精品解析：江苏省南通市如皋市2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年度第一学期八年级期中学业质量监测 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算，正确的结果等于（ ） A. a B. C. D. 3. 如图，，若，，则等于（　　） A 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 4. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 5. 如图，在中，，，，是边上的动点，则的长不可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 6. 如果的乘积中不含x一次项，则m为（ ） A. -2 B. 2 C. D. 7. 如图，为等边三角形的高，在的延长线上取一点E，使，连接．若的周长为12，则的长为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 8. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 2 9. 如图，平分，交边于点D，，垂足为点E，，．若，，则的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 10. 设实数x，y，z满足，则代数式的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，11－12每小题3分，13－16每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 计算：______． 12. 点关于轴对称的点的坐标是__________． 13. 如图，，添加一个条件能证得，这个条件可以是______（写出一个即可）． 14. 我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》一书中，给出了的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，具体如下所示． 行数 的展开式 的展开式的各项系数 第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 …… …… …… 观察上面的规律可知，的展开式的第三项系数为______． 15. 如图，是等边三角形，点D在边上，点E在边上，作，射线交的延长线于点F，若，则的度数为______． 16. 某机器人社团开展机器人比赛．比赛场地如图所示：在四边形中，，E，F分别为上的点，，，，，则______°．经测量．现要求机器人从边上的一点P出发，沿直线匀速到达上，然后到上，最后回到点P，若，机器人的速度为，则机器人完成比赛所用的最短时间为______s． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值，其中，． 18. 如图，与相交于点E， （1）求证：； （2）若求的度数． 19. 如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，，求度数． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在正方形网格的格点上． （1）请你画出关于y轴的对称图形，并写出点的坐标； （2）若x轴上有一点P，使最小，请在图中画出点P． 21. 完全平方公式经过适当的变形，可以巧妙地解决不少数学问题．请按照这样的思路解决下面两个问题： （1）已知，，则=______； （2）若，求的值． 22. 我们知道：一般地，原命题正确，它的逆命题可能成立，也可能不成立． （1）请直接写出命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题，并判断该逆命题是否成立； （2）“等腰三角形底边上的中线就是底边上的高”的逆命题是否成立？为什么？ 23. 如图，现有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体形状的无盖纸盒．如果该长方体纸盒的容积为，底面的一边的长为． （1）求的长； （2）求原长方形的面积． 24. 已知是直角三角形，，等腰直角三角形的顶点E，F分别落在的边上，． （1）如图1，当点D落在的边上时，若， ①求证：； ②求证：； （2）如图2，当点E与点C重合，当点D落在的内部时，延长交于点P，若点P恰好是边的中点，且，请探究，和之间的数量关系． 25 综合与实践 【素材】 如图1，一张长方形硬纸板，长为，宽为； 实践操作】 步骤1：将图1长方形硬纸板分割为A，B两个小长方形； 步骤2：如图2，将长方形B割补到长方形A的下方． 【实践探索】 （1）①图2中的阴影部分的面积是______； ②观察图1，图2，用两种不同的方法表示图形中空白部分面积，可以验证恒等式______． 【实践应用】 （2）如图3，在同一条直线上，若，阴影部分的面积为18，求的长度． 【实践拓展】 （3）小明发现利用图1，图2也能验证结论：“周长一定的长方形中，正方形的面积最大”．例如，当时，图1中长方形的周长为20，图2中大正方形的面积为25，所以，即周长为20的长方形中，正方形的面积最大，最大值为25．请仿照上述割补方式，求当时，代数式的最大值（无需描述割补过程，只需画出示意图，再直接给出最大值）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期八年级期中学业质量监测 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 2. 计算，正确的结果等于（ ） A. a B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同底数幂相乘的基本法则．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：C 3. 如图，，若，，则等于（　　） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括同底数幂的除法、幂的乘方、单项式乘单项式和合并同类项等基本法则，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A 5. 如图，在中，，，，是边上的动点，则的长不可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短，含角的直角三角形的性质．利用垂线段最短分析可知：的最小值为3，根据含角的直角三角形的性质得出，接下来可知的最大值为，由此可得到答案． 【详解】解：根据垂线段最短，可知的最小值为3， ∵在中，，，， ∴， ∴的最大值为， ∴长不可能． 故选：D． 6. 如果的乘积中不含x一次项，则m为（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出多项式乘以多项式，然后根据不含一次项求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵展开式中不含一次项， ∴2+m=0， 解得：m=-2 故选A． 【点睛】题目主要考查多项式乘以多项式中不含某一项，理解题意，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键． 7. 如图，为等边三角形的高，在的延长线上取一点E，使，连接．若的周长为12，则的长为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质．先利用等边三角形的性质可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵等边的周长为12， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 8. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作图与性质定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质定理得到，然后根据三角形面积公式得出，，结合，即可解答． 【详解】解：作于E，如图， 由题意得平分，而， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 故选：C． 9. 如图，平分，交边于点D，，垂足为点E，，．若，，则的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行的性质，全等三角形的判定和性质．延长交于点，作于点，证明四边形是矩形，得到，再利用证明，得到，，据此求解即可． 【详解】解：延长交于点，作于点，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 10. 设实数x，y，z满足，则代数式的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查通过对完全平方公式变形求值，已知式子的值求代数式的值，根据，得出，，再分别代入，整理得，因为，故，则，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则 ， ∵， ∴， 则， 即代数式的最大值为3， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，11－12每小题3分，13－16每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是零指数幂，解题关键是熟练掌握零指数幂法则． 根据零指数幂的法则，任何非零数的次幂都等于即可得解． 【详解】解：， ． 故答案为：． 12. 点关于轴对称的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标的特征；根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是 故答案为：． 13. 如图，，添加一个条件能证得，这个条件可以是______（写出一个即可）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定方法进行求解即可． 【详解】解：∵，，添加， ∴； ∵，，添加， ∴； ∵，，添加， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 14. 我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》一书中，给出了的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，具体如下所示． 行数 的展开式 的展开式的各项系数 第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 …… …… …… 观察上面的规律可知，的展开式的第三项系数为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索．观察发现，杨辉三角的第行与展开式的各项系数对应，进而得出的展开式中从左起第三项的系数为，即可求解． 【详解】解：观察发现，杨辉三角的第行与展开式的各项系数对应， 的展开式中从左起第三项的系数为， 的展开式中从左起第三项的系数为， 的展开式中从左起第三项的系数为， …… 观察发现，的展开式中从左起第三项的系数为， 则展开式中从左起第三项的系数为， 故选：15． 15. 如图，是等边三角形，点D在边上，点E在边上，作，射线交的延长线于点F，若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理及外角定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据等边三角形的性质求出相关角的度数，然后利用三角形外角定理和角的和差进行求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 某机器人社团开展机器人比赛．比赛场地如图所示：在四边形中，，E，F分别为上的点，，，，，则______°．经测量．现要求机器人从边上的一点P出发，沿直线匀速到达上，然后到上，最后回到点P，若，机器人的速度为，则机器人完成比赛所用的最短时间为______s． 【答案】 ①. 78 ②. 98 【解析】 【分析】依据题意，过C作于G，先证明，从而，可得；过B作于H，再证明，可得，P的路程为，又分别作P关于的对称点，连接交于点M，交于点N，然后根据对称性可得此时最小，进而可以计算得解． 【详解】解：如图1，过C作于G， ∵， ∴，． 又∵， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∵，， ∴． ∴． ∴； 如图2，过B作于H， ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． 又∵，， ∴． ∴． 当P运动到H时，最短，此时． 如图3，现要求机器人从边上的一点P出发，沿直线匀速到达上，然后到上，最后回到点P， ∴P的路程为：． 又分别作P关于的对称点，，连接交于点M，交于点N， ∴根据对称性可得此时最小． 又根据对称性可得，，，， ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∴． 又∵当时，路程最小，最小值49， ∴机器人完成比赛所用的最短时间为：． 故答案为：78；98． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、垂线段最短、轴对称的性质，解题时要熟练掌握并能根据题意找出机器人行走的最短路径是关键． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值，其中，． 【答案】 （1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查整式的化简及求值，熟练掌握整式的运算法则是解题关键； （1）先计算积的乘方，然后进行乘除运算，化简表达式； （2）利用完全平方公式和平方差公式展开表达式，合并同类项后代入数值计算． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ； 当 ， 时，原式． 18. 如图，与相交于点E， （1）求证：； （2）若求的度数． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合对顶角相等以及，即可证明，故； （2）先根据三角形内角和为，求出，结合全等三角形的性质，故，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∵， ∴． 19. 如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）证明，得到，再根据三角形内角和定理即可求解； 本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在正方形网格的格点上． （1）请你画出关于y轴的对称图形，并写出点的坐标； （2）若x轴上有一点P，使最小，请在图中画出点P． 【答案】（1）见解析， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质作出，写出点的坐标即可； （2）作点C关于x轴的对称点D，连接交x轴于P，即可得解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求；， ； 【小问2详解】 解：如图所示，点P即为所求． 21. 完全平方公式经过适当的变形，可以巧妙地解决不少数学问题．请按照这样的思路解决下面两个问题： （1）已知，，则=______； （2）若，求的值． 【答案】（1）19 （2）7 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的变形应用． （1）直接利用公式求解； （2）通过设元转化为两个量的差与积，再利用公式求解． 【小问1详解】 解：∵， ． 【小问2详解】 解：设， 则， ，， ， ， ， 即． 22. 我们知道：一般地，原命题正确，它的逆命题可能成立，也可能不成立． （1）请直接写出命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题，并判断该逆命题是否成立； （2）“等腰三角形底边上的中线就是底边上的高”的逆命题是否成立？为什么？ 【答案】（1）见详解 （2）成立，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假，逆命题，实数，绝对值，等腰三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先写出原命题的逆命题，再进行分析，即可作答． （2）先说明原命题的逆命题成立，根据等腰三角形的“三线合一”的性质进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”，该逆命题不成立， 比如当时，满足，但， 即该逆命题不成立； 【小问2详解】 解：“等腰三角形底边上的中线就是底边上的高”的逆命题是成立的，理由如下： “等腰三角形底边上的中线就是底边上的高”的逆命题是“等腰三角形底边上的高就是底边上的中线”， 根据等腰三角形“三线合一”的性质，其底边上的高也是底边上的中线，故该逆命题成立 故“等腰三角形底边上的中线就是底边上的高”的逆命题是“等腰三角形底边上的高就是底边上的中线”是成立的 23. 如图，现有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体形状的无盖纸盒．如果该长方体纸盒的容积为，底面的一边的长为． （1）求的长； （2）求原长方形的面积． 【答案】（1） （2）原长方形的面积为． 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）根据题意列式为，将其计算即可； （2）结合（1）中所求结果及已知条件，分别表示出，，然后相乘即可． 【小问1详解】 解：长方体纸盒的容积为，底边，高为， 则， 即的长为； 【小问2详解】 解：，， 则 ， 即原长方形的面积为． 24. 已知是直角三角形，，等腰直角三角形的顶点E，F分别落在的边上，． （1）如图1，当点D落在的边上时，若， ①求证：； ②求证：； （2）如图2，当点E与点C重合，当点D落在的内部时，延长交于点P，若点P恰好是边的中点，且，请探究，和之间的数量关系． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2），． 【解析】 【分析】（1）设，则，①倒角可得； ②倒角可得，可得，进而即可得证； （2）延长交延长线于点N，过C作交延长线于点M，易证，则，倒角易得，，进而利用线段和差即可得解． 【小问1详解】 证明：设，则， ①∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； ②∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，．理由如下： 延长交延长线于点N，过C作交延长线于点M， 则， ∵P为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 延长交于Q， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴，． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等内容，熟练添加合适辅助线和倒角相关知识是解题的关键． 25. 综合与实践 【素材】 如图1，一张长方形硬纸板，长为，宽为； 【实践操作】 步骤1：将图1长方形硬纸板分割为A，B两个小长方形； 步骤2：如图2，将长方形B割补到长方形A的下方． 【实践探索】 （1）①图2中的阴影部分的面积是______； ②观察图1，图2，用两种不同方法表示图形中空白部分面积，可以验证恒等式______． 【实践应用】 （2）如图3，在同一条直线上，若，阴影部分的面积为18，求的长度． 【实践拓展】 （3）小明发现利用图1，图2也能验证结论：“周长一定的长方形中，正方形的面积最大”．例如，当时，图1中长方形的周长为20，图2中大正方形的面积为25，所以，即周长为20的长方形中，正方形的面积最大，最大值为25．请仿照上述割补方式，求当时，代数式的最大值（无需描述割补过程，只需画出示意图，再直接给出最大值）． 【答案】（1）①②（2）（3）32 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式与面积，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①观察图中的信息，得出阴影面积等于长乘宽，即可作答． ②观察图1，图2，运用面积公式表达出图1的空白部分面积以及割补法得出图2的空白部分面积，再由拼接过程，空白部分面积不会变化，进行列式，即可作答． （2）理解题意，设，结合，得，由阴影部分的面积为18，进行列式，整理得，然后把数值代入进行计算，即可作答． （3）先整理得，再模仿（1）的过程，作图，与（1）同理得，当时，该长方形是边长为4的正方形，得边长是和的长方形的最大面积16，即可作答． 【详解】解：（1）①如图所示： 依题意，， ∴， 则图2中的阴影部分的面积是； ②观察图1，图2，得出图1的空白部分面积， 得出图2的空白部分面积， ∴用两种不同的方法表示图形中空白部分面积，可以验证恒等式； （2）如图3， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积为18， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）依题意，， 我们把和看作是长方形的两条边长， 此时这个长方形的周长， 根据“周长一定的长方形中，正方形的面积最大” 如图4，当时，阴影部分是边长为的正方形 ∴与（1）同理得， 当时，该长方形是边长为4的正方形， ∴边长是和的长方形的最大面积16， ∴当时，代数式的最大值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $