精品解析：江苏省泰州市泰兴市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年秋学期九年级期中学情调查数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分； 2.所有试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效； 3.作图题必须用2B铅笔，且加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（　　） A. 1 B. 2 C. ﹣1 D. ﹣2 2. 一个不透明的袋子中有大小相同的5个红球和8个黄球，如果要使两种颜色的球摸到的可能性相等，那么需要再往袋中放入红球的个数是（　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图，点是的外心，若，则的度数为（　） A. B. C. D. 4. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（　） A. B. C. D. 5. 大自然中到处可见黄金分割的美．如图是一种海螺，点为线段的黄金分割点，已知，则长为（　） A. B. C. D. 6. 如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　） A. B. 1 C. D. 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 若，是方程的两个实数根，则______． 8. 两个相似三角形的周长比是，则这两个三角形的相似比是_______． 9. 已知的半径是2，若点在外，则的长可能为_______．（填一个符合条件的数即可） 10. 如图，扇形中，，，用该扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面周长为________cm． 11. 某中学举办“定点投篮比赛”，甲、乙两组各选出5名选手组成代表队参加决赛，两组选手进球数如图所示.则_____组的得分较稳定．（填“甲”或“乙”） 12. 如图，矩形中，，点为的中点，点在上，且，则______． 13. 根据下列圆规作图痕迹，仅用无刻度直尺能找到三角形重心的图形是______．（填序号） 14. 如图，正方形和正三角形内接于，和相交于点，则的度数为________°． 15. 已知5个连续整数的和是，它们的平方和是，且，则的值为______． 16. 在平面直角坐标系中，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，则的最大值为______． 三、解答题（本大题共有10小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. “石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种． （1）甲每次做出“石头”手势的概率为_________； （2）用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率． 19. 江苏省首届城市足球联赛爆火，被网民热捧为“苏超联赛”．为积极响应足球热潮，某中学在全校七、八年级学生中开展了足球知识竞赛，并从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（满分100分）进行收集、整理、描述和分析（成绩用分表示，共分为四组：A.，B.，C.，D.）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩在C组的有4人，成绩分别是：86，86，88，89． 八年级10名学生的竞赛成绩分别是：85，85，87，97，85，76，88，77，87，88． 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.5 83 46.05 八年级 85.5 86 31.25 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）． 20. 年月日，常泰长江大桥正式通车，常泰两地从“地理相邻”向“经济相融”深度迈进.某超市于今年八月初购进一批商品，八月份销售件.常泰长江大桥通车后，九、十月该商品十分畅销，销售量持续走高，十月底的销售量达到件.求九、十这两个月的月平均增长率． 21. 如图，已知，点在的延长线上，交于点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的值． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根； （2）若，是方程的两个根，且，求的值，并求出此时方程的两个根． 23. 已知，如图，是的直径，是半径，点在的延长线上，点在上，和交于点．有以下3条信息：①；②；③是的切线． （1）从上面3条信息中选择2条作为条件，1条作为结论组成一个真命题，并证明你的结论；你选择的条件是：________，结论是________；（填序号） （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 24. 如图1，为的内接三角形，点为延长线上一点，点在上（与点位于弦的两侧）． （1）若，，求的度数； （2）作图：在图2中，请用无刻度的直尺和圆规在上找出点，使得． 25. 综合与实践： 背景 折纸是“从实用到艺术、从单一到多元”的演变——它源于古代文明的“功能需求”．折纸的核心魅力，在于它用最简单的材料（纸张），通过“折叠”这一基础动作，创造出无限的形态与可能，既是“手工艺术”，也是“思维工具”，更是“文化与科技的跨界载体”. 操作一 折叠一：如图1，正方形纸片，是边上一点，将纸片沿折叠，使点的对应点落在正方形内部，将纸片沿着折叠，点的对应点为点，折痕交于点. 操作二 折叠二：如图2，矩形纸片，是边上一点，将纸片沿折叠，使点的对应点落在矩形内部，继续折叠纸片，使与在同一条直线上，点的对应点为点，折痕交边于点. 问题解决 任务1 在操作一中，试判断与的大小关系______； 连接，研究小组通过改变点的位置发现的大小不变，其度数为_____°； 任务2 在操作一的条件下，如图1，若，，求正方形的边长； 任务3 在操作二中，若，，，求的长． 26. 定义：同一个圆中，互相垂直的两条弦叫做“垂弦”，“垂弦”的交点叫做“垂弦点”． （1）如图1，、是的一组“垂弦”，点为“垂弦点”，_____（填“是”或“不是”）直径； （2）如图2，、是的两条弦，为直径，，请判断与是否是一组“垂弦”，并说明理由； （3）如图3，点是上一个动点，、是的一组“垂弦”，点为“垂弦点”，若的度数为，的度数为，试探究是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； （4）如图4，、是的一组“垂弦”，点为“垂弦点”，若，，求阴影部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期九年级期中学情调查数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分； 2.所有试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效； 3.作图题必须用2B铅笔，且加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（　　） A. 1 B. 2 C. ﹣1 D. ﹣2 【答案】C 【解析】 【详解】∵一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2， ∴22+2p﹣2=0， 解得：p=﹣1． 故选：C． 2. 一个不透明的袋子中有大小相同的5个红球和8个黄球，如果要使两种颜色的球摸到的可能性相等，那么需要再往袋中放入红球的个数是（　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查一元一次方程的应用，事件的可能性，要使摸到红球和黄球的可能性相等，需使红球与黄球的数量相等。 【详解】设需要再放入x个红球， 放入后，红球有个，黄球有8个， ∵摸到两种球的可能性相等， ∴， 解得 ∴需要放入3个红球， 故选：C 3. 如图，点是的外心，若，则的度数为（　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形外心的性质及圆周角定理，解题思路是利用外心性质和圆周角定理直接计算；考查的知识点是外心性质、圆周角定理，用到的思想是转化思想，方法是定理应用法，技巧是明确圆心角与圆周角的倍数关系，解题关键是掌握外心性质和圆周角定理，易错点是混淆外心与其他心的性质导致定理误用． 【详解】解：∵点是的外心，， ∴， 故选D． 4. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查根据平方的非负性求参数，根据平方数的非负性，方程有实数根要求n不小于0 【详解】∵ 恒成立， ∴ 方程 有实数根当且仅当 ， 当 时，方程有一个实数根；当 时，方程有两个实数根， ∴ n的取值范围是 5. 大自然中到处可见黄金分割的美．如图是一种海螺，点为线段的黄金分割点，已知，则长为（　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割；根据题意，得到比例关系，将代入，即可解决本题． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点（），， ∴， ∴的长为． 故选：D． 6. 如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理及相似三角形的性质，解题思路是先求斜边和中位线的长度，再求点到的距离，最后利用勾股定理和垂径定理求；考查的知识点有勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理，用到的思想是转化思想，方法是几何图形中的长度计算方法，技巧是利用垂径定理将的长度转化为，解题关键是求出点到的距离，易错点是忽略垂径定理的应用导致无法将与建立联系． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴的直径为5，半径， 过点作于，连接， ∵， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 故选D． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 若，是方程的两个实数根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．利用一元二次方程的根与系数的关系求解． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ． 故答案为：． 8. 两个相似三角形的周长比是，则这两个三角形的相似比是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，直接利用相似三角形的周长比等于相似比，得出答案． 【详解】解：因为相似三角形的周长比等于相似比，所以当周长比为时，相似比为． 故答案为． 9. 已知的半径是2，若点在外，则的长可能为_______．（填一个符合条件的数即可） 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内是解题的关键． 根据点在圆外得到，即可求解． 【详解】解：∵的半径是2，若点在外， ∴， ∴的长可能为3（答案不唯一）， 故答案为：3（答案不唯一）． 10. 如图，扇形中，，，用该扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面周长为________cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形弧长公式与圆锥侧面展开图的关系，解题思路是利用扇形弧长等于圆锥底面周长，通过扇形弧长公式计算；考查的知识点是扇形弧长公式、圆锥侧面展开图的性质，用到的思想是转化思想，方法是公式法，技巧是明确扇形弧长与圆锥底面周长的等量关系，解题关键是正确运用扇形弧长公式，易错点是混淆扇形半径与圆锥底面半径的关系． 【详解】解：∵扇形中，，， ∴ 故答案为． 11. 某中学举办“定点投篮比赛”，甲、乙两组各选出5名选手组成代表队参加决赛，两组选手进球数如图所示.则_____组的得分较稳定．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查方差的应用，解题思路是通过计算甲、乙两组的方差，比较方差大小判断稳定性；考查的知识点是方差，用到的思想是统计思想，方法是方差计算法，技巧是准确计算方差，解题关键是掌握方差的计算方法，易错点是方差计算时数据代入错误． 【详解】解：甲组 5 名选手的进球数：， ， ； 乙组 5 名选手的进球数：， ， ， ， 所以甲组的得分更稳定； 故答案为甲． 12. 如图，矩形中，，点为的中点，点在上，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解题思路是通过角度关系证明，再利用相似性质计算；考查的知识点是相似三角形的判定与性质、矩形的性质，用到的思想是转化思想，方法是相似三角形判定与性质应用，技巧是通过角度转化找相似三角形，解题关键是证明三角形相似，易错点是相似三角形对应边识别错误． 【详解】解：∵矩形中，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为． 13. 根据下列圆规作图痕迹，仅用无刻度直尺能找到三角形重心的图形是______．（填序号） 【答案】③ 【解析】 【分析】本题考查三角形重心的定义（三条中线的交点）及尺规作图-中线的绘制，解题思路是判断哪个图形的作图痕迹能确定两条中线的交点；考查的知识点是三角形重心的定义、尺规作中线的方法，用到的思想是几何作图思想，方法是中线交点法，技巧是识别能确定边中点的作图痕迹，解题关键是明确重心是中线交点且中线需通过边的中点，易错点是混淆三角形 “四心” 的作图方法，据此解答即可． 【详解】解：图形的作图痕迹可确定一条角平分线，不符合题意； 图形的作图痕迹可确定两条角平分线，不符合题意； 图形的作图痕迹可确定两条边的中点，进而画出两条中线，其交点即为重心，符合题意； 图形的作图痕迹可确定一条边的中点和高线，进而画出一条中线和一边的高线，不符合题意； 故答案为． 14. 如图，正方形和正三角形内接于，和相交于点，则的度数为________°． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、三角形外角性质，解题思路是利用圆周角定理求出相关角的度数，再结合三角形外角性质计算；考查的知识点是圆周角定理、三角形外角性质，用到的思想是转化思想，方法是角度转化法，技巧是将所求角转化为已知图形的角的和，解题关键是利用圆周角定理求出相关角的度数，易错点是对圆周角与圆心角的关系理解不清导致角度计算错误． 【详解】解：∵正方形内接于， ∴正方形的每条边对应的圆心角为，对应的圆周角为， ∵正三角形内接于， ∴正三角形的每条边对应的圆心角为，对应的圆周角为 连接， ∵是的外角， ∴， ∵是边对的圆周角， ∴, ∵是边对的圆周角， ∴ ∴ 故答案为． 15. 已知5个连续整数的和是，它们的平方和是，且，则的值为______． 【答案】15或90 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的应用，设5个连续整数的中间数为x，表示出和m与平方和n，代入得到关于x的方程，解方程求x，再求n． 【详解】设5个连续整数为，，x，，， 则它们的和，平方和 由，代入得， 化简得，即， 解得或， 当时，； 当时，， 故答案为：90或15． 16. 在平面直角坐标系中，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，则的最大值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】由题意可知，当是的切线时，最大，则的值最大，利用勾股定理求得，利用三角函数求得，即可证得的最大值为1． 【详解】解：作轴于D， ∵， ∴， ∴． 当是的切线时，最大， ∴的值最大， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共有10小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，运用因式分解思想，关键是通过提取公因式或平方差公式分解方程，易错点为因式分解时符号或公式应用错误； （1）提取公因式分解方程求解；（2）利用平方差公式分解方程求解． 【小问1详解】 解： 或 ，． 【小问2详解】 或 ，． 18. “石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种． （1）甲每次做出“石头”手势的概率为_________； （2）用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率计算公式求解即可； （2）先画树状图得出所有的等可能性的结果数，然后找到乙不输的结果数，最后利用概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵甲每次做出的手势只有“石头”、“剪子”、“布”其中的一种， ∴甲每次做出“石头”手势的概率为； 【小问2详解】 解：树状图如图所示： 甲、乙两人同时做出手势共有9种等可能结果，其中乙不输的共有6种， ∴（乙不输）． 答：乙不输的概率是． 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，利用列表法或树状图法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． 19. 江苏省首届城市足球联赛爆火，被网民热捧为“苏超联赛”．为积极响应足球热潮，某中学在全校七、八年级学生中开展了足球知识竞赛，并从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（满分100分）进行收集、整理、描述和分析（成绩用分表示，共分为四组：A.，B.，C.，D.）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩在C组的有4人，成绩分别是：86，86，88，89． 八年级10名学生的竞赛成绩分别是：85，85，87，97，85，76，88，77，87，88． 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.5 83 46.05 八年级 85.5 86 31.25 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）． 【答案】（1）86；85 （2）八年级的成绩更好．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、求中位数、众数． （1）根据众数的定义可得出b的值，根据中位数的定义求出a的值，即可解答； （2）根据八年级的中位数和众数均高于七年级，即可得出结论； 【小问1详解】 解：由题中的信息可得，八年级抽取的学生的竞赛成绩85出现次数最多，即； 七年级10名学生的竞赛成绩在A组的有（人），在B组的有（人）， 七年级10名学生的竞赛成绩在C组的有4（人）， ，， 七年级10名学生的竞赛成绩的中位数是按从小到大顺序排列的第5和第6位的平均数， 七年级10名学生的竞赛成绩的中位数位于C组中，且按从小到大顺序排列的第1和第2位的平均数， 七年级抽取的学生的竞赛成绩中位数为，即． 故答案为：86；85； 【小问2详解】 解：八年级的成绩更好，理由如下： 七年级和八年级的平均数和中位数一样，但八年级的众数大，方差更小， 八年级的成绩更好． 20. 年月日，常泰长江大桥正式通车，常泰两地从“地理相邻”向“经济相融”深度迈进.某超市于今年八月初购进一批商品，八月份销售件.常泰长江大桥通车后，九、十月该商品十分畅销，销售量持续走高，十月底的销售量达到件.求九、十这两个月的月平均增长率． 【答案】九、十这两个月的月平均增长率为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用（增长率问题），解题思路是设月平均增长率为，根据八月和十月销售量列方程求解；考查的知识点是一元二次方程应用，用到方程思想，方法是增长率建模，技巧是准确列方程，解题关键是建立方程，易错点是解的取舍错误． 【详解】解：设九、十这两个月的月平均增长率为， 根据题意可得： ， 解得：，（不合题意舍去）. 答：九、十这两个月的月平均增长率为； 21. 如图，已知，点在的延长线上，交于点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质、相似三角形的判定与性质，用到的思想是转化思想，方法是相似三角形的判定与性质应用，技巧是准确找到相似三角形的对应角和对应边，解题关键是证明三角形相似，易错点是混淆相似三角形的相似比与面积比的关系； （1）解题思路是利用平行四边形性质得到角的关系，结合公共角证明相似； （2）是利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， ． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根； （2）若，是方程的两个根，且，求的值，并求出此时方程的两个根． 【答案】（1）见解析 （2），， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的判别式与韦达定理，运用代数推理思想，关键是通过判别式证明根的存在性，利用韦达定理列方程求参数，易错点为判别式计算或韦达定理应用时的符号错误； （1）计算判别式并证明其非负；（2）利用韦达定理列方程求，再解方程求根． 【小问1详解】 证明： 无论取何值，原方程总有两个实数根； 【小问2详解】 ，即， ， 此时方程为：， ， ， 解得：，. 23. 已知，如图，是的直径，是半径，点在的延长线上，点在上，和交于点．有以下3条信息：①；②；③是的切线． （1）从上面3条信息中选择2条作为条件，1条作为结论组成一个真命题，并证明你的结论；你选择的条件是：________，结论是________；（填序号） （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）①②，③； 证明：连接，如图， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 为的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）先利用直角三角形的两个锐角互余及垂直的意义，证明，再根据为的半径，可得出是的切线； （2）设，利用勾股定理得到关于的方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设， 则，，． 由（1）知：， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，用勾股定理解三角形，证明某直线是圆的切线，切线的性质定理等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 24. 如图1，为的内接三角形，点为延长线上一点，点在上（与点位于弦的两侧）． （1）若，，求的度数； （2）作图：在图2中，请用无刻度的直尺和圆规在上找出点，使得． 【答案】（1） （2）作图见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论（同弧所对圆周角相等）和角平分线的作法， （1）根据同弧所对圆周角相等可得，，结合已知即可求出， （2）由（1）可知，进而可得，即是的角平分线，由此即可作图， 【小问1详解】 解：∵，， ， 又， ， ∵ ∴. 【小问2详解】 解：如图，作的角平分线交圆于点，点即为所求； 25. 综合与实践： 背景 折纸是“从实用到艺术、从单一到多元”的演变——它源于古代文明的“功能需求”．折纸的核心魅力，在于它用最简单的材料（纸张），通过“折叠”这一基础动作，创造出无限的形态与可能，既是“手工艺术”，也是“思维工具”，更是“文化与科技的跨界载体”. 操作一 折叠一：如图1，正方形纸片，是边上一点，将纸片沿折叠，使点的对应点落在正方形内部，将纸片沿着折叠，点的对应点为点，折痕交于点. 操作二 折叠二：如图2，矩形纸片，是边上一点，将纸片沿折叠，使点的对应点落在矩形内部，继续折叠纸片，使与在同一条直线上，点的对应点为点，折痕交边于点. 问题解决 任务1 在操作一中，试判断与的大小关系______； 连接，研究小组通过改变点的位置发现的大小不变，其度数为_____°； 任务2 在操作一的条件下，如图1，若，，求正方形的边长； 任务3 在操作二中，若，，，求的长． 【答案】任务1：；； 任务2：正方形边长为； 任务3： 【解析】 【分析】任务1：利用折叠性质得，，然后证明全等，推出所求角； 任务2：先由勾股定理求出的长，根据折叠性质表示出，再利用正方形的性质列方程求解边长； 任务3：先证是等腰直角三角形，再证得到相关线段长度，最后通过利用相似比列方程求解． 【详解】任务1：解：根据折叠性质，正方形沿折叠，点的对应点落在正方形内部，则，且， 沿着折叠，点的对应点为点，则，且， 在和中， （公共边） （）， ． 由折叠性质可知：， 因为，所以：， 即： 所以： 任务2： ∵在中，， ∴ 设，则，， ，， ∵ ∴ 解得 ∴ 所以正方形的边长为12； 任务3：过点作，交于， 过点作，交于，交于， ∵ ∴， ∵ ∴ 由折叠可知，， ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴, ∵ ∴ ∴，， ∴，， ∵，， ∴ ∴即 ∴ 【点睛】本题考查折叠的性质、勾股定理、正方形与矩形的性质，解题思路是利用折叠性质转化线段和角度关系，结合勾股定理列方程求解；考查的知识点是折叠性质、勾股定理、正方形与矩形的性质，用到的思想是方程思想，方法是折叠转化与勾股定理结合法，技巧是通过折叠找相等线段和角，设未知数列方程，解题关键是利用折叠性质建立等量关系，易错点是折叠后线段和角度的对应关系混淆导致方程列错． 26. 定义：同一个圆中，互相垂直的两条弦叫做“垂弦”，“垂弦”的交点叫做“垂弦点”． （1）如图1，、是的一组“垂弦”，点为“垂弦点”，_____（填“是”或“不是”）直径； （2）如图2，、是的两条弦，为直径，，请判断与是否是一组“垂弦”，并说明理由； （3）如图3，点是上一个动点，、是的一组“垂弦”，点为“垂弦点”，若的度数为，的度数为，试探究是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； （4）如图4，、是的一组“垂弦”，点为“垂弦点”，若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）是 （2）与是一组“垂弦”，理由见详解 （3）m+n是定值， （4） 【解析】 【分析】本题考查圆的垂弦定义、弧与圆心角的关系及扇形面积计算，运用转化与方程思想，关键是利用垂弦性质推导弧的度数关系，结合勾股定理和扇形面积公式求解，易错点为垂弦性质理解不清及扇形面积计算时的角度或半径错误； （1）根据垂弦定义判断直径；（2）利用弧相等推导角的关系证明垂弦；（3）结合垂弦性质和弧的度数和推导定值；（4）通过垂弦性质求半径和圆心角，进而计算阴影部分面积． 【小问1详解】 解：∵、是的一组“垂弦”，点为“垂弦点”， ∴，即， ∵直径所对的圆周角是直角， ∴是的直径； 故答案为：是． 【小问2详解】 与是一组“垂弦” 连接、 为直径， ， ， ， ， ， 与是一组“垂弦” ． 【小问3详解】 连接， 若的度数为，的度数为 ，， 、是的一组“垂弦”， ， ， 即， 【小问4详解】 连接并延长交于点，连，作，为垂足， 的度数为，的度数为，的度数为， 为直径 、是的一组“垂弦”， 由（3）知 即 即 ， 为等边三角形 ，， 为中点， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $