第13讲 函数的应用（一）（七大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

第13讲 函数的应用（一） 【人教A版】 模块一 一次函数、二次函数模型的应用 1．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 2．一次函数模型的应用 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. 3．二次函数模型的应用 二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值 问题常用到二次函数模型. 【题型1 一次函数模型的应用】 【例1】（24-25高一上·北京·期中）果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一上·浙江·期中）网上购物常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”．为了穿得舒适，鞋子不能挤脚，也不能过长． SIZE 尺码对照表 中国鞋码实际标注 (同国际码) mm 220 225 230 235 240 245 250 255 260 265 中国鞋码习惯叫法 (同欧码) 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 一个篮球运动员的脚长为282 mm，则从表格数据可以推算出，他最适合穿的鞋号是（    ） A．45 B．46 C．47 D．48 【变式1.2】（2025高一·全国·专题练习）南通至通州的某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额＝车票收入一支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）不改变支出费用，提高车票价格．下面给出的四个图形中，实线虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（    ） A．①反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） B．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） C．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） 【变式1.3】（24-25高一上·湖北武汉·期中）从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【题型2 二次函数模型的应用】 【例2】（24-25高一上·北京·期中）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，要求每箱售价不得低于50元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．要获得最大利润，每箱苹果的售价应定为（   ） A．55元 B．60元 C．65元 D．70元 【变式2.1】（24-25高一上·河南新乡·期中）某花店销售某品种鲜花，当每束鲜花的售价为50元时，花店每天可以卖出18束鲜花；当每束鲜花的售价每降低1元时，花店当天可以多卖出1束鲜花．要使得该店该品种鲜花的日销售额最大，则每束鲜花的售价应为（    ） A．16元 B．18元 C．32元 D．34元 【变式2.2】（25-26高一上·河南南阳·开学考试）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件元，出厂价为每件元，每月的销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：． (1)设袁阳每月获得的利润为（单位：元），写出每月获得的利润与销售单价的函数关系； (2)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？ 【变式2.3】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资） (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？ 模块二 幂函数模型的应用 1．幂函数模型的应用 幂函数模型应用的求解策略: (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. 【题型3 幂函数模型的应用】 【例3】（24-25高一上·湖北荆州·期中）为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了，如果按照此规律，设2024年的耕地面积为m，则2029年的耕地面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2025·甘肃天水·三模）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（    ） A．6kg B．8kg C．18kg D．54kg 【变式3.2】（2025·四川泸州·模拟预测）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（    ） A．10% B．20% C．22% D．32% 【变式3.3】（24-25高一上·青海西宁·期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． 模块三 分段函数模型的应用 1．分段函数模型的应用 由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用. 【题型4 分段函数模型的应用】 【例4】（24-25高一上·安徽马鞍山·期末）茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：）和泡茶时间（单位：）满足关系式，若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高一上·北京·期中）当产品产量不大时，成本由固定成本和单位产量的可变成本决定，这二者都是常数，因此是产量的一次函数；而当产品产量较大时，决定成本的因素比较复杂，成本不再是产量的一次函数．现有某产品成本是产量的分段函数：下列说法不正确的是（   ） A．时， B．时，函数取得最大值 C．函数的值域是 D．函数在上是增函数 【变式4.2】（25-26高一上·浙江·阶段练习）某县将“双招双引”作为战略性先导工程，以精细化服务优化营商环境，多举措多维度引进相应企业，已知某企业生产一款测绘仪器，生产该仪器全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部仪器的售价为0.7万元，且所生产的仪器当年能全部销售完. (1)求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润＝销售额-成本）； (2)当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【变式4.3】（25-26高一上·全国·期中）2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） (2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【题型5 分式型函数模型的应用】 【例5】（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是（    ）万元. A．45.5 B．37.5 C．36 D．35 【变式5.1】（2025·四川·二模）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 【变式5.2】（24-25高一上·黑龙江·阶段练习）一墙一文化，一村一风景．在美丽乡村创建中，墙绘依托其公共性、视觉冲击等特点担负美化乡村、宣传乡村的使命．如图所示，某乡村拟建一绘画墙，在墙面上画三幅大小相同的矩形图画，每一幅画的面积为9600平方厘米，要求图画上四周空白的宽度为2厘米，每幅图画之间的空隙的宽度为2厘米．设绘画墙的长和宽分别为厘米，厘米． (1)求关于的关系式； (2)为了节约成本，应该如何设计绘画墙的尺寸，使得绘画墙墙面的面积最小？ 【变式5.3】（24-25高一上·山东聊城·期中）某商场经营一批进价为19元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价（单位：元）与日销售量（单位：件）之间有如下表所示的关系. 24 31 39 49 44 30 20 12 根据表中提供的数据，可用函数来近似刻画与之间的变化规律. (1)求与之间的函数解析式； (2)设经营此商品的日销售利润为（单位：元），写出关于的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 模块四 “对勾”函数模型的应用 1．“对勾”函数模型的应用 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+(a>0,b>0)，当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用. 【题型6 “对勾”函数模型的应用】 【例6】（24-25高一上·广西桂林·期中）如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为56元，新墙的造价为200元，设利用旧墙的长度为（单位：），修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. (1)求关于的函数表达式； (2)试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用. 【变式6.1】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供万元的创业补助．某企业拟定在申请得到万元创业补助后，将产量增加到万件，同时企业生产万件产品需要投入的成本为万元，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．（注：收益＝销售金额＋创业补助－成本） (1)求该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； (2)当创业补助为多少万元时，该企业所获收益最大？ 【变式6.2】（24-25高一上·上海黄浦·期中）某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室（如图）．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．设矩形温室的左侧边长为，蔬菜的种植面积为． (1)用表示； (2)当为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大值是多少？ 【变式6.3】（24-25高一下·湖北·开学考试）某甜品店今年年初花费21万元购得一台新设备，经估算该设备每年可为甜品店提供12万元的总收入，已知使用年所需的总维护费用为万元． (1)该甜品店第几年开始盈利？ (2)若干年后，该甜品店计划以2万的价格卖出设备，有以下两种方案： ①当年平均盈利最大时卖出； ②当盈利总额达到最大时卖出； 试问哪一方案较为划算？说明理由． 【题型7 函数模型的选择问题】 【例7】（24-25高一上·山西临汾·期中）在一次物理实验中某同学测量获得如下数据： x 1 2 3 4 5 y 5.380 11.232 20.184 34.356 53.482 下列所给函数模型较适合的是（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高一·全国·课后作业）某公司最近4年对某种产品投入的宣传费万元与年销售量之间的关系如下表所示. x 1 4 9 16 y 168.6 236.6 304.6 372.6 （1）根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适宜作为与的函数模型？ （2）已知这种产品的年利润万元与的关系为，则年宣传费为多少时年利润最大？ 【变式7.2】（24-25高一上·四川泸州·期中）某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，，日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第10天的销售收入为505元. 提示：第10的销售收入=第10天每件销售价格×第10天的销售量 (1)求的值； (2)给出以下三个函数模型：①；②；③，根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； (3)设过去一个月该工艺品日销售收入为（单位：元），求的最小值. 【变式7.3】（24-25高一上·湖北·期末）随着全球对环保和可持续发展的日益重视，电动汽车逐步成为人们购车的热门选择.有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量单位：与速度单位：的数据如下表所示： 60 70 80 90 100 8.8 11 13.6 16.6 20 为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：①，②. (1)请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号电动汽车从地出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达地后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.已知该高速公路上有一功率为的充电桩（充电量充电功率充电时间）.若不充电，该电动汽车能否到达地？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从地到达地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值. 一、单选题 1．（24-25高三上·全国·课前预习）小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分（如图所示），若命中篮环中心，则他与篮底的距离t是（   ） A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m 2．（24-25高一上·天津·期末）近年来，人们对健康环境、生态环境的关注越来越高，因此，低碳环保、城市可持续发展已经成为各方关注的热点话题.某市对居民计费方法如下表：若某户居民本月缴纳的电费为150元，则此户居民本月的用电量为（    ） 生活用电实行分段计 电价 0~200度用电量 0.3元/度 201~400度用电量 0.6元/度 401度以上用电量 0.9元/度 A．250度 B．350度 C．450度 D．500度 3．（25-26高一上·全国·单元测试）遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据：，，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 4．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）某公司建造一间地面为矩形、背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么设计房屋的正面边长为（   ）m时，能使总造价最低． A．6 B．4 C． D．3 5．（24-25高一上·河南·阶段练习）如图，动物园要靠墙（足够长）建造两间相邻的长方形禽舍，不靠墙的面以及两间禽舍之间要修建围墙，已有材料可供建成围墙的总长度为36米，若设禽舍宽为米，则当所建造的禽舍总面积最大时，的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（25-26高一上·河北邯郸·开学考试）生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度（单位：cm）与观察时间（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（轴），该植物最高的高度是（    ）    A．50cm B．20cm C．16cm D．12cm 7．（24-25高一上·云南红河·期中）某企业员工小李的住处与他的办公室相距，某天下班后，小李发现有份重要材料丢在办公室，于是他从住处出发，先匀速跑步3min来到办公室，停留2min，然后匀速步行10min返回住处．在这个过程中，小李行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（    ） A．①④ B．②③ C．④① D．③② 8．（25-26高一上·全国·课后作业）在一般情况下，过江大桥上的车流速度（单位：千米/时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为90千米/时；研究表明，当时，车流速度是车流密度的一次函数．设当车流密度时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/时）可以达到最大．则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·陕西西安·期中）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的第个月的需求量（万件  ）近似地满足，按此预测，在本年度内，需求量最大的月份是（    ） A．8月 B．9月 C．10月 D．11月 10．（24-25高一上·河北·阶段练习）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位：）的四次方成正比，当气体在半径为5的管道中时，流量为，则（    ） A．当气体在半径为3的管道中时，流量为 B．当气体在半径为3的管道中时，流量为 C．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为4 D．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 11．（24-25高一上·贵州黔东南·期末）某工厂对员工的计件工资标准进行改革，现制订了，两种计件工资核算方案，员工的计件工资（单位：千元）与其生产的产品件数（单位：百件）的函数关系如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A．当某员工生产的产品件数为800时，该员工采用，方案核算的计件工资相同 B．当某员工生产的产品件数为500时，该员工采用方案核算的计件工资更多 C．当某员工生产的产品件数为200时，该员工采用方案核算的计件工资更多 D．当某员工生产的产品件数为1000时，该员工的计件工资最多为14200元 三、填空题 12．（25-26高一上·全国·单元测试）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为2元，为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 件． 13．（24-25高一上·广东东莞·阶段练习）已知超市内某商品的日销量y（单位：件）与当日销售单价x（单位：元）满足关系式，其中，为常数.当该商品的销售单价为15元时，日销量为110件.若该商品的进价为每件10元，则超市内该商品的日利润最大为 元. 14．（24-25高一上·全国·周测）随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机．某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投人100万元，此外每生产辆该汽车另需增加投资万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年产量不低于400辆时，，若该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为 万元． 四、解答题 15．（25-26高一上·重庆九龙坡·阶段练习）在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入－成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润. 16．（24-25高一上·重庆·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）． (1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 17．（25-26高一上·广东中山·阶段练习）如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为元，新墙的造价为元，设利用旧墙的长度为（单位：），修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求总费用； (3)试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用. 18．（25-26高一上·吉林长春·阶段练习）大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品． (1)假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益； (2)如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益． 19．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段练习）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元;再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元.设总造价为（单位:元），长为，且（单位：）. (1)求关于的函数解析式； (2)长为时，求该休闲场所的总造价； (3)当长为多少米时，该休闲场所的总造价最小？最小值是多少？. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 函数的应用（一） 【人教A版】 模块一 一次函数、二次函数模型的应用 1．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 2．一次函数模型的应用 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. 3．二次函数模型的应用 二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值 问题常用到二次函数模型. 【题型1 一次函数模型的应用】 【例1】（24-25高一上·北京·期中）果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，直接列式，根据题意求x的最小值和最大值，得到x的取值范围. 【解答过程】由题意可知函数关系式是， 由题意可知最少买千克，最多买千克，所以函数的定义域是. 故；， 故选:C. 【变式1.1】（24-25高一上·浙江·期中）网上购物常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”．为了穿得舒适，鞋子不能挤脚，也不能过长． SIZE 尺码对照表 中国鞋码实际标注 (同国际码) mm 220 225 230 235 240 245 250 255 260 265 中国鞋码习惯叫法 (同欧码) 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 一个篮球运动员的脚长为282 mm，则从表格数据可以推算出，他最适合穿的鞋号是（    ） A．45 B．46 C．47 D．48 【答案】C 【解题思路】设出一次函数，采用待定系数法求出，令即可求解. 【解答过程】设脚长为，鞋号为码，由数据可知，脚长和鞋号符合一次函数关系：，将代入可得，当时，，故他最适合穿的鞋号是47码. 故选：C. 【变式1.2】（2025高一·全国·专题练习）南通至通州的某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额＝车票收入一支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）不改变支出费用，提高车票价格．下面给出的四个图形中，实线虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（    ） A．①反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） B．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） C．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） 【答案】C 【解题思路】根据题意，利用一次函数的性质判断不同方案下参数的变化对图象的影响，即可确定正确选项. 【解答过程】设目前车票价格为，支出费用为，则， 对于建议（I），设建议后的支出费用为（＜），则， 显然建议后，直线斜率不变，在y轴上的截距变大，故图象①反映了建议（I）； 对于建议（II），设建议后的车票价格为（＞），则， 显然建议后，直线斜率变大，在y轴上的截距不变，故图象③反映了建议（II）． 故选：C． 【变式1.3】（24-25高一上·湖北武汉·期中）从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出第次倒出酒精后容器中含纯酒精的质量，然后可得第次倒出的纯酒精的质量，然后可得倒次共倒出的纯酒精． 【解答过程】第次时共倒出了纯酒精升， 第次倒出后容器中含纯酒精为升 第次倒出的纯酒精是升 所以倒出第次时，共倒出了纯酒精 故选：C. 【题型2 二次函数模型的应用】 【例2】（24-25高一上·北京·期中）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，要求每箱售价不得低于50元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．要获得最大利润，每箱苹果的售价应定为（   ） A．55元 B．60元 C．65元 D．70元 【答案】B 【解题思路】设每箱苹果的售价为，每天获得的利润为，由题意得到与的函数关系，借助二次函数即可求解. 【解答过程】设每箱苹果的售价为，每天获得的利润为， 由题意，则有， 因为，所以当时，取到最大值为. 故选：B. 【变式2.1】（24-25高一上·河南新乡·期中）某花店销售某品种鲜花，当每束鲜花的售价为50元时，花店每天可以卖出18束鲜花；当每束鲜花的售价每降低1元时，花店当天可以多卖出1束鲜花．要使得该店该品种鲜花的日销售额最大，则每束鲜花的售价应为（    ） A．16元 B．18元 C．32元 D．34元 【答案】D 【解题思路】设每束鲜花的售价降低元，由日销售额，利用二次函数的性质求解. 【解答过程】解：设每束鲜花的售价降低元， 则花店该品种鲜花的日销售额: ， ， 故当，即每束鲜花的售价为34元时，花店该品种鲜花的日销售额最大． 故选：D. 【变式2.2】（25-26高一上·河南南阳·开学考试）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件元，出厂价为每件元，每月的销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：． (1)设袁阳每月获得的利润为（单位：元），写出每月获得的利润与销售单价的函数关系； (2)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？ 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由总利润=销售量-每件纯赚利润，得即可求解； （2）结合（1）列不等式得出，再结合题意计算出厂价列式求参总差价即可. 【解答过程】（1）依题意可知每件的销售利润为元，每月的销售量为件， 所以每月获得的利润与销售单价的函数关系为 ； （2）由每月获得的利润不小于元，即， 即，即，解得， 又因为这种节能灯的销售单价不得高于40元，所以， 设政府每个月为他承担的总差价为p元， 则，由， 得，故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为元． 【变式2.3】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资） (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？ 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）求出年销量，再列式表示出所求函数关系. （2）求出第一年获利最大值，再列出第二年获利的函数关系，列出不等式并求解即得. 【解答过程】（1）依题意，年销量为（万件）， 所以. （2）由（1）知，，当时，， 即当销售单价定为17元时，年获利最大，并且第一年年底公司还差万元就可收回全部投资， 因此第二年的销售单价应定元，年获利万元， ，而， 即，整理得，解得， 所以第二年的销售单价的范围是. 模块二 幂函数模型的应用 1．幂函数模型的应用 幂函数模型应用的求解策略: (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. 【题型3 幂函数模型的应用】 【例3】（24-25高一上·湖北荆州·期中）为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了，如果按照此规律，设2024年的耕地面积为m，则2029年的耕地面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设某地的耕地面积每年减少,依题列出方程，再进行整体代入，即得2029年的耕地面积. 【解答过程】设某地的耕地面积每年减少，因在最近50年内减少了，则有， 故， 由题意，2029年的耕地面积为，即. 故选：D. 【变式3.1】（2025·甘肃天水·三模）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（    ） A．6kg B．8kg C．18kg D．54kg 【答案】D 【解题思路】根据给定信息求出关系式，再代入计算即得. 【解答过程】依题意，设，由，得，则， 当时， ，所以． 故选：D. 【变式3.2】（2025·四川泸州·模拟预测）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（    ） A．10% B．20% C．22% D．32% 【答案】B 【解题思路】设年平均增长率为，依题意列方程求即可. 【解答过程】由题意，设年平均增长率为，则， 所以，故年平均增长率为20%. 故选：B. 【变式3.3】（24-25高一上·青海西宁·期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】根据题意中给出的解密密钥为，利用其加密、解密原理， 求出的值，解方程即可求解. 【解答过程】由题可知加密密钥为， 由已知可得，当时，， 所以，解得， 故，显然令，即， 解得，即． 故选：A. 模块三 分段函数模型的应用 1．分段函数模型的应用 由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用. 【题型4 分段函数模型的应用】 【例4】（24-25高一上·安徽马鞍山·期末）茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：）和泡茶时间（单位：）满足关系式，若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】解方程即可. 【解答过程】因为茶水温度（单位：）和泡茶时间（单位：）满足关系式， 且喝茶的最佳口感水温大约是， 当时，由可得，合乎题意； 当时，由，解得，舍去. 综上所述，. 因此，需要等待的时间为. 故选：B. 【变式4.1】（24-25高一上·北京·期中）当产品产量不大时，成本由固定成本和单位产量的可变成本决定，这二者都是常数，因此是产量的一次函数；而当产品产量较大时，决定成本的因素比较复杂，成本不再是产量的一次函数．现有某产品成本是产量的分段函数：下列说法不正确的是（   ） A．时， B．时，函数取得最大值 C．函数的值域是 D．函数在上是增函数 【答案】D 【解题思路】求出函数值判断A；求出最大值判断；求出值域判断C；取特值计算判断D. 【解答过程】对于A，当时，，A正确； 对于B，当时，， 当且仅当时取等号，而当时，， 又，因此当时，函数取得最大值，B正确； 对于C，函数在上递增，， 在上递增，，因此函数的值域是，C正确； 对于D，，因此函数在上不单调，D错误. 故选：D. 【变式4.2】（25-26高一上·浙江·阶段练习）某县将“双招双引”作为战略性先导工程，以精细化服务优化营商环境，多举措多维度引进相应企业，已知某企业生产一款测绘仪器，生产该仪器全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部仪器的售价为0.7万元，且所生产的仪器当年能全部销售完. (1)求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润＝销售额-成本）； (2)当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元 【解题思路】（1）利用收入减去另投入成本和固定成本即可得利润函数； （2）利用分段函数思想来求每一段函数的最大值，然后再判断此函数的最大值即可. 【解答过程】（1）由题意有销售额为， 所以当时，， 当时，， 所以； （2）当时，， 当时，万元，         当时，，当且仅当， 即时等号成立，万元，        即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 【变式4.3】（25-26高一上·全国·期中）2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） (2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】(1)200万元 (2) (3)当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元 【解题思路】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，是以80元的单价出售，每件30元成本，且需要固定投入300万元，由此根据利润销售收入成本计算即可； （2）依题意，分三段：当时，当时，当时，写出函数解析式，其中，当时，需要设降价元，并用含的式子表示. （3）计算出各段函数的最大值进行比较.当时，根据一次函数的单调性求解最大值；当时，根据二次函数的最值求解最大值；当时，根据基本不等式求解最大值. 【解答过程】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，利润是万元. （2）当时，； 当时，不妨设降价元，则，得到， 所以； 当时，； 所以. （3）由（2）知，当时，，函数单调递增， 当时，利润最大，此时利润是450万元； 当时，， 当时，利润最大，此时利润是500万元； 当时，， 当且仅当，即时，利润最大，此时利润是910万元. 因为，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元. 【题型5 分式型函数模型的应用】 【例5】（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是（    ）万元. A．45.5 B．37.5 C．36 D．35 【答案】B 【解题思路】根据题意，得到，进而得到月利润的表示式，结合基本不等式即可求解. 【解答过程】依题意，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足， 即有，由，得， 因此月利润 ，当且仅当时，即时取等号， 所以当万件时，该公司最大月利润为万元. 故选：B. 【变式5.1】（2025·四川·二模）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 【答案】B 【解题思路】把给定函数变形，利用基本不等式即可得解. 【解答过程】由题意得，，当且仅当，即时取“=”， 所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149. 故选：B. 【变式5.2】（24-25高一上·黑龙江·阶段练习）一墙一文化，一村一风景．在美丽乡村创建中，墙绘依托其公共性、视觉冲击等特点担负美化乡村、宣传乡村的使命．如图所示，某乡村拟建一绘画墙，在墙面上画三幅大小相同的矩形图画，每一幅画的面积为9600平方厘米，要求图画上四周空白的宽度为2厘米，每幅图画之间的空隙的宽度为2厘米．设绘画墙的长和宽分别为厘米，厘米． (1)求关于的关系式； (2)为了节约成本，应该如何设计绘画墙的尺寸，使得绘画墙墙面的面积最小？ 【答案】(1) (2)长为248厘米，宽为124厘米 【解题思路】（1）由题意得，化简即可得解； （2）首先得，然后结合基本不等式及其取得条件即可求解. 【解答过程】（1）由题意，知每一幅矩形图画的长为厘米，宽为厘米， 则，整理得． （2）由（1）知绘画墙墙面的面积， 则， 由基本不等式，有，当且仅当时取等号． 故，此时， 故当绘画墙墙面的长为248厘米，宽为124厘米时，绘画墙面的面积最小． 【变式5.3】（24-25高一上·山东聊城·期中）某商场经营一批进价为19元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价（单位：元）与日销售量（单位：件）之间有如下表所示的关系. 24 31 39 49 44 30 20 12 根据表中提供的数据，可用函数来近似刻画与之间的变化规律. (1)求与之间的函数解析式； (2)设经营此商品的日销售利润为（单位：元），写出关于的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 【答案】(1)，； (2)，，销售单价39元. 【解题思路】（1）取数据对代入求出即可求出解析式. （2）求出日销售利润函数，再利用基本不等式求解. 【解答过程】（1）取数据对，则，解得， 由实际意义知，，解得， 所以与之间的函数解析式，. （2）由（1）得，日销售利润，， ，当且仅当，即时取等号， 所以当销售单价为39元时，获得最大日销售利润400元. 模块四 “对勾”函数模型的应用 1．“对勾”函数模型的应用 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+(a>0,b>0)，当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用. 【题型6 “对勾”函数模型的应用】 【例6】（24-25高一上·广西桂林·期中）如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为56元，新墙的造价为200元，设利用旧墙的长度为（单位：），修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. (1)求关于的函数表达式； (2)试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用. 【答案】(1) (2)，最小总费用是12200元. 【解题思路】（1）由面积求得矩形的另一边长，然后由新墙和旧墙计算费用得结论； （2）利用基本不等式求得最小值． 【解答过程】（1）由题意知，矩形的一边长为，另一边长为， 则 ， 故. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故当利用旧墙的长度为时，修建此矩形场地的总费用最小，最小总费用是12200元. 【变式6.1】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供万元的创业补助．某企业拟定在申请得到万元创业补助后，将产量增加到万件，同时企业生产万件产品需要投入的成本为万元，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．（注：收益＝销售金额＋创业补助－成本） (1)求该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； (2)当创业补助为多少万元时，该企业所获收益最大？ 【答案】(1)， (2)7万元 【解题思路】（1）由题意计算销售金额、成本，从而可得该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； （2）由（1）得，,，利用基本不等式和对勾函数的性质，即可得出答案． 【解答过程】（1）依据题意可知，销售金额万元，创业补助万元，成本为万元， 所以收益，． （2）由（1）可知，， 其中，当且仅当，即时，取等号． 所以， 所以当时，该企业所获收益最大，最大值为74万元． 【变式6.2】（24-25高一上·上海黄浦·期中）某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室（如图）．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．设矩形温室的左侧边长为，蔬菜的种植面积为． (1)用表示； (2)当为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)当为40m时，蔬菜的种植面积最大，最大值为 【解题思路】（1）由题得，化简即得解； （2）利用基本不等式即可求解． 【解答过程】（1）； （2）， ， 当且仅当即时等号成立， 当为40m时，蔬菜的种植面积S最大，最大值为． 【变式6.3】（24-25高一下·湖北·开学考试）某甜品店今年年初花费21万元购得一台新设备，经估算该设备每年可为甜品店提供12万元的总收入，已知使用年所需的总维护费用为万元． (1)该甜品店第几年开始盈利？ (2)若干年后，该甜品店计划以2万的价格卖出设备，有以下两种方案： ①当年平均盈利最大时卖出； ②当盈利总额达到最大时卖出； 试问哪一方案较为划算？说明理由． 【答案】(1)第四年，理由见解析 (2)两个方案一样，理由见解析 【解题思路】（1）表达出年后所得总利润，解不等式，求出答案； （2）设方案①的年平均利润为，表达出，由对勾函数单调性求出最大值，再求出方案②的总利润，比较后得到结论. 【解答过程】（1）设该甜品店年后所得总利润为万元， 则， 若开始盈利即， ∴，解得， ∴第四年开始盈利． （2）方案①：设年平均利润为， 则， 由对勾函数性质可得在上单调递增，上为单调递减． 又，， 时，，4年总利润为3万元， 时，，5年总利润为4万元，故选择第5年卖出， 方案②：，， 即时总利润最大为4万元， 故选择方案一或方案二是一样的，最终都是在即第5年总利润达到最大值4万元， 加上卖设备的2万元，一共6万元利润． 【题型7 函数模型的选择问题】 【例7】（24-25高一上·山西临汾·期中）在一次物理实验中某同学测量获得如下数据： x 1 2 3 4 5 y 5.380 11.232 20.184 34.356 53.482 下列所给函数模型较适合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由数据中y随x的变化情况，分析适用的函数模型. 【解答过程】由所给数据可知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快， 而A中的函数增长速度保持不变，B中的函数增长速度越来越慢，C中的函数是随x的增大而y减小，D中的函数符合题意. 故选:D． 【变式7.1】（24-25高一·全国·课后作业）某公司最近4年对某种产品投入的宣传费万元与年销售量之间的关系如下表所示. x 1 4 9 16 y 168.6 236.6 304.6 372.6 （1）根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适宜作为与的函数模型？ （2）已知这种产品的年利润万元与的关系为，则年宣传费为多少时年利润最大？ 【答案】（1）更适宜作为与的函数模型  （2）时，年利润最大 【解题思路】（1）将点代入和，求出这两个函数，然后将代入，看哪个算出的数据接近实际数据哪个就更适宜作为与的函数模型； （2）根据（1）可得，利用函数单调性求最大利润. 【解答过程】解：（1）①若选，把代入上式， 得，解得，. 当时，，与相差较大，该函数不适宜作为与的函数模型. ②若选，把代入上式， 得，解得， 当时，， 当时，. 比较知更适宜作为与的函数模型； （2）由（1）知， 令，则， 函数在上为增函数，在上为减函数， 当，即时，年利润最大. 【变式7.2】（24-25高一上·四川泸州·期中）某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，，日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第10天的销售收入为505元. 提示：第10的销售收入=第10天每件销售价格×第10天的销售量 (1)求的值； (2)给出以下三个函数模型：①；②；③，根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； (3)设过去一个月该工艺品日销售收入为（单位：元），求的最小值. 【答案】(1) (2)且定义域为 (3) 【解题思路】（1）根据题意得到，解之即可得解； （2）利用表格中数据的增长趋势选定模型，再利用待定系数法求得，从而得到所求函数解析式和定义域； （3）利用（1）（2）中结论，得到，分类讨论的取值范围，结合基本不等式与函数的单调性即可得解. 【解答过程】（1）由题意得，第10天每件销售价格为元，第10天的销售量为50件， 所以，得； （2）由表格数据知：日销售量随时间的增长先增后减， 而①，②两函数都是单调函数，显然①②不符合， 而③满足题意，故选③， 则，解得，则， 综上，且定义域为； （3）由（1）（2）知，，，， 则， 所以， 当时，， 当且仅当，即时取等号，此时最小值为441元； 当时，在上单调递减， 此时最小值为元； 显然， 所以的最小值为. 【变式7.3】（24-25高一上·湖北·期末）随着全球对环保和可持续发展的日益重视，电动汽车逐步成为人们购车的热门选择.有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量单位：与速度单位：的数据如下表所示： 60 70 80 90 100 8.8 11 13.6 16.6 20 为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：①，②. (1)请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号电动汽车从地出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达地后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.已知该高速公路上有一功率为的充电桩（充电量充电功率充电时间）.若不充电，该电动汽车能否到达地？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从地到达地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值. 【答案】(1)选择函数模型①， (2)需要，最少用时为小时. 【解题思路】（1）由表格中的数据，由增长速度可知，选择函数模型①，代入数据计算系数可得函数解析式； （2）计算行驶耗电量，判断是否需要充电，表示出总时间，利用基本不等式求所用时间的最小值. 【解答过程】（1）与的函数关系，在定义域内单调递增，由增长速度可知，选择函数模型①， 由题意有：解得： 所以. （2）设耗电量为，则， 任取， ， 由，，，， 则有，即， 所以函数在区间单调递增， ， 即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车不在服务区充电不能到达地. 又设行驶时间与充电时间分别为，总和为，若能到达地， 则初始电量+充电电量-消耗电量保障电量， 即，解得， 所以总时间， 当且仅当，即时取等，所以该汽车到达地的最少用时为小时. 一、单选题 1．（24-25高三上·全国·课前预习）小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分（如图所示），若命中篮环中心，则他与篮底的距离t是（   ） A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m 【答案】B 【解题思路】根据二次函数的性质，代入求解即可. 【解答过程】篮环的纵坐标为，令，得（舍去）． ． 故选：B. 2．（24-25高一上·天津·期末）近年来，人们对健康环境、生态环境的关注越来越高，因此，低碳环保、城市可持续发展已经成为各方关注的热点话题.某市对居民计费方法如下表：若某户居民本月缴纳的电费为150元，则此户居民本月的用电量为（    ） 生活用电实行分段计 电价 0~200度用电量 0.3元/度 201~400度用电量 0.6元/度 401度以上用电量 0.9元/度 A．250度 B．350度 C．450度 D．500度 【答案】B 【解题思路】根据题意，得到本月缴纳的电费和居民用电量的函数关系式，结合题意，列出方程，即可求解. 【解答过程】由题意，设某户居民用电量为度，本月缴纳的电费为， 可得， 当某户居民本月缴纳的电费为150元时，可得， 解得，即居民本月的用电量为度. 故选：B. 3．（25-26高一上·全国·单元测试）遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据：，，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【答案】A 【解题思路】利用函数模型求出需要记忆的时间，即可推断出考前复习背诵的时间在几点开始. 【解答过程】令，则． ∵，，， ∴的估计值可取0.5，即他复习背诵的时间需大约在． 故选：A. 4．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）某公司建造一间地面为矩形、背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么设计房屋的正面边长为（   ）m时，能使总造价最低． A．6 B．4 C． D．3 【答案】B 【解题思路】设正面边长为xm，地面宽为ym，易得，设总造价为，由求解. 【解答过程】解：设正面边长为xm，则地面宽为ym，则， 所以， 设总造价为， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 5．（24-25高一上·河南·阶段练习）如图，动物园要靠墙（足够长）建造两间相邻的长方形禽舍，不靠墙的面以及两间禽舍之间要修建围墙，已有材料可供建成围墙的总长度为36米，若设禽舍宽为米，则当所建造的禽舍总面积最大时，的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解题思路】根据题意，用表示禽舍的总长，从而得到禽舍的面积关于的表达式，利用配方法即可得解. 【解答过程】由题意，若把材料全部用完，则禽舍的总长为， 设所建造的禽舍总面积为， 则， 所以当所建造的禽舍总面积最大时，的值. 故选：D. 6．（25-26高一上·河北邯郸·开学考试）生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度（单位：cm）与观察时间（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（轴），该植物最高的高度是（    ）    A．50cm B．20cm C．16cm D．12cm 【答案】C 【解题思路】设直线 的解析式为 ，然后利用待定系数法求出直线线段的解析式，再把代入进行计算即可得解． 【解答过程】设直线 的解析式为 经过点 ， 解得 所以直线 的解析式为 ，由题中图像可知， 当 时，该植物最高，此时 . 故选：C. 7．（24-25高一上·云南红河·期中）某企业员工小李的住处与他的办公室相距，某天下班后，小李发现有份重要材料丢在办公室，于是他从住处出发，先匀速跑步3min来到办公室，停留2min，然后匀速步行10min返回住处．在这个过程中，小李行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（    ） A．①④ B．②③ C．④① D．③② 【答案】A 【解题思路】设行进的速度为，行走的路程为，得出关于的函数，关于的函数解析式，即可判断函数图象． 【解答过程】设行进的速度为，行走的路程为，则 且， 由速度函数及路程函数的解析式可知， 其图象分别为①④． 故选：A． 8．（25-26高一上·全国·课后作业）在一般情况下，过江大桥上的车流速度（单位：千米/时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为90千米/时；研究表明，当时，车流速度是车流密度的一次函数．设当车流密度时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/时）可以达到最大．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据条件建立分段函数关系，利用待定系数法求出的值，利用二次函数的最值性质进行求解即可． 【解答过程】由题意可知，， 则当时，，当时，， 即，解得， 故， 当时，的最大值为； 当时，， 此时的最大值为． 因为，所以，． 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一上·陕西西安·期中）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的第个月的需求量（万件  ）近似地满足，按此预测，在本年度内，需求量最大的月份是（    ） A．8月 B．9月 C．10月 D．11月 【答案】CD 【解题思路】根据二次函数性质即可求. 【解答过程】因为，且， 所以当或时，需求量取最大. 故选：CD. 10．（24-25高一上·河北·阶段练习）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位：）的四次方成正比，当气体在半径为5的管道中时，流量为，则（    ） A．当气体在半径为3的管道中时，流量为 B．当气体在半径为3的管道中时，流量为 C．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为4 D．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 【答案】AC 【解题思路】根据题意求得函数解析式，再逐项判断即可. 【解答过程】依题意可设，为常数． 当气体在半径为5的管道中时，流量为，所以，解得， 则．当时，，故A正确，B错误． 由，解得，故C正确，D错误． 故选：AC. 11．（24-25高一上·贵州黔东南·期末）某工厂对员工的计件工资标准进行改革，现制订了，两种计件工资核算方案，员工的计件工资（单位：千元）与其生产的产品件数（单位：百件）的函数关系如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A．当某员工生产的产品件数为800时，该员工采用，方案核算的计件工资相同 B．当某员工生产的产品件数为500时，该员工采用方案核算的计件工资更多 C．当某员工生产的产品件数为200时，该员工采用方案核算的计件工资更多 D．当某员工生产的产品件数为1000时，该员工的计件工资最多为14200元 【答案】ACD 【解题思路】根据图象可直接判断A，B选项；对C，计算出采用A，B方案核算的计件工资可判断；对D，由图可知产品件数为1000时，A方案核算的计件工资最多，求出函数关系式运算得解. 【解答过程】从图中可得，A正确，B错误； 若某员工生产的产品件数为200，则该员工采用A方案核算的计件工资为3000元，采用方案核算的计件工资为元， 因为，所以该员工采用方案核算的计件工资更多，C正确； 从图中易得当时，员工采用A方案核算的计件工资（单位：千元） 与生产的产品件数（单位：百件）的函数关系式为， 则当时，，即当某员工生产的产品件数为1000时， 该员工的计件工资最多为14200元，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（25-26高一上·全国·单元测试）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为2元，为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 件． 【答案】40 【解题思路】设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为，则，利用均值不等式，即可求得和此时的值． 【解答过程】设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为， 则，当且仅当时，等号成立， 即当每批生产产品40件时，平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，为40元． 故答案为：40. 13．（24-25高一上·广东东莞·阶段练习）已知超市内某商品的日销量y（单位：件）与当日销售单价x（单位：元）满足关系式，其中，为常数.当该商品的销售单价为15元时，日销量为110件.若该商品的进价为每件10元，则超市内该商品的日利润最大为 元. 【答案】 【解题思路】根据条件，求出，进而得到商品的日利润为，再利用二次函数的性质即可求出结果. 【解答过程】根据条件，将，代入，得， 所以，超市内该商品的日利润为： ，其中， 所以，当时，超市该商品的日利润取得最大值，且最大值为元. 故答案为：. 14．（24-25高一上·全国·周测）随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机．某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投人100万元，此外每生产辆该汽车另需增加投资万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年产量不低于400辆时，，若该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为 万元． 【答案】 【解题思路】设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为，得出函数的解析式，结合二次函数的性质，以及基本不等式，求得函数的最大值，即可求解． 【解答过程】设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为（万元）， 由题意可得， 即， 当时，函数的对称轴为，则； 当时，， 当且仅当时，取得最大值， 综上可得，该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为万元． 故答案为：． 四、解答题 15．（25-26高一上·重庆九龙坡·阶段练习）在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入－成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元 【解题思路】（1）利用利润销售收入－成本公式计算即可得； （2）结合二次函数性质与基本不等式计算即可得. 【解答过程】（1）当时，； 当时，， 故； （2）当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元； 当时， 万元， 当且仅当时等号成立， 故当时，万元； 故当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元. 16．（24-25高一上·重庆·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）． (1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元. 【解题思路】（1）由题设，，根据图象上数据得解； （2）列出企业利润的函数解析式，利用换元法求得函数最值得解. 【解答过程】（1）设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元 由题设，， 由图知，故，又，所以． 从而，． （2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元， 则， 令，则，所以， 当时，，此时. 故产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元. 17．（25-26高一上·广东中山·阶段练习）如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为元，新墙的造价为元，设利用旧墙的长度为（单位：），修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求总费用； (3)试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用. 【答案】(1) (2) (3)， 【解题思路】（1）根据题意，直接列出关于的函数表达式； （2）由（1）中的函数式，代入数值直接求解即可； （3）结合基本不等式，即可求出结果. 【解答过程】（1）由题意知，矩形的一边长为，另一边长为， 则 ， 故. （2）由（1）知， ， 所以当时，. （3）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故当利用旧墙的长度为时， 修建此矩形场地的总费用最小，最小总费用是元. 18．（25-26高一上·吉林长春·阶段练习）大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品． (1)假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益； (2)如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益． 【答案】(1)答案见详解 (2)商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元 【解题思路】（1）由题意可知，分别代入和运算求解即可； （2）设商品投入万元，则商品投入万元，分和两种情况，利用基本不等式以及二次函数性质运算求解即可. 【解答过程】（1）因为投入10万元，即， 若只经销商品，则所获得的收益为万元； 若只经销商品，则所获得的收益为万元. （2）设商品投入万元，则商品投入万元， 可知总收益， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以在上的总收益最大值为16万元； 若，则， 可知的图象开口向下，对称轴为，则， 所以在上的总收益最大值小于万元； 因为，所以商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元. 19．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段练习）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元;再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元.设总造价为（单位:元），长为，且（单位：）. (1)求关于的函数解析式； (2)长为时，求该休闲场所的总造价； (3)当长为多少米时，该休闲场所的总造价最小？最小值是多少？. 【答案】(1) (2) (3)， 【解题思路】（1）设，根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，即可求解； （2）把代入（1）中的解析式，即可求得该休闲场所的总造价； （3）由（1）中的解析式，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【解答过程】（1）解：设，则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以关于的解析式为. （2）解：当m时， 可得 （元）， 所以长为时，该休闲场所的总造价元. （3）解：由（1）得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $