27.2.3相似三角形的应用举例 解答题专题提升训练 2025-2026学年人教版（2012）九年级数学下册

2025-2026学年人教版九年级数学下册《27.2.3相似三角形的应用举例》 解答题专题提升训练（附答案） 1．如图，一路灯距地面米，身高米的小方在距离灯的底部（点）米的处，请画出小方的影子，并求小方的影长． 2．安徽某古镇有一座清代石拱桥，因修缮需要，需测量桥面正中央的宽度（记为线段）．修缮工人采用如下方法：在桥下方的河岸边放置激光测距仪，选取一点，从点向发射激光束，测得，此时拿出一把尺子，将尺子水平放置，与桥面平行，，而且从点分别向A，B发射激光束时，点E，F分别在激光束，上．请根据以上信息，计算该古桥桥面的宽度． 3．如图所示，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先从B处出发与成角方向，向前走80米到C处立一标杆，然后方向不变向前走50米至D处，在D处转，沿方向走30米，到E处，使A（目标物），C（标杆）与E在同一条直线上，那么可测得A，B间的距离是多少？ 4．某天晚上，同学们带上竹竿和卷尺到马路的人行道上测量路对面路灯的高度．因路上设有隔离带，同学们无法直接到达路灯下面．同学们在人行道上将1米长的竹竿直立，并不断移动竹竿的位置，当竹竿在路灯下的影长米时停止移动，并标记为点，然后沿着方向直行2米，即米，在点处直立竹竿，测得此时竹竿的影长米，求路灯的高度．（结果精确到0.1米） 5．如图，某数学兴趣小组的同学利用标杆测量旗杆（）的高度：将一根3米高的标杆（）竖直放在某一位置，有一名同学站在处与标杆底端（）、旗杆底端（）成一条直线，此时他看到标杆顶端与旗杆顶端重合，另外一名同学测得站立的同学（）离标杆（）的距离为3米，离旗杆（）的距离为30米．如果站立的同学（）的眼睛距地面1.6米，，，，求旗杆的高度． 6．如图，为了测量一栋楼的高度，嘉嘉同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好通过光的反射在镜子中看到楼的顶部，已知嘉嘉身高是，她的眼睛（点K）距地面，同时量得，． (1)若，则 ； (2)求这栋楼的高度． 7．小明决定利用所学数学知识测量出学校旗杆的高度．如图，A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，垂足为B，交于E，，垂足为C，． (1)求旗杆的高度； (2)小明在上取点F，连接，使得，且，求的长（结果精确到，参考数据：）． 8．如图，明珠大厦的顶部建有一直径为的“明珠”，它的西面处有一高的小型建筑，人站在的西面附近无法看到“明珠”的外貌，如果向西走到点F处，可以开始看到“明珠”的顶端B；若想看到“明珠”的全貌，必须往西至少再走，求大厦主体建筑的高度（不含顶部的“明珠”部分的高度） 9．数学活动小组的同学们利用阳光下的影子测量某建筑物顶部避雷塔的高度．如图，他们在同一时刻，分别测得该建筑物的影长为，的影长为，小强同学的影长为，其中点O，C，D，F，G在同一直线上，点，B，O在同一直线上，且，．已知小强同学的身高为，点A，B，O，C，D，E，F，G在同一平面内，求避雷塔的高． 10．如图，不等臂跷跷板的一端碰到地面时，另一端到地面的高度为；当的一端碰到地面时，另一端到地面的高度为，求跷跷板的支撑点到地面的高度的长． 11．魏晋南北朝时期，中国数学在测量学方面取得了长足进展．刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，其著作《海岛算经》，就是测量海岛的高度和距离．受此题启发，小明同学依照此法测量学校后山的高度和距离，录得以下数据（单位：米）：表目距，，表目高，表距．求山高． 12．如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端的高度．小明先在竖起的标杆上的点处，测得点的仰角为；然后，小华适当调整位置，竖起标杆，使点，C，在同一直线上，并测得，．已知 三点在同一水平直线上，均垂直于，求避雷针顶端的高度． 13．如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段表示站立在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置． (1)在小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为 ； (2)请你在图中画出小亮站在处的影子； (3)当小亮离开灯杆的距离时，身高（AB）为的小亮的影长为，问当小亮离开灯杆的距离时，小亮的影长是多少m？ 14．如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.8米，两个路灯的高度都是9米，且． (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？ 15．为了测量学校旗杆上旗帜的宽度，如图，点P、G．C、A在同一水平直线上，，小红在C处竖立一根标杆，地面上的点A、标杆顶端B和点N在一条直线上（N在上），米，米，米；小明手持自制直角三角纸板（），其中米，米，使长直角边与水平地面平行，调整位置，恰好在P点时点D、E、M在一条直线上，，米，米，请你根据上述信息求出旗帜的宽度． 16．某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物进行移动，使物距为32厘米，光线通过凸透镜后传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)求像的长度； (2)已知光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过主光轴上的点F，求的长． 17．在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为厘米．贾明同学观察到高度厘米的矮圆柱的影子落在地面上，其影长为厘米；而高圆柱的部分影子落在墙上（如图所示）． 已知落在地面上的影子皆与墙面互相垂直（将太阳光线视为平行光线），在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题： (1)如果贾明的身高为厘米，且此刻他的影子完全落在地面上，那么影长为多少厘米？ (2)如果同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为厘米，那么高圆柱的高度为多少厘米？ (3)如果身高为厘米的贾明同学从与两根圆柱成同一直线上的某个点出发，沿着与圆柱的影子平行的方向，面向墙壁的方向行走．设贾明同学行走的长度为厘米，他落在墙上的影长为厘米，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 18．某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图①，图②为示意图．已知，小静的身高，于点，． (1)如图①，当点为中点时，分别求线段，的长． (2)如图②，当点不是中点时，设，求线段的长．（用含有的代数式表示） (3)由此，你觉得与存在怎样的数量关系？ 19．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔在点G处，激光笔的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． (1)求点B到木板的距离的长． (2)求点E到地面的高度． 20．在学完相似的知识后，数学老师将同学们分成两组，利用相似的知识测量校园内物体的高度． (1)第一小组的同学测得身高米的小明影子长为米，同一时刻，同一水平面上，测得校园内旗杆的影子长为18米，求旗杆的高度； (2)如图，第二小组的同学利用标杆测量操场边一棵树的高度，小丽在处竖立了一根标杆，小华从处走到处时，站立在处恰好看到标杆顶端和树的顶端在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点在一条直线上，，根据以上测量数据，求出树的高度． 参考答案 1．解：如图所示，为所要求的图形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， 设，则， ∴， 解得， 经检验：是原方程的解， 答：小方的影长为米． 2．解：， ， ， ，，， ， ． 3．解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：米， ∴的长为48米． 4．解：设米， 由题意得， 米， ， ， ， 米，米，米， ∴(米）， 米， ， ， ， ， ， 解得． 答：路灯的高度约为7.7米． 5．解：如图，过点作于点，交于点． 由题意可得，四边形、都是矩形，， ， 又， ， ， 由题意可得： 米，米，（米）． ， （米）， （米）． 答：旗杆的高度为15.6米． 6．（1）解：由光的反射定律可知； （2）解：由题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， 答：这栋楼的高度为． 7．（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 答：旗杆的高度为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得（已检验是原方程的解）或（舍去）， 答：的长约为． 8．解：设，， ∵， ∴， ∴，即①， ∵， ∴， ∴，即②， 联立①和②解得（负值已舍去）， ∴， 答：大厦主体建筑的高度是． 9．解：∵同一时刻下，太阳光是平行的， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 答：避雷塔的高为． 10．解：设长边厘米，短边厘米，离地面的距离为厘米， 如图所示，作，， 则， ， ， ， ， 由①②得：， 解得， 跷跷板的支撑点到地面的高度的长为． 11．解：∵为高， ∴， ∴，， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， ∴， 解得， 答：山高为． 12．解：如图所示，过点E作于H，设交于G，则四边形，四边形都是矩形， ∴， ∵， ∴点N和点G重合， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴， 答：避雷针顶端的高度为． 13．（1）解：因为光是沿直线传播的，所以当小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短； 故答案为：变短； （2）解：如图所示，即为所求； ； （3）解：如图， 先设，则当时，， ∴，即， ∴米； 当米时，设小亮的影长是y米， ∴=， ∴， ∴． 即小亮的影长是． 14．（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， 答：两路灯的距离为25米； （2）解：如图2，当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 答：当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米． 15．解：如图，延长交于Q，则，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， 解得， 同理得：， ∴，即， 解得， ∴ (米)． 答：旗帜的宽度是1.3米． 16．（1）解：， ， ， ， ， 解得：厘米． （2）解：平行于主光轴l，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 17．（1）解：设贾明的影长为厘米， 由题意得， 解得， 答：贾明的影长为厘米； （2）解：如图所示，为高圆柱，为高圆柱落在墙上的影子， 由题可知，， 延长交延长线于点， 则，即， ， 的影长为， ， ， ， 即高圆柱高度为厘米； （3）解：当 时（即人离墙距离大于厘米），影子未到达墙面，墙上影长 ； 当时，由题意得， 整理得； ． 18．（1）解：∵，点为中点时， ∴， 由题意可得：， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 如图，连接， ， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 19．（1）解：由题意可得，， ∴， ∴，即， ∴． 答：的长为； （2）解：∵，， ∴， 由题意可得， ∴， ∴，即， ∴． 答：的长为． 20．（1）解：设旗杆的高度为米，根据题意得， 解得， 答：旗杆的高度为12米． （2）解：如图，过点作，垂足为，交于点， 则 ∴四边形，四边形都是矩形， 则， ， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：树的高度为8.8米． 学科网（北京）股份有限公司 $