6.3 组合数（题型专练）数学沪教版选择性必修第二册

6.3组合数 题型一 组合的概念 1．给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 2．从集合中任取两个元素，有以下五个问题： ①相加可得多少个不同的和？ ②相除可得多少个不同的商？ ③作为椭圆方程中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？ ④作为双曲线方程中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？ ⑤作为对数中的a，b，可得到多少个不同的对数？其中属于排列问题的是（    ）． A．①②③④⑤ B．②④⑤ C．②③⑤ D．②④ 3．给出下列问题： ①有10个车站，共需要准备多少种车票？ ②有10个车站，共有多少种不同的票价？ ③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？ ④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？ ⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法？ 以上问题中，属于组合问题的是 ．（填写问题序号） 4．已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点不共线，请列举出由其中每3点为顶点的所有三角形 ． 题型二 组合数计算 5． . 6． ． 7．已知为正整数．若，则 ． 8．已知，则 . 9．设，，集合是中任取2个元素组成的集合，则的概率为 （结果用分数表示）. 10．下列关于排列组合的等式成立的个数为（   ）． ① ； ②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 11．（1）若，求正整数n； （2）已知，求． 12．设，求的值. 13．某批产品中有一等品100个，二等品80个，三等品30个，从其中任取10个进行检验，那么（各题列出算式即可，不必计算最后结果） (1)一共有多少种抽取结果？ (2)全部抽到一等品的结果有多少种？ (3)抽不到一等品的结果有多少种？ (4)恰抽到5个一等品的结果有多少种？ (5)恰抽到1个一等品、2个二等品的结果有多少种？ (6)至少抽到1个一等品的结果有多少种？ 题型三 组合数的性质 14．已知，，，则下列等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 15．已知n，，，下面哪一个等式是恒成立的（    ）． A． B． C． D． 16．若，则正整数的值为 . 17．若，那么正整数的值是 ． 18．已知关于正整数的方程，则该方程的解为 . 19．（1）解不等式； （2）解方程. 20．已知，求、的值． 21．（1）计算：； （2）求证：＝++. 22．解方程： (1)； (2)解方程：. 题型一 平均分组 23．从5名学生中选择4人对A，B两种不同算法的加密文件进行破译，每人选择一种文件，每个文件2人破译，则不同的人员安排共有（ ） A．40种 B．48种 C．30种 D．72种 24．导师制是高中新的教学探索制度，班级科任教师作为导师既面向全体授课对象，又对指定的若干学生的个性、人格发展和全面素质提高负责．已知有3位科任教师负责某学习小组的6名同学，每2名同学由1位科任教师负责，则不同的分配方法的种数为（    ） A．90 B．15 C．60 D．180 25．为提升教育教学质量，促进各分校区发展，西南大学附属中学开展本部一分校区联合教研.现计划从本部派出7男2女共9名老师到 、、三个分校区开展教研，每个校区三人，则有（    ）种安排方案. A．1050 B．1680 C．2940 D．3360 26．中国空间站（China Space Station）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段．假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舲中每个舱中都有2人，则不同的安排方法有（    ） A．72种 B．90种 C．360种 D．540种 题型二 不平均分组 27．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（    ） A．120种 B．90种 C．60种 D．30种 28．将本不同的杂志分成组，每组至少本，则不同的分组方法数为（    ） A． B． C． D． 29．将5个大小相同，颜色不同的小球放入编号为1，2，3，4，5的5个盒子中，恰好有2个空盒的放法共有（   ） A．1500种 B．1800种 C．2340种 D．2400种 题型三 分配问题 30．某校举办中学生模拟联合国大会，参会代表按地域分为亚太、欧洲、非洲、美洲个不同团组.现需将名志愿者（甲、乙、丙、丁、戊）全部安排到这个团组担任接待工作，每个团组至少安排人，则不同的安排方案共有 种. 31．基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键，其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了《九章算术》《古今数学思想》《数学原理》《世界数学通史》《算术研究》五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为 ． 32．已知A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习，且每所学校都有学生去实习，如果A一定去甲学校实习，则不同的安排方法有 种． 33．将6名志愿者安排到5个小区参加以“健康生活”为主题的宣传活动，每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有 种． 34．某市将要承办“全国太极拳公开赛总决赛”，组委会将甲、乙、丙、丁、戊等五位志愿者分配到个人赛､对练赛和集体项目比赛等三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到个人赛场馆，乙不能分配到对练赛场馆，则不同分配方案的种数是（    ） A．69 B．72 C．75 D．90 题型四 排列组合综合 35．某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养.现准备将一批书籍全部分配给甲､乙､丙､丁4个不同的班级. (1)若这批书是10本相同的书，每个班至少1本，共有多少种不同的分配方法？ (2)若这批书是10本不同的书，每个班至少2本，共有多少种不同的分配方法？ 36．把4位男售票员和4位女售票员平均分成4组，到4辆公共汽车里售票，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同的情况． (1)有几种不同的分配方法？ (2)每小组必须是一位男售票员和一位女售票员，有几种不同的分配方法？ (3)如果每组的售票员性别相同，有几种不同的分配方法？ 37．有4名男生，5名女生． (1)从中选5名代表，要求男生2名，女生3名，且某女生必须在内，有多少种选法？ (2)从中选5名代表，要求男生不少于2名，有多少种选法？ (3)分成甲、乙、丙三组，每组3人，有多少种分法？ 38．甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排1人． (1)若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？ (2)若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？ (3)若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？ 39．平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线． (1)经过这9个点，可确定多少条直线？ (2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？ (3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？ 40．全集 ，在 中任取四个元素组成的集合记为 ，余下的四个元素组成的集合记为 ，若 则集合 的取法共有 种. 41．平面向量为2维向量，可由2元有序实数组表示；空间向量为3维向量，可由3元有序实数组表示.维向量可由（为正整数）元有序实数组表示.已知维向量，我们称 为该向量的范数，其中，记范数为奇数的的个数为.设，则 . 42．一个项数为的正整数数列满足，且，若为不大于 的偶数，则符合条件的数列共有 个. 43．已知有穷数列的首项为1，末项为12，且任意相邻两项之间满足，则符合上述要求的不同数列的个数为 ． 44．在某道选词填空题中，共有4个空格、5个备选单词，其中每个空格只有备选单词中的一个正确答案（备选单词中有一个是多余的），则4个空格全部选错的概率是 . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3组合数 题型一 组合的概念 1．C 2．B 【解析】对于①，两数的和与顺序无关，故①是组合问题； 3．②④ 4．△ABC，△ABD，△ACD，△BCD 题型二 组合数计算 5．35 6．161700 7． 8．6 9． 10．C 11．（1）若，求正整数n； （2）已知，求． 【解析】（1）由得，， 又，，所以，即，所以正整数n为8； （2）由得，， 所以，即，解得或， 又，所以，所以． 12．设，求的值. 【解析】由题意可得：，解得， ∵，∴或或， 当时原式值为4；当时原式值为7； 当时原式值为11. 所以的值为4，或7，或11. 13．某批产品中有一等品100个，二等品80个，三等品30个，从其中任取10个进行检验，那么（各题列出算式即可，不必计算最后结果） (1)一共有多少种抽取结果？ (2)全部抽到一等品的结果有多少种？ (3)抽不到一等品的结果有多少种？ (4)恰抽到5个一等品的结果有多少种？ (5)恰抽到1个一等品、2个二等品的结果有多少种？ (6)至少抽到1个一等品的结果有多少种？ 【解析】（1）这批产品一共有（个），从其中任取10个进行检验，共有种抽取结果. （2）这批产品中有一等品100个，取出10个一等品，共有种抽取结果. （3）抽不到一等品，相当于从二等品和三等品中抽取10个进行检验. 而二等品和三等品共有（个），所以抽不到一等品的抽取结果共有种. （4）恰抽取5个一等品，剩下的5个产品从二等品和三等品中抽取. 分步计数：先抽取5个一等品，再抽取5个非一等品. 根据分步乘法计数原理，一共有种抽取结果. （5）恰抽到1个一等品，2个二等品，剩下的7个产品从三等品中抽取. 分步计数：先抽取1个一等品，再抽取2个二等品，最后抽取7个三等品. 根据分步乘法计数原理，一共有种抽取结果. （6）“抽取的10个产品中，至少有一个一等品”是“没有抽到一等品”的反面， 因此，用所有的抽取结果数减去没有抽到一等品的结果数即可. 所以至少抽到一个一等品的结果共有种. 题型三 组合数的性质 14．D 15．B 16．5或7 17．或 18．或 19．（1）解不等式； （2）解方程. 【解析】（1）根据组合数公式，原不等式可化为.化简可得. 进一步变形为. 根据阶乘的性质，则. 约分后得到，解这个不等式得. 又因为且（组合数中的取值范围要求），即且， 综合可得或，故不等式解集为. （2）原方程可化为，即， ∴，∴， ∴，解得或，经检验：是原方程的解. 故方程解集为 20．已知，求、的值． 【解析】由，得，则，即， 由，得，即， 整理得，即，因此，. 21．（1）计算：； （2）求证：＝++. 【解析】（1）原式； （2）右边左边. 22．解方程： (1)； (2)解方程：. 【解析】（1）由原方程得或，∴或， 又把和代入检验，满足， ∴原方程的解为或； （2）原方程可化为，即， ∴， ∴， ∴，解得或， 经检验：是原方程的解. 题型一 平均分组 23．C 24．A 25．B 26．B 题型二 不平均分组 27．C 28．B 29．A 题型三 分配问题 30． 31．150 32． 33．1800 34．A 题型四 排列组合综合 35．某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养.现准备将一批书籍全部分配给甲､乙､丙､丁4个不同的班级. (1)若这批书是10本相同的书，每个班至少1本，共有多少种不同的分配方法？ (2)若这批书是10本不同的书，每个班至少2本，共有多少种不同的分配方法？ 【解析】（1）相同元素分配问题用“隔板法”， 只需从个元素中间的个空中插入块板隔成份即可， 所以共有种不同的分配方法； （2）将本不同的数分成份，每个班至少本，可分为，两种情况； 若为，则有种不同的分配方法； 若为，则有种不同的分配方法； 综上可得一共有种不同的分配方法. 36．把4位男售票员和4位女售票员平均分成4组，到4辆公共汽车里售票，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同的情况． (1)有几种不同的分配方法？ (2)每小组必须是一位男售票员和一位女售票员，有几种不同的分配方法？ (3)如果每组的售票员性别相同，有几种不同的分配方法？ 【解析】（1）男女合在一起共有8人，每个车上2人，可以分四个步骤完成， 先安排2人上第一辆车，共有种， 再安排第二辆车共有种， 再安排第三辆车共有种， 最后安排第四辆车共有种， 这样不同的分配方法有（种）． （2）要求男女各1人，因此先把男售票员安排上车，共有种不同方法； 再把女售票员安排上车，也有种方法. 由分步乘法计数原理，男女各1人的不同分配方法为（种）． （3）男女分别分组，4位男售票员平均分成两组，共有种不同分法， 4位女售票员平均分成两组，也有种不同分法， 这样分组方法就有（种）. 对于其中每一种分法又有种上车方法，因而不同的分配方法有216（种）． 37．有4名男生，5名女生． (1)从中选5名代表，要求男生2名，女生3名，且某女生必须在内，有多少种选法？ (2)从中选5名代表，要求男生不少于2名，有多少种选法？ (3)分成甲、乙、丙三组，每组3人，有多少种分法？ 【解析】（1）选2名男生，有种选法；选3名女生，且某女生必须在内，有种选法． 所以符合条件的不同选法有（种）． （2）方法一（直接法）：符合条件的选法有三类： 第1类，2名男生，3名女生的选法有种； 第2类，3名男生，2名女生的选法有种； 第3类，4名男生，1名女生的选法有种； 所以男生不少于2名的不同选法有（种）． 方法二（排除法）： 因为从9名学生中，选5名代表的选法共有种，其中包括1男4女和5女0男两种不符合条件的情况，所以男生不少于2名的不同选法有105（种）． 故共有105种不同的选法． （3）先安排甲组有种分法，再安排乙组有种分法，余下的学生为丙组有种分法． 所以符合条件的不同分法有（种）． 故共有1680种不同分法． 38．甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排1人． (1)若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？ (2)若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？ (3)若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？ 【解析】（1）将6名学生平均分成3组， 分法数为（种）， 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； （2）①甲、乙、丙看作一组，有1种分法． 将剩下的3人分成2组，分法数为（种）， 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； ②甲、乙、丙和剩余3人中的1人形成一组，其余2人各一组，有3种分法． 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； 综上不同的安排方法有（种）； （3）甲、乙、丙分别安排到3个社区，有（种）， 剩下的3人每人都可以选择3个社区中的任意一个，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）. 39．平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线． (1)经过这9个点，可确定多少条直线？ (2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？ (3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？ 【解析】（1）解：法一：（直接法），共线的4点记为． 第一类：确定1条直线； 第二类：以外的5个点可确定条直线； 第三类：从中任取1点，其余5点中任取1点可确定条直线． 根据分类加法计数原理，共有不同直线（条）． 法二：（间接法）： 可确定直线（条）． （2）解：法一：（直接法），共线的4点记为． 第一类：从中取2个点，可得个三角形； 第二类：从中取1个点，可得个三角形； 第三类：从其余5个点中任取3点，可得个三角形．共有（个）三角形． 法二：（间接法）： 可确定三角形（个）． （3）解：法一：（直接法），共线的4点记为． 分三类：第一类，从5个不共线点中取4个点，有个； 第二类，从5个不共线点中取3个点和4个共线点中取1个点，有个； 第三类，从5个不共线点中取2个点和4个共线点中取2个点，有个。 故共有四边形（个）。 法二：（间接法）： 可确定四边形（个）． 40．31 41．985211 42．496 43．144 44． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3组合数 题型一 组合的概念 1．给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 【答案】C 【解析】对于①，集合的元素与顺序无关，故①是组合问题； 对于②，从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动与顺序有关，故②是排列问题； 对于③，从7本不同的书中选出5本给某一个同学，与顺序无关，故③是组合问题； 对于④，因为飞机有起始站与终点站，故四个城市之间需要准备的飞机票的种数与顺序有关，故④是排列问题； 对于⑤，因为书是相同的，所以问题就等价于从5人中选出3人，故⑤是组合问题． 故选：C． 2．从集合中任取两个元素，有以下五个问题： ①相加可得多少个不同的和？ ②相除可得多少个不同的商？ ③作为椭圆方程中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？ ④作为双曲线方程中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？ ⑤作为对数中的a，b，可得到多少个不同的对数？其中属于排列问题的是（    ）． A．①②③④⑤ B．②④⑤ C．②③⑤ D．②④ 【答案】B 【解析】对于①，两数的和与顺序无关，故①是组合问题； 对于②，两数的商与顺序有关，故②是排列问题； 对于③，因为椭圆的焦点在x轴上，故与取的两数顺序无关，故③是组合问题； 对于④，取得两数与顺序有关，故④是排列问题； 对于⑤，取得两数与顺序有关，故⑤是排列问题； 所以，②④⑤与两数的顺序有关，为排列问题. 故选：B. 3．给出下列问题： ①有10个车站，共需要准备多少种车票？ ②有10个车站，共有多少种不同的票价？ ③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？ ④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？ ⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法？ 以上问题中，属于组合问题的是 ．（填写问题序号） 【答案】②④ 【解析】对于①，相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题； 对于②，相当于从10个不同元素任取2个并成一组，属于组合问题； 对于③，相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题； 对于④，相当于从10个不同元素任取2个并成一组，属于组合问题； 对于⑤，相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题； 所以以上问题中，属于组合问题的是②④． 故答案为：②④ 4．已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点不共线，请列举出由其中每3点为顶点的所有三角形 ． 【答案】△ABC，△ABD，△ACD，△BCD 【解析】由于与顺序无关，所以是组合问题， 所以共有4个：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD． 故答案为：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD 题型二 组合数计算 5． . 【答案】35 【解析】. 故答案为：35. 6． ． 【答案】161700 【解析】 . 故答案为：161700 7．已知为正整数．若，则 ． 【答案】 【解析】由得,则, 故答案为： 8．已知，则 . 【答案】6 【解析】，解得或， 因为，所以. 故答案为：. 9．设，，集合是中任取2个元素组成的集合，则的概率为 （结果用分数表示）. 【答案】 【解析】因为，，所以 ，， 则在中任取2个元素不同的取法有种， 集合中任取2个元素不同的取法是种 设事件“”，则. 故答案为：. 10．下列关于排列组合的等式成立的个数为（   ）． ① ； ②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】对①，由，可知等式①不成立； 对②，由阶乘的定义，得，等式②成立； 对③，由排列组合的定义可知：等式左边， 等式右边，等式③成立； 对④，等式左边, 等式右边=， 与左边相等，等式④成立. 综上，等式②、③、④成立，等式①不成立，成立的个数为 3. 故选：C 11．（1）若，求正整数n； （2）已知，求． 【答案】（1）8；（2）28． 【解析】（1）由得，， 又，，所以，即，所以正整数n为8； （2）由得，， 所以，即，解得或， 又，所以，所以． 12．设，求的值. 【答案】4或7或11 【解析】由题意可得：，解得， ∵，∴或或， 当时原式值为4；当时原式值为7； 当时原式值为11. 所以的值为4，或7，或11. 13．某批产品中有一等品100个，二等品80个，三等品30个，从其中任取10个进行检验，那么（各题列出算式即可，不必计算最后结果） (1)一共有多少种抽取结果？ (2)全部抽到一等品的结果有多少种？ (3)抽不到一等品的结果有多少种？ (4)恰抽到5个一等品的结果有多少种？ (5)恰抽到1个一等品、2个二等品的结果有多少种？ (6)至少抽到1个一等品的结果有多少种？ 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【解析】（1）这批产品一共有（个），从其中任取10个进行检验，共有种抽取结果. （2）这批产品中有一等品100个，取出10个一等品，共有种抽取结果. （3）抽不到一等品，相当于从二等品和三等品中抽取10个进行检验. 而二等品和三等品共有（个），所以抽不到一等品的抽取结果共有种. （4）恰抽取5个一等品，剩下的5个产品从二等品和三等品中抽取. 分步计数：先抽取5个一等品，再抽取5个非一等品. 根据分步乘法计数原理，一共有种抽取结果. （5）恰抽到1个一等品，2个二等品，剩下的7个产品从三等品中抽取. 分步计数：先抽取1个一等品，再抽取2个二等品，最后抽取7个三等品. 根据分步乘法计数原理，一共有种抽取结果. （6）“抽取的10个产品中，至少有一个一等品”是“没有抽到一等品”的反面， 因此，用所有的抽取结果数减去没有抽到一等品的结果数即可. 所以至少抽到一个一等品的结果共有种. 题型三 组合数的性质 14．已知，，，则下列等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，A错误；，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D 15．已知n，，，下面哪一个等式是恒成立的（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A，由组合数的定义可知，，A选项错误； 对B，由排列数的定义可知，B选项正确； 对CD，由组合数的性质可知，则，则C、D选项均错误． 故选：B． 16．若，则正整数的值为 . 【答案】5或7 【解析】由组合数的性质，可得， 则，可得或， 解得或. 故答案为：5或7. 17．若，那么正整数的值是 ． 【答案】或 【解析】因为， 所以或，解得或， 经检验或符合题意， 所以满足等式的值为. 故答案为：或 18．已知关于正整数的方程，则该方程的解为 . 【答案】或 【解析】因为成立，所以，解得， 因为，所以或， 当时，解得，当时，解得. 故答案为：或 19．（1）解不等式； （2）解方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）根据组合数公式，原不等式可化为.化简可得. 进一步变形为. 根据阶乘的性质，则. 约分后得到，解这个不等式得. 又因为且（组合数中的取值范围要求），即且， 综合可得或，故不等式解集为. （2）原方程可化为，即， ∴，∴， ∴，解得或，经检验：是原方程的解. 故方程解集为 20．已知，求、的值． 【答案】， 【解析】由，得，则，即， 由，得，即， 整理得，即，因此，. 21．（1）计算：； （2）求证：＝++. 【答案】（1）210；（2）证明见解析 【解析】（1）原式； （2）右边左边. 22．解方程： (1)； (2)解方程：. 【答案】(1)或 (2) 【解析】（1）由原方程得或，∴或， 又把和代入检验，满足， ∴原方程的解为或； （2）原方程可化为，即， ∴， ∴， ∴，解得或， 经检验：是原方程的解. 题型一 平均分组 23．从5名学生中选择4人对A，B两种不同算法的加密文件进行破译，每人选择一种文件，每个文件2人破译，则不同的人员安排共有（ ） A．40种 B．48种 C．30种 D．72种 【答案】C 【解析】从5名学生中选择4人，共有种， 将4人分成两组，共有种， 再将2组进行全排列，对应A，B两种文件，共有种， 则不同的人员安排共有种． 故选：C 24．导师制是高中新的教学探索制度，班级科任教师作为导师既面向全体授课对象，又对指定的若干学生的个性、人格发展和全面素质提高负责．已知有3位科任教师负责某学习小组的6名同学，每2名同学由1位科任教师负责，则不同的分配方法的种数为（    ） A．90 B．15 C．60 D．180 【答案】A 【解析】先将6名同学平均分为3组，不同的分组方式为， 然后再将分好的3组，分配给3位科任教师，不同的分配方式为. 所以，不同的分配方法的种数为. 故选：A. 25．为提升教育教学质量，促进各分校区发展，西南大学附属中学开展本部一分校区联合教研.现计划从本部派出7男2女共9名老师到 、、三个分校区开展教研，每个校区三人，则有（    ）种安排方案. A．1050 B．1680 C．2940 D．3360 【答案】B 【解析】由题意可知将9名老师平均分为3组，再分到、、三个分校区开展教研即可， 故安排方案有种， 故选：B 26．中国空间站（China Space Station）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段．假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舲中每个舱中都有2人，则不同的安排方法有（    ） A．72种 B．90种 C．360种 D．540种 【答案】B 【解析】先把6名航天员分成三组，每组2人，有种方法； 再把这三组分配到三舱中，每舱一组有种方法. 所以名航天员的安排方案共有种. 故选：B. 题型二 不平均分组 27．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（    ） A．120种 B．90种 C．60种 D．30种 【答案】C 【解析】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有； 然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有； 最后剩下的名同学去丙场馆. 故不同的安排方法共有种. 故选：C 28．将本不同的杂志分成组，每组至少本，则不同的分组方法数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将本不同的杂志分成组，每组至少本，则三组书的数量分别为、、， 所以，不同的分组方法种数为. 故选：B. 29．将5个大小相同，颜色不同的小球放入编号为1，2，3，4，5的5个盒子中，恰好有2个空盒的放法共有（   ） A．1500种 B．1800种 C．2340种 D．2400种 【答案】A 【解析】依题意，可以先将5个大小相同，颜色不同的小球分成三份， 有，3，1，1，和1，2，2两种情况， 于是恰好有2个空盒的放法有（种）， 故选：A． 题型三 分配问题 30．某校举办中学生模拟联合国大会，参会代表按地域分为亚太、欧洲、非洲、美洲个不同团组.现需将名志愿者（甲、乙、丙、丁、戊）全部安排到这个团组担任接待工作，每个团组至少安排人，则不同的安排方案共有 种. 【答案】 【解析】先将这名志愿者（甲、乙、丙、丁、戊）分为组，每组的人数分别为、、、， 再将这四组人分配到个团组担任接待工作， 由分步乘法计数原理可知，不同的安排方案种数为. 故答案为：. 31．基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键，其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了《九章算术》《古今数学思想》《数学原理》《世界数学通史》《算术研究》五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为 ． 【答案】150 【解析】先将五门课程分成，，和，，这两种情况，再安排到三个学年中， 则共有种选修方式． 故答案为；150. 32．已知A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习，且每所学校都有学生去实习，如果A一定去甲学校实习，则不同的安排方法有 种． 【答案】 【解析】因为A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习， 所以有一所学校必然有2名师范生实习. 若甲学校有2名师范生实习，而A一定去甲学校实习， 则B，C，D共3名师范生平均分配到甲、乙、丙3所学校实习， 此时共有种不同的安排方法. 若甲学校只有1名师范生实习，而A一定去甲学校实习， 则B，C，D共3名师范生按照分配到乙、丙2所学校实习， 此时共有种不同的安排方法. 综上，不同的安排方法有种. 故答案为：. 33．将6名志愿者安排到5个小区参加以“健康生活”为主题的宣传活动，每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有 种． 【答案】1800 【解析】先将2名志愿者看作一组，选法有种， 再将5组志愿者分配到5个小区，分法有种，故不同的安排方法有种． 故答案为： 34．某市将要承办“全国太极拳公开赛总决赛”，组委会将甲、乙、丙、丁、戊等五位志愿者分配到个人赛､对练赛和集体项目比赛等三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到个人赛场馆，乙不能分配到对练赛场馆，则不同分配方案的种数是（    ） A．69 B．72 C．75 D．90 【答案】A 【解析】由题意，分以下六种情况： 第一种情况，甲单独一人执勤对练赛场馆，则剩下的四个人可以分成一个人和三个人两组,或分成每组两个人,所以共有（种）方案； 第二种情况，甲单独一人执勤集体项目比赛场馆，则乙只能分配到个人赛场馆， 若只有乙一个人分配到个人赛场馆，剩下的三个人分配到对练赛场馆，则有1种情况； 若乙和另外一人分配到个人赛场馆，则有种情况； 若乙和另外两人分配到个人赛场馆，则有种情况； 所以共有（种）方案； 第三种情况，甲和另外一人执勤对练赛场馆，则剩下的三个人分成一个人和两个人两组，分配到个人赛场馆和集体项目比赛场馆， 所以共有（种）方案； 第四种情况，甲和另外一人执勤集体项目比赛场馆，若甲和乙执勤集体项目比赛场馆，则有种情况； 若甲和乙以外的一人执勤集体项目比赛场馆，则有种情况； 共有（种）方案； 第五种情况，甲和另外两人执勤对练赛场馆，则剩下的三个人分成一个人和两个人两组，分配到个人赛场馆和集体项目比赛场馆， 所以共有（种）方案； 第六种情况，甲和另外两人执勤集体项目比赛场馆，则乙只能分配到个人赛场馆， 若只有乙一个人分配到个人赛场馆，剩下的两个人分配到对练赛场馆，则有种情况； 若乙和另外一人分配到个人赛场馆，则有种情况； 所以共有（种）方案. 所以一共有（种）不同的分配方案. 故选：A. 题型四 排列组合综合 35．某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养.现准备将一批书籍全部分配给甲､乙､丙､丁4个不同的班级. (1)若这批书是10本相同的书，每个班至少1本，共有多少种不同的分配方法？ (2)若这批书是10本不同的书，每个班至少2本，共有多少种不同的分配方法？ 【答案】(1) (2) 【解析】（1）相同元素分配问题用“隔板法”， 只需从个元素中间的个空中插入块板隔成份即可， 所以共有种不同的分配方法； （2）将本不同的数分成份，每个班至少本，可分为，两种情况； 若为，则有种不同的分配方法； 若为，则有种不同的分配方法； 综上可得一共有种不同的分配方法. 36．把4位男售票员和4位女售票员平均分成4组，到4辆公共汽车里售票，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同的情况． (1)有几种不同的分配方法？ (2)每小组必须是一位男售票员和一位女售票员，有几种不同的分配方法？ (3)如果每组的售票员性别相同，有几种不同的分配方法？ 【答案】(1)2520 (2)576 (3)216 【解析】（1）男女合在一起共有8人，每个车上2人，可以分四个步骤完成， 先安排2人上第一辆车，共有种， 再安排第二辆车共有种， 再安排第三辆车共有种， 最后安排第四辆车共有种， 这样不同的分配方法有（种）． （2）要求男女各1人，因此先把男售票员安排上车，共有种不同方法； 再把女售票员安排上车，也有种方法. 由分步乘法计数原理，男女各1人的不同分配方法为（种）． （3）男女分别分组，4位男售票员平均分成两组，共有种不同分法， 4位女售票员平均分成两组，也有种不同分法， 这样分组方法就有（种）. 对于其中每一种分法又有种上车方法，因而不同的分配方法有216（种）． 37．有4名男生，5名女生． (1)从中选5名代表，要求男生2名，女生3名，且某女生必须在内，有多少种选法？ (2)从中选5名代表，要求男生不少于2名，有多少种选法？ (3)分成甲、乙、丙三组，每组3人，有多少种分法？ 【答案】(1)36 (2)105 (3)1680 【解析】（1）选2名男生，有种选法；选3名女生，且某女生必须在内，有种选法． 所以符合条件的不同选法有（种）． （2）方法一（直接法）：符合条件的选法有三类： 第1类，2名男生，3名女生的选法有种； 第2类，3名男生，2名女生的选法有种； 第3类，4名男生，1名女生的选法有种； 所以男生不少于2名的不同选法有（种）． 方法二（排除法）： 因为从9名学生中，选5名代表的选法共有种，其中包括1男4女和5女0男两种不符合条件的情况，所以男生不少于2名的不同选法有105（种）． 故共有105种不同的选法． （3）先安排甲组有种分法，再安排乙组有种分法，余下的学生为丙组有种分法． 所以符合条件的不同分法有（种）． 故共有1680种不同分法． 38．甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排1人． (1)若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？ (2)若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？ (3)若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？ 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）将6名学生平均分成3组， 分法数为（种）， 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； （2）①甲、乙、丙看作一组，有1种分法． 将剩下的3人分成2组，分法数为（种）， 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； ②甲、乙、丙和剩余3人中的1人形成一组，其余2人各一组，有3种分法． 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； 综上不同的安排方法有（种）； （3）甲、乙、丙分别安排到3个社区，有（种）， 剩下的3人每人都可以选择3个社区中的任意一个，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）. 39．平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线． (1)经过这9个点，可确定多少条直线？ (2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？ (3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？ 【答案】(1)31 (2)80 (3)105 【解析】（1）解：法一：（直接法），共线的4点记为． 第一类：确定1条直线； 第二类：以外的5个点可确定条直线； 第三类：从中任取1点，其余5点中任取1点可确定条直线． 根据分类加法计数原理，共有不同直线（条）． 法二：（间接法）： 可确定直线（条）． （2）解：法一：（直接法），共线的4点记为． 第一类：从中取2个点，可得个三角形； 第二类：从中取1个点，可得个三角形； 第三类：从其余5个点中任取3点，可得个三角形．共有（个）三角形． 法二：（间接法）： 可确定三角形（个）． （3）解：法一：（直接法），共线的4点记为． 分三类：第一类，从5个不共线点中取4个点，有个； 第二类，从5个不共线点中取3个点和4个共线点中取1个点，有个； 第三类，从5个不共线点中取2个点和4个共线点中取2个点，有个。 故共有四边形（个）。 法二：（间接法）： 可确定四边形（个）． 40．全集 ，在 中任取四个元素组成的集合记为 ，余下的四个元素组成的集合记为 ，若 则集合 的取法共有 种. 【答案】 【解析】由集合的元素和为， 若则， 所以，即 不妨设，则， 所以，所以，即. 则只能有. 当时，则满足，且需从中取： 只有不符合，所以有种取法； 当时，则满足，且需从中取： 只有不符合，所以有种取法； 当时，则满足，且需从中取： 只有符合，2种取法； 当时，则满足，且需从中取： 此时有0种取法； 当时，则满足，且需从中取： 只有符合，6种取法； 当时，则满足，且需从中取，所以有，1种取法. 所以共有， 故答案为：. 41．平面向量为2维向量，可由2元有序实数组表示；空间向量为3维向量，可由3元有序实数组表示.维向量可由（为正整数）元有序实数组表示.已知维向量，我们称 为该向量的范数，其中，记范数为奇数的的个数为.设，则 . 【答案】985211 【解析】当时，. ∵，∴或. 要使为奇数，则需中有偶数个. 当均不为时，，的个数为， 当中有2个时，，的个数为， 当中有4个时，，的个数为， 当中有6个时，，的个数为， ∴， ∴. 故答案为：985211. 42．一个项数为的正整数数列满足，且，若为不大于 的偶数，则符合条件的数列共有 个. 【答案】 【解析】由题意，且， 当时，，则可以取或，且逐项不减小， 此时满足条件的数列的个数有个； 当，，则可以取或或或，且逐项不减小， 此时满足条件的数列的个数有个； 当，，则可以取或或或或或，且逐项不减小， 此时满足条件的数列的个数有个； 当，，则可以取或或或或或或或， 且逐项不减小，此时满足条件的数列的个数有个； 综上，满足条件的数列共有. 故答案为：. 43．已知有穷数列的首项为1，末项为12，且任意相邻两项之间满足，则符合上述要求的不同数列的个数为 ． 【答案】144 【解析】依题意，首项和末项相差11，而任意相邻两项之间满足，， 当时，即后一项与前一项的差均为1，数列的个数为1； 当时，即后一项与前一项的差出现一个2，九个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现两个2，七个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现三个2，五个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现四个2，三个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现五个2，一个1，数列的个数为， 所以符合上述要求的不同数列的个数为. 故答案为：144 44．在某道选词填空题中，共有4个空格、5个备选单词，其中每个空格只有备选单词中的一个正确答案（备选单词中有一个是多余的），则4个空格全部选错的概率是 . 【答案】 【解析】假设5个单词分别是，正确的顺序为， 第一大类为选出的4个单词不包含， 则符合要求的情况有：共9种； 第二大类为选出的4个单词包含， 先选出，则有种情况，假设选出的单词为， 当在第四个位置时，符合要求的情况有共2种， 当不在第四个位置时，从剩下的3个位置选1个，有种情况， 假设在第一个位置，则此时符合要求的情况数有共3种， 则共有； 则符合要求的情况共有，且全部情况为， 则4个空格全部选错的概率是. 故答案为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $