精品解析：辽宁省大连市高新技术产业园区2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

八年级（上）期中检测数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列道路交通安全标志牌中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的定义分别判断即可． 详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：． 2. 若，，则等于（ ） A. 7 B. 10 C. 25 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用，逆用同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选B． 3. 点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数进一步求解即可. 【详解】∵y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴点关于轴对称的点的坐标为， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方），熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 根据幂的运算法则（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方），逐一分析每个选项的运算是否正确． 【详解】解： ，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，应为，而不是，故A项错误； ，根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，应为，而不是， 故B项错误； ，根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即， 故C项正确； ，根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，应为，而不是， 故D项错误． 故选：． 5. 如图，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明得到，再利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 下列算式能用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，根据完全平方公式和平方差公式进行分析判断，即可作答． 【详解】A、原式，故原式不能用平方差公式进行计算，此选项不符合题意； B、原式，故原式不能用平方差公式进行计算，此选项不符合题意； C、原式，故原式不能用平方差公式进行计算，此选项不符合题意； D、原式，原式能用平方差公式进行计算，此选项符合题意； 故选：D． 7. 若等腰三角形的一边长等于6，另一边长等于4，则它的周长等于（　　） A. 15或17 B. 16 C. 14 D. 14或16 【答案】D 【解析】 【分析】由于等腰三角形的底边与腰不能确定，故应分4为底边与6为底边两种情况进行讨论． 【详解】解：当为底边时，腰长为，则这个等腰三角形的周长；当为底边时，腰长为，则这个等腰三角形的周长． 故选：D 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形三边关系定理以及三角形的周长公式的灵活运用，解题的关键是当不知道哪条线段是腰时，需要进行分类讨论． 8. 如图，在中，，是延长线上的点，过点作，垂足为，交于点，若，，，则的长为（ ） A. 0.8 B. 1 C. 1.6 D. 1.8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，得到，根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选A． 9. 如图，将一块长方形纸片沿翻折后，点与重合，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了长方形的性质，翻折的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等内容，解题的关键是掌握以上性质． 根据长方形的性质和翻折的性质得出相等的边和角以及角的度数，然后利用含角的直角三角形的性质及勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：根据长方形的性质得以及翻折的性质得， ，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得， 故选：B． 10. 如图，小明以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案．若四个正方形的周长之和为56，面积之和为54，则长方形的面积为（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式在长方形面积计算中的应用，解题的关键是利用正方形的周长和面积关系得出长方形长与宽的和及平方和，再通过完全平方公式求解面积． 设长方形长为，宽为，根据四个正方形的周长之和与面积之和列出关于、的方程，得出和的值，再利用完全平方公式求出（即长方形面积）． 【详解】解：设，，由四个正方形的周长之和为，面积之和为可得， ，， 即①，②， 由①得，③， ③ - ②得， 所以， 即长方形的面积为， 故选C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方的逆用，逆用积的乘方进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 如图，已知，只要再添加一个条件：______，就能使．（填一个即可） 【答案】或者（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形全等的判定，判定两个三角形全等，已知，且由图可知为和的一条公共边，由根据全等三角形全等的判定定理，根据再添加条件即可． 【详解】解：所添加条件为：或； ①∵，，为公共边， ∴； ②∵，，为公共边， ∴； 故答案为：或（答案不唯一）． 13. 如图，点，点，以点为直角顶点作等腰直角三角形，点在第一象限，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了通过图形求点的坐标，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 过点作轴于点，则，根据等腰直角三角形的性质得出直角和相等边，然后证明，得出相等的线段，即可求出点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点，则， 由点和点得，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 先在如图1边长为的正方形纸片中剪下一个边长为1的正方形，再将剩余部分（即图1中的阴影部分）剪拼成一个如图2的长方形．若图2的长方形的宽为，则长为________（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算与图形的面积转化，熟练掌握平方差公式和长方形、正方形的面积公式是解题的关键． 先分别求出图1阴影部分的面积，再根据图2长方形的面积与阴影部分面积相等，结合长方形的宽求出长． 【详解】解：∵阴影部分面积为， ∴长方形的长为， 故答案为：． 15. 如图，的面积为，平分，过点作于点，则的面积为___________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形角平分线的性质，作出合适的辅助线证明是解题的关键．延长交于点E，根据题意利用可证，从而得到，进而推出，，即可得到． 【详解】解：延长交于点E， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵的面积为， ∴． 故答案为：9． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）运用乘法公式计算：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，平方差和完全平方公式，解题的关键是掌握整式运算的法则． （1）先进行乘除运算，再进行加减运算； （2）先利用平方差公式运算，再进行完全平方运算． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 如图，在中，，，垂足为． （1）尺规作图（不用写作法，保留作图痕迹）：作，垂足为； （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据尺规作垂线的方法，作图即可； （2）证明，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图为所求作； 【小问2详解】 证明：， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴对称的（与，与，与分别为对称点），并写出，，的坐标； （2）点关于直线（直线上各点的横坐标都为1）的对称点为，直接写出的坐标． 【答案】（1）作图见解析，，，； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的轴对称变换，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征以及关于垂直于轴的直线对称的点的坐标特征是解题的关键． （1）根据关于x轴对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标互为相反数），求出对称点坐标，再画出图形． （2）根据关于直线对称的点的坐标特征（纵坐标不变，横坐标到直线的距离相等），计算对称点坐标． 【小问1详解】 解：∵关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数 ∴关于轴对称的点； 关于轴对称的点； 关于轴对称的点． 画出如图所示． 【小问2详解】 解：设的坐标为， ∵点与关于直线对称， ∴， 解得， ∴． 19. 小强同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：如图1，在一个支架的横杆的点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，表示小球静止时的位置．如图2，当小强用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作，垂足为，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图2中的、、、在同一平面上），过点作，垂足为，测得，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过角度关系证明三角形全等，进而利用全等三角形的性质求解． （1）利用垂直的性质和角的和差关系，证明； （2）证明，利用全等三角形的性质得出对应边相等，进而求出的长． 【小问1详解】 证明：，， ， ， ， ， 在中，， ； 【小问2详解】 由题意得，， 在和中， ，， ， ， ， ， ． 20. 【问题背景】 数学活动课上，王老师带领同学们探究月历中的奥秘．将如图1的2025年10月的月历复印给同学们，以小组为单位进行探究． 【探究一】 （1）第一小组的同学们设计了一个如图2的形框，框住的四个数，，，在形框中的位置如图2所示，求的值． 【探究二】 （2）第二小组的同学们设计了如图3的形框，框住的数在形框中的位置如图所示，形框框住的五个数中，最小数与最大数的乘积能否等于260？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）28； （2）不能，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了月历中数字规律的探究，解题的关键是利用月历中上下相邻数差7、左右相邻数差1的规律表示出各数，再进行计算或列方程求解． （1）根据月历数字规律表示出、、、，再代入计算； （2）根据形框数字规律表示出最小数和最大数，列方程求解并验证是否符合月历实际． 【详解】（1）解：根据月历表得，，，， ； （2）不能，根据月历表得，最小的数为，最大的数为， 则， ，， ， ， 当时，， 根据月历表，26在最左侧一列，形框无法框住， 最小数与最大数的乘积不能等于260． 21. 综合与实践 【问题提出】 如图1，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 【解决问题】 如图2，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，牧民到河边的点处饮马可使所走的路径最短． 证明：如图3，在直线上另取任一点，连接，，，因为点与点关于直线成轴对称，所以直线是线段的垂直平分线，因为点，在直线上，所以，．所以．同理，，因为在中，，所以，即最小． 【学以致用】 （1）如图4，在中，，，，为边的中点，的垂直平分线分别交边，于点，．点为线段上一动点，求周长的最小值； （2）如图5，是等边三角形，边长为10，是边上的高，点，分别在，边上，且，点在上，求的最小值． 【答案】（1）周长的最小值为 （2）的最小值为7 【解析】 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． （1）根据给出示例，连接，，利用轴对称的性质确定点位置，然后利用等腰三角形的性质求解即可； （2）根据给出示例，在上截取，连接交于，连接，此时值最小，利用等边三角形的判定和性质即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接，， ，为边中点， ，， ， ， ． 是的垂直平分线， ． ， 当点在线段上时，，此时的值最小，即的最小值为4． 为中点， ． ． 周长的最小值为； 【小问2详解】 解：如图，在上截取，连接交于，连接，此时的值最小． 是等边三角形，是边上的高， ， 是的垂直平分线， ， ， ． 是等边三角形，边长为10， ． ， ， ， ， ． 又， ， ． 是等边三角形， ， ∴是等边三角形． ， 的最小值为7． 22. 观察下列等式： ，，，，… 我们发现，两个数的和为60，这两个数差的绝对值越小，积越大，当这两个数相等时，这两个数的积最大为900．即，当时，的最大值为900． 利用我们学过的完全平方公式证明如下：因为，所以，则，因为，所以，所以当时，式子的值最大为900，此时，． 根据以上材料，解决下面问题： （1）求的最大值； （2）一个长方形的周长为40，求这个长方形面积的最大值； （3）已知，请判断有最大值还是有最小值，并求出的最大（小）值． 【答案】（1）的最大值为25 （2）长方形面积的最大值为 （3）有最小值，最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法，完全平方公式，解题的关键是掌握配方法． （1）利用配方法整理代数式，然后求出最值即可； （2）设长方形的一边长为，则它的邻边长为，利用配方法整理代数式，然后求出最值即可； （3）对原式进行变形得出，利用配方法整理代数式，得出最值即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， 当时，的值最大为25， 的最大值为25； 小问2详解】 解：设长方形的一边长为，则它的邻边长为， 长方形的面积 ， ， ， 当时，的值最大为100， 长方形面积的最大值为； 【小问3详解】 解：有最小值，最小值为，理由如下： ， ， ， ， 当时，式子有最小值， 有最小值， 当时，， 最小值为， 有最小值，最小值为． 23. 如图1，在中，，，过作交延长线于点，在上截取，连接． （1）①求证：； ②求的度数． （2）如图2，过作，垂足为，延长交于，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若为中点，，求的面积． 【答案】（1）①见解析；② （2）见解析 （3）12 【解析】 【分析】（1）①利用三角形的内角和定理及等腰三角形的性质，表示出相关角的度数即可； ②利用三角形的内角和定理及等腰三角形的性质，表示出相关角的度数，然后进行角的和差进行计算即可； （2）结合（1）中的结论，得出相等的角，证明，即可得出结论； （3）连接，过作交延长线于，通过证明三角形全等得出相等边和角，利用等角对等边得出相等边，然后求出相关边的长度，最后利用三角形的面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 ①证明：， ． ， ， ； ②解：在中，， ， ． ； 【小问2详解】 证明：， ， ， 在中，， ． ，， ． ； 【小问3详解】 解：如图所示，连接，过作交延长线于， 为中点，由得，，则为中点， ∴， 又∵， ， ，， 由得，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级（上）期中检测数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列道路交通安全标志牌中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则等于（ ） A. 7 B. 10 C. 25 D. 32 3. 点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列算式能用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 7. 若等腰三角形的一边长等于6，另一边长等于4，则它的周长等于（　　） A 15或17 B. 16 C. 14 D. 14或16 8. 如图，在中，，是延长线上的点，过点作，垂足为，交于点，若，，，则的长为（ ） A. 0.8 B. 1 C. 1.6 D. 1.8 9. 如图，将一块长方形纸片沿翻折后，点与重合，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，小明以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案．若四个正方形的周长之和为56，面积之和为54，则长方形的面积为（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11 计算：___________． 12. 如图，已知，只要再添加一个条件：______，就能使．（填一个即可） 13. 如图，点，点，以点为直角顶点作等腰直角三角形，点在第一象限，则点坐标为________． 14. 先在如图1边长为的正方形纸片中剪下一个边长为1的正方形，再将剩余部分（即图1中的阴影部分）剪拼成一个如图2的长方形．若图2的长方形的宽为，则长为________（用含的代数式表示）． 15. 如图，的面积为，平分，过点作于点，则的面积为___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）运用乘法公式计算：． 17. 如图，在中，，，垂足为． （1）尺规作图（不用写作法，保留作图痕迹）：作，垂足为； （2）在（1）的条件下，求证：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴对称的（与，与，与分别为对称点），并写出，，的坐标； （2）点关于直线（直线上各点的横坐标都为1）的对称点为，直接写出的坐标． 19. 小强同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：如图1，在一个支架的横杆的点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，表示小球静止时的位置．如图2，当小强用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作，垂足为，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图2中的、、、在同一平面上），过点作，垂足为，测得，． （1）求证：； （2）求的长． 20. 【问题背景】 数学活动课上，王老师带领同学们探究月历中的奥秘．将如图1的2025年10月的月历复印给同学们，以小组为单位进行探究． 【探究一】 （1）第一小组的同学们设计了一个如图2的形框，框住的四个数，，，在形框中的位置如图2所示，求的值． 【探究二】 （2）第二小组的同学们设计了如图3的形框，框住的数在形框中的位置如图所示，形框框住的五个数中，最小数与最大数的乘积能否等于260？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 21 综合与实践 【问题提出】 如图1，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 【解决问题】 如图2，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，牧民到河边的点处饮马可使所走的路径最短． 证明：如图3，在直线上另取任一点，连接，，，因为点与点关于直线成轴对称，所以直线是线段的垂直平分线，因为点，在直线上，所以，．所以．同理，，因为在中，，所以，即最小． 【学以致用】 （1）如图4，在中，，，，为边中点，的垂直平分线分别交边，于点，．点为线段上一动点，求周长的最小值； （2）如图5，是等边三角形，边长为10，是边上的高，点，分别在，边上，且，点在上，求的最小值． 22. 观察下列等式： ，，，，… 我们发现，两个数的和为60，这两个数差的绝对值越小，积越大，当这两个数相等时，这两个数的积最大为900．即，当时，的最大值为900． 利用我们学过的完全平方公式证明如下：因为，所以，则，因为，所以，所以当时，式子的值最大为900，此时，． 根据以上材料，解决下面问题： （1）求的最大值； （2）一个长方形的周长为40，求这个长方形面积的最大值； （3）已知，请判断有最大值还是有最小值，并求出的最大（小）值． 23. 如图1，在中，，，过作交延长线于点，在上截取，连接． （1）①求证：； ②求的度数． （2）如图2，过作，垂足为，延长交于，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若为中点，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $