精品解析：湖南省长沙市湖南师大附中教育集团联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

九年级数学期中检测卷(问卷) 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1. 某学校开展了“共走平安路”交通安全主题教育活动．以下交通标识图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查整式的运算．熟练掌握合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方等基本法则，是解题的关键． 运用合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方逐一验证各选项的正确性，即得． 【分析】A、合并同类项时，系数相加，字母部分不变．，而非 ，故A错误． B、同底数幂相乘，底数不变，指数相加．，故B正确． C、同底数幂相除，底数不变，指数相减．，而非 ，故C错误． D、积的乘方等于各因式乘方的积．，故D错误． 故选：B． 3. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 4. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． 根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：从中随机抽取一张，有四种等可能的情况， 其中抽到“夏至”有两种等可能的情况， ， 故选：C 5. 将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左加上加的平移原则计算即可． 本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握左加上加，左右平移，位于x上，上下平移，对于y实施是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得． 故选B． 6. 已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面积底面半径母线长． 【详解】解：， 故选：B． 7. 如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，，根据三角形内角和求出，可知，即可求出． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 8. 如图，在中，半径长为，圆心到弦的距离，则弦的长为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理与勾股定理．由勾股定理即可求得的长，然后由垂径定理求得的长． 【详解】解：依题意，，，，由勾股定理得： ， ， ， 故选：C． 9. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程根与系数的关系，先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ， 故选：C． 10. 在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（ ） A. 当且时，则 B. 当时，则 C. 当且时，则 D. 当时，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线开口向上，顶点为，与x轴交于和，分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的开口向上， 则对称轴为直线， 把代入，得， ∴顶点为， ∵两点，在抛物线， ∴当且时，（因时抛物线在x轴上方）， 故， 此时 故A选项的结论正确； 当时，抛物线在时递减， 故越大，越小， 即， 故B选项的结论错误； 当且时，， 此时应满足或， 故C选项的结论错误； 当时，抛物线在时递增， 故越大，越大， 即， 故D选项的结论错误； 故选：A 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用．先提取公因式，再利用完全平方公式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 二次函数的图象的顶点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标．据此求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 13. 已知关于x的方程x2＋3x＋k＝0的一个根是－1，则k的值是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】将代入x2＋3x＋k＝0中，即可求出k的值． 【详解】解：将代入x2＋3x＋k＝0中 可得： 解得 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定义：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 14. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有______． 【答案】 【解析】 【分析】利用频率估计概率得到摸到白球的概率为，然后根据概率公式计算出黄球，再求白球即可． 【详解】解：设袋子中白球有个， 根据题意，得： ， 解得：， 则， 即布袋中白球可能有个， 故答案为． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 15. 如图，四边形内接于，，连接、，则____． 【答案】140 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】解：四边形内接于， ， ， 由圆周角定理得：， 故答案为：140． 16. 解方程的“规范”就像建筑的“地基”，错一步可能满盘皆错．学习解一元二次方程，必须严格遵守方程变形的基本法则．例如：下面解一元二次方程的过程所得出的错误结果，就是由于不遵守数学基本法则导致的．求解一元二次方程时，推理过程如下： 第一步：根据因式分解法，将右边分解为 ； 第二步：直接将方程两边同时除以，得到； 第三步：去括号，得到； 第四步：移项，得到； 第五步：系数化为1，解得 请你判断上述推理过程中，第__________步是错误的，它违背了数学的基本法则． 【答案】二 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．第二步直接除以代数式，但可能为零，违背了方程变形的基本法则：等式两边不能除以可能为零的代数式，否则会丢失根，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：正确解法应从第一步开始， 移项得， 再因式分解得， 由因式分解法可得或， 解得或， 第二步直接除以时，未考虑的情况，导致丢失根，违背了方程变形的基本法则， 即第二步是错误的，它违背了数学的基本法则 故答案为：二 三、解答题(共72分，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分) 17. 计算： 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先化简二次根式，绝对值，幂的计算，然后按照加减运算法则计算即可求解； 【详解】解：原式； 18. 先化简，再求值：其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据完全平方公式和平方差公式，单项式乘多项式运算法则，进行化简，然后代入数据进行计算即可． 【详解】解： ＝ ＝， 当，时， 原式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点对称的中心对称图形，并写出点的坐标； （2）将绕点O逆时针旋转，在这个旋转变换中，计算点C的运动轨迹的长度．(结果保留) 【答案】（1） 如图，即为所求． ； （2）点C的运动轨迹的长度为． 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的画法、旋转的性质以及弧长公式，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征和弧长计算公式． （1）根据关于原点对称的点的坐标特征，求出、、的对称点、、的坐标，再画出图形； （2）先求出点到原点的距离，再根据弧长公式计算点的运动轨迹长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 弧的长度＝， 答：点C的运动轨迹的长度为． 20. 在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界．某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智能软件A、B、C、D，每个学生可选择其中1类学习使用．为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图：请根据图中信息，完成下列问题： （1）这次抽取的学生总人数为________人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为________度； （2）补全条形统计图； （3）社团活动中表现最突出的有4人，其中有3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现准备从这4名学生中随机选择2人进行学习成果展示，请用画树状图或列表法求出恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率． 【答案】（1）200，144 （2） 补全条形图如图： （3） 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法求概率，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用软件的人数除以所占的比例求出抽取的学生总人数，用360度乘以A类软件的人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （2）求出类软件的人数，补全条形图即可； （3）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：（人）； ； 故答案为：200，144； 【小问2详解】 软件的人数为：（人）； 补全条形图略 【小问3详解】 由题意，列表如下： A A A B A A，A A，A A，B A A，A A，A A，B A A，A A，A A，B B B，A B，A B，A 共12种等可能的结果，其中恰好抽到使用A、B两类软件各1人的情况有6种， 故. 21. 如图，在等腰，，，点D在上，将线段绕点B沿顺时针方向旋转后，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵线段绕点B沿顺时针方向旋转后，得到线段， ，． ． ∵， ． ． 在和中 ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质．根据题意证明，根据全等三角形的性质求解是解本题的关键． （1）根据旋转的性质，可得．根据全等三角形的性质可得结论； （2）根据题意求出，的长度，然后根据（1）中全等三角形的性质得出，根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ，． ∵点D在上，， ∴，． ， ∴，． ∴． 在中，． 22. 2025年10月，湖南省足球超级联赛(湘超联赛)正掀起全民观赛热潮，联赛吉祥物是一对极具湖湘特色的卡通形象，分别取名“湘湘”和“超超”．“湘湘”以湖南省鸟红嘴相思鸟为设计原型，张开的翅膀寓意湖南足球的腾飞，体现足球运动在湖南的深厚群众基础；“超超”则以超级水稻为核心元素，设计成留着冲天稻穗头的阳光少年足球小将形象，呼应湖南稻作文化根基，传递“超越自我”的体育精神．某工厂生产了一批“湘湘”、“超超”联名毛绒玩偶，每件成本为20元，投放“湘超购”线上小程序销售．在销售过程中发现，每天的销售量(单位：件)与每件售价(单位：元)之间存在一次函数关系(其中且为整数)．当每件售价55元时，每天的销售量为75件；当每件售价50元时，每天的销售量为90件． （1）求与之间的函数关系式； （2）若销售这种玩偶每天获得2025元的利润，则每件玩偶的售价为多少元？ （3）设销售这种玩偶每天获利元，当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）（，且x为整数） （2）每件玩偶的销售价为35元 （3）当每件玩偶的售价为50元时，每天的销售利润最大，最大利润是2700元． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出方程和二次函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量列出方程进行求解即可； （3）根据总利润等于单件利润乘以销量列出二次函数关系式，求最值即可。 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， ∵当每件售价为55元时，每天的销售量为75件；当每件售价为50元时，每天的销售量为90件， ∴， 解得， 即y与x之间的函数关系式为，且x为整数）． 【小问2详解】 根据题意得，， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：每件玩偶的销售价为35元． 【小问3详解】 由题意可得，， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，且x为整数， ∴当时，w取得最大值，此时． 答：当每件玩偶的售价为50元时，每天的销售利润最大，最大利润是2700元． 23. 如图，是的外接圆，是的直径，半径，垂足为点，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵半径， ∴， ∴， ∴平分； （2） 【解析】 【分析】（1）由垂径定理可得，则，进而结论得证； （2）如图，过作的延长线于点，则，证明四边形是矩形，设，则，由勾股定理得，，求得，则，是中位线，则，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过作的延长线于点， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∵，， ∴是中位线， ∴，， 由勾股定理得，， ∴线段的长为． 【点睛】本题考查了垂径定理，角平分线，直径所对的圆周角为直角，矩形的判定与性质，中位线，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，角平分线，直径所对的圆周角为直角，矩形的判定与性质，中位线，勾股定理是解题的关键． 24. 若抛物线和与轴交于相同的两点A，B，我们就称抛物线与互为“友好”抛物线，两个交点A，B为“友好”点． （1）若互为“友好”抛物线，求它们的“友好”点； （2）抛物线与抛物线互为“友好”抛物线，其顶点分别为点C，D． ①若，求证：四边形为菱形； ②若点A的坐标为，且四边形为正方形，当时，求正方形的面积S的取值范围． 【答案】（1）“友好”点为和 （2） ①证明：∵点分别为“友好”抛物线与的顶点， ∴， ∴垂直平分． ∵抛物线与抛物线互为“友好”抛物线， ∴方程与的解相同， ∴， 又∵， ∴， ∴， 抛物线的顶点关于轴对称， ∴平分， ∴四边形为菱形． ② 【解析】 【分析】（1）根据“友好”抛物线的定义可知：两个一元二次方程和的解相同，据此根据一元二次方程根与系数的关系列方程可求出，将值代入方程，即要求出它们的“友好”点； （2）①证明四边形对角线互相垂直平分即可；②由四边形为正方形，得出为等腰直角三角形，得出，整理得，将点的坐标代入抛物线，得到，方程与方程联立得出，由于，，得出，最后根据，求得正方形的面积S的取值范围． 【小问1详解】 解：∵互为“友好”抛物线， ∴方程与解相同， ∴， ∴， ∴，解得， ∴“友好”点为和． 【小问2详解】 解：①略 ②∵四边形为正方形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ， ， 整理得， ∵点的坐标为， ∴， 联立可得， 由①可知：，即， ∵， ， ∴，， ∴，解得， 又， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，抛物线的对称性等知识，理解 “友好”抛物线定义，运用抛物线的对称性求解是解题的关键． 25. 如图1，四边形的边均与相切，切点分别为E，F，G，且，连接平分． （1）求证：与相切； （2）如图2，记与的公共点为点H，连接交于点I，若，求证：四边形对角互补； （3）如图3，的半径为，连接与交于点M，N，与交于点P，Q，，连接，令，，求关于的函数解析式．(不考虑自变量的取值范围) 【答案】（1） 证明：如图1，连接，过点作于点， ∵与相切， ∴，又平分， ∴， ∴与相切． （2） 证明：如图2，连接， ∵是四边形的内切圆， ∴，，，， ∴， 在四边形中，， 同理可证，． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形对角互补． （3） 【解析】 【分析】此题考查切线的判定定理，圆周角定理，圆外切四边形的性质，切线长定理，勾股定理等， （1）连接，过点作于点，由角平分线的性质证得，即可得到与相切． （2）连接，得到，同理可证，．根据，，，推出，进而推出，由此得到结论四边形对角互补． （3）由是四边形的内切圆，得①，由，得②，由①②可得，设，，得和都是方程的两根，进而推出为直径，连接，由勾股定理求出，，由，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵是四边形的内切圆， ∴，① 记与的交点为点， ∵， ∴，② 由①②可得， 设，， ∴和都是方程的两根， 又，∴，， 又，∴平分， ∴为直径， 连接，则， ∴， ∴， ∵为直径，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学期中检测卷(问卷) 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1. 某学校开展了“共走平安路”交通安全主题教育活动．以下交通标识图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 4. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，半径长为，圆心到弦的距离，则弦的长为(　　) A. B. C. D. 9. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 10. 在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（ ） A. 当且时，则 B. 当时，则 C. 当且时，则 D. 当时，则 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11. 因式分解：__________． 12. 二次函数的图象的顶点坐标是_______． 13. 已知关于x的方程x2＋3x＋k＝0的一个根是－1，则k的值是_____． 14. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有______． 15. 如图，四边形内接于，，连接、，则____． 16. 解方程的“规范”就像建筑的“地基”，错一步可能满盘皆错．学习解一元二次方程，必须严格遵守方程变形的基本法则．例如：下面解一元二次方程的过程所得出的错误结果，就是由于不遵守数学基本法则导致的．求解一元二次方程时，推理过程如下： 第一步：根据因式分解法，将右边分解为 ； 第二步：直接将方程两边同时除以，得到； 第三步：去括号，得到； 第四步：移项，得到； 第五步：系数化为1，解得 请你判断上述推理过程中，第__________步是错误的，它违背了数学的基本法则． 三、解答题(共72分，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分) 17. 计算： 18. 先化简，再求值：其中，． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点对称的中心对称图形，并写出点的坐标； （2）将绕点O逆时针旋转，在这个旋转变换中，计算点C的运动轨迹的长度．(结果保留) 20. 在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界．某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智能软件A、B、C、D，每个学生可选择其中1类学习使用．为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图：请根据图中信息，完成下列问题： （1）这次抽取的学生总人数为________人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为________度； （2）补全条形统计图； （3）社团活动中表现最突出的有4人，其中有3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现准备从这4名学生中随机选择2人进行学习成果展示，请用画树状图或列表法求出恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率． 21. 如图，在等腰，，，点D在上，将线段绕点B沿顺时针方向旋转后，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 2025年10月，湖南省足球超级联赛(湘超联赛)正掀起全民观赛热潮，联赛吉祥物是一对极具湖湘特色的卡通形象，分别取名“湘湘”和“超超”．“湘湘”以湖南省鸟红嘴相思鸟为设计原型，张开的翅膀寓意湖南足球的腾飞，体现足球运动在湖南的深厚群众基础；“超超”则以超级水稻为核心元素，设计成留着冲天稻穗头的阳光少年足球小将形象，呼应湖南稻作文化根基，传递“超越自我”的体育精神．某工厂生产了一批“湘湘”、“超超”联名毛绒玩偶，每件成本为20元，投放“湘超购”线上小程序销售．在销售过程中发现，每天的销售量(单位：件)与每件售价(单位：元)之间存在一次函数关系(其中且为整数)．当每件售价55元时，每天的销售量为75件；当每件售价50元时，每天的销售量为90件． （1）求与之间的函数关系式； （2）若销售这种玩偶每天获得2025元的利润，则每件玩偶的售价为多少元？ （3）设销售这种玩偶每天获利元，当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 23. 如图，是的外接圆，是的直径，半径，垂足为点，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求线段的长． 24. 若抛物线和与轴交于相同的两点A，B，我们就称抛物线与互为“友好”抛物线，两个交点A，B为“友好”点． （1）若互为“友好”抛物线，求它们的“友好”点； （2）抛物线与抛物线互为“友好”抛物线，其顶点分别为点C，D． ①若，求证：四边形为菱形； ②若点A的坐标为，且四边形为正方形，当时，求正方形的面积S的取值范围． 25. 如图1，四边形的边均与相切，切点分别为E，F，G，且，连接平分． （1）求证：与相切； （2）如图2，记与的公共点为点H，连接交于点I，若，求证：四边形对角互补； （3）如图3，的半径为，连接与交于点M，N，与交于点P，Q，，连接，令，，求关于的函数解析式．(不考虑自变量的取值范围) 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $