专题12 函数模型的应用（竞赛培优专项训练）高一数学人教A版2019全国通用

专题12 函数模型的应用 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 利用图象刻画实际问题 3 考点二 二次函数与幂函数模型 5 考点三 分段函数模型 6 考点四 指数函数与对数函数模型 7 考点五 分式函数 9 考点六 拟合函数模型 10 考点七 方案设计问题 11 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题10道） 【归纳重点知识】 知识点01 几种常见函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0) 与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0) 与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) 知识点02 用函数模型解决实际问题的步骤 第一步:仔细读题,认真审题. 就是读懂题中的文字叙述,理解叙述中所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质,尤其要理解叙述中的新名词,新概念,进而掌握新信息. 第二步:引进数学符号,建立数学模型. 一般地,设自变量为x,y是x的函数,并用x表示各相关量,然后根据问题的已知条件,运用已掌握的数学知识及其他相关知识建立函数关系式,将实际问题转化为数学问题,实现问题的数学化,即建立数学模型. 第三步:利用数学方法解答数学模型,求得结果. 第四步:转译成具体问题解答. 用图表表示(如图所示): 知识点03 建立函数模型的流程和方法 1.利用给定的函数模型解决实际问题 利用给定的函数模型解决实际问题的关键是考虑该题考查的是何种函数,并注意定义域,然后结合所给模型,列出函数关系式,最后结合实际意义作出解答. 2.建立确定性函数模型解决问题 关键是抓住几个步骤:读懂题意;正确建立函数关系;转化为函数问题;解决实际问题. 3.建立拟合函数模型解决实际问题 大多数实际问题都不能事先知道函数模型,需要通过科学观察和测试得出一些数据,画出散点图,然后根据散点图的形状,通过函数拟合的方法确定函数模型,其基本过程是 第一步:收集数据; 第二步:根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图; 第三步:根据点的分布特征,选择一个能刻画散点图特征的函数模型; 第四步:选择其中的几组数据求出函数模型; 第五步:将已知数据代入所求出的函数模型进行检验,看其是否符合实际.若不符合实际,则重复第三、四、五步;若符合实际,则进入下一步; 第六步:用求得的函数模型去解决实际问题. 【熟记重要结论（二级结论）】 常见的拟合函数模型 在解决实际问题时,画出散点图后,要选用合适的函数模型进行拟合.常用的函数模型有以下几类: (1)直线模型:能用一次函数表达的函数模型,其解析式可写成y=ax+b(a≠0). (2)抛物线模型:能用二次函数表达的函数模型,其解析式可写成y=ax2+bx+c(a≠0). (3)指数函数模型:能用类似指数函数表达的函数模型,其解析式可写成y=kax+b(a>0,且a≠1,k≠0). (4)对数函数模型:能用类似对数函数表达的函数模型,其解析式可写成y=klogax+b(a>0,且a≠1,k≠0). (5)幂函数模型:能用类似幂函数表达的函数模型,其解析式可写成y=kxa+b(a≠1,k≠0). 当遇到开放性的探究题且函数模型不确定时,需要我们去探索尝试,找到最适合的模型.此类题的解题过程一般有如下五步: (1)作图:即根据已知数据,画出散点图; (2)选择函数模型:根据散点图的特征,联想哪些函数具有类似的图像特征,然后找几个比较接近的函数模型进行试验; (3)求出函数模型:求出(2)中找到的几个函数模型的解析式; (4)检验:将(3)中求出的几个函数模型进行比较、验证,得出最合适的函数模型; (5)利用求出的函数模型解决问题. 考点一 利用图象刻画实际问题 1．学校宿舍与办公室相距．某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿舍．在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（    ）      A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 2．在中国天门山举行的WWL翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度与时间的关系，若定义“速度差函数”为时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图象是（    ）    A．   B．   C．   D．   3．已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 4．一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 5．如图放置的边长为1的正方形 沿 轴滚动（向右为顺时针，向左为逆时针）．设顶点 的轨迹方程是，则关于的最小正周期及在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积S的正确结论是 A． B． C． D． 6．如图，和是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，，点在同一直线上．现从点重合的位置出发，让在直线上向右作匀速运动，而的位置不动．设两个三角形重合部分的面积为，运动的距离为．下面表示与的函数关系式的图象大致是（ ） A． B． C． D． 考点二 二次函数与幂函数模型 7．嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（   ） A．440元 B．450元 C．460元 D．470元 8．某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售价格的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离（单位：）与速度（单位：）之间有如下关系式：，其中是比例系数，且是汽车质量（单位：）.若某辆卡车不装货物（司机体重忽略不计）以的速度行驶时，从踩刹车到停车需要走.当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面处有障碍物时能在离障碍物以外处停车，则最高速度应低于（假定司机发现障碍物到踩刹车需要经过）（    ） A．16 B．18 C．24 D．27 10．如图所示，杭师大附中校园里有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地（图中四边形），使其四个顶点分别落在矩形的四条边上已知，且，设，绿地面积为，若，则绿地面积的最大值为 ．（用含的式子作答） 11．众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低.某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其400克装的售价为4.8元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本、包装成本、利润.生产成本与饼干质量成正比且系数为，包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为，利润率为，则该种饼干900克装的合理售价为 元. 考点三 分段函数模型 12．某车企生产型汽车，每年需要固定投入100万元，此外每生产辆型汽车另需增加投资万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年生产量不低于400辆时，，若该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（    ） A．2000万元 B．2100万元 C．2200万元 D．2300万元 13．为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小张同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，每月生产某大型电子产品件，每件产品售价为12万元，需投入月固定成本为6万元，另投入流动成本为万元，且．经市场分析，生产的产品当月能全部售完．（注：月利润=月销售收入－固定成本－流动成本） (1)写出月利润（万元）关于月产量（件）的函数解析式； (2)求月产量为多少件时，小张在这一产品的生产中所获利润最大，并计算出最大利润值． 14．发展新能源，是破解我国能源短缺与环境污染困局的有效途径．国家政策的扶持为整个产业注入了强劲动力，开启了蓬勃发展的新篇章．无锡某新能源企业，年固定成本400万元，每生产台设备，另需投入成本万元，若年产量不超过95台，则；若年产量大于95台，则，每台设备售价150万元，若生产的设备可以全部售出． (1)已知年利润为（万元），请写出年利润关于年产量（台）的关系式； (2)年产量为多少台时，该企业所获利润最大？ 考点四 指数函数与对数函数模型 15．在计算机系统中，缓存的核心作用是加速数据访问.当缓存加载完成后，未被读取的信息比例会随时间的推移逐渐下降，其变化规律可用函数模型近似描述.其中表示稳态未被读取比例，表示初始时未被读取的“额外”比例，为衰减时间常数.某工程师对某服务器缓存进行性能测试，下表记录了以下数据（缓存加载完成后开始计时）： （分钟） 0 5 10 75 45 30 用该模型推算当时，缓存中未被读取的信息比例约为（    ） A． B． C． D． 16．宋代词人周邦彦词中曾写“叶上初阳干宿雨，水面清圆，一一风荷举”．已知池塘中的荷花每经过一天的生长，荷叶覆盖水面面积都是前一天的倍，若荷叶经过20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶大约生长了（参考数据：）（    ） A．15天 B．16天 C．17天 D．18天 17．分贝数由声音强度（单位：）与基准声强（通常取，是人耳能听到的最弱声音）的比值共同决定：．一场演唱会的声音强度是基准声强的倍，而普通交谈时的声音分贝约为．记普通交谈时的声音强度为，则（   ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 18．遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据：，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 19．（多选）薇甘菊是热带､亚热带地区危害最严重的杂草之一，它所到之处，树木枯萎､花草凋零.经测算，薇甘菊的侵害面积（单位：）与自开始受侵害起的年数满足关系式，其中（单位：）为侵害面积的初始值.某热带地区最初受到薇甘菊侵害的面积为，受害第一年时受侵害的面积为，则（    ） A． B．当时， C．必然存在正数，使得 D．当为整数时，薇甘菊的侵害面积随着自开始受侵害起的年数增大而增大 20．（多选）年8月日，我国新疆、西藏等地发生多次至级地震，一般来说，震级在3级以上时，我们称该地震为有感地震（即人们能感觉到此次地震）.里氏震级R与地震释放能量E的关系为.已知6级地震释放的能量为，则下列说法正确的是（   ） A．震级越大，地震释放的能量越大 B． C．8级地震释放的能量为6级地震释放能量的1000倍 D．某次地震释放的能量为，则该地震为有感地震 21．我们知道存储温度（单位：℃）会影响着鲜牛奶的保鲜时间（单位：），温度越高，保鲜时间越短.已知与之间的函数关系式为（为自然对数的底数），某款鲜牛奶在5℃的保鲜时间为，在25℃的保鲜时间为.（参考数据：） (1)求此款鲜牛奶在0℃的保鲜时间约为几小时（结果保留到整数）； (2)若想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于，那么对存储温度有怎样的要求？ 22．手机实际充电过程中，为保护电池健康，在不同电量时往往采用不同的模式充电，某旧电池从某个电量开始充电到充满电为的模拟充电实验中，手机电量（单位：）与充电时间（单位：）近似满足：当时，；当时，；当时，.其中，，设为该旧电池开始充电的时刻，，.已知单调递增，当手机检测到电池已经充满电时，系统会自动断开充电连接，以避免电池损耗或其他安全问题. (1)求该旧电池开始充电时的电量及充满电的时间； (2)求，的值. 考点五 分式函数 23．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是（    ）万元. A．45.5 B．37.5 C．36 D．35 24．某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库. 因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，则实数的取值范围是 . 25．折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸.课堂上，老师给每位同学发了一张长为10cm，宽为8cm的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠.若折痕（线段）将纸片分为面积比为1:3的两部分，则折痕长度的取值范围是 cm. 26．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200的十字型地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪．甲工程队参与投标，给出的报价为：花坛报价为4200元/，花岗岩地坪报价为210元/，草坪报价为80元/．设总造价为S（单位：元），AD的长为x（单位：m）． (1)试建立S关于x的函数，并写出x的取值范围； (2)现有乙工程队也参与竞标，其给出的整体报价为元，若无论AD的长为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 考点六 拟合函数模型 27．从A地到B地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q（单位：L）与速度v（单位：）（）的如下数据： v 0 40 60 80 120 Q 0 7 8 10 20 为了描述汽车每小时耗油量Q与速度v的关系，下列最符合实际的函数模型是（    ） A． B． C． D． 28．长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下： （ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间； （ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低； （ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变. 记为调度前该水库的蓄满指数，为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个关于的函数解析式： ①；②；③；④. 则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是（    ） A．②④ B．①④ C．②③ D．③④ 29．某品牌汽车制造厂引进了一条小型家用汽车装配流水线，本年度第一季度统计数据如下表 月份 1月 2月 3月 小型汽车数量（辆） 30 60 80 创造的收益（元） 4800 6000 4800 (1)根据上表数据，从下列三个函数模型中：①，②，③选取一个恰当的函数模型描述这条流水线生产的小型汽车数量（辆）与创造的收益（元）之间的关系，并写出这个函数关系式； (2)利用上述你选取的函数关系式计算，若这家工厂希望在一周内利用这条流水线创收6020元以上，那么它在一周内大约应生产多少辆小型汽车？ 考点七 方案设计问题 30．某科技公司为提高研发速度，计划建造一个高为3米，宽度为米，地面面积为80平方米的长方体形状的实验室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案． 方案一：实验室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总报价记为P； 方案二：其给出的整体报价为元（）． (1)若当宽度为6米时，方案二的报价为28000元，求实数m的值； (2)求P的函数解析式，并求总报价P的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求实数m的取值范围． 31．某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为元，朱古力蜂果蛋糕单价为元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为； 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为. （其中，，且） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若同时满足，求这两种购买方案花费的差值最小值（注：差值花费较大值花费较小值）. 32．某动力电池生产企业为提高产能，计划投入7200万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后前年的维护成本为万元，每年电池销售收入为7600万元，设使用该批智能机器人后前x年的总盈利额为y万元 (1)写出y关于x的函数关系式，并求该电池生产企业从第几年开始盈利； (2)使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以5200万元的价格处理 问哪种方案更合理？并说明理由. 1．（2024·山东滨州竞赛)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速(单位：)可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼以的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为（    ） A．2500 B．2600 C．2700 D．2800 2．（2024·湖南吉首市教师解题大赛）“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降，而“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值a（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S（亿吨）与时间t（年）满足函数关系式，若经过4年，该地区二氧化碳的排放量为（亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为（亿吨），则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过（    ）（参考数据：） A．13年 B．14年 C．15年 D．16年 3．（2024·湖南邵阳高一竞赛）如图，中，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点为止．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象是（　　） A． B． C． D． 4．（2023·浙江省温州市摇篮杯高一竞赛）光线通过某种玻璃，强度损失.要使光线强度减弱为原来的，至少要通过 块这样的玻璃.（参考数据：，.） 5．（第五届“枫叶新希望杯”全国高一竞赛（初赛））在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量的函数关系是，要使火箭的最大速度可达，则燃料质量与火箭质量的比值是 ． 6．（第七届-“枫叶新希望杯”高一竞赛（B卷））某安全部门为了保证信息安全传输，采用一种密钥密码系统，其加密、解密原理如下图： 明文密文密文明文 现设解密密钥为：，如上所示，若密文“3”通过解密后得到明文“8”，则当输入方输入明文为“4”时，接受方所得密文应为“ ”． 7.（2023·云南省昭通一中教研联盟联考）甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成.可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元.为使全程运输成本最小，汽车的速度是 千米/时. 8．（2025·湖南省邵阳市高一上拔尖创新人才早期培养竞赛（初赛））某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等． (1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少； (2)现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润； (3)实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k（）元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案． 9.（2024·山东高密冬季竞赛考）某文旅企业准备开发一个新的旅游景区，前期投入200万元，若该景区开业后的第一年接待游客x万人，则需另投入成本万元，且该景区门票价格为64元/人． (1)求该景区开业后的第一年的利润（万元）关于人数x（万人）的函数关系式．（利润=收入-成本） (2)当该景区开业后的第一年接待游客多少人时，获得的利润最大？最大利润为多少？ 10．（2024·湖南邵阳竞赛）物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段时间后的温度为，则，其中为环境温度，为参数.某日室温为，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到点18分时，壶中热水自然冷却到. (1)求8点起壶中水温（单位：）关于时间（单位：分钟）的函数； (2)若当日小王在1升水沸腾时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态.已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值时，设备不工作；当壶内水温不高于临界值时，开始加热至后停止，加热速度与正常烧水一致.若小王在出门34分钟后回来发现养生壶处于未工作状态，同时发现水温恰为.（参考数据：） ①求这34分钟内，养生壶保温过程中完成加热次数；（不需要写出理由） ②求该养生壶保温的临界值. 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 函数模型的应用 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 利用图象刻画实际问题 3 考点二 二次函数与幂函数模型 8 考点三 分段函数模型 10 考点四 指数函数与对数函数模型 12 考点五 分式函数 17 考点六 拟合函数模型 20 考点七 方案设计问题 23 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题10道） 【归纳重点知识】 知识点01 几种常见函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0) 与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0) 与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) 知识点02 用函数模型解决实际问题的步骤 第一步:仔细读题,认真审题. 就是读懂题中的文字叙述,理解叙述中所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质,尤其要理解叙述中的新名词,新概念,进而掌握新信息. 第二步:引进数学符号,建立数学模型. 一般地,设自变量为x,y是x的函数,并用x表示各相关量,然后根据问题的已知条件,运用已掌握的数学知识及其他相关知识建立函数关系式,将实际问题转化为数学问题,实现问题的数学化,即建立数学模型. 第三步:利用数学方法解答数学模型,求得结果. 第四步:转译成具体问题解答. 用图表表示(如图所示): 知识点03 建立函数模型的流程和方法 1.利用给定的函数模型解决实际问题 利用给定的函数模型解决实际问题的关键是考虑该题考查的是何种函数,并注意定义域,然后结合所给模型,列出函数关系式,最后结合实际意义作出解答. 2.建立确定性函数模型解决问题 关键是抓住几个步骤:读懂题意;正确建立函数关系;转化为函数问题;解决实际问题. 3.建立拟合函数模型解决实际问题 大多数实际问题都不能事先知道函数模型,需要通过科学观察和测试得出一些数据,画出散点图,然后根据散点图的形状,通过函数拟合的方法确定函数模型,其基本过程是 第一步:收集数据; 第二步:根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图; 第三步:根据点的分布特征,选择一个能刻画散点图特征的函数模型; 第四步:选择其中的几组数据求出函数模型; 第五步:将已知数据代入所求出的函数模型进行检验,看其是否符合实际.若不符合实际,则重复第三、四、五步;若符合实际,则进入下一步; 第六步:用求得的函数模型去解决实际问题. 【熟记重要结论（二级结论）】 常见的拟合函数模型 在解决实际问题时,画出散点图后,要选用合适的函数模型进行拟合.常用的函数模型有以下几类: (1)直线模型:能用一次函数表达的函数模型,其解析式可写成y=ax+b(a≠0). (2)抛物线模型:能用二次函数表达的函数模型,其解析式可写成y=ax2+bx+c(a≠0). (3)指数函数模型:能用类似指数函数表达的函数模型,其解析式可写成y=kax+b(a>0,且a≠1,k≠0). (4)对数函数模型:能用类似对数函数表达的函数模型,其解析式可写成y=klogax+b(a>0,且a≠1,k≠0). (5)幂函数模型:能用类似幂函数表达的函数模型,其解析式可写成y=kxa+b(a≠1,k≠0). 当遇到开放性的探究题且函数模型不确定时,需要我们去探索尝试,找到最适合的模型.此类题的解题过程一般有如下五步: (1)作图:即根据已知数据,画出散点图; (2)选择函数模型:根据散点图的特征,联想哪些函数具有类似的图像特征,然后找几个比较接近的函数模型进行试验; (3)求出函数模型:求出(2)中找到的几个函数模型的解析式; (4)检验:将(3)中求出的几个函数模型进行比较、验证,得出最合适的函数模型; (5)利用求出的函数模型解决问题. 考点一 利用图象刻画实际问题 1．学校宿舍与办公室相距．某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿舍．在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（    ）      A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】A 【解析】设行进的速度为 ，行走的路程为， 则，且， 由速度函数及路程函数的解析式可知，其图象分别为①②． 故选：A． 2．在中国天门山举行的WWL翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度与时间的关系，若定义“速度差函数”为时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图象是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】由题意可得，当时，翼人做匀加速运动，，“速度差函数”可排除B项． 当时，翼人做匀减速运动，速度从160开始下降，一直降到． 当时，翼人做匀减速运动，从80开始下降，易得则． 当时，翼人做匀加速运动，“速度差函数”，结合所给的图象，故D正确. 故选：D. 3．已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 所以，所以A正确，BCD错误； 故选：A. 4．一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当两车同时相向出发时，相遇时间小时， 此时两车距离为0，快车行驶时间为4小时，故排除B选项； 相遇时，快车已经行驶的路程为千米， 还需要行驶小时才能到达乙地，故排除A选项； 特快车相遇时已经行驶的路程为千米， 只需要再行驶小时才能到达甲地， 所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D选项. 故选：C. 5．如图放置的边长为1的正方形 沿 轴滚动（向右为顺时针，向左为逆时针）．设顶点 的轨迹方程是，则关于的最小正周期及在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积S的正确结论是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】从某一个顶点（比如）落在轴上的时候开始计算，到下一次点落在轴上，这个过程中四个顶点依次落在了轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长,因此该函数的周期为.下面考查点的运动轨迹,不妨考查正方形向右滚动，点从轴上开始运动的时候，首先是围绕点运动个圆，该圆半径为，然后以点为中心，滚动到点落地，其间是以为半径旋转，再以为圆心，旋转,这时候以为半径,因此最终构成图象如下： 所以两个相邻零点间的图象与轴所围成区域的面积，故选A. 6．如图，和是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，，点在同一直线上．现从点重合的位置出发，让在直线上向右作匀速运动，而的位置不动．设两个三角形重合部分的面积为，运动的距离为．下面表示与的函数关系式的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设等腰直角三角形的直角边长为1，当时，当时， 三角形的面积为抛物线， 当时， 重合的部分为，此时，对应的面积．故对应的图象为，故选C. 考点二 二次函数与幂函数模型 7．嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（   ） A．440元 B．450元 C．460元 D．470元 【答案】B 【解析】设每个肉粽的售价提高元，则售价为元，日销售量为个. 收入. 因为二次函数开口向下，当时，取得最大值. 此时最大收入为元. 故选：B 8．某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售价格的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，销售收入且， 为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则， 所以，可得， 综上，. 故选：C 9．已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离（单位：）与速度（单位：）之间有如下关系式：，其中是比例系数，且是汽车质量（单位：）.若某辆卡车不装货物（司机体重忽略不计）以的速度行驶时，从踩刹车到停车需要走.当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面处有障碍物时能在离障碍物以外处停车，则最高速度应低于（假定司机发现障碍物到踩刹车需要经过）（    ） A．16 B．18 C．24 D．27 【答案】B 【解析】设卡车本身的质量为（），速度为（），刹车滑行距离为（），依题意可得，将，代入可得：. 又卡车司机发现障碍物到踩刹车需要经过， 这内卡车行驶的路程为：（）. 由， 所以. 根据速度的意义，所以. 所以卡车行驶的速度应低于. 故选：B 10．如图所示，杭师大附中校园里有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地（图中四边形），使其四个顶点分别落在矩形的四条边上已知，且，设，绿地面积为，若，则绿地面积的最大值为 ．（用含的式子作答） 【答案】 【解析】由题意，得，， 所以， 又因为，所以， 故，定义域为. 因为 由于，故， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，. 11．众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低.某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其400克装的售价为4.8元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本、包装成本、利润.生产成本与饼干质量成正比且系数为，包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为，利润率为，则该种饼干900克装的合理售价为 元. 【答案】9.6 【解析】设饼干的质量为克，则其售价（单位：元）与之间的函数解析式为. 由题意得， 即①， ， 即②. 由①②解得，. ∴. 当时，. 故这种饼干900克装的售价为9.6元. 考点三 分段函数模型 12．某车企生产型汽车，每年需要固定投入100万元，此外每生产辆型汽车另需增加投资万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年生产量不低于400辆时，，若该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（    ） A．2000万元 B．2100万元 C．2200万元 D．2300万元 【答案】C 【解析】设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为（万元）， 由题意可得， 即， 当时，函数的对称轴为，则； 当时，， 当且仅当，即时，取得最大值， 因为，所以生产辆时该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为万元， 综上可得，该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为万元． 故选：C． 13．为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小张同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，每月生产某大型电子产品件，每件产品售价为12万元，需投入月固定成本为6万元，另投入流动成本为万元，且．经市场分析，生产的产品当月能全部售完．（注：月利润=月销售收入－固定成本－流动成本） (1)写出月利润（万元）关于月产量（件）的函数解析式； (2)求月产量为多少件时，小张在这一产品的生产中所获利润最大，并计算出最大利润值． 【解析】（1）由题意可得， 所以； （2）当时，（万元）， 当时，（万元）， 当且仅当，即时，取等号， 综上所述，月产量为件时，获利润最大，利润最大为（万元）. 14．发展新能源，是破解我国能源短缺与环境污染困局的有效途径．国家政策的扶持为整个产业注入了强劲动力，开启了蓬勃发展的新篇章．无锡某新能源企业，年固定成本400万元，每生产台设备，另需投入成本万元，若年产量不超过95台，则；若年产量大于95台，则，每台设备售价150万元，若生产的设备可以全部售出． (1)已知年利润为（万元），请写出年利润关于年产量（台）的关系式； (2)年产量为多少台时，该企业所获利润最大？ 【解析】（1）依题意，若年产量不超过95台，另外成本，固定成本400万，总收入150x万元，故利润；若年产量大于95台，另外成本，固定成本400万，总收入150x万元，故利润. 故； （2）当时，，在对称轴处，取得最大值，； 当，时，， 而，当且仅当时等号成立， 所以 即时，. 综上可知，当年产量为110台时，该企业所获利润最大为3860万元. 考点四 指数函数与对数函数模型 15．在计算机系统中，缓存的核心作用是加速数据访问.当缓存加载完成后，未被读取的信息比例会随时间的推移逐渐下降，其变化规律可用函数模型近似描述.其中表示稳态未被读取比例，表示初始时未被读取的“额外”比例，为衰减时间常数.某工程师对某服务器缓存进行性能测试，下表记录了以下数据（缓存加载完成后开始计时）： （分钟） 0 5 10 75 45 30 用该模型推算当时，缓存中未被读取的信息比例约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得：当时，， 当时，， 当时，， 由得， 由得， 由得，所以， 由得，解得，则， 所以当时，， 即当时，缓存中未被读取的信息比例约为. 故选：B. 16．宋代词人周邦彦词中曾写“叶上初阳干宿雨，水面清圆，一一风荷举”．已知池塘中的荷花每经过一天的生长，荷叶覆盖水面面积都是前一天的倍，若荷叶经过20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶大约生长了（参考数据：）（    ） A．15天 B．16天 C．17天 D．18天 【答案】C 【解析】设荷叶覆盖水面的初始面积为， 则经过天荷叶覆盖水面的面积， 由题意得，即， 两边取以10为底的对数得， 所以， 解得． 故选：． 17．分贝数由声音强度（单位：）与基准声强（通常取，是人耳能听到的最弱声音）的比值共同决定：．一场演唱会的声音强度是基准声强的倍，而普通交谈时的声音分贝约为．记普通交谈时的声音强度为，则（   ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 【答案】B 【解析】由题可得，且， 则，， 故选：B. 18．遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据：，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【答案】A 【解析】令，则． ∵，，， ∴的估计值可取0.5，即他复习背诵的时间需大约在． 故选：A. 19．（多选）薇甘菊是热带､亚热带地区危害最严重的杂草之一，它所到之处，树木枯萎､花草凋零.经测算，薇甘菊的侵害面积（单位：）与自开始受侵害起的年数满足关系式，其中（单位：）为侵害面积的初始值.某热带地区最初受到薇甘菊侵害的面积为，受害第一年时受侵害的面积为，则（    ） A． B．当时， C．必然存在正数，使得 D．当为整数时，薇甘菊的侵害面积随着自开始受侵害起的年数增大而增大 【答案】BCD 【解析】当，当，解得，故A错误； 当时，，故B正确； 当时，，由正分数指数幂的定义，必然存在正数，使得，此时正数，故C正确； 当为整数时，因为，所以数个大于1的正数相乘一定越来越大，故D正确. 故选：BCD. 20．（多选）年8月日，我国新疆、西藏等地发生多次至级地震，一般来说，震级在3级以上时，我们称该地震为有感地震（即人们能感觉到此次地震）.里氏震级R与地震释放能量E的关系为.已知6级地震释放的能量为，则下列说法正确的是（   ） A．震级越大，地震释放的能量越大 B． C．8级地震释放的能量为6级地震释放能量的1000倍 D．某次地震释放的能量为，则该地震为有感地震 【答案】ACD 【解析】由6级地震释放的能量为，所以，解得，所以B错误； ，根据指数函数的性质，R越大，则E就越大，所以A正确； 当R=8时，，当R=6时，，所以.所以C正确； 当时，，地震释放的能量为， 则该地震超过了3级，所以有震感，所以D正确. 故选：ACD. 21．我们知道存储温度（单位：℃）会影响着鲜牛奶的保鲜时间（单位：），温度越高，保鲜时间越短.已知与之间的函数关系式为（为自然对数的底数），某款鲜牛奶在5℃的保鲜时间为，在25℃的保鲜时间为.（参考数据：） (1)求此款鲜牛奶在0℃的保鲜时间约为几小时（结果保留到整数）； (2)若想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于，那么对存储温度有怎样的要求？ 【解析】（1）依题意，把，分别代入，得， 于是，则，， 当时，， 此款鲜牛奶在0℃的保鲜时间为254小时. （2）依题意，，由（1）知， 显然，于是，则， 因此，而，则有， 所以想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于，存储温度要不高于15℃. 22．手机实际充电过程中，为保护电池健康，在不同电量时往往采用不同的模式充电，某旧电池从某个电量开始充电到充满电为的模拟充电实验中，手机电量（单位：）与充电时间（单位：）近似满足：当时，；当时，；当时，.其中，，设为该旧电池开始充电的时刻，，.已知单调递增，当手机检测到电池已经充满电时，系统会自动断开充电连接，以避免电池损耗或其他安全问题. (1)求该旧电池开始充电时的电量及充满电的时间； (2)求，的值. 【解析】（1）由题意，开始充电的时刻为，此时，将代入得.故该旧电池开始充电时的电量为.          充满电即电量达到，即， 由于，已知单调递增， 故充满电的时刻必大于60.此时，           令，得，，即. 又，符合定义域，故充满电的时间是. （2）易知， 即.              ，化简得.      联立，解得，. 经检验，此时满足单调递增的要求，故，. 考点五 分式函数 23．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是（    ）万元. A．45.5 B．37.5 C．36 D．35 【答案】B 【解析】依题意，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足， 即有，由，得， 因此月利润 ，当且仅当时，即时取等号， 所以当万件时，该公司最大月利润为万元. 故选：B 24．某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库. 因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】若仓库前面墙体的长为米（），则左右两面墙宽度为， 则甲工程整体报价为， 若乙队要确保竞标成功则， 所以，则， 因为，所以函数， 当且仅当时，即时，函数有最小值， 所以函数在上单调递增，故， 故，则，所以实数的取值范围是. 25．折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸.课堂上，老师给每位同学发了一张长为10cm，宽为8cm的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠.若折痕（线段）将纸片分为面积比为1:3的两部分，则折痕长度的取值范围是 cm. 【答案】 【解析】由题意得：长方形纸片的面积为，又， ， 当折痕如下图MN所示时， 设，则，解得：， ，即，当且仅当时取等号； 令 ，则 ， 在上单调递减，在上单调递增， 又 ，故 ，故 ； 当折痕如下图所示时， 设，则，解得：， ， 当时，取得最小值64， 当或5时，取得最大值89，则； 当折痕如下图所示时， 设，则，解得：， 则， 令，则在上单调递减，在上单调递增， 又，故， ； 综上所述：折痕长的取值范围为， 26．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200的十字型地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪．甲工程队参与投标，给出的报价为：花坛报价为4200元/，花岗岩地坪报价为210元/，草坪报价为80元/．设总造价为S（单位：元），AD的长为x（单位：m）． (1)试建立S关于x的函数，并写出x的取值范围； (2)现有乙工程队也参与竞标，其给出的整体报价为元，若无论AD的长为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【解析】（1）设，因十字型地域面积为200，AD的长为x. 则. 则 . （2）由（1）， 则恒成立，即. 又，当且仅当时等号成立， 所以，所以. 考点六 拟合函数模型 27．从A地到B地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q（单位：L）与速度v（单位：）（）的如下数据： v 0 40 60 80 120 Q 0 7 8 10 20 为了描述汽车每小时耗油量Q与速度v的关系，下列最符合实际的函数模型是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意以及表中数据画出散点图，可知该函数必须满足三个条件： 第一，定义域为；第二，在定义域上单调递增；第三，函数经过坐标原点. 由散点图可知，函数图象不符合函数图象特征，排除A， 函数单调递减，排除C， 当时，没有意义，排除D， 故最符合实际的函数模型为. 故选:B． 【点睛】本题主要考查函数的解析式与函数的图象，考查了分类讨论思想与数形结合思想的应用，属于难题. 分类讨论思想的常见类型 ⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的； ⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； ⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的. 28．长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下： （ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间； （ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低； （ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变. 记为调度前该水库的蓄满指数，为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个关于的函数解析式： ①；②；③；④. 则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是（    ） A．②④ B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】A 【解析】函数的对称轴为， 所以，超出了范围，不符合题意； ，时，， 且在上单调递增， ，即，符合题意； 函数在上单调递减，在上单调递增，故不符合题意； 函数为增函数，且时，， ，则，即，符合题意. 故满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是②④. 故选：. 29．某品牌汽车制造厂引进了一条小型家用汽车装配流水线，本年度第一季度统计数据如下表 月份 1月 2月 3月 小型汽车数量（辆） 30 60 80 创造的收益（元） 4800 6000 4800 (1)根据上表数据，从下列三个函数模型中：①，②，③选取一个恰当的函数模型描述这条流水线生产的小型汽车数量（辆）与创造的收益（元）之间的关系，并写出这个函数关系式； (2)利用上述你选取的函数关系式计算，若这家工厂希望在一周内利用这条流水线创收6020元以上，那么它在一周内大约应生产多少辆小型汽车？ 【解析】（1）选取②， 由题表可知，随着的增大，的值先增大后减小， 而函数及均为单调函数，故不符合题意， 所以选取②， 将，，三点分别代入函数解析式， 可得二次函数对称轴为，故可将函数解析式设为， 即得到，解出， ∴， ∴，，； （2）设在一周内大约应生产辆小型汽车，根据题意，可得， 即，即， 因为， 所以方程有两个实数根，， 由二次函数的图象可知不等式的解为. 因为只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的小型汽车数量且之间时， 这家工厂能够获得6020元以上的收益. 考点七 方案设计问题 30．某科技公司为提高研发速度，计划建造一个高为3米，宽度为米，地面面积为80平方米的长方体形状的实验室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案． 方案一：实验室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总报价记为P； 方案二：其给出的整体报价为元（）． (1)若当宽度为6米时，方案二的报价为28000元，求实数m的值； (2)求P的函数解析式，并求总报价P的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求实数m的取值范围． 【解析】（1）因宽度为6米时，方案二的报价为28000元，且 则，解得 所以的值为20. （2）设底面长为，由题意易得， 故墙面面积为， 则， 因，则，当且仅当时取等， 即总报价P的最小值为. （3）对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 设，， 因，则，， 当且仅当，即时，取得最小值， 故，又，则， 所以若对任意的时，方案二比方案一省钱，则的取值范围为. 31．某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为元，朱古力蜂果蛋糕单价为元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为； 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为. （其中，，且） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若同时满足，求这两种购买方案花费的差值最小值（注：差值花费较大值花费较小值）. 【解析】（1）由题意知：，， ， ，，，， ，即，购买方案二花费更少. （2）由（1）得：； ，（当且仅当，即时取等号）； ，（当且仅当，即时取等号）； 差值的最小值为（当且仅当，，，时取最小值）. 32．某动力电池生产企业为提高产能，计划投入7200万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后前年的维护成本为万元，每年电池销售收入为7600万元，设使用该批智能机器人后前x年的总盈利额为y万元 (1)写出y关于x的函数关系式，并求该电池生产企业从第几年开始盈利； (2)使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以5200万元的价格处理 问哪种方案更合理？并说明理由. 【解析】（1）由题意可得， 由得且， 该企业从第2年开始盈利； （2）方案二更合理，理由如下： 方案一：， 当时y取到最大值12800， 若此时处理掉智能机器人，总利润为万元， 方案二：年平均盈利额万元， 当且仅当时，年平均盈利额最大， 若此时处理掉智能机器人，总利润为万元， 综上，两种方案总利润都是14800万元，但方案一需要五年，方案二仅需三年即可，故方案二更合理. 1．（2024·山东滨州竞赛)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速(单位：)可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼以的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为（    ） A．2500 B．2600 C．2700 D．2800 【答案】B 【解析】因为鲑鱼的游速(单位：)可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数， 当一条鲑鱼静止时，，此时，则，即耗氧量为； 当一条鲑鱼以的速度游动时，，此时，所以，则，即耗氧量为， 因此当一条鲑鱼以的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为. 故选：B. 2．（2024·湖南吉首市教师解题大赛）“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降，而“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值a（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S（亿吨）与时间t（年）满足函数关系式，若经过4年，该地区二氧化碳的排放量为（亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为（亿吨），则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过（    ）（参考数据：） A．13年 B．14年 C．15年 D．16年 【答案】D 【解析】由题意，，即，所以， 令，即，故，即， 可得，即． 故选：D 3．（2024·湖南邵阳高一竞赛）如图，中，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点为止．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，，， ∴， 根据题意得：点到达点的时间是，到达点的时间为，点到达点的时间为， 当点在边上时（不含端点），，， 如图，过点作于点，则， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∴， 当点在边上时，，，，如图， ∴，， ∴， 即, 综上所述，与的函数关系式为 ， ∴函数图象第一段为过原点的开口向上的抛物线的一部分，第二段为自左向右逐渐下降的抛物线的一部分． 故选：C 4．（2023·浙江省温州市摇篮杯高一竞赛）光线通过某种玻璃，强度损失.要使光线强度减弱为原来的，至少要通过 块这样的玻璃.（参考数据：，.） 【答案】16 【解析】设至少要通过块这样的玻璃，则， 即， 故要使光线强度减弱为原来的，至少要通过块这样的玻璃. 5．（第五届“枫叶新希望杯”全国高一竞赛（初赛））在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量的函数关系是，要使火箭的最大速度可达，则燃料质量与火箭质量的比值是 ． 【答案】 【解析】根据题意，可得， 所以，即，可得， 而，则，所以，即燃料质量与火箭质量的比值是. 6．（第七届-“枫叶新希望杯”高一竞赛（B卷））某安全部门为了保证信息安全传输，采用一种密钥密码系统，其加密、解密原理如下图： 明文密文密文明文 现设解密密钥为：，如上所示，若密文“3”通过解密后得到明文“8”，则当输入方输入明文为“4”时，接受方所得密文应为“ ”． 【答案】2 【解析】因解密密钥为：，密文“3”通过解密后得到明文“8”即 ，解得． 依题意，加密秘钥为：，故当输入明文为“4”时，接受方所得的密文为． 7.（2023·云南省昭通一中教研联盟联考）甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成.可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元.为使全程运输成本最小，汽车的速度是 千米/时. 【答案】60 【解析】设汽车速度为千米/时，则运输成本为：， 由， 当且仅当，即时，运输成本最小. 8．（2025·湖南省邵阳市高一上拔尖创新人才早期培养竞赛（初赛））某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等． (1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少； (2)现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润； (3)实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k（）元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案． 【解析】（1）设每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元，由题意，得：， 解得：，经检验是原方程的解；∴； 故每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元； （2）设购进电冰箱x台，则购进空调台，由题意，得： ， 解得：， 为整数，，共3种方案； ， 随的增大而减小， ∴当时，有最大值为元， 即当购买电冰箱34台时，购进空调台，利润最大，为元． （3）由题意得：， 当，即：，随的增大而增大， ∴当购买电冰箱36台，购进空调台，利润最大， 当，即：，随的增大而减小， ∴当购买电冰箱34台，购进空调台，利润最大， 当，即：，每种方案的总利润相同，均为元． 9.（2024·山东高密冬季竞赛考）某文旅企业准备开发一个新的旅游景区，前期投入200万元，若该景区开业后的第一年接待游客x万人，则需另投入成本万元，且该景区门票价格为64元/人． (1)求该景区开业后的第一年的利润（万元）关于人数x（万人）的函数关系式．（利润=收入-成本） (2)当该景区开业后的第一年接待游客多少人时，获得的利润最大？最大利润为多少？ 【解析】（1）该景区的门票收入为万元， 则利润，即， 故该景区开业后的第一年的利润（万元）关于人数x（万人）的函数关系式； （2）当时，， 当时，二次函数开口向下，对称轴为，故， 当时，，当且仅当，即时等号成立， ， 综上，游客人数为万时利润最大，最大利润为万元． 10．（2024·湖南邵阳竞赛）物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段时间后的温度为，则，其中为环境温度，为参数.某日室温为，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到点18分时，壶中热水自然冷却到. (1)求8点起壶中水温（单位：）关于时间（单位：分钟）的函数； (2)若当日小王在1升水沸腾时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态.已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值时，设备不工作；当壶内水温不高于临界值时，开始加热至后停止，加热速度与正常烧水一致.若小王在出门34分钟后回来发现养生壶处于未工作状态，同时发现水温恰为.（参考数据：） ①求这34分钟内，养生壶保温过程中完成加热次数；（不需要写出理由） ②求该养生壶保温的临界值. 【解析】（1）当时，设，则，可得， 所以. 当时，，则，可得， 综上，. （2）①1次，理由如下：由题意， 从降至，则，可得分钟， 所以降至，所需时间分钟， 由于小王出门34分钟， 从加热至，则，可得分钟，则从加热至所需时间分钟； 从降至，则，可得分钟，则从降至所需时间分钟； 故34分钟内至少加热了一次，若加热两次则分钟， 综上，只加热过一次. ②由（i）知：从降温至，所需时间为分钟. 所以在时，水温正好被加热到. 从降至，则，可得， 从加热至，则，可得， 所以在上递减，且，即. 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $