27.2.3 相似三角形应用举例 教学设计 2025-2026学年人教版数学九年级下册

该初中数学教学设计聚焦相似三角形在实际测量中的应用，通过“测量校园旗杆高度”“估算河流宽度”等真实问题导入，衔接相似三角形判定与性质的理论知识，搭建“理论到实践”的学习支架，引导学生解决高度测量、不可达距离测量等问题。 资料以情境驱动激活数学眼光，通过建模拆解策略（如标杆法测高、构造直角三角形测河宽）培养数学思维，结合分层练习（基础题巩固建模、提升题拓展思路）发展数学语言，助力学生提升建模与逻辑推理能力，为教师提供清晰教学流程与实用案例，提升课堂效率。

27.2.3相似三角形应用举例 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是人教版初中数学九年级（下册）第27章“相似”的第二节。内容包括：相似三角形在实际场景中的应用，具体包括利用相似三角形解决测量物体高度（如旗杆、建筑物高度）、测量不可直接到达物体距离（如河宽）两类典型问题，同时渗透相似三角形性质的实际迁移运用。 （二）教学内容解析 本节课是相似三角形性质与判定知识的综合落地，承接相似三角形的判定定理与性质推导，将抽象的几何知识转化为解决实际问题的工具，是几何知识“从理论到实践”的关键衔接点。其核心重难点在于引导学生从实际场景中提取几何模型，通过构建相似三角形，借助“对应边成比例”建立等量关系求解未知量，既巩固相似三角形核心知识，又培养学生的数学建模、逻辑推理与实际应用能力，为后续复杂几何实际问题解决奠定基础。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】构建相似三角形几何模型，运用相似三角形对应边成比例的性质解决实际测量问题。 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1. 能准确识别实际问题中的相似三角形模型，熟练运用相似三角形对应边成比例的性质，解决物体高度测量、不可达距离测量两类实际问题。 2. 通过分析实际场景、构建几何模型、推导求解的过程，提升数学建模能力与逻辑推理能力，掌握“实际问题—几何模型—数学求解—回归实际”的问题解决思路。 3. 感受数学与生活的紧密联系，体会几何知识的实用价值，增强运用数学知识解决实际问题的信心与意识。 （二）教学目标解析 1. 达成知识与技能目标：学生能独立梳理测量问题中的已知条件与未知量，明确相似三角形的判定依据（如平行得相似、两角对应相等得相似），准确列出比例式并计算未知量，无逻辑错误与计算失误。 2. 达成过程与方法目标：学生能自主将旗杆测量、河宽测量等实际场景转化为“两个相似三角形”的几何图形，清晰阐述建模思路，能模仿该思路解决同类简单实际问题。 3. 达成情感态度与价值观目标：学生能主动参与实际问题探究，认可数学在生活中的应用价值，愿意尝试用几何知识解决生活中的类似测量问题。 三、学生学情分析 1. 知识基础：九年级学生已熟练掌握相似三角形的判定定理（两角对应相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例）与性质（对应边成比例、对应角相等），具备基础几何推理与计算能力，能解决纯几何图形中的相似问题。 2. 能力短板：学生对“实际问题转化为几何模型”的建模能力较弱，难以快速从生活场景中剥离无关信息、提取关键几何关系，面对“不可直接测量”的实际限制，缺乏构建辅助模型的思路，容易混淆实际量与几何图形中的对应边。 3. 学习特点：九年级学生逻辑思维逐步从具象向抽象过渡，对生活化、实践性的问题兴趣较高，通过实物演示、实际场景探究，能更快理解知识应用逻辑，需通过典型例题示范与同类练习巩固建模思路。基于以上分析，确定教学难点如下： 【教学难点】从复杂实际场景中提取关键几何条件，突破“不可达、无法直接测量”的限制，准确建立相似三角形模型并列出比例式。 四、教学策略分析 1. 情境驱动策略：以生活中“测量校园旗杆高度”“测量河流宽度”等真实问题导入，激发学生探究欲望，让学生明确本节课知识的实用意义，快速进入学习状态。 2. 建模拆解策略：针对两类典型问题，分步拆解建模过程——先展示实际场景，再引导学生标注已知/未知量，逐步剥离无关信息，画出简化几何示意图，最终确定相似三角形及对应关系，降低建模难度。 3. 精讲示范策略：针对重难点问题（如标杆法测高度、构造直角三角形测河宽），教师结合实物演示与示意图，完整示范“审题—建模—列比例式—计算—验证”全流程，明确易错点（对应边混淆），标注关键步骤。 4. 分层巩固策略：设计基础题（直接套用模型）、提升题（稍作场景变形）两类练习，基础题夯实建模与计算能力，提升题拓展思路，兼顾不同学情学生，确保全员掌握核心知识。 5. 总结归纳策略：课堂结尾引导学生自主梳理“实际问题解决步骤”与“常见相似模型”，提炼核心思路，帮助学生形成知识体系，便于后续迁移应用。 五、教学过程分析 （一）复习引入 1.展示生活场景图片：校园旗杆、远处高楼、河流，提问：“无法直接用卷尺测量旗杆高度、河流宽度时，我们能借助什么数学知识解决？”引出本节课主题——相似三角形应用举例。 2. 回顾旧知：快速提问相似三角形的判定定理（两角对应相等的两个三角形相似）与核心性质（对应边成比例），为新课应用铺垫基础。 设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。 （二）主动参与、感悟新知 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” ．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低． 在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？ （一）利用相似三角形测量高度 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 例1如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO. 解：太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF. 又 ∠AOB =∠DFE = 90°∴△ABO ∽△DEF. O==134 答：金字塔的高度为134 m. 归纳：测高方法一 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 表达式：甲物高 ：乙物高 = 甲影长 ：乙影长 二、利用相似三角形测量宽度 例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点Q和S，使点 P，Q，S共线且直线 PS与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点 R.已知测得QS= 45m，ST=90m，QR=60m，请根据这些数据，计算河宽 PQ. 解：∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P， ∴△PQR∽△PST． ∴= ， 即=，=， PQ×90 ＝(PQ＋45)×60． 解得 PQ＝90（m）． 因此，河宽大约为 90 m． 归纳：测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解. 三、利用相似解决有遮挡物问题 例4 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了? 【分析】如图（1），设观察者眼睛的位置为点 F，画出观察者的水平视线 FG，分别交 AB，CD 于点 H，K．视线 FA 与 FG 的夹角∠AFH 是观察点 A 时的仰角．类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角．由于树的遮挡，区域 Ⅰ 和 Ⅱ，观察者都看不到． 解：如图（2），假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端 A，C 恰在一条直线上． ∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD．∴△AEH∽△CEK． ∴=，即==， 解得 EH＝8 m． 由此可知，如果观察者继续前进， 当她与左边的树的距离小于 8 m时， 由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端 C． 【小结】解决视线遮挡问题的步骤： ①确定临界状态：当观测者眼睛、左边树顶端、右边树顶端三点共线时，为刚好看不到右边树顶端的临界位置； ②构建相似三角形：利用观测者眼睛高度与两树高度的差值，结合两树底部距离，形成对应相似的直角三角形； ③明确对应边关系：找准相似三角形中 “树高差值” 与 “水平距离” 的对应关系，列出比例式； ④代入数据计算：通过比例运算求出观测者与左边树的最大距离（小于该距离则无法看到）. （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1．如图，一路灯距地面米，身高米的小方在距离灯的底部（点）米的处，请画出小方的影子，并求小方的影长． 2．安徽某古镇有一座清代石拱桥，因修缮需要，需测量桥面正中央的宽度（记为线段）．修缮工人采用如下方法：在桥下方的河岸边放置激光测距仪，选取一点，从点向发射激光束，测得，此时拿出一把尺子，将尺子水平放置，与桥面平行，，而且从点分别向A，B发射激光束时，点E，F分别在激光束，上．请根据以上信息，计算该古桥桥面的宽度． 3．如图所示，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先从B处出发与成角方向，向前走80米到C处立一标杆，然后方向不变向前走50米至D处，在D处转，沿方向走30米，到E处，使A（目标物），C（标杆）与E在同一条直线上，那么可测得A，B间的距离是多少？ 4．某天晚上，同学们带上竹竿和卷尺到马路的人行道上测量路对面路灯的高度．因路上设有隔离带，同学们无法直接到达路灯下面．同学们在人行道上将1米长的竹竿直立，并不断移动竹竿的位置，当竹竿在路灯下的影长米时停止移动，并标记为点，然后沿着方向直行2米，即米，在点处直立竹竿，测得此时竹竿的影长米，求路灯的高度．（结果精确到0.1米） 5．如图，某数学兴趣小组的同学利用标杆测量旗杆（）的高度：将一根3米高的标杆（）竖直放在某一位置，有一名同学站在处与标杆底端（）、旗杆底端（）成一条直线，此时他看到标杆顶端与旗杆顶端重合，另外一名同学测得站立的同学（）离标杆（）的距离为3米，离旗杆（）的距离为30米．如果站立的同学（）的眼睛距地面1.6米，，，，求旗杆的高度． 6．如图，为了测量一栋楼的高度，嘉嘉同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好通过光的反射在镜子中看到楼的顶部，已知嘉嘉身高是，她的眼睛（点K）距地面，同时量得，． (1)若，则 ； (2)求这栋楼的高度． 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $