重难点培优05 概率中的决策问题及比赛中的概率（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习资料聚焦概率中的决策问题及比赛中的概率核心考点，涵盖决策问题、概率与导数结合、简单及复杂条件比赛、多人比赛等题型，按知识重构-题型精研-实战检测逻辑架构，通过考点梳理、技巧通法指导、真题训练（如模拟预测题、各地二模题）帮助学生突破难点，体现复习系统性和针对性。 资料以真实情境（如比赛策略、检测方案）培养数学眼光，通过分类讨论（比赛局数、胜负情况）发展数学思维，分层检测（重难巩固与创新提升）保障效果。例如决策问题中比较不同方案期望，培养理性决策能力，助力教师精准教学，提升学生应考能力。

重难点培优05 概率中的决策问题及比赛中的概率 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 概率中的决策问题（★★★★★） 2 题型二 概率结合导数（★★★★★） 12 题型三 简单比赛问题（★★★★★） 18 题型四 复杂条件比赛问题（★★★★★） 23 题型五 多人比赛问题（★★★★★） 29 03 实战检测・分层突破验成效 36 检测Ⅰ组 重难知识巩固 36 检测Ⅱ组 创新能力提升 51 一、游戏、比赛等问题中随机变量的分布列 1、多人比赛或者传球模型，一般情况下涉及到独立事件与互斥事件的识别，及概率运算，离散型随机变量的分布列和期望，如果符合常见的二项分布，超几何分布等等分布，直接用概率公式进行运算。如果限制条件较多，可以进行罗列方式进行分类讨论计算 2、 比赛模式，要考虑以下可能情况： （1）比赛几局？ （2）“谁赢了”； （3）有没有平局 （4）赢了的必赢最后一局； （5）比赛为啥结束？ 3、常见比赛问题注意事项 ①在与体育比赛规则有关的问题中，一般都会涉及分组，处理该类问题时主要借助于排列组合．对于分组问题，要注意平均分组与非平均分组，另外，在算概率时注意“直接法”与“间接法”的灵活运用． ②与体育比赛有关的问题中最常见的就是输赢问题，经常涉及“多人淘汰制问题”“ 三局两胜制问题”“ 五局三胜制问题”“ 七局四胜制问题”，解决这些问题的关键是认识“三局两胜制”“ 五局三胜制”等所进行的场数，赢了几场与第几场赢，用互斥事件分类，分析事件的独立性，用分步乘法计数原理计算概率，在分类时要注意“不重不漏” ． ③在体育比赛问题中，比赛何时结束也是经常要考虑的问题，由于比赛赛制已经确定，而比赛的平均场次不确定，需要对比赛的平均场次进行确定，常用的方法就是求以场数为随机变量的数学期望，然后比较大小． ④有些比赛会采取积分制，考查得分的分布列与数学期望是常考题型，解题的关键是辨别它的概率模型，常见的概率分布模型有：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布，要注意分布是相互独立的，超几何分布不是，值得注意的是，在比赛中往往是伪二项分布，有的只是局部二项分布． 题型一 概率中的决策问题 【技巧通法·提分快招】 决策问题的解决策略：决策的工具是有关概率，决策方案的最佳选择是将概率最大（最小）作为最佳方案，可能需要借助函数的性质去实现。 1．在两个大小相同，距离不同的区域内进行投掷沙包的比赛，每人至多投3次．具体比赛规则如下：在距离较远的区域内投一次特制沙包，投进得5分，没投进不得分；在距离较近的区域内投两次普通沙包，每投进一次得3分，没投进不得分，且得分高于5分则获得相应奖励，若前两次均投进或均未投进，都停止比赛．已知甲同学在距离较远的区域内投中沙包的概率是，在距离较近的区域内投中沙包的概率是，且每次是否投进互不影响． (1)若甲同学先投特制沙包，求他投掷2次就停止该项比赛的概率； (2)为使获得奖励的概率最大，甲同学应先投哪种沙包； (3)为使投中沙包累计得分的期望最大，甲同学应先投哪种沙包． 【答案】(1) (2)甲同学先投特制沙包或普通沙包均可 (3)甲同学应先投普通沙包 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解， （2）分别求解两种情况下的概率，即可比较大小作答， （3）利用相互独立事件的概率公式求解分布列，即可由期望公式计算大小，比较作答. 【详解】（1）记“甲同学先投特制沙包，投掷2次就停止该项比赛”为事件A，有以下两种情况： ①甲同学第一次投掷特制沙包投中，第二次投掷普通沙包投中，停止比赛； ②甲同学第一次投掷特制沙包未投中，第二次投掷普通沙包未投中，停止比赛， 故． （2）记甲同学先投特制沙包，并获得奖励的概率为， 则． 记甲同学先投普通沙包，并获得奖励的概率为，则 ． 因为，所以为使获得奖励的概率最大，甲同学先投特制沙包或普通沙包均可． （3）记甲同学先投特制沙包累计得分为X，则X的所有可能取值为0，3，5，6，8， ， ， ， ， ， ． 记甲同学先投普通沙包累计得分为Y， 则Y的所有可能取值为0，3，6，8， ， ， ， ， 故， 因为， 所以为使投中沙包累计得分的期望最大，甲同学应先投普通沙包． 2．甲、乙两个班级的同学进行目测数学教科书长度的游戏，令甲班同学目测的误差为（单位：），乙班同学目测的误差为（单位：）．根据游戏记录，统计结果为，，，，；，，，， (1)分别列出随机变量、的分布列； (2)哪个班目测的数据更接近教科书的真实长度？解释你的理由（可以通过观察给出答案，但必需包含必要的计算过程）． 【答案】(1)分布列见解析 (2)乙班目测的数据更接近教科书的真实长度，理由见解析 【分析】（1）通过题干已知概率即可列出随机变量、的分布列； （2）先计算两个班的期望，可反应平均误差，如果期望一样，再计算方差比较大小即可. 【详解】（1）根据已知条件，的分布列是： 0 1 2 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 的分布列是： 0 1 2 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05 （2）直观观察的分布离散程度较大，所以乙班目测的数据更接近教科书的真实长度． 由（1）知，，， ，， 即要通过两个班数据的方差比较，说明哪个班更接近教科书的真实长度． 所以，， ， 则，故乙班的情况波动情况小， 所以，乙班目测的数据更接近教科书的真实长度． 3．（2025·广东·模拟预测）某地爆发瘟疫，现在你要负责检查其中8位居民是否感染. 已知可以通过检测居民血样来判断该居民是否感染，若检测结果呈阳性，就认为该居民被感染了，否则认为该居民没有感染.由于事发突然，检测物资储备并不富裕，如果逐个检查每位居民的血样，就一定要消耗8份检测物资.此时，你想到：也许可以先将这8位居民按2人一组或4人一组进行分组，将同组居民的血样混合起来进行检测.这样如果最终检测结果不呈阳性，则说明该组所有居民都没有感染，如果检测结果呈阳性，则需要对该组每位居民再逐个检测血样.记：逐个检测为方案A，2人一组检测为方案B，4人一组检测为方案C： (1)若已知这8位居民中有2位被感染，试确定上述哪种方案预期消耗物资最少； (2)若每位居民有p的概率被感染，试讨论上述哪种方案预期消耗物资最少. 【答案】(1)方案B (2)答案见解析 【分析】（1）记用方案B需要消耗X物资，用方案C需要消耗Y物资，分别计算，比较与大小即可求解； （2）每位居民被感染的概率为p，比较三种方案的数学期望即可求解 【详解】（1）用方案A需要消耗份检测物资， 记用方案B需要消耗X份检测物资，则的可能取值为， 用方案C需要消耗Y份检测物资，则的可能取值为： ，， 所以， ，， 所以， 由，可知方案B预期消耗物资最少 （2）延用（1）中的记号：现在以小组为单位进行考察： 方案B中：每个小组消耗物资期望为 方案C中：每个小组消耗物资期望为 于是：，， 令，则， 解得或， 当时，，故， 此时，方案C预期消耗物资最少， 当时，，故， ，方案A预期消耗物资最少， 令，则， 解得，此时，故， 此时，三种方案预期消耗物资一样. 4．（2025·江西上饶·二模）“三门问题”亦称为蒙提霍尔问题，问题名字来自1970年美国的一个电视游戏节目主持人蒙提·霍尔.游戏中，参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门后面有一辆跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选中后面有车的那扇门可获奖赢得该跑车，主持人知道跑车在哪一扇门.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.当时大部分的观众和参与者都支持不换门，认为换不换门获奖概率是一样的.然而当时智商最高的玛丽莲·沃斯·莎凡特给出了正确答案：应该换门. (1)请用所学概率知识解释玛丽莲·沃斯·莎凡特给出的答案； (2)证明：当跑车门数不变，山羊门数增加，游戏中的参与者在主持人打开一扇山羊门后，换门都比不换门中奖概率更高； (3)如果有扇门，其中一扇门后有10万奖金，其他门后什么都没有，主持人知道哪一扇门后面有奖金.当参与者选中一扇门后（未打开），主持人问参与者是否愿意投入5000元，帮他在剩余的门中打开一扇没有奖金的门，并允许参与者换门.问当门数满足什么条件时，参与者投入5000元是值得的？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）分别求出换门和不换门中奖的概率，进行比较即可. （2）分别求出换门和不换门中奖的概率，进行比较即可. （3）求出换门和不换门所得奖金的均值，列不等式，解出即可. 【详解】（1）如果不换门，则中奖的概率为. 如果换门，则中奖的概率为：. 所以换门中奖的概率大，故：应该换门. （2）假设山羊门数为（），如果不换门，则中奖的概率为：. 如果换门，中奖的概率为：. 因为， 所以换门比不换门中奖概率更高. （3）不换门中奖的概率为，换门中奖的概率为：. 要想投入5000元时值得的，须有：. 整理得：. 结合，，可得. 即当时，参与者投入5000元是值得的. 5．（2025·河北保定·二模）某零件厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱零件的定价为500元，低于200箱按原价销售，不低于200箱有两种优惠方案．方案一：以200箱为基准，每多100箱免12箱的金额．方案二：通过双方议价，买方能以每箱优惠的价格成交的概率为0.3，以每箱优惠的价格成交的概率为0.4，以每箱优惠的价格成交的概率为0.3． (1)买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二，求甲以低于万元的金额购买这200箱零件的概率． (2)买方乙要在该厂购买400箱这种零件，以购买总价的数学期望为决策依据，试问乙选择哪种优惠方案更划算？请说明你的理由． (3)买方丙要在该厂购买960箱这种零件，由于购买的箱数超过500，该厂的销售部让丙综合使用这两种方案作为第三种方案，即一部分用方案一（箱数必须是100的正整数倍），另一部分使用方案二（箱数不限），试问丙应该如何使用方案三，才能获得最多的优惠？说明你的理由． 【答案】(1)0.7 (2)方案二更优惠，理由见解析 (3)应该选择900箱使用方案一，60箱使用方案二，这样才能获得最多的优惠，理由见解析 【分析】（1）分别计算买方甲以每箱优惠，，的价格成交的金额，再与万元比较即可求解； （2）先计算乙选择方案一的成交金额，再计算乙选择方案二的成交金额的数学期望，比较大小即可判断； （3）设丙用方案一购买箱，表示出丙购买的金额的期望为万元，利用为减函数即可做出决策. 【详解】（1）买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二， 若甲以每箱优惠的价格成交，则成交的金额为万元; 若甲以每箱优惠的价格成交，则成交的金额为万元; 若甲以每箱优惠的价格成交，则成交的金额为万元 故甲以低于万元的金额购买这200箱零件的概率为； （2）买方乙要在该厂购买400箱这种零件， 若乙选择方案一，则成交的金额为万元 若乙选择方案二，设成交的金额为万元，则， 所以买方乙按方案二在该厂购买400箱这种零件的成交金额的数学期望为万元 因为，所以方案二更优惠； （3）设丙用方案一购买箱， 则丙用方案一需要支付的金额为元， 方案二需要支付的金额的期望为元， 所以丙购买的金额的期望为万元 因为为减函数，所以越大，越小， 故应该选择箱使用方案一，箱使用方案二，这样才能获得最多的优惠. 6．某校为了更好地践行“共创体育梦想，团结可达天下”的体育理念，特举办了相关知识竞赛活动．已知有两类问题可供选择，其中类问题答对得5分，答错得0分，类问题答对得10分，但答错扣2分．每位参赛的选手需从这两类题中共抽出3个问题并作答（每个题抽取后不放回，且每次答题互不影响），且要求从类题中至少抽1道．设选手甲答对类每个问题的概率分别为． (1)求选手甲共答对3道题的概率； (2)若选手甲第1道题是从类题中抽出并回答正确，记选手甲的累计得分为，则要使最大，选手甲应该如何选择剩余的2道题？ 【答案】(1) (2)选手甲剩余2道题均应该选择类问题，才能使得最大 【分析】（1）根据题意分三种情况：第一种类题答对2道，类题答对1道，第二种类题答对1道，类题答对2道，第三种类题答对3道，分别求出概率相加即可求解； （2）设选手甲答对其余2道题的累计得分为，则他的累计得分，分情况求，比较的大小即可求解. 【详解】（1）选手甲共答对3道题有三种情况： ①类题答对2道，类题答对1道的概率为， ②类题答对1道，类题答对2道的概率为， ③类题答对3道的概率为， 所以这次竞赛中，选手甲共答对3道题的概率为； （2）设选手甲答对其余2道题的累计得分为，则他的累计得分． 若剩余2道题均为类，即的可能取值为10，15，20， 所以，， ，所以． 若剩余2道题为类各1道，即的可能取值为8，13，20，25， 所以，， ，， 所以． 若剩余2道题均为类，即的可能取值为6，18，30， 所以， ， ，所以． 因为， 所以选手甲剩余2道题均应该选择类问题，才能使得最大． 7．（24-25高三上·云南德宏·期末）为更好的发挥高考的育才作用，部分新高考数学试卷采用了多选题这一题型．教育部考试中心通过科学测量分析，指出该题型扩大了试卷考点的覆盖面，有利于提高试卷的区分度，也有利于提高学生的得分率．多选题评分规则如下：对于多选题，每个小题给出的四个选项中，有两项或三项是正确的，满分6分．全部选对得6分，有错选或全不选得0分，正确答案为两项时，选对1个得3分；正确答案为三项时，选对1个得2分，选对2个得4分．多选题正确答案是两个选项的概率为p，正确答案是三个选项的概率为（其中）． (1)在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若，求学生甲该题得2分的概率； (2)针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案： Ⅰ：随机选一个选项；  Ⅱ：随机选两个选项；  Ⅲ：随机选三个选项． （i）若，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望； （ii）以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好? 【答案】(1) (2)（i）；（ⅱ） 【分析】（1）由全概率公式求解即可； （2）（i）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，求出的可能取值及其概率，即可求出的分布列，再由期望公式求出； （ⅱ）记分别为“从四个选项中随机选择一个选项、两个选项和三个选项的得分”，求出的数学威望，由题意可得，解不等式组即可得出答案. 【详解】（1）记事件为“正确答案选两个选项”，事件为“学生甲得分”． ， 即学生甲该题得分的概率为． （2）（i）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则可以取，，， ，  ， ， 所以的分布列为 则数学期望． （ⅱ）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”， 则， ， ， 所以 记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”， 则， ， ， 所以 记为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”， 则， ， 所以． 要使唯独选择方案Ⅰ最好，则，解得：， 故的取值范围为． 题型二 概率结合导数 1．（24-25高三下·内蒙古呼和浩特·月考）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点. (2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点； （2）根据二项分布的期望先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望. 【详解】（1）记20件产品中的次品件数为X，由题设知， 则问题可理解为求的最大值， 因此. 令，得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以的最大值点为； （2）由（1）知，. 令表示余下的180件产品中的不合格品件数， 依题意知，， 即. 所以（元）. 2．（2025·山东·模拟预测）已知两个不透明的袋子中均装有若干个大小，质地完全相同的红球和白球，从袋中摸出一个红球的概率是，从袋中摸出一个红球的概率是．在每轮中，甲同学先选择一个袋子摸一次球并放回，乙再选择一个袋子摸一次球并放回，则该轮结束．已知在每轮中甲选两袋的概率均为．如果甲选袋，则乙选袋的概率为；如果甲选袋，则乙选的概率为． (1)若，求在一轮中乙从袋中摸出红球的概率； (2)求在一轮中乙摸出红球的概率； (3)若甲，乙两位同学进行了3轮摸球．乙同学认为，越大，3轮摸球后他摸出2个红球的概率越大，你同意他的观点吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不同意乙的观点，理由见解析 【分析】（1）先利用全概率公式求出乙从袋中摸球的概率，再利用乘法概率公式求解即可； （2）利用全概率公式求解即可； （3）由题意知3轮摸球后摸出红球的个数服从二项分布，利用二项分布的概率公式可得3轮摸球后乙摸出2个红球的概率为，令，利用导数求最大时，的值即可. 【详解】（1）设“甲从袋中摸球”，“乙从袋中摸球”，“乙摸出的是红球”， 由全概率公式知，乙从袋中摸球的概率， 所以在一轮中，乙从袋中摸出红球的概率为． （2）在一轮中，乙摸出红球的概率． （3）由题意知3轮摸球后摸出红球的个数服从二项分布， 则3轮摸球后乙摸出2个红球的概率为， 设，则， 令，解得， 则当时，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，3轮摸球后乙摸出2个红球的概率最大，所以不同意乙的观点． 3．（2025·重庆·一模）年月日国家市场监督管理总局第次局务会议审议通过《食品安全抽样检验管理办法》，自年月日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品． (1)现有瓶水果罐头，已知其中瓶为优级品，瓶为一级品． （ⅰ）若每次从中随机取出瓶，取出的罐头不放回，求在第次抽到优级品的条件下，第次抽到一级品的概率； （ⅱ）对这瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望； (2)已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为，且各件产品是否为优级品相互独立，若在次独立重复抽检中，至少有次抽到优级品的概率不小于（约为），求的最小值． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析， (2) 【分析】（1）（ⅰ）设第次抽到优级品为事件，第次抽到一级品为事件，利用条件概率公式可求得的值； （ii）由题意可知，的取值可能为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （2）设在次抽检中至少有次抽到优级品的概率为，利用独立重复试验的概率公式可求出的表达式，利用导数分析函数的单调性，即可得出的最小值. 【详解】（1）（ⅰ）设第次抽到优级品为事件，第次抽到一级品为事件， 则． （ii）根据题意可知的取值可能为、、、． 则，， ，． 则的分布列为： 所以． （2）设在次抽检中至少有次抽到优级品的概率为， 则 ，其中， 因为，所以在单调递增． 注意到，所以，故的最小值为． 4．某公司对其产品进行质量检测，现随机抽取部分产品，测得其质量指标值的数据如图所示．规定质量指标值在内的产品为一等品，在内的产品为二等品．其中为样本平均数，为样本标准差，经计算得． (1)求二等品质量指标值的范围及一件产品为一等品或二等品的概率；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） (2)用样本的频率分布作为总体的概率分布． ①任取6件产品，记恰有件产品为一等品或二等品的概率为，试比较与的大小； ②记质量指标值在的产品为需要改进的产品，且需要改进的产品的概率为，若任取6件产品，恰有4件需要改进的概率为，求取得最大值时和的值． 【答案】(1)二等品质量指标值的范围是，一件产品为一等品或二等品的概率为0.49； (2)① ；② ． 【分析】（1）求得，进而可得一等品或二等品质量指标值的范围是，进而利用频率直方图可求概率； （2）①结合（1），利用作差法可得，可得结论；②由题意得，，利用导数可求最大值，结合频率分布直方图可求得的值. 【详解】（1）由频率分布直方图得样本平均数． 因为， 所以二等品质量指标值的范围是． 一等品或二等品质量指标值的范围是，故， 所以一件产品为一等品或二等品的概率为0.49． （2）①由（1）得一件产品为一等品或二等品的概率为， ． 因为， 所以， 所以． ②由题意得，， 设， 则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以当时，取得最大值． 易得，令，即， 此时在时单调递增，故时，取得最大值． 由频率分布直方图得， 质量指标值在内的概率为， 质量指标值在内的概率为， 所以． 则，解得， 所以取最大值时，． 5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）泊松分布是一种离散型概率分布，常用于描述在固定时间或空间内某事件发生的次数，广泛应用于通信，交通，生物学，金融和质量控制等领域．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为 ． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认．若，估计的值； (2)某人工智能公司制造微型芯片的次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数． ①若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； ②若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； 通过①，②的计算结果，你发现了什么规律； (3)若，且，在保留小数点后一位的时候，求证：的最大值为0.1． 参考数据：若，则， ，， ，， 【答案】(1)． (2)可以发现产品数量很大，次品率很小时，二项分布可以用泊松分布近似． (3)证明见解析 【分析】（1）由题可得，可看作，然后由 可得答案； （2）①由题可得，由二项分布结合题意可得答案； ②由题可得，然后由可得答案； （3）由题可得，据此构造函数，可得 在上单调递减，然后由，可知只需判断与大小关系即可完成证明. 【详解】（1），可以利用正态分布转换，， ， ，估计的值为． （2）次品率为0.002，非次品率为0.998 ①，则在1000个产品中至少有个2次品的概率 ②， 可以发现产品数量很大，次品率很小时，二项分布可以用泊松分布近似． （3）， 令，，在上单调递减 ，又考虑到 而 故只需判断与，即与大小关系即可 令，，在上单调递减 ，，，， 又保留小数点后一位，的最大值为0.1. 题型三 简单比赛问题 1．（25-26高三上·吉林长春·月考）甲、乙、丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观．每局比赛胜者与此局旁观者进行下一局比赛，按此规则循环下去，约定先赢两局者获胜，比赛结束．根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛相互独立且没有平局．规定第一局由甲、乙对战． (1)求进行两局比赛后，比赛结束且甲获胜的概率； (2)求进行两局比赛后，比赛结束的概率； (3)求比赛结束后，甲获胜的概率． 【答案】(1)； (2) (3). 【分析】（1）由题设可得甲连胜两局，利用相互独立事件乘法原理来计算即可； （2）由题设可得甲连胜两局或乙连胜两局，再利用独立事件乘法原理来计算即可； （3）分情况讨论，再利用独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式来计算即可. 【详解】（1）记甲、乙、丙第局比赛获胜分别为事件， 记比赛两局结束且甲获胜为事件，则， 所以. 故进行两局比赛且甲获胜的概率为． （2）记第一局由甲、乙对战两局后比赛结束为事件，则 所以 ， 则两局后比赛结束的概率为. （3）设比赛结束后，甲获胜的概率为， 则， 则比赛结束后，甲获胜的概率为. 2．是由中国杭州的公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用．为提高的应用能力，某公司组织全体员工参加培训．培训结束之后，公司举行了一次专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰． (1)若这8道题中甲能答对其中5道，计算甲进入决赛的概率； (2)已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励．若甲答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为元． 【分析】（1）由题知的取值为，而甲进入决赛有可能答3或4道题，利用组合数计算概率即可. （2）由题可知的取值为，再利用二项分布计算概率，写出分布列，计算期望即可. 【详解】（1）记为甲在预赛答对的题数，则的取值为， ，， 记甲进入决赛为事件， 则甲进入决赛的概率为． （2）由题可知的取值为， 所以，， ，， 所以的分布列如下： （元）， 即甲获得奖金的数学期望为元． 3．现有两球队进行友谊比赛，设队在每局比赛中获胜的概率都是． (1)若比赛6局，求队至多获胜4局的概率； (2)若采用“五局三胜”制，求比赛局数的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）应用独立重复试验概率公式计算求解； （2）先应用独立重复试验概率求出概率及分布列，再结合数学期望公式计算求解. 【详解】（1）记“比赛6局，队至多获胜4局”为事件， 则. 故队至多获胜4局的概率为． （2）由题意可知，的可能取值为3，4，5． ， ， ． 所以的分布列为 3 4 5 故． 4．（2025·湖南长沙·一模）甲、乙两人进行知识问答抢答赛，比赛共有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙两人每题答题正确的概率分别为和.求： (1)在3题均被乙抢到的条件下，设乙答题得分为，求的分布列和期望值； (2)甲在比赛中获胜的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）由题意知的所有可能取值为，分别求出对应概率，写出分布列，进而求期望； （2）设甲获胜为事件，甲在比赛中共抢到道题为事件，由计算求解即可. 【详解】（1）依题意，的所有可能取值为， 则， ， 故分布列为 1 3 . （2）设甲获胜为事件，甲在比赛中共抢到道题为事件， 则， ， ， 所以. 5．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知排球比赛的规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分.才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩： 1 2 3 4 5 6 甲 25 21 27 27 23 25 乙 18 25 25 25 25 17 假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立． (1)估计甲队每局获胜的概率； (2)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分的概率分布列和数学期望； (3)如果甲、乙两队约定比赛2场，求两队积分相等的概率． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）用频率估计概率，结合题意求概率即可； （2）由题意可知，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，结合独立重复性实验概率公式求分布列和期望； （3）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件A，分析可得，结合题意运算求解. 【详解】（1）用频率估计概率，6局中甲共赢4局，则甲队每局获胜的概率为. （2）由题意可知，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 可得的分布列为： 0 1 2 3 所以. （3）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件A， 设第场甲、乙两队积分分别为，，则，其中， 因为两队积分相等，则， 即，可得， 又因为，，，， 所以. 题型四 复杂条件比赛问题 1．（25-26高三上·河南郑州·月考）为宣扬中国文化，某校组织古诗词知识比赛.比赛分为两阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分高分组和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，共回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段答对2个问题的选手进入低分组，共回答4个问题，每答对一个得10分，答错不得分.第一阶段，每个问题选手甲答对的概率都是；第二阶段，若选手甲进入高分组，每个问题答对的概率都是，若选手甲进入低分组，每个问题答对的概率都是. (1)求选手甲第一阶段不被淘汰的概率； (2)求选手甲在该次比赛得分数为40分的概率； (3)已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中得分数为，求随机变量的分布列和期望值. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，20 【分析】（1）根据比赛晋级第二阶段的规则，分析选手需要答对题的个数，然后根据独立概率公式进行计算即可； （2）根据比赛得分规则，选手得40分有两种情况：进入高分组，答对2个问题； 进入低分组，答对4个问题，然后根据独立概率公式进行计算即可； （3）由题的可能取值有，，，，，分别求出相应取值的概率，列出分布列表，计算数学期望即可. 【详解】（1）选手甲第一阶段不被淘汰， 即甲回答三个问题答对其中2个或3个， 其概率为：； （2）选手甲在该次比赛得分数为40有两种情况：进入高分组，答对2个问题； 进入低分组，答对4个问题， 故概率为：； （3）由题意可知，的所有可能取值有0，20，40，60，80， 则， ， ， 所以X分布列为： X 0 20 40 60 80 P 所以. 2．（2025·吉林·模拟预测）某校为了激发学生的创新性思维，举办了一场“智能机器人传球大赛”，每班派一名编程代表，操作一台机器人参与比赛．比赛场地分为两个区域：区和区．初始时球放在区，每次操作通过随机生成1至6的某一个数字，依据以下规则控制机器人传球： ①若随机数为1，机器人无法传球，球保持原地不动； ②若随机数为6，若球在区，球不动，若球在区，球被传到另一个区域； ③若随机数为2、3、4、5，球被传到另一个区域． (1)已知连续两次操作，求事件“第一次操作后球在区或第二次操作后球在区都未发生”的概率； (2)已知连续三次操作，记随机变量为“机器人实际完成传球的次数”，求随机变量的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【分析】（1）先设出基本事件，由概率乘法公式可得； （2）机器人实际完成传球的次数，根据题意分别转化为相应的事件，利用概率乘法公式求解可得. 【详解】（1）记事件“第次操作后球在区”，“第次操作后球在区”，. 事件“第次操作后球不在区”，也即事件，故， 则事件“第一次操作后球在区或第二次操作后球在区都未发生”可表示为， 由题意，，，， 故由概率乘法公式可得. （2）由题意，机器人实际完成传球的次数， 其中，表示事件；表示事件； 表示事件；表示事件， 且， 故由概率乘法公式可得， ； ； ； ； 故随机变量的分布列为 0 1 2 3 故随机变量的期望. 3．（2025·山东济宁·模拟预测）奥运会中足球比赛的小组赛阶段的规则如下：共有个国家队被分成个小组，每个小组支球队循环比赛，共打场，每场比赛中，胜､平､负分别积分.每个小组积分的前两名球队晋级下一阶段的淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例：若三支球队积分相同，同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜､平､负的概率都是，每场比赛的结果相互独立. (1)假设球队参与的前场取得胜负的成绩，具体比赛结果为与比赛，胜；与比赛，胜；与比赛，胜.此时，各积3分，积0分，求球队最终晋级的概率. (2)假设该小组的前三场比赛结果如下：与比赛，胜；与比赛，胜；与比赛，胜.设小组赛阶段球队的积分之和为，求的分布列及期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据条件，利用相互独立事件同时发生的概率公式及互斥事件的概率公式，即可求解； （2）根据条件，求出可能取值及相应的概率公式，即可求出分布列，再由期望的计算公式，即可求解. 【详解】（1）在剩下的三场比赛中： 若与比赛平局，则积分各加1分，都高于的积分，淘汰； 若与比赛平局，则与比赛的结果无论如何，都有两队的积分高于淘汰； 若与比赛平局，则同理可得一定会淘汰. 综上，若要出线，则剩下的三场比赛不可能出现平局， 若与比赛，胜，与比赛，胜，与比赛，胜，则出线，争夺第二名，出线的概率为. 若与比赛，胜，与比赛，胜，与比赛，胜，则出线，争夺第二名，出线的概率为. 其他情况，均淘汰. 故球队最终出线的概率为. （2）前三场比赛中球队的积分之和为， 剩下的三场比赛为与比赛，与比赛，与比赛，其中与比赛的结果与球队的积分之和无关. 若与比赛中，球队得到的积分之和为与比赛中，球队得到的积分之和为，则，其概率为， 若与比赛中，球队得到的积分之和为与比赛中，球队得到的积分之和为，则，其概率为， 若与比赛中，球队得到的积分之和为与比赛中，球队得到的积分之和为，则，其概率为， 若与比赛中，球队得到的积分之和为与比赛中，球队得到的积分之和为，则，其概率为， 若与比赛中，球队得到的积分之和为与比赛中，球队得到的积分之和为，则，其概率为， 若与比赛中，球队得到的积分之和为与比赛中，球队得到的积分之和为，则，其概率为， 的分布列为 . 4．（24-25高三上·辽宁·期末）为培养青少年航天科学素养，某航天科技馆组织中学生航天科技大赛，每个地区选派5名学生组队参赛，比赛分为二人组笔试航天知识问答和三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛两场.在笔试知识问答中每队有两名同学，只需抽一名选手参加，该选手答一道程序逻辑推理题目，若答对可以进入第二环节，在三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中，规则是每组三个选手，先选派一人进行一次编程设计试验，若能运行成功记为通过.第一位选手通过，第二位选手则有三次上场机会，否则该组结束比赛.如果第二位选手通过一次及以上测试，则每次通过后得4分，并为第三位选手争取到两次上场机会，否则第二位选手不加分并结束该组比赛.第三位选手每次通过试验均加10分，不通过不加分.两位选手得分之和计为本场比赛总得分. (1)已知在二人组笔试航天知识问答中，某地区A、B两人组队，A、B第一环节答对问题的概率分别是、，第二环节中共有6个题目，选手抽出三道题作答，答对一题得4分.已知6个题目中有4个题目A同学熟悉并能答对，有3个题目B同学熟悉并能答对.设选派A同学和B同学参赛得分分别为X和Y，求X的分布列和期望，并求出Y的期望； (2)现某组决定选派甲、乙、丙三位选手参加“编程调试与仿真设计”实操测试比赛，先后进入三个环节，甲选手在第一个环节中通过测试的概率为，乙选手在第二个环节中通过每一次测试的概率均为，丙选手在第三个环节中通过每一次测试的概率均为. ①在甲选手通过测试的条件下，求该组乙选手得分的分布列； ②求该队在三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中的总得分期望. 【答案】(1)分布列见解析，6，4 (2)①分布列见解析；② 【分析】（1）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出的期望. （2）①求出选手乙得分的可能值，进而求出各个值对应的概率并列出分布列；②求出总得分为的可能值，进而求出各个值对应的概率并列出分布列，再求出总得分的期望. 【详解】（1）同学参赛得分所有取值为0，4，8，12， ，， ，， 所以的分布列为 0 4 8 12 . （2）①设乙选手在三次测试中得分为，则所有取值为0，4，8，12， ，， ，， 所以的分布列为 0 4 8 12 ②设该队在“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中总得分为， 则所有取值为0，4，8，12，14，18，22，24，28，32， 在甲选手已通过测试的条件下概率如下： ，， ，， ，， ，， ，， 所以的分布列为 0 4 8 12 14 18 22 24 28 32 由于甲选手通过测试的概率为，所以总得分的期望为. 【点睛】关键点点睛：第3问求总得分的期望，先求出在甲选手通过测试的条件下，乙丙得分的期望是求解的关键. 题型五 多人比赛问题 1．（24-25高三上·甘肃白银·月考）在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．现有两种赛制，一种是“单败淘汰制”，具体赛制：抽签决定两两对阵人员，胜者晋级“胜者区”，并进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名；败者进入“败者区”，并进行比赛，决定第三、四名的归属．另一种是“双败淘汰制”，具体赛制：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获得第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立． (1)若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁，求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望． (2)依据的取值情况，判断哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由． 【答案】(1)3.128 (2)答案见解析 【分析】（1）记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数为随机变量，则的所有可能取值为2，3，4．求出相应的概率，根据数学期望公式即可求解； （2）分别求出“双败淘汰制”和“单败淘汰制”下获胜的概率，即可求解. 【详解】（1）记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数为随机变量， 则的所有可能取值为2，3，4． ：甲连负两局得第四名，． ：甲连胜两局进决赛，或负胜负得第三名，或胜负负得第三名， ． ：甲以前三局依次为胜负胜或负胜胜的赛果进入决赛， ． 故的分布列为 2 3 4 0.16 0.552 0.288 ． （2）在“双败淘汰制”下甲夺冠的概率， 在“单败淘汰制”下甲夺冠的概率， ，， 则当时，，“双败淘汰制”对甲夺冠有利； 当时，，“单败淘汰制”对甲夺冠有利； 当时，，两种赛制下甲夺冠的概率一样． 2．甲、乙、丙三人参加学校“元旦嘉年华”竞答游戏，活动的规则为：甲、乙、丙三人先分别坐在圆桌的，，三点，第一轮从甲开始通过掷骰子决定甲的竞答对手，如果点数是奇数，则按逆时针选择乙，如果是偶数，则按顺时针选丙，下一轮由上一轮掷骰子选中的对手继续通过掷骰子决定竞答对手，如果点数是奇数按逆时针选对手，点数是偶数按顺时针选对手，已知每场竞答甲对乙、甲对丙、乙对丙获胜的概率分别为，，且甲、乙、丙之间竞答互不影响，各轮游戏亦互不影响，比赛中某选手累计获胜场数达到场，游戏结束，该选手为晋级选手． （1）求比赛进行了场且甲晋级的概率； （2）当比赛进行了场后结束，记甲获胜的场数为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为． 【分析】（1）根据题意分别求出每一类情况的概率，再利用互斥事件概率加法公式即可求解； （2）由题意可知的所有可能取值为，，，利用独立事件与互斥事件的概率公式求出对应的概率即可求出分布列与数学期望． 【详解】解：（1）甲赢两场，分下面三种情况 ①第一场甲胜，第二场无甲，第三场甲胜 概率为： ； ②第一场甲输，二三场均胜 概率为：； ③第一场甲胜，第二场输，第三场胜 概率为： ； 由互斥事件的概率加法公式可知：比赛进行了场且甲晋级的概率为：. （2）依题意的所有可能取值为，， 由（1）知三场比赛结束且甲胜两场的概率为， 当比赛进行了场后结束，甲获胜的场数为时， 分两种情况： 3场比赛中甲参加了1场，输了,概率为： ； 3场比赛中甲参加了2场，都输了，概率为： 3场比赛甲都参加且都输掉是不可能的，否则比赛打不到3场. 所以比赛进行三场结束，且甲胜0场的概率为； 当比赛进行了场后结束，甲获胜的场数为时， 分三种情况： 3场比赛中甲参加了1场，赢了,概率为： ； 3场比赛中甲参加了2场，赢一场，输一场， 则顺序只能为甲-乙-丙-甲或者甲-丙-乙-甲，且甲只能第一场赢， 概率为：； 3场比赛甲都参加且只赢一场，概率为：； 所以比赛进行了场后结束且甲胜一场的概率为； 所以在比赛进行了场后结束的前提下， 故的分布列为 则． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数学运算、数据分析、数学抽象核心素养． 3．（23-24高三下·江苏·月考）某足球训练基地有编号为的位学员，在一次射门考核比赛中，学员有两次射门机会.每人第一次射中的概率为第二次射中的概率为假设每位学员射门过程是相互独立的，比赛规则如下： ①按编号从小到大的顺序进行，第1号学员开始第1轮比赛，先第一次射门； ②若第号学员第一次射门未射中，则第轮比赛失败，由第号学员继续比赛； ③若第号学员第一次射门射中，再第二次射门，若该学员第二次射门射中，则比赛在第轮结束，该学员第二次射门未射中，则第轮比赛失败，由第号学员继续比赛； ④若比赛进行到了第轮，则不管第号学员的射门情况，比赛结束. (1)当时，设随机变量表示3名学员在第轮比赛结束，求随机变量的分布列； (2)设随机变量表示名学员在第轮比赛结束. ①求随机变量的分布列； ②求证：单调递增，且小于3. 【答案】(1)分布列见解析 (2)①分布列见解析；②证明见解析 【分析】（1）得出的所有可能取值，结合题意计算相应概率即可得其分布列； （2）①得出的所有可能取值后，结合题意计算相应概率即可得其分布列；②由分布列结合期望定义，借助数列中错位相减法计算即可得，即可得证. 【详解】（1）的所有可能取值为， ，，， 的分布列如下： （2）①的所有可能取值为， ，，， ，， 的分布列如下： 1 2 3 … ② ， 记， 则， 故 ， ， 显然关于单调递增，且． 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于得到后，借助错位相减法求和，以得到其单调性及范围. 4．（2025·湖北荆州·模拟预测）某公司招聘技术人员一名.经初选，现有来自国内三所高校的10名应届毕业生进入最后面试环节.其中A校和B校各4名，C校2名. 名面试者随机抽取1，2，3，，10号的面试序号. (1)若来自A校的4名毕业生的面试序号分别为，，，，且，来自B校的4名毕业生的面试序号分别为，，，，且，来自C校的2名毕业生的面试序号分别为，，且 （ⅰ）求概率，； （ⅱ）记随机变量，求 X的均值 (2)已知一位面试者因事未能到达面试现场，最终只有9人参加面试.经面试，第位面试者的面试得分为，且他们的面试得分各不相等，公司最终录用得分最高者. 为提高今后面试效率，现人事部门设计了以下面试录用新规则：，且，，集合S中的最小元素为k，最终录用第k位面试者. 如果以新规则面试这9名毕业生，求面试得分第一、二按得分从高到低排的两名毕业生之一被录用的概率. 【答案】(1)（ⅰ），；（ⅱ） (2) 【分析】（1）（i）根据古典概型的概率计算公式求解即可；（ii）由题可知X的可能取值为4，5，6，，10，求出分布列即可算数学期望. （2）新规则的含义是：从第四个人开始，第一个出现比前面的面试者分数都高的人就直接被录取；如果没有出现比前面分数都高的人，就录取第9个人，运用分步加法计数原理求解即可. 【详解】（1）（i）时，分母即从10个位置中选4个位置放置，对于分子，此时只能在10号位， 则在其余9个位置中选3个位置放置,故； 而，分母即从10个位置中先选4个位置放置,再从剩下6个位置中选2个放, 对于分子，先从10个位置中先选6个位置放置者6个数，此时只能在选出来的第6个位置， 可在选出来的5个位置中任选一个，有种， ∴； （ⅱ）X的可能取值为则， 所以； （2）新规则的含义是：从第四个人开始，第一个出现比前面的面试者分数都高的人就直接被录取； 如果没有出现比前面分数都高的人，就录取第9个人. ①第一种情况，录用了面试得分第一的人， 首先可考虑分母为从9人中任选人排列，此时若面试得分第一的人在第位， 要使得其被录用，则在他前面的个人中的最高分必然在前3位，其他个人可以任意排列， 这种情况的概率为； ②第二种情况，录用了面试得分第二的人， 1）若面试得分第一的人在前三位，则第二的人在第9位，其他人任意排列， 这种情况的概率为，                       2）若面试得分第一的人不在前三位，那么他一定在第二的人后面，第二的人在第k位， 同样在他前面的个人中的最高分必然在前3位，其他个人可以任意排列， 这种情况的概率为， 综上，面试得分第一、二的两名毕业生之一被录用的概率为： . 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·山西·模拟预测）某学校高三年级组织了一场校内知识竞赛，共有5个班级参与，每个班级推选1名学生代表参加，其中1名学生代表来自经常在知识竞赛中获奖的班级，以下简称A班代表，4名学生代表来自较少参与竞赛的班级，以下简称B班代表，学生甲是B班代表之一．在某一轮比赛中，随机选择两名学生代表进行比赛．若是同类班级代表比赛，则双方获胜的概率均为；若是A班代表与B班代表比赛，则B班代表获胜的概率为． (1)已知甲参赛，求在一轮比赛中，学生甲获胜的概率； (2)为了增加比赛的趣味性，增加了挑战赛，规则是某选手可向全场所有代表随机发起挑战，与每个代表进行一轮比赛．现学生甲向全场所有人发起挑战，若与A班代表比赛获胜得2分，与B班代表比赛获胜得1分，失败均获得0分，记比赛结束时学生甲获得的积分为X，求X的分布列与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，. 【分析】（1）由全概率公式求解即可； （2）由题意分析出的取值为，然后求出每个取值的概率，列出分布列计算数学期望即可. 【详解】（1）设“对手为A班代表”，“对手为B班代表”，“甲获胜” 由题意可知，，，， 故. （2）由题意可知的取值为， ， ， ， ， ， ， 故X的分布列为： 所以. 2．（2025·四川巴中·二模）2008年北京奥运会乒乓球赛事精彩纷呈，推动了乒乓球运动在国内的进一步普及.如今有小周､小吴､小郑三人进行乒乓球比赛，规则是：先由两人上场比赛，另一人做裁判，败者下场做裁判，另两人上场比赛，按此规则循环进行.通过抽签确定小周､小吴先上场比赛，小郑做裁判.依据过往比赛数据统计：小周与小吴比赛小周获胜的概率为，小郑与小吴比赛小吴获胜的概率为，小郑与小周比赛小郑获胜的概率为. (1)比赛完3局时，求三人各胜1局的概率； (2)比赛完4局时，设小郑做裁判的次数为，求的分布列和期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）依据相互独立事件的概率乘法公式计算；（2）由题意可知，Y的取值为：1，2，求概率即可求得均值. 【详解】（1）比赛完3局时，求三人各胜1局的概率 设小周与小吴比赛，小周获胜，记为事件A， 小郑与小吴比赛，小吴获胜，记为事件B， 小郑与小周比赛，小郑获胜，记为事件C， 且A，B，C相互独立. 则 设“比赛完3局时，三人各胜1局”记为事件，则 ； （2）Y的取值为：1，2 . 则Y的分布列为： 1 2 3．（25-26高三上·福建·月考）在某次篮球团体比赛中甲乙两支球队进入总决赛，比赛采用5局3胜制，只要有一支球队先获胜3场比赛结束.在第一场比赛中甲队获胜，已知甲队第2，3，4场获胜的概率为，第5场获胜的概率为，各场之间互不影响. (1)求甲队以获胜的概率； (2)设表示决出冠军时比赛的场数，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）由相互独立事件的概率公式可得结果； （2）由相互独立事件的概率公式计算得到的分布列，再由数学期望公式可计算得到数学期望. 【详解】（1）设“甲队以3：1获胜”，则甲队必在第四场获胜，第2，3场中胜1场负1场， 则. （2）根据题意可取， 当时，即甲再连胜2场，所以， 当时，有2种情况，甲胜或乙胜， 所以， 当时，有2种情况，甲胜或乙胜， 所以， 所以的分布列为： 3 4 5 所以数学期望. 4．（25-26高三上·辽宁·期中）实验中学社团举办了一场乒乓球比赛，为了锻炼身体，比赛采取“5局3胜制”（说明：5局3胜制是指比赛最多进行5局，先赢得3局的一方即为获胜方）.现有甲､乙二人，已知每局甲胜的概率为，乙胜的概率为.求： (1)这场比赛甲获胜的概率； (2)这场比赛乙所胜局数的数学期望. (3)这场比赛在甲获得比赛胜利的条件下，乙有一局获胜的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）甲胜的情况可能连赢3局、前3局中甲赢2局，第4局甲赢、前4局甲赢2局，第5局甲赢这三种情况，由此能求出甲获胜的概率； （2）乙获胜的局数为，列出的可取值，分别求出对应可取值的概率即可得到的分布列，然后由期望的公式计算出的期望； （3）设事件“甲获得比赛胜利”，事件“乙获胜一局”，然后求出，，由条件概率的公式求得. 【详解】（1）甲胜的概率为. （2）设乙获胜的局数为，， 可得； ； ； . 的分布列为： 0 1 2 3 （局） （3）设事件“甲获得比赛胜利”，事件“乙获胜一局”. 得到； ； . 5．（2024·山东·模拟预测）已知，，，四名选手参加某项比赛，其中，为种子选手，，为非种子选手，种子选手对非种子选手种子选手获胜的概率为，种子选手之间的获胜的概率为，非种子选手之间获胜的概率为．比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮的胜者为冠军. (1)若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案？ (2)选手与选手相遇的概率为多少？ (3)以下两种方案，哪一种种子选手夺冠的概率更大？ 方案一：第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛； 方案二：第一轮比赛种子选手与种子选手比赛． 【答案】(1)； (2) (3)方案一种子选手夺冠的概率更大 【分析】（1）由题意分析知第一轮选手的对战情况分别为，，，即可得出答案； （2）设事件“选手与选手相遇”，分为对战情况分别为，，，求出其概率，相加即可得出答案. （3）设采用方案一，二种子选手夺冠的概率分别为，，由独立事件的乘法公式求出、，比较，的大小即可得出答案. 【详解】（1）第一轮选手的对战情况分别为，，，故总方案数3； （2）设事件“选手与选手相遇”， 当对战为时，，两选手相遇的概率为1； 当对战为时，，两选手相遇的概率为； 当对战为时，，两选手相遇的概率为； 抽到三种对战的概率均为，则. 综上可知选手与选手相遇的概率为. （3）设采用方案一，二种子选手夺冠的概率分别为，，则 采用方案一，假设分组为， 第一轮两种子选手获胜，则第二轮种子选手一定夺冠：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，则种子选手不能获胜， 所以； 采用方案二：假设分组为， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 则，所以， 因此方案一种子选手夺冠的概率更大. 6．（2025·广东中山·一模）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； (2)请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 【答案】(1)答案见解析 (2)甲面试通过的可能性大 【分析】（1）设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为，分别写出随机变量得所有可能取值，求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望求期望即可； （2）根据方差公式分别求出方差，即可得出结论. 【详解】（1）设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为， 则可取，可取， 则， 所以甲正确完成面试题数的分布列为： ， ，， ，， 所以乙正确完成面试题数为的分布列为： ； （2）由（1）得， ， 因为， 所以甲得成绩更稳定， 所以甲面试通过的可能性大. 7．某单位春节期间，为烘托节日气氛，让员工既能感受到单位对员工的关爱，又能增加单位凝聚力，增强员工之间的感情，特拿出一部分资金，通过举行趣味乒乓球赛的方式给员工发福利.因为是趣味性的比赛，所以在比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率都受到现场气氛及前一局结果的影响.现甲、乙两位选手上场，根据以前的比赛情况，第一局甲胜的概率为；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是．每场比赛设奖金600元，奖金两人分完.因为是趣味比赛，比赛规则也别具一格，比赛采用五局三胜制，先赢三局者获胜，结束比赛，拿走全部奖金；若比赛三局后，没有决出胜负，也可由胜两局者提出，结束比赛.每局比赛没有平局. (1)求在第3局后即决出胜负的概率； (2)现甲、乙已经打了3局，其中甲胜了2局，若甲见好就收，停止比赛，则甲拿走奖金的；如果再继续比赛一局，第4局甲失败，若结束比赛，奖金平分.请你帮助甲，从获得更多的奖金的角度，对接下来的比赛如何进行决策. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率； （2）根据已知分别求出3局即停止比赛、进行第4局比赛，不管结果，结束比赛、若甲在第4局比赛失败，进行决胜局比赛对应的期望，比较大小得结论. 【详解】（1）第3局后即决出胜负，即甲连胜三场或乙连胜三场， 所以第3局后即决出胜负的概率为. （2）甲的决策有三种方案， 方案一：3局即停止比赛，甲拿到奖金的期望为（元）； 方案二：进行第4局比赛，不管结果，结束比赛，设甲拿到奖金的期望为， 设甲在前3局中已经胜了2局的情况下第4局获胜的事件为， 前3局的情况有： 胜胜负，概率； 胜负胜，概率； 负胜胜，概率． 再继续比赛，第4局甲获胜的概率为 ， 则第4局甲失败的概率为， 所以甲拿到奖金的期望（元）； 方案三：若甲在第4局比赛失败，进行决胜局比赛，设甲拿到奖金的期望为， 由方案二知，第4局甲失败的概率， 所以甲拿到奖金的期望（元）. 因为，所以选择方案二即四场比赛后即停止比赛，拿到奖金的期望更高. 8．甲、乙、丙三名同学进行乒乓球比赛，经约定，进行如下4场比赛决定胜负关系： ① 乙、丙两名同学进行本场比赛，败者落入败者组； ② 甲与第①场比赛胜者比赛，败者落入败者组； ③ 败者组两人进行比赛，败者记为第三名； ④ 第②、③场比赛胜者进行比赛，胜者记为第一名，败者记为第二名. 设每场比赛双方获胜的概率均为. (1)求乙在败者组比赛中被淘汰的概率； (2)求甲最终获胜的概率； (3)从最终三人获得名次的数学期望的角度分析，该比赛规则是否对甲有利？ 【答案】(1) (2) (3)对甲有利 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式及对立事件概率公式计算求解. （2）应用独立事件概率乘积公式及互斥事件和概率公式计算求解. （3）根据甲的最终获得名次的数学期望与乙或丙获得名次的数学期望比较判断即可. 【详解】（1）在全局比赛中，由于每场比赛双方获胜的概率均为， 由于比赛规则对于乙和丙是对称的，因此他们获得任一特定名次的概率是相等的， 记事件：甲在败者组比赛中被淘汰，事件：乙或丙在败者组比赛中被淘汰， 事件发生的概率，甲需要在②，③两场比赛中连续失败，则， 由事件与事件互为对立事件，且乙与丙获得任一特定名次的概率是相等的， 所以乙在败者组比赛中被淘汰的概率为. （2）甲最终获胜有如下两种情况：第②，④场比赛甲全胜，此时概率为； 第②场比赛甲失败，第③，④场比赛甲胜利，此时概率为， 所以甲最终获胜的概率为. （3）设甲获得的最终名次为， 由（2），（1）得，，则， 因此； 设乙或丙获得的最终名次为，而乙与丙获得任一特定名次的概率是相等的， 因此， 又，则甲的最终获得名次的数学期望比乙或丙更靠前，所以该比赛规则确实对甲有利. 9．（2025·辽宁鞍山·二模）某篮球夏令营举行超远距离投篮闯关游戏，游戏规则如下： 夏令营成员组队参加游戏，每队由三名队员组成.三名队员排好出场顺序后，依次出场投篮，且每名队员只投一次.如果一名队员投中，则游戏停止；如果这名队员没有投中，则派出下一名队员，直至有队员投中（闯关成功）或无队员可派出（闯关失败）时游戏停止.现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，他们投中的概率分别为、、，且每次每人投中与否相互独立. (1)若，，，求游戏停止时小队有人投中的概率； (2)若，现在小队计划两种方案参加游戏. 方案一：甲最先、乙次之、丙最后；方案二：丙最先、甲次之、乙最后； （ⅰ）若采用方案一，求所需派出人员数目的分布列和期望； （ⅱ）分析采用哪种方案，可使所需派出人员数目的期望更小. 【答案】(1) (2)（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ）方案一 【分析】（1）由独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式可得； （2）（i）先求出的分布列，再由期望公式求出期望；（ii）分别求出两种方案的期望，作差比较大小即可； 【详解】（1）设“停止比赛时小队有人投中”为事件， 则，所以. （2）（ⅰ）的所有可能取值为1，2，3 ，，； 所以的分布列为 1 2 3 . （ⅱ）设方案二所需派出人员数目，同理可得， 因为，所以 ， 所以，方案一可使所需派出人员数目的期望更小. 10．（2025·河北邯郸·一模）某班举办诗词大赛，比赛规则如下：参赛选手第一轮回答4道题，若答对3道或4道，则通过初赛，否则进行第二轮答题，第二轮答题的数量为第一轮答错的题目数量，且题目与第一轮的题不同，若全部答对，则通过初赛，否则淘汰.已知甲同学参加了这次诗词大赛，且甲同学每道题答对的概率均为.假设甲同学回答每道题相互独立，两轮答题互不影响. (1)已知. ①求甲同学第一轮答题后通过初赛的概率； ②求甲同学答对1道题的概率. (2)记甲同学的答题个数为，求的最大值. 【答案】(1)①；②； (2). 【分析】（1）①②应用独立事件乘法公式及互斥事件加法求对应概率即可； （2）根据题意有并求出对应概率，应用期望的求法求，再由导数求期望的最大值. 【详解】（1）①由题意，甲同学第一轮答题后通过初赛的概率为； ②甲同学答对1题的情况如下， 第一轮答对1题，第二轮答对0题，则概率为； 第一轮答对0题，第二轮答对1题，则概率为； 所以甲同学答对1道题的概率为； （2）由题意，， 且， ， ， ， 所以 ，又， 令，则， 令，则， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增； 又，，则在上， 所以在上恒成立，即在上单调递减， 所以，故最大为. 11．某校组织古诗词知识比赛，比赛分为两阶段，第一阶段参赛者从诗词基础知识和诗词的鉴赏与解读这两个题库中选择一个题库，并回答题库中的3个问题，至少答对其中2个问题，才能进入第二阶段，否则被淘汰，比赛成绩为0分；第二阶段参赛者选择刚刚没有被选中的题库，回答题库中的3个问题，答对一个问题得5分，比赛的成绩是第二阶段的得分总和．已知甲答对诗词基础知识题库中的每个问题的概率均为，答对诗词的鉴赏与解读题库中的每个问题的概率均为，各次答题是否正确相互独立． (1)若甲第一阶段选择诗词基础知识题库， （i）求甲通过第一阶段的概率； （ii）求甲的比赛成绩为10分的概率； (2)为使得甲最终得分的数学期望最大，第一阶段应该选择哪个题库？ 【答案】(1)（i）；（ii）； (2)应选择诗词基础知识题库． 【分析】（1）（i）法1：应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率；法2：利用对立事件的概率求法求概率；（ii）应用独立重复试验的概率求法求甲在第二阶段答对诗词的鉴赏与解读题库中2个题目的概率，结合（i）及乘法公式求概率； （2）根据已知分别求出甲选择不同题库得分的期望，比较它们的大小，即可得结论. 【详解】（1）（i）方法1：若甲通过第一阶段，则甲答对诗词基础知识题库中的问题数为3或2， 甲通过第一阶段的概率为． 方法2：若甲第一阶段被淘汰，则甲答对诗词基础知识题库中的问题数为0或1， 甲第一阶段被淘汰的概率为． 甲通过第一阶段的概率为． （ii）若甲的比赛成绩为10分，则甲通过第一阶段并在第二阶段答对诗词的鉴赏与解读题库中2个题目， 由（i）可知，甲通过第一阶段的概率为， 甲在第二阶段答对诗词的鉴赏与解读题库中2个题目的概率为， 又各次答题是否正确相互独立，则甲的比赛成绩为10分的概率为． （2）若甲第一阶段选择诗词基础知识题库，设最终得分为随机变量， 则的所有可能取值为0，5，10，15， 则，， ，， ． 若甲第一阶段选择诗词的鉴赏与解读题库，设最终得分为随机变量， 则的所有可能取值为0，5，10，15， 由题意可知，甲通过第一阶段的概率为， 甲第一阶段被淘汰的概率为， ，， ，， ， ， 为使得甲最终得分的数学期望最大，甲第一阶段应选择诗词基础知识题库． 12．某知识闯关比赛分为预赛与决赛，预赛胜利后才能参加决赛，预赛规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作预赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参加预赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功相互独立． (1)若计划依次派甲、乙、丙进行预赛闯关，，，，求该小组预赛胜利的概率； (2)已知，若乙只能安排在第二个派出，要使预赛派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出； (3)预赛胜利小组的三名队员都可以进入决赛，决赛规定：单人参赛，每个人回答三道题，全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖，已知某队员进入了决赛，他在决赛中第一道题答对的概率为，后两道题答对的概率均为．若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值． 【答案】(1) (2)先派出甲 (3) 【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式和互斥事件加法公式来求解，或用对立事件来求解； （2）利用两类情况，通过概率分布列求解期望，再利用作差法来判断即可； （3）利用获一等奖的概率得到参数的相等关系，再利用获二等奖的概率结合消元变为函数问题，通过求导判断单调性来求最小值即可. 【详解】（1）解法一：设“该小组预赛胜利”，则， 所以该小组预赛胜利的概率为． 解法二：利用对立事件，； （2）由题意知，可分两类情况分别进行讨论，再比较他们期望的大小即可． 第一种情况，依次派出甲、乙、丙进行闯关，设派出的人员数目为，则的可能取值为1，2，3． 由题意可知，，，， 此时． 第二种情况，依次派出丙、乙、甲进行闯关，设派出的人员数目为，则的可能取值为1，2，3． 由题意可知，，，， 此时． 因为 而，即有，，所以． 故要使预赛派出人员数目的期望较小，应先派出甲． （3）由题意可得，于是． 则， 令，． 则，令得． 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 综上可知，当时，． 即的最小值为． 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．双淘汰赛制是一种竞赛形式，比赛一般分两个组进行，即胜者组与负者组.在第一轮比赛后，获胜者编入胜者组，失败者编入负者组继续比赛，之后的每一轮，在负者组中的失败者将被淘汰；胜者组的情况也类似，只是失败者仅被淘汰出胜者组降入负者组，只有在负者组中再次失败后才会被淘汰出整个比赛.A、B、C、D四人参加的双淘汰赛制的流程如图所示，其中第6场比赛为决赛.    (1)假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为50%，求： ①A获得季军的概率； ②D成为亚军的概率； (2)若A的实力出类拔萃，有4人参加的比赛其胜率均为75%，其余三人实力旗鼓相当，求D进入决赛且先前与对手已有过招的概率. 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①分析第一轮比赛后所在组，再确定后续比赛的胜负情况使A获得季军，应用独立事件的乘法公式求概率即可. ②分D首场笔试胜利和失败两种情况讨论，由全概率公式可得. （2）可通过分类把复杂事件分为几个容易分析的事件，再解决问题. 【详解】（1）假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为50%，即概率为， ①由题意，第一轮比赛一组，一组， 要A获得季军，则进入胜者组，后续连败两轮，或进入负者组，后续两轮先胜后败， 所以A获得季军的概率为. ②设表示队伍D在比赛中胜利，表示队伍D所参加的比赛中失败， 事件：队伍D获得亚军有三种情况：， 得 （2）由题意，A获胜的概率为，B、C、D之间获胜的概率均为， 要使D进入决赛且先前与对手已有过招，可分为两种情况： ①若A与D在决赛中相遇，分为A：1胜，3胜，D：1负4胜5胜，或A：1负4胜5胜，D：1胜，3胜， 概率为； ②若B与D决赛相遇，D：1胜，3胜，B：2胜3负5胜，或D：1胜，3负，5胜，B：2胜3胜， 概率为， ③若C与D决赛相遇，同B与D在决赛中相遇， 概率为； 所以D进入决赛且先前与对手已有过招的概率. 2．（2025·重庆·模拟预测）某校为庆祝建校百年，由学校团委、学生会组织开展“奋斗进程”校史知识竞赛活动，每位参赛者均需要回答个题目，可以从个组题目和若干个组题目中，共选择3个题目作答.A组题目每正确回答1个得10分，B组题目每正确回答1个得分，不能正确回答的题目均不得分，参赛者总得分为3个题目得分之和.已知小王恰能正确回答A组题中的4个题目，B组题目每个正确回答的概率均为，且能否正确回答A组和B组题目互不影响. (1)已知小王两组题目均有选择，以他至少答对1个题目的概率为依据，试确定他分别选择两组题目的数量的策略； (2)记小王总得分为. （i）若选择的3个题目均为A组题目，求的分布列及数学期望； （ii）试确定，使小王在选择3个题目时，无论怎样调整A、B组题目数量，其总得分保持期望稳定，并说明理由.（参考公式：，其中、为随机变量） 【答案】(1)小王应选择2个A组题目和1个B组题目的策略 (2)（i）分布列见解析；；（ii）当时，无论小王如何调整A、B组题目数量，其总得分X的期望均为20分；理由见解析 【分析】（1）小王两组题目均有选择的方案有两种，1个A组题目和2个B组题目；2个A组题目和1个B组题目，分别记两种情况下小王至少答对1个题目的概率为，，求得，，可得结论； （2）记小王所选题目中A组题目得分为，B组题目得分为，，（i）由于选择的三个题目均有A组题目，其得分为，利用超几何分布求得分布列，可求数学期望；（ii）设小王选择的3个题目中A组题目数量为，B组题目数量为，其中，则服从超几何分布，，计算数学期望可得结论. 【详解】（1）小王两组题目均有选择的方案有两种， 1个A组题目和2个B组题目；2个A组题目和1个B组题目， 分别记两种情况下小王至少答对1个题目的概率为，， ， ， 因为，所以， 以至少答对1个题目的概率为依据，小王应选择2个A组题目和1个B组题目的策略. （2）记小王所选题目中A组题目得分为，B组题目得分为，， （i）由于选择的三个题目均有A组题目，其得分为， 则，，， 故的分布列为： 10 20 30 故， （ii）设小王选择的3个题目中组题目数量为，组题目数量为，其中， 则服从超几何分布，，，， ， 当时，的值与无关， 即当时，无论小王如何调整组题目数量，其总得分的期望均为20分. 3．（2025·江苏盐城·模拟预测）受九宫格的启发，某中学的数学兴趣小组开展了一个数字游戏：以下是一个行n列的表格，在表格中填入1，2，3，…，这个数字．在游戏过程中，同学们发现，一些表格有时会出现填入的某个数字既是所在行的最大值，又是所在列的最小值的情况，他们把这类表格称为“表格”，其中这个数字称为这个表格的“值”． 第1列 第2列 … 第n列 第1行 第2行 … 第n行 (1)判断下表是不是“表格”，如果是，求出其“值”． 第1列 第2列 第3列 第1行 1 2 3 第2行 4 5 6 第3行 7 8 9 (2)求证：任意一个“表格”的“值”是唯一的． (3)若，记所有的“表格”构成的集合为T，从T中任取一个“表格”，并且这个“表格”的“值”记为X，求X的数学期望． 【答案】(1)是，3 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题目定义，判断是否符合要求，判断出结果. （2）利用反证法，设有两个“值”，根据题目定义，分类讨论，分别判断出每种情况都不符合题意，从而证明一个“表格”的“值”是唯一的. （3）根据期望的性质，从离散型随机变量的变化出发，计算新的离散型随机变量的期望. 【详解】（1）由表可知第1行三个数中3最大，第3列三个数中3最小，所以3满足既是所在行的最大值，又是所在列的最小值的情况，所以“值”为3. （2）假设存在两个“值”，分别为，且， 当在同一行时，不是最大的，不符合题意， 当在同一列时，不是最小的，不符合题意， 当即不在同一行又不在同一列时，所在的行与所在的列相交，相交格的数字为，则，不符合是这行最大的数，不符合题意， 故任意一个“表格”的“值”是唯一的． （3）设“值”在行，列，则， 在的表格中，设“值”，其中， 则 展开得， 其中， 所以 其中 所以， 所以方差. 4．（25-26高三上·广东广州·月考）某一场体育比赛由局比赛组成，若赢局则积分，先赢局的选手获得整场比赛的胜利.特别地，当时，即为一局定整场比赛的胜负.假设每局比赛之间的胜负相互独立，且没有平局. (1)已知甲、乙两人在过往局比赛的练习中，甲赢局，若以此频率估计甲每局获胜的概率，当时，求甲以的比分获得整场比赛胜利的概率. (2)若甲、乙两人每局比赛获胜的概率分别为和，，甲可以选择的值（其中），则对于甲而言，选择为哪个值更为有利？说明理由. (3)若甲、乙两人每局比赛获胜的概率均为，当时，设甲在没有进行第局时就能获得整场比赛胜利的概率为，求. 【答案】(1) (2)更有利，理由见解析 (3) 【分析】（1）分析可知甲第四局赢，前三局赢两局，输一局，结合独立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）求出、时甲赢得比赛的概率，利用作差法比较大小后可得出结论； （3）分析可知，甲赢得比赛的概率为，要求，只需在甲赢得比赛的所有情况中，除去甲进行第局时才赢得比赛，结合独立重复试验的概率公式可求得. 【详解】（1）由题意可知，甲每局赢的概率为， 当时，记事件甲以的比分获得整场比赛胜利， 则甲第四局赢，前三局赢两局，输一局，故. （2）当时，设甲赢得比赛的概率为，当时，设甲赢得比赛的概率为， 当时，则， 当时，若甲赢，则甲以或赢得比赛， 则， 所以，则， 对于甲而言，更有利. （3）当时，因为每局甲赢或乙赢的概率都为， 由对称性可知，甲赢得比赛的概率和乙赢得比赛的概率相等，都为， 所以若甲在没有进行第局时就能获得整场比赛胜利的概率为， 则只需在甲赢得比赛的所有情况中，除去甲进行第局时才赢得比赛， 若甲进行第局时才赢得比赛，则第局甲赢，前局比赛中，甲赢局， 故. 5．在体育比赛中，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入半决赛的有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入总决赛，败者进入败者组，之前进入败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示）.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，其中对阵其他三个队伍时获胜的概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为，最初分组时，同组，同组.    (1)若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 【答案】(1)获得冠军的概率为，获得冠军的概率为. (2)在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为；在“双败赛制”赛制下，获得冠军的概率为；双败赛制对强者更有利 【分析】（1）利用独立事件的概率公式进行求解即可； （2）首先利用独立事件的概率公式分别求出两种赛制下获得冠军的概率，再利用作差法比较大小即可. 【详解】（1）结合题意可得获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 所以获得冠军的概率为. 结合题意可得获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 所以获得冠军的概率为. （2）在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为. 在“双败赛制”赛制下，讨论进入胜者组､败者组两种情况： 当进入胜者组，若在胜者组失败，后两局都胜，方可得冠军；若在胜者组胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军， 此时获得冠军的概率为； 当进入败者组，后三局都胜，方可得冠军， 此时获得冠军的概率为. 综上，获得冠军的概率为. 令， 则， 由得. 若A为强队，则，此时. 即，所以. 所以双败赛制对强者更有利. 6．11月29日，辽宁省政府新闻办召开“山海有情 天辽地宁”冰雪主题系列首场现场新闻发布会，该会重点介绍今年沈阳市深入开展冰雪旅游､冰雪运动､冰雪文化的主要举措､重点活动和亮点特色.某冰雪乐园计划推出冰雪优惠活动，发放冰雪消费券.该冰雪乐园计划通过摸球兄奖的方式对1000位顾客发放消费券，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸取2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获得的消费券的总额. (1)若袋中所装的4个球中1个所标的面值为30元，其余3个均为20元，求顾客所获得的消费券的总额为50元的概率. (2)该冰雪乐园对消费券总额的预算是100000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值40元､60元的2种球组成，或由标有面值30元､50元､70元的3种球组成.为了使顾客得到的消费券总额的期望符合该冰雪乐园的预算且每位顾客所获得的消费券的总额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计方案，并说明理由. 【答案】(1) (2)选择方案1，理由见解析 【分析】（1）先求得4个标有面值的球的袋中一次性随机摸取2个球和顾客获得的消费券的总额为50元的种数，利用古典概型的概率求解； （2）根据每个顾客的平均奖励额为100元，所以先寻找期望为100元的可能方案，对于面值由40元､60元组成的情况，分，的两种方案，对于面值由30元､50元､70元组成的情况：分，，三种方案，然后利用离散型随机变量的期望求解. 【详解】（1）解：顾客所获得的消费券的总额为50元的概率为. （2）根据该冰雪乐园的预算，每个顾客的平均奖励额为100元，所以先寻找期望为100元的可能方案. 对于面值由40元､60元组成的情况： 如果选择的方案，因为100元是面值之和的最大值，所以期望不可能为100元； 如果选择的方案，因为100元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为100元； 因此可能的方案是，记为方案1. 方案1，设每位顾客所获得的消费券的总额为，则的取值范围是， ， 则. 对于面值由30元､50元､70元组成的情况： 可能的方案是，，分别记为方案2，方案3，方案4. 易知方案2，方案3，方案4每位顾客所获得的消费券的总额的期望依次增大，所以先研究方案3. 方案3，设每位顾客所获得的消费券的总额为，则的取值范围是，，则. 所以在方案2，方案3，方案4中，方案3符合该冰雪乐园的预算. 因为，所以比较方案1，方案3的方差. ， . 因为， 所以选择方案1，即这4个球的面值为40元､40元､60元､60元. 7．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式在天安门广场隆重举行.某部队观看阅兵直播结束后，就举行了射击比赛.每个参赛队由两名战士组成，比赛分为两个阶段.比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名战士射击3次，若3次都未射中靶子，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少射中靶子一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名战士射击3次，每次射中靶子得5分，未射中靶子得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲､乙两名战士组成，甲每次射中靶子的概率为，乙每次射中靶子的概率为，各次射击中靶与否均相互独立. (1)若，甲参加第一阶段比赛，求甲､乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率. (2)假设， （i）在比赛成绩中，为使得甲､乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由哪位战士参加第一阶段比赛？ （ii）在比赛成绩中，为使得甲､乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由哪位战士参加第一阶段比赛？ 【答案】(1) (2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（ii）由甲参加第一阶段比赛； 【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）（i）首先各自计算出，，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可. 【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. （2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. （ii）若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 8．（25-26高三上·重庆·开学考试）甲、乙两名运动员将参加体育考核.考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试.已知6个项目中，有3个是甲擅长的，必定通过测试，另有3个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p 且各次测试相互独立.在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X和 Y. (1)若 分别求出随机变量X和Y的概率分布列，并求它们相应的数学期望. (2)规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”. （i）在（1）的条件下，当运动员甲和乙考核都“达标”时，求甲、乙至少1人考核“优秀”的概率. （ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等.求证： 【答案】(1)(1)的分布列见解析，， (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据超几何分布和二项分布，分别求出甲、乙的分布列，计算期望. （2）（i）由（1）中各事件概率，分别求出甲和乙考核都“达标”的概率及甲、乙至少1人考核“优秀”的概率，再根据条件概率公式即可求得结果. （ii）根据甲乙通过项目数的分布列，分别求出甲乙两人合格和优秀时的概率，根据其单调性，列出不等式，即可证明结果. 【详解】（1）甲可能通过项目数，服从超几何分布， 则X的概率分布： ；； ；. X的数学期望． 乙通过项目数符合二项分布，即，， 则Y的概率分布： ，， ，， Y的数学期望． （2）（i）由（1）知： 甲考核“达标”的概率：； 乙考核“达标”的概率：； 甲考核“优秀”的概率：. 乙考核“优秀”的概率：. 因为甲和乙的测试是相互独立的 所以，甲和乙考核都“达标”的概率：. 甲、乙至少1人考核且都“达标”的概率为 =. 由条件概率得， 当运动员甲和乙考核都“达标”且至少1人考核“优秀”的概率为. （ii）甲考核“达标”概率，记乙考核“达标”概率为， 则 则， 当时，，在上单调递增， 又，所以． 甲考核“优秀”概率，记乙考核“优秀”概率为， 则，在上单调递增， 又，所以． 综上，． 9．（2025·四川成都·模拟预测）阿尔法狗（AlphaGo）是谷歌公司开发的人工智能程序，它第一个战胜了围棋世界冠军．它可以借助计算机，通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策．工程师分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来训练阿尔法狗（AlphaGo），三个阶段的阿尔法狗（AlphaGo）依次简记为甲、乙、丙． (1)测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个阿尔法狗（AlphaGo）各比赛一局，各局比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，．记该棋手恰连胜两局的概率为p，试判断该棋手在第二局与谁比赛p最大，并写出判断过程． (2)工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，且每局比赛结果相互独立． （ⅰ）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望的最大值； （ⅱ）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件M，求． 【答案】(1)在第二局与甲比赛 p最大，判断过程见解析 (2)（i）分布列见解析，；（ii）. 【分析】（1）棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记，，，分别求得在第二盘与甲、乙、丙比赛连胜两局的概率，即可求解. （2）（ⅰ）求出X所有可能值，利用相互独立事件与互斥事件概率运算求得相应的概率，列出分布列并求得期望，再利用基本不等式并结合二次函数性质即可求得期望的最大值；（ⅱ）设事件A，B分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”，则，利用相互独立事件概率运算即可求解. 【详解】（1）该棋手在第二局与甲比赛p最大， 该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，记，，， 该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘， 记该棋手在第二盘与甲比赛连胜两局的概率为，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为， 则， 同理，该棋手在第二盘与乙比赛连胜两局的概率， 该棋手在第二盘与丙比赛连胜两局的概率， 因为，所以该棋手在第二局与甲比赛 p最大. （2）（ⅰ）因为没有平局，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”或者“乙获胜”，则， 由题意得X的所有可能取值为：2，4，5， ， ， ， 所以X的分布列为： 2 4 5 所以X的期望为： ， 由，得，当且仅当取等号，则， 因此， 所以的最大值为 （ⅱ）设事件A，B分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”. 由题知甲最后赢得比赛的局数是偶数， 由题设可知前两局比赛结果可能是AA，BB，AB，BA，其中事件AA表示“甲赢得比赛”， 事件BB表示“乙赢得比赛”，事件AB，BA表示“甲、乙各得1分”，当甲、乙得分总数相同时， 甲最后赢得比赛的概率与比赛一开始甲赢得比赛的概率相同， 所以 ， 因此，得，而， 所以 10．某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式： 方式一：逐份检验，需要检验次； 方式二：混合检验，将其中份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为次．假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为． (1)现有5份不同的血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率； (2)现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为；采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为． ①若，求关于的函数关系式； ②已知，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？ 参考数据：，，，，． 【答案】(1) (2)①（且），②答案见解析 【分析】（1）根据题意确定3次检验的事件，利用有序排列，利用样本空间法，即可求解； （2）①根据和的取值，求两个随机变量的期望，利用期望相等，求解； ②根据①的结果，比较和的大小，通过构造函数，利用导数判断单调性，比较大小，从而得到结论. 【详解】（1）设恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来为事件， 事件分为两种情况，一种是前两次检验中，其中一次检验出抗体，第三次检验出抗体，二是前三次均无抗体， 所以， 所以恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为； （2）①由已知得，的所有可能取值为1，，            所以， ， 所以， 若，则， 所以，， 所以，得， 所以P关于k的函数关系式（且）； ②由①知，， 若，则，所以，得， 所以（且）                                 令，则， 当时，，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，， ， 所以不等式的解是且， 所以且时，，采用方案二混合检验方式好， 且时，，采用方案一逐份检验方式好， 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求和，从而才可以建立等量关系或是不等式，为后面构造函数打下基础. 11．（25-26高三上·山西·月考）“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动．某地为了弘扬传统文化，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动． (1)某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为、两类，抽到较易的类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的类并答对购物打七折优惠．抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有张完全相同的卡片，其中张写有字母，张写有字母，张写有字母，顾客每次不放回从箱中随机取出张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽次，直至取到写有或卡片为止，问：已知该顾客最后一次取到的是写有的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率； (2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到条灯谜不妨设每条灯谜的适合度各不相同最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前条灯谜，自第条开始，只要发现比他前面见过的灯谜都适合，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条．记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为． ①若，求； ②当趋向于无穷大时，从理论的角度（），求的最大值及取最大值时的值． （取） 【答案】(1)； (2)①；②的最大值为，此时． 【分析】（1）应用独立乘法公式求共抽了3次的概率，再由独立乘法公式、互斥事件的加法求最后一次抽到的概率，最后求条件概率即可； （2）①首先对灯谜的位置排序，再求最适合灯谜的位置对应情况数，最后应用古典概型的概率求法求概率； ②记事件表示最适合的灯谜被摘到，事件表示最适合的灯谜排在第个，则，应用全概率公式有，讨论、，进而得到，最后应用导数求最值，即可得． 【详解】（1）设表示共抽了3次且最后一次抽到C，对应事件为{第一、二次都抽到，第三次抽到}， 由题意，第一、二次抽到的概率依次为、，第三次抽到的概率为， 所以， 而最后一次抽到的情况有{抽了1次}、{抽了2次}、{抽了3次}、{抽了4次}，除了最后一次，其它抽到， 故对应概率依次为、、、， 设表示事件最后一次抽到，则， 所以该顾客最后一次取到的是写有的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率为． （2）①这条灯谜的位置从第个到第个排序，有种情况， 要摘到那条最适合灯谜，有以下两种情况： 情况一：最适合灯谜是第个，其它的随意在哪个位置，有种情况； 情况二：最适合灯谜是最后一个，第二适合灯谜是第个或第个，其它的随意在哪个位置， 有种情况，综上，所求概率为； ②记事件表示最适合的灯谜被摘到，事件表示最适合的灯谜排在第个，则， 由全概率公式知：， 当时，最适合的灯谜在前条中，不会被摘到，此时； 当时，最适合的灯谜被摘到，当且仅当前条灯谜中的最适合那条在前个之中时， 此时，所以， 令，则，由，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，故， 当时，取得最大值，所以的最大值为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优05 概率中的决策问题及比赛中的概率 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 概率中的决策问题（★★★★★） 2 题型二 概率结合导数（★★★★★） 4 题型三 简单比赛问题（★★★★★） 7 题型四 复杂条件比赛问题（★★★★★） 8 题型五 多人比赛问题（★★★★★） 10 03 实战检测・分层突破验成效 11 检测Ⅰ组 重难知识巩固 11 检测Ⅱ组 创新能力提升 15 一、游戏、比赛等问题中随机变量的分布列 1、多人比赛或者传球模型，一般情况下涉及到独立事件与互斥事件的识别，及概率运算，离散型随机变量的分布列和期望，如果符合常见的二项分布，超几何分布等等分布，直接用概率公式进行运算。如果限制条件较多，可以进行罗列方式进行分类讨论计算 2、 比赛模式，要考虑以下可能情况： （1）比赛几局？ （2）“谁赢了”； （3）有没有平局 （4）赢了的必赢最后一局； （5）比赛为啥结束？ 3、常见比赛问题注意事项 ①在与体育比赛规则有关的问题中，一般都会涉及分组，处理该类问题时主要借助于排列组合．对于分组问题，要注意平均分组与非平均分组，另外，在算概率时注意“直接法”与“间接法”的灵活运用． ②与体育比赛有关的问题中最常见的就是输赢问题，经常涉及“多人淘汰制问题”“ 三局两胜制问题”“ 五局三胜制问题”“ 七局四胜制问题”，解决这些问题的关键是认识“三局两胜制”“ 五局三胜制”等所进行的场数，赢了几场与第几场赢，用互斥事件分类，分析事件的独立性，用分步乘法计数原理计算概率，在分类时要注意“不重不漏” ． ③在体育比赛问题中，比赛何时结束也是经常要考虑的问题，由于比赛赛制已经确定，而比赛的平均场次不确定，需要对比赛的平均场次进行确定，常用的方法就是求以场数为随机变量的数学期望，然后比较大小． ④有些比赛会采取积分制，考查得分的分布列与数学期望是常考题型，解题的关键是辨别它的概率模型，常见的概率分布模型有：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布，要注意分布是相互独立的，超几何分布不是，值得注意的是，在比赛中往往是伪二项分布，有的只是局部二项分布． 题型一 概率中的决策问题 【技巧通法·提分快招】 决策问题的解决策略：决策的工具是有关概率，决策方案的最佳选择是将概率最大（最小）作为最佳方案，可能需要借助函数的性质去实现。 1．在两个大小相同，距离不同的区域内进行投掷沙包的比赛，每人至多投3次．具体比赛规则如下：在距离较远的区域内投一次特制沙包，投进得5分，没投进不得分；在距离较近的区域内投两次普通沙包，每投进一次得3分，没投进不得分，且得分高于5分则获得相应奖励，若前两次均投进或均未投进，都停止比赛．已知甲同学在距离较远的区域内投中沙包的概率是，在距离较近的区域内投中沙包的概率是，且每次是否投进互不影响． (1)若甲同学先投特制沙包，求他投掷2次就停止该项比赛的概率； (2)为使获得奖励的概率最大，甲同学应先投哪种沙包； (3)为使投中沙包累计得分的期望最大，甲同学应先投哪种沙包． 2．甲、乙两个班级的同学进行目测数学教科书长度的游戏，令甲班同学目测的误差为（单位：），乙班同学目测的误差为（单位：）．根据游戏记录，统计结果为，，，，；，，，， (1)分别列出随机变量、的分布列； (2)哪个班目测的数据更接近教科书的真实长度？解释你的理由（可以通过观察给出答案，但必需包含必要的计算过程）． 3．（2025·广东·模拟预测）某地爆发瘟疫，现在你要负责检查其中8位居民是否感染. 已知可以通过检测居民血样来判断该居民是否感染，若检测结果呈阳性，就认为该居民被感染了，否则认为该居民没有感染.由于事发突然，检测物资储备并不富裕，如果逐个检查每位居民的血样，就一定要消耗8份检测物资.此时，你想到：也许可以先将这8位居民按2人一组或4人一组进行分组，将同组居民的血样混合起来进行检测.这样如果最终检测结果不呈阳性，则说明该组所有居民都没有感染，如果检测结果呈阳性，则需要对该组每位居民再逐个检测血样.记：逐个检测为方案A，2人一组检测为方案B，4人一组检测为方案C： (1)若已知这8位居民中有2位被感染，试确定上述哪种方案预期消耗物资最少； (2)若每位居民有p的概率被感染，试讨论上述哪种方案预期消耗物资最少. 4．（2025·江西上饶·二模）“三门问题”亦称为蒙提霍尔问题，问题名字来自1970年美国的一个电视游戏节目主持人蒙提·霍尔.游戏中，参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门后面有一辆跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选中后面有车的那扇门可获奖赢得该跑车，主持人知道跑车在哪一扇门.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.当时大部分的观众和参与者都支持不换门，认为换不换门获奖概率是一样的.然而当时智商最高的玛丽莲·沃斯·莎凡特给出了正确答案：应该换门. (1)请用所学概率知识解释玛丽莲·沃斯·莎凡特给出的答案； (2)证明：当跑车门数不变，山羊门数增加，游戏中的参与者在主持人打开一扇山羊门后，换门都比不换门中奖概率更高； (3)如果有扇门，其中一扇门后有10万奖金，其他门后什么都没有，主持人知道哪一扇门后面有奖金.当参与者选中一扇门后（未打开），主持人问参与者是否愿意投入5000元，帮他在剩余的门中打开一扇没有奖金的门，并允许参与者换门.问当门数满足什么条件时，参与者投入5000元是值得的？ 5．（2025·河北保定·二模）某零件厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱零件的定价为500元，低于200箱按原价销售，不低于200箱有两种优惠方案．方案一：以200箱为基准，每多100箱免12箱的金额．方案二：通过双方议价，买方能以每箱优惠的价格成交的概率为0.3，以每箱优惠的价格成交的概率为0.4，以每箱优惠的价格成交的概率为0.3． (1)买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二，求甲以低于万元的金额购买这200箱零件的概率． (2)买方乙要在该厂购买400箱这种零件，以购买总价的数学期望为决策依据，试问乙选择哪种优惠方案更划算？请说明你的理由． (3)买方丙要在该厂购买960箱这种零件，由于购买的箱数超过500，该厂的销售部让丙综合使用这两种方案作为第三种方案，即一部分用方案一（箱数必须是100的正整数倍），另一部分使用方案二（箱数不限），试问丙应该如何使用方案三，才能获得最多的优惠？说明你的理由． 6．某校为了更好地践行“共创体育梦想，团结可达天下”的体育理念，特举办了相关知识竞赛活动．已知有两类问题可供选择，其中类问题答对得5分，答错得0分，类问题答对得10分，但答错扣2分．每位参赛的选手需从这两类题中共抽出3个问题并作答（每个题抽取后不放回，且每次答题互不影响），且要求从类题中至少抽1道．设选手甲答对类每个问题的概率分别为． (1)求选手甲共答对3道题的概率； (2)若选手甲第1道题是从类题中抽出并回答正确，记选手甲的累计得分为，则要使最大，选手甲应该如何选择剩余的2道题？ 7．（24-25高三上·云南德宏·期末）为更好的发挥高考的育才作用，部分新高考数学试卷采用了多选题这一题型．教育部考试中心通过科学测量分析，指出该题型扩大了试卷考点的覆盖面，有利于提高试卷的区分度，也有利于提高学生的得分率．多选题评分规则如下：对于多选题，每个小题给出的四个选项中，有两项或三项是正确的，满分6分．全部选对得6分，有错选或全不选得0分，正确答案为两项时，选对1个得3分；正确答案为三项时，选对1个得2分，选对2个得4分．多选题正确答案是两个选项的概率为p，正确答案是三个选项的概率为（其中）． (1)在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若，求学生甲该题得2分的概率； (2)针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案： Ⅰ：随机选一个选项；  Ⅱ：随机选两个选项；  Ⅲ：随机选三个选项． （i）若，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望； （ii）以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好? 题型二 概率结合导数 1．（24-25高三下·内蒙古呼和浩特·月考）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点. (2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求. 2．（2025·山东·模拟预测）已知两个不透明的袋子中均装有若干个大小，质地完全相同的红球和白球，从袋中摸出一个红球的概率是，从袋中摸出一个红球的概率是．在每轮中，甲同学先选择一个袋子摸一次球并放回，乙再选择一个袋子摸一次球并放回，则该轮结束．已知在每轮中甲选两袋的概率均为．如果甲选袋，则乙选袋的概率为；如果甲选袋，则乙选的概率为． (1)若，求在一轮中乙从袋中摸出红球的概率； (2)求在一轮中乙摸出红球的概率； (3)若甲，乙两位同学进行了3轮摸球．乙同学认为，越大，3轮摸球后他摸出2个红球的概率越大，你同意他的观点吗？请说明理由． 3．（2025·重庆·一模）年月日国家市场监督管理总局第次局务会议审议通过《食品安全抽样检验管理办法》，自年月日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品． (1)现有瓶水果罐头，已知其中瓶为优级品，瓶为一级品． （ⅰ）若每次从中随机取出瓶，取出的罐头不放回，求在第次抽到优级品的条件下，第次抽到一级品的概率； （ⅱ）对这瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望； (2)已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为，且各件产品是否为优级品相互独立，若在次独立重复抽检中，至少有次抽到优级品的概率不小于（约为），求的最小值． 4．某公司对其产品进行质量检测，现随机抽取部分产品，测得其质量指标值的数据如图所示．规定质量指标值在内的产品为一等品，在内的产品为二等品．其中为样本平均数，为样本标准差，经计算得． (1)求二等品质量指标值的范围及一件产品为一等品或二等品的概率；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） (2)用样本的频率分布作为总体的概率分布． ①任取6件产品，记恰有件产品为一等品或二等品的概率为，试比较与的大小； ②记质量指标值在的产品为需要改进的产品，且需要改进的产品的概率为，若任取6件产品，恰有4件需要改进的概率为，求取得最大值时和的值． 5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）泊松分布是一种离散型概率分布，常用于描述在固定时间或空间内某事件发生的次数，广泛应用于通信，交通，生物学，金融和质量控制等领域．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为 ． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认．若，估计的值； (2)某人工智能公司制造微型芯片的次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数． ①若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； ②若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； 通过①，②的计算结果，你发现了什么规律； (3)若，且，在保留小数点后一位的时候，求证：的最大值为0.1． 参考数据：若，则， ，， ，， 题型三 简单比赛问题 1．（25-26高三上·吉林长春·月考）甲、乙、丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观．每局比赛胜者与此局旁观者进行下一局比赛，按此规则循环下去，约定先赢两局者获胜，比赛结束．根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛相互独立且没有平局．规定第一局由甲、乙对战． (1)求进行两局比赛后，比赛结束且甲获胜的概率； (2)求进行两局比赛后，比赛结束的概率； (3)求比赛结束后，甲获胜的概率． 2．是由中国杭州的公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用．为提高的应用能力，某公司组织全体员工参加培训．培训结束之后，公司举行了一次专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰． (1)若这8道题中甲能答对其中5道，计算甲进入决赛的概率； (2)已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励．若甲答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为，求的分布列及数学期望． 3．现有两球队进行友谊比赛，设队在每局比赛中获胜的概率都是． (1)若比赛6局，求队至多获胜4局的概率； (2)若采用“五局三胜”制，求比赛局数的分布列和数学期望． 4．（2025·湖南长沙·一模）甲、乙两人进行知识问答抢答赛，比赛共有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙两人每题答题正确的概率分别为和.求： (1)在3题均被乙抢到的条件下，设乙答题得分为，求的分布列和期望值； (2)甲在比赛中获胜的概率. 5．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知排球比赛的规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分.才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩： 1 2 3 4 5 6 甲 25 21 27 27 23 25 乙 18 25 25 25 25 17 假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立． (1)估计甲队每局获胜的概率； (2)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分的概率分布列和数学期望； (3)如果甲、乙两队约定比赛2场，求两队积分相等的概率． 题型四 复杂条件比赛问题 1．（25-26高三上·河南郑州·月考）为宣扬中国文化，某校组织古诗词知识比赛.比赛分为两阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分高分组和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，共回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段答对2个问题的选手进入低分组，共回答4个问题，每答对一个得10分，答错不得分.第一阶段，每个问题选手甲答对的概率都是；第二阶段，若选手甲进入高分组，每个问题答对的概率都是，若选手甲进入低分组，每个问题答对的概率都是. (1)求选手甲第一阶段不被淘汰的概率； (2)求选手甲在该次比赛得分数为40分的概率； (3)已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中得分数为，求随机变量的分布列和期望值. 2．（2025·吉林·模拟预测）某校为了激发学生的创新性思维，举办了一场“智能机器人传球大赛”，每班派一名编程代表，操作一台机器人参与比赛．比赛场地分为两个区域：区和区．初始时球放在区，每次操作通过随机生成1至6的某一个数字，依据以下规则控制机器人传球： ①若随机数为1，机器人无法传球，球保持原地不动； ②若随机数为6，若球在区，球不动，若球在区，球被传到另一个区域； ③若随机数为2、3、4、5，球被传到另一个区域． (1)已知连续两次操作，求事件“第一次操作后球在区或第二次操作后球在区都未发生”的概率； (2)已知连续三次操作，记随机变量为“机器人实际完成传球的次数”，求随机变量的分布列及数学期望． 3．（2025·山东济宁·模拟预测）奥运会中足球比赛的小组赛阶段的规则如下：共有个国家队被分成个小组，每个小组支球队循环比赛，共打场，每场比赛中，胜､平､负分别积分.每个小组积分的前两名球队晋级下一阶段的淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例：若三支球队积分相同，同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜､平､负的概率都是，每场比赛的结果相互独立. (1)假设球队参与的前场取得胜负的成绩，具体比赛结果为与比赛，胜；与比赛，胜；与比赛，胜.此时，各积3分，积0分，求球队最终晋级的概率. (2)假设该小组的前三场比赛结果如下：与比赛，胜；与比赛，胜；与比赛，胜.设小组赛阶段球队的积分之和为，求的分布列及期望. 4．（24-25高三上·辽宁·期末）为培养青少年航天科学素养，某航天科技馆组织中学生航天科技大赛，每个地区选派5名学生组队参赛，比赛分为二人组笔试航天知识问答和三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛两场.在笔试知识问答中每队有两名同学，只需抽一名选手参加，该选手答一道程序逻辑推理题目，若答对可以进入第二环节，在三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中，规则是每组三个选手，先选派一人进行一次编程设计试验，若能运行成功记为通过.第一位选手通过，第二位选手则有三次上场机会，否则该组结束比赛.如果第二位选手通过一次及以上测试，则每次通过后得4分，并为第三位选手争取到两次上场机会，否则第二位选手不加分并结束该组比赛.第三位选手每次通过试验均加10分，不通过不加分.两位选手得分之和计为本场比赛总得分. (1)已知在二人组笔试航天知识问答中，某地区A、B两人组队，A、B第一环节答对问题的概率分别是、，第二环节中共有6个题目，选手抽出三道题作答，答对一题得4分.已知6个题目中有4个题目A同学熟悉并能答对，有3个题目B同学熟悉并能答对.设选派A同学和B同学参赛得分分别为X和Y，求X的分布列和期望，并求出Y的期望； (2)现某组决定选派甲、乙、丙三位选手参加“编程调试与仿真设计”实操测试比赛，先后进入三个环节，甲选手在第一个环节中通过测试的概率为，乙选手在第二个环节中通过每一次测试的概率均为，丙选手在第三个环节中通过每一次测试的概率均为. ①在甲选手通过测试的条件下，求该组乙选手得分的分布列； ②求该队在三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中的总得分期望. 题型五 多人比赛问题 1．（24-25高三上·甘肃白银·月考）在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．现有两种赛制，一种是“单败淘汰制”，具体赛制：抽签决定两两对阵人员，胜者晋级“胜者区”，并进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名；败者进入“败者区”，并进行比赛，决定第三、四名的归属．另一种是“双败淘汰制”，具体赛制：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获得第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立． (1)若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁，求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望． (2)依据的取值情况，判断哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由． 2．甲、乙、丙三人参加学校“元旦嘉年华”竞答游戏，活动的规则为：甲、乙、丙三人先分别坐在圆桌的，，三点，第一轮从甲开始通过掷骰子决定甲的竞答对手，如果点数是奇数，则按逆时针选择乙，如果是偶数，则按顺时针选丙，下一轮由上一轮掷骰子选中的对手继续通过掷骰子决定竞答对手，如果点数是奇数按逆时针选对手，点数是偶数按顺时针选对手，已知每场竞答甲对乙、甲对丙、乙对丙获胜的概率分别为，，且甲、乙、丙之间竞答互不影响，各轮游戏亦互不影响，比赛中某选手累计获胜场数达到场，游戏结束，该选手为晋级选手． （1）求比赛进行了场且甲晋级的概率； （2）当比赛进行了场后结束，记甲获胜的场数为，求的分布列与数学期望． 3．（23-24高三下·江苏·月考）某足球训练基地有编号为的位学员，在一次射门考核比赛中，学员有两次射门机会.每人第一次射中的概率为第二次射中的概率为假设每位学员射门过程是相互独立的，比赛规则如下： ①按编号从小到大的顺序进行，第1号学员开始第1轮比赛，先第一次射门； ②若第号学员第一次射门未射中，则第轮比赛失败，由第号学员继续比赛； ③若第号学员第一次射门射中，再第二次射门，若该学员第二次射门射中，则比赛在第轮结束，该学员第二次射门未射中，则第轮比赛失败，由第号学员继续比赛； ④若比赛进行到了第轮，则不管第号学员的射门情况，比赛结束. (1)当时，设随机变量表示3名学员在第轮比赛结束，求随机变量的分布列； (2)设随机变量表示名学员在第轮比赛结束. ①求随机变量的分布列； ②求证：单调递增，且小于3. 4．（2025·湖北荆州·模拟预测）某公司招聘技术人员一名.经初选，现有来自国内三所高校的10名应届毕业生进入最后面试环节.其中A校和B校各4名，C校2名. 名面试者随机抽取1，2，3，，10号的面试序号. (1)若来自A校的4名毕业生的面试序号分别为，，，，且，来自B校的4名毕业生的面试序号分别为，，，，且，来自C校的2名毕业生的面试序号分别为，，且 （ⅰ）求概率，； （ⅱ）记随机变量，求 X的均值 (2)已知一位面试者因事未能到达面试现场，最终只有9人参加面试.经面试，第位面试者的面试得分为，且他们的面试得分各不相等，公司最终录用得分最高者. 为提高今后面试效率，现人事部门设计了以下面试录用新规则：，且，，集合S中的最小元素为k，最终录用第k位面试者. 如果以新规则面试这9名毕业生，求面试得分第一、二按得分从高到低排的两名毕业生之一被录用的概率. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·山西·模拟预测）某学校高三年级组织了一场校内知识竞赛，共有5个班级参与，每个班级推选1名学生代表参加，其中1名学生代表来自经常在知识竞赛中获奖的班级，以下简称A班代表，4名学生代表来自较少参与竞赛的班级，以下简称B班代表，学生甲是B班代表之一．在某一轮比赛中，随机选择两名学生代表进行比赛．若是同类班级代表比赛，则双方获胜的概率均为；若是A班代表与B班代表比赛，则B班代表获胜的概率为． (1)已知甲参赛，求在一轮比赛中，学生甲获胜的概率； (2)为了增加比赛的趣味性，增加了挑战赛，规则是某选手可向全场所有代表随机发起挑战，与每个代表进行一轮比赛．现学生甲向全场所有人发起挑战，若与A班代表比赛获胜得2分，与B班代表比赛获胜得1分，失败均获得0分，记比赛结束时学生甲获得的积分为X，求X的分布列与期望． 2．（2025·四川巴中·二模）2008年北京奥运会乒乓球赛事精彩纷呈，推动了乒乓球运动在国内的进一步普及.如今有小周､小吴､小郑三人进行乒乓球比赛，规则是：先由两人上场比赛，另一人做裁判，败者下场做裁判，另两人上场比赛，按此规则循环进行.通过抽签确定小周､小吴先上场比赛，小郑做裁判.依据过往比赛数据统计：小周与小吴比赛小周获胜的概率为，小郑与小吴比赛小吴获胜的概率为，小郑与小周比赛小郑获胜的概率为. (1)比赛完3局时，求三人各胜1局的概率； (2)比赛完4局时，设小郑做裁判的次数为，求的分布列和期望. 3．（25-26高三上·福建·月考）在某次篮球团体比赛中甲乙两支球队进入总决赛，比赛采用5局3胜制，只要有一支球队先获胜3场比赛结束.在第一场比赛中甲队获胜，已知甲队第2，3，4场获胜的概率为，第5场获胜的概率为，各场之间互不影响. (1)求甲队以获胜的概率； (2)设表示决出冠军时比赛的场数，求的分布列与数学期望. 4．（25-26高三上·辽宁·期中）实验中学社团举办了一场乒乓球比赛，为了锻炼身体，比赛采取“5局3胜制”（说明：5局3胜制是指比赛最多进行5局，先赢得3局的一方即为获胜方）.现有甲､乙二人，已知每局甲胜的概率为，乙胜的概率为.求： (1)这场比赛甲获胜的概率； (2)这场比赛乙所胜局数的数学期望. (3)这场比赛在甲获得比赛胜利的条件下，乙有一局获胜的概率. 5．（2024·山东·模拟预测）已知，，，四名选手参加某项比赛，其中，为种子选手，，为非种子选手，种子选手对非种子选手种子选手获胜的概率为，种子选手之间的获胜的概率为，非种子选手之间获胜的概率为．比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮的胜者为冠军. (1)若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案？ (2)选手与选手相遇的概率为多少？ (3)以下两种方案，哪一种种子选手夺冠的概率更大？ 方案一：第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛； 方案二：第一轮比赛种子选手与种子选手比赛． 6．（2025·广东中山·一模）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； (2)请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 7．某单位春节期间，为烘托节日气氛，让员工既能感受到单位对员工的关爱，又能增加单位凝聚力，增强员工之间的感情，特拿出一部分资金，通过举行趣味乒乓球赛的方式给员工发福利.因为是趣味性的比赛，所以在比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率都受到现场气氛及前一局结果的影响.现甲、乙两位选手上场，根据以前的比赛情况，第一局甲胜的概率为；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是．每场比赛设奖金600元，奖金两人分完.因为是趣味比赛，比赛规则也别具一格，比赛采用五局三胜制，先赢三局者获胜，结束比赛，拿走全部奖金；若比赛三局后，没有决出胜负，也可由胜两局者提出，结束比赛.每局比赛没有平局. (1)求在第3局后即决出胜负的概率； (2)现甲、乙已经打了3局，其中甲胜了2局，若甲见好就收，停止比赛，则甲拿走奖金的；如果再继续比赛一局，第4局甲失败，若结束比赛，奖金平分.请你帮助甲，从获得更多的奖金的角度，对接下来的比赛如何进行决策. 8．甲、乙、丙三名同学进行乒乓球比赛，经约定，进行如下4场比赛决定胜负关系： ① 乙、丙两名同学进行本场比赛，败者落入败者组； ② 甲与第①场比赛胜者比赛，败者落入败者组； ③ 败者组两人进行比赛，败者记为第三名； ④ 第②、③场比赛胜者进行比赛，胜者记为第一名，败者记为第二名. 设每场比赛双方获胜的概率均为. (1)求乙在败者组比赛中被淘汰的概率； (2)求甲最终获胜的概率； (3)从最终三人获得名次的数学期望的角度分析，该比赛规则是否对甲有利？ 9．（2025·辽宁鞍山·二模）某篮球夏令营举行超远距离投篮闯关游戏，游戏规则如下： 夏令营成员组队参加游戏，每队由三名队员组成.三名队员排好出场顺序后，依次出场投篮，且每名队员只投一次.如果一名队员投中，则游戏停止；如果这名队员没有投中，则派出下一名队员，直至有队员投中（闯关成功）或无队员可派出（闯关失败）时游戏停止.现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，他们投中的概率分别为、、，且每次每人投中与否相互独立. (1)若，，，求游戏停止时小队有人投中的概率； (2)若，现在小队计划两种方案参加游戏. 方案一：甲最先、乙次之、丙最后；方案二：丙最先、甲次之、乙最后； （ⅰ）若采用方案一，求所需派出人员数目的分布列和期望； （ⅱ）分析采用哪种方案，可使所需派出人员数目的期望更小. 10．（2025·河北邯郸·一模）某班举办诗词大赛，比赛规则如下：参赛选手第一轮回答4道题，若答对3道或4道，则通过初赛，否则进行第二轮答题，第二轮答题的数量为第一轮答错的题目数量，且题目与第一轮的题不同，若全部答对，则通过初赛，否则淘汰.已知甲同学参加了这次诗词大赛，且甲同学每道题答对的概率均为.假设甲同学回答每道题相互独立，两轮答题互不影响. (1)已知. ①求甲同学第一轮答题后通过初赛的概率； ②求甲同学答对1道题的概率. (2)记甲同学的答题个数为，求的最大值. 11．某校组织古诗词知识比赛，比赛分为两阶段，第一阶段参赛者从诗词基础知识和诗词的鉴赏与解读这两个题库中选择一个题库，并回答题库中的3个问题，至少答对其中2个问题，才能进入第二阶段，否则被淘汰，比赛成绩为0分；第二阶段参赛者选择刚刚没有被选中的题库，回答题库中的3个问题，答对一个问题得5分，比赛的成绩是第二阶段的得分总和．已知甲答对诗词基础知识题库中的每个问题的概率均为，答对诗词的鉴赏与解读题库中的每个问题的概率均为，各次答题是否正确相互独立． (1)若甲第一阶段选择诗词基础知识题库， （i）求甲通过第一阶段的概率； （ii）求甲的比赛成绩为10分的概率； (2)为使得甲最终得分的数学期望最大，第一阶段应该选择哪个题库？ 12．某知识闯关比赛分为预赛与决赛，预赛胜利后才能参加决赛，预赛规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作预赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参加预赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功相互独立． (1)若计划依次派甲、乙、丙进行预赛闯关，，，，求该小组预赛胜利的概率； (2)已知，若乙只能安排在第二个派出，要使预赛派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出； (3)预赛胜利小组的三名队员都可以进入决赛，决赛规定：单人参赛，每个人回答三道题，全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖，已知某队员进入了决赛，他在决赛中第一道题答对的概率为，后两道题答对的概率均为．若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值． 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．双淘汰赛制是一种竞赛形式，比赛一般分两个组进行，即胜者组与负者组.在第一轮比赛后，获胜者编入胜者组，失败者编入负者组继续比赛，之后的每一轮，在负者组中的失败者将被淘汰；胜者组的情况也类似，只是失败者仅被淘汰出胜者组降入负者组，只有在负者组中再次失败后才会被淘汰出整个比赛.A、B、C、D四人参加的双淘汰赛制的流程如图所示，其中第6场比赛为决赛.    (1)假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为50%，求： ①A获得季军的概率； ②D成为亚军的概率； (2)若A的实力出类拔萃，有4人参加的比赛其胜率均为75%，其余三人实力旗鼓相当，求D进入决赛且先前与对手已有过招的概率. 2．（2025·重庆·模拟预测）某校为庆祝建校百年，由学校团委、学生会组织开展“奋斗进程”校史知识竞赛活动，每位参赛者均需要回答个题目，可以从个组题目和若干个组题目中，共选择3个题目作答.A组题目每正确回答1个得10分，B组题目每正确回答1个得分，不能正确回答的题目均不得分，参赛者总得分为3个题目得分之和.已知小王恰能正确回答A组题中的4个题目，B组题目每个正确回答的概率均为，且能否正确回答A组和B组题目互不影响. (1)已知小王两组题目均有选择，以他至少答对1个题目的概率为依据，试确定他分别选择两组题目的数量的策略； (2)记小王总得分为. （i）若选择的3个题目均为A组题目，求的分布列及数学期望； （ii）试确定，使小王在选择3个题目时，无论怎样调整A、B组题目数量，其总得分保持期望稳定，并说明理由.（参考公式：，其中、为随机变量） 3．（2025·江苏盐城·模拟预测）受九宫格的启发，某中学的数学兴趣小组开展了一个数字游戏：以下是一个行n列的表格，在表格中填入1，2，3，…，这个数字．在游戏过程中，同学们发现，一些表格有时会出现填入的某个数字既是所在行的最大值，又是所在列的最小值的情况，他们把这类表格称为“表格”，其中这个数字称为这个表格的“值”． 第1列 第2列 … 第n列 第1行 第2行 … 第n行 (1)判断下表是不是“表格”，如果是，求出其“值”． 第1列 第2列 第3列 第1行 1 2 3 第2行 4 5 6 第3行 7 8 9 (2)求证：任意一个“表格”的“值”是唯一的． (3)若，记所有的“表格”构成的集合为T，从T中任取一个“表格”，并且这个“表格”的“值”记为X，求X的数学期望． 4．（25-26高三上·广东广州·月考）某一场体育比赛由局比赛组成，若赢局则积分，先赢局的选手获得整场比赛的胜利.特别地，当时，即为一局定整场比赛的胜负.假设每局比赛之间的胜负相互独立，且没有平局. (1)已知甲、乙两人在过往局比赛的练习中，甲赢局，若以此频率估计甲每局获胜的概率，当时，求甲以的比分获得整场比赛胜利的概率. (2)若甲、乙两人每局比赛获胜的概率分别为和，，甲可以选择的值（其中），则对于甲而言，选择为哪个值更为有利？说明理由. (3)若甲、乙两人每局比赛获胜的概率均为，当时，设甲在没有进行第局时就能获得整场比赛胜利的概率为，求. 5．在体育比赛中，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入半决赛的有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入总决赛，败者进入败者组，之前进入败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示）.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，其中对阵其他三个队伍时获胜的概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为，最初分组时，同组，同组.    (1)若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 6．11月29日，辽宁省政府新闻办召开“山海有情 天辽地宁”冰雪主题系列首场现场新闻发布会，该会重点介绍今年沈阳市深入开展冰雪旅游､冰雪运动､冰雪文化的主要举措､重点活动和亮点特色.某冰雪乐园计划推出冰雪优惠活动，发放冰雪消费券.该冰雪乐园计划通过摸球兄奖的方式对1000位顾客发放消费券，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸取2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获得的消费券的总额. (1)若袋中所装的4个球中1个所标的面值为30元，其余3个均为20元，求顾客所获得的消费券的总额为50元的概率. (2)该冰雪乐园对消费券总额的预算是100000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值40元､60元的2种球组成，或由标有面值30元､50元､70元的3种球组成.为了使顾客得到的消费券总额的期望符合该冰雪乐园的预算且每位顾客所获得的消费券的总额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计方案，并说明理由. 7．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式在天安门广场隆重举行.某部队观看阅兵直播结束后，就举行了射击比赛.每个参赛队由两名战士组成，比赛分为两个阶段.比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名战士射击3次，若3次都未射中靶子，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少射中靶子一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名战士射击3次，每次射中靶子得5分，未射中靶子得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲､乙两名战士组成，甲每次射中靶子的概率为，乙每次射中靶子的概率为，各次射击中靶与否均相互独立. (1)若，甲参加第一阶段比赛，求甲､乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率. (2)假设， （i）在比赛成绩中，为使得甲､乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由哪位战士参加第一阶段比赛？ （ii）在比赛成绩中，为使得甲､乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由哪位战士参加第一阶段比赛？ 8．（25-26高三上·重庆·开学考试）甲、乙两名运动员将参加体育考核.考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试.已知6个项目中，有3个是甲擅长的，必定通过测试，另有3个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p 且各次测试相互独立.在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X和 Y. (1)若 分别求出随机变量X和Y的概率分布列，并求它们相应的数学期望. (2)规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”. （i）在（1）的条件下，当运动员甲和乙考核都“达标”时，求甲、乙至少1人考核“优秀”的概率. （ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等.求证： 9．（2025·四川成都·模拟预测）阿尔法狗（AlphaGo）是谷歌公司开发的人工智能程序，它第一个战胜了围棋世界冠军．它可以借助计算机，通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策．工程师分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来训练阿尔法狗（AlphaGo），三个阶段的阿尔法狗（AlphaGo）依次简记为甲、乙、丙． (1)测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个阿尔法狗（AlphaGo）各比赛一局，各局比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，．记该棋手恰连胜两局的概率为p，试判断该棋手在第二局与谁比赛p最大，并写出判断过程． (2)工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，且每局比赛结果相互独立． （ⅰ）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望的最大值； （ⅱ）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件M，求． 10．某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式： 方式一：逐份检验，需要检验次； 方式二：混合检验，将其中份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为次．假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为． (1)现有5份不同的血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率； (2)现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为；采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为． ①若，求关于的函数关系式； ②已知，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？ 参考数据：，，，，． 11．（25-26高三上·山西·月考）“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动．某地为了弘扬传统文化，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动． (1)某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为、两类，抽到较易的类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的类并答对购物打七折优惠．抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有张完全相同的卡片，其中张写有字母，张写有字母，张写有字母，顾客每次不放回从箱中随机取出张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽次，直至取到写有或卡片为止，问：已知该顾客最后一次取到的是写有的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率； (2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到条灯谜不妨设每条灯谜的适合度各不相同最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前条灯谜，自第条开始，只要发现比他前面见过的灯谜都适合，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条．记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为． ①若，求； ②当趋向于无穷大时，从理论的角度（），求的最大值及取最大值时的值． （取） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $