法共有种， 故方程的正整数解的个数为28. 即方程的自然数解的个数为28. 故答案为：28. 40．将10个优秀指标分配给3个班级： (1)每班至少一个，则共有多少种分配方法？ (2)任意分配共有多少种分配方法？ (3)若班级为一、二、三班，名额数不少于班级数，则共有多少种分配方法？ 【答案】(1)36 (2)66 (3)15 【详解】由于10个优秀指标是相同的，该题等价于10个相同的小球放入3个不同盒子的模型，可采用“隔板法”． （1）插隔板，即9个空格中插入2个隔板，共有种分配方法． （2）排隔板，即10个指标和2个隔板．从12个位置中选2个放隔板，共有种分配方法． （3）先给一班0个优秀名额，二班1个优秀名额，三班2个优秀名额，再对剩下的7个优秀名额用插隔板法，共有种分配方法． 总之，凡是处理“相同元素有序分组”模型时，我们都可采用“隔板法”．若每组元素数目至少一个时，可用插“隔板”，若出现每组元素数目可为0个时，可用排“隔板”． 题型十一 其他组合计数模型 41．一个集合有5个元素，这个集合的含有3个元素的子集有（    ）个 A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】A 【分析】根据题意结合组合数运算求解即可. 【详解】根据题意可知：集合的含有3个元素的子集有个. 故选：A. 42．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．从五个人中选三个人站成一排，则不同的排法有60种 C．过三棱柱任意两顶点的直线中，异面直线共有36对 D．用0，1，2，…，9这十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为252 【答案】BCD 【分析】利用组合数的性质可判断A；根据排列数的概念可判断B；利用组合的定义结合四面体的性质可判断C；利用间接法结合分步计数原理可判断D. 【详解】对A，由，则或，解得或，故A错误； 对B，从五个人中选三个人站成一排，则不同的排法有种，故B正确； 对C，三棱柱有六个顶，可组成个四面体，而每个四面体有3对异面直线，则共有对，故C正确； 对D，根据分步计数原理可知用0，1，2，…，9这十个数字，可以组成三位数的个数为，其中没有重复数字的三位数的个数为， 所以可以组成有重复数字的三位数的个数为，故D正确. 故选：BCD 43．有10个评优指标分到3个不同的班级.若每班至少分配到1个指标，则指标个数的不同分配方法共有 种. 【答案】36 【分析】应用隔板法结合组合数公式计算求解. 【详解】因为个评优指标没有差别，把他们排成一排．相邻名额之间形成个空隙． 在个空档中选个位置插个隔板，把评优指标分成份，对应地分给3个班级，每一种隔板方法对应一种分法，则有有种分法． 故答案为：36. 44．将6个不同的小球放入编号分别为的三个不同盒子.（过程要用文字简要说明，结果用数字作答） (1)求共有多少种不同放法； (2)当每个盒子的球数不小于它的编号数时，求共有多少种不同放法； (3)当每个盒子至少有一个小球时，求共有多少种不同放法； (4)若将题干中“6个不同的小球”改为“9个相同的小球”，其他条件不变，则当每个盒子的球数不小于它的编号数时，共有多少种不同放法？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据分步乘法原理直接求解即可. （2）结合组合数的运算，根据分步乘法原理直接求解即可. （3）根据分组分配问题，结合组合数和排列数求解即可. （4）方法一：在2号盒子里放入1个小球，在3号盒子里放入2个小球，然后利用隔板法求解即可.方法二：在号盒子里先分别放入个球，然后利用隔板法求解即可. 【详解】（1）根据分步乘法计数原理得共有种不同放法. （2）当每个盒子的球数不小于它的编号数时，1号盒1个球，2号盒2个球，3号盒3个球，共有种不同放法. （3）当每个盒子至少有1个小球时，共有三类： 第一类，一盒4个球，其余两盒各1个球，有种； 第二类，一盒1个球，一盒2个球，一盒3个球，有种； 第三类，每盒2个球，有种. 综上得，共有种不同放法. （4）方法一：在2号盒子里放入1个小球，在3号盒子里放入2个小球， 然后在剩余的6个相同的小球中间5个空插入2个挡板，共有种不同放法. 方法二：在号盒子里首先分别放入个球， 然后剩下的3个小球和两个挡板一起排队，5个位置中给挡板选两个位置，共有种不同放法. 1 学科网（北京）股份有限公司 $