27.2.3 相似三角形应用举例 教学设计 2025-2026学年人教版数学九年级下册

27.2.3相似三角形应用举例 教学设计

一、内容与内容解析

（一）教学内容

本节课是人教版初中数学九年级（下册）第27章“相似”的第二节。内容包括：相似三角形在实际场景中的应用，具体包括利用相似三角形解决测量物体高度（如旗杆、建筑物高度）、测量不可直接到达物体距离（如河宽）两类典型问题，同时渗透相似三角形性质的实际迁移运用。

（二）教学内容解析

本节课是相似三角形性质与判定知识的综合落地，承接相似三角形的判定定理与性质推导，将抽象的几何知识转化为解决实际问题的工具，是几何知识“从理论到实践”的关键衔接点。其核心重难点在于引导学生从实际场景中提取几何模型，通过构建相似三角形，借助“对应边成比例”建立等量关系求解未知量，既巩固相似三角形核心知识，又培养学生的数学建模、逻辑推理与实际应用能力，为后续复杂几何实际问题解决奠定基础。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：

【教学重点】构建相似三角形几何模型，运用相似三角形对应边成比例的性质解决实际测量问题。

二、目标与目标解析

（一）教学目标

1. 能准确识别实际问题中的相似三角形模型，熟练运用相似三角形对应边成比例的性质，解决物体高度测量、不可达距离测量两类实际问题。

2. 通过分析实际场景、构建几何模型、推导求解的过程，提升数学建模能力与逻辑推理能力，掌握“实际问题—几何模型—数学求解—回归实际”的问题解决思路。

3. 感受数学与生活的紧密联系，体会几何知识的实用价值，增强运用数学知识解决实际问题的信心与意识。

（二）教学目标解析

1. 达成知识与技能目标：学生能独立梳理测量问题中的已知条件与未知量，明确相似三角形的判定依据（如平行得相似、两角对应相等得相似），准确列出比例式并计算未知量，无逻辑错误与计算失误。

2. 达成过程与方法目标：学生能自主将旗杆测量、河宽测量等实际场景转化为“两个相似三角形”的几何图形，清晰阐述建模思路，能模仿该思路解决同类简单实际问题。

3. 达成情感态度与价值观目标：学生能主动参与实际问题探究，认可数学在生活中的应用价值，愿意尝试用几何知识解决生活中的类似测量问题。

三、学生学情分析

 1. 知识基础：九年级学生已熟练掌握相似三角形的判定定理（两角对应相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例）与性质（对应边成比例、对应角相等），具备基础几何推理与计算能力，能解决纯几何图形中的相似问题。

2. 能力短板：学生对“实际问题转化为几何模型”的建模能力较弱，难以快速从生活场景中剥离无关信息、提取关键几何关系，面对“不可直接测量”的实际限制，缺乏构建辅助模型的思路，容易混淆实际量与几何图形中的对应边。

3. 学习特点：九年级学生逻辑思维逐步从具象向抽象过渡，对生活化、实践性的问题兴趣较高，通过实物演示、实际场景探究，能更快理解知识应用逻辑，需通过典型例题示范与同类练习巩固建模思路。基于以上分析，确定教学难点如下：

【教学难点】从复杂实际场景中提取关键几何条件，突破“不可达、无法直接测量”的限制，准确建立相似三角形模型并列出比例式。

四、教学策略分析

1. 情境驱动策略：以生活中“测量校园旗杆高度”“测量河流宽度”等真实问题导入，激发学生探究欲望，让学生明确本节课知识的实用意义，快速进入学习状态。

2. 建模拆解策略：针对两类典型问题，分步拆解建模过程——先展示实际场景，再引导学生标注已知/未知量，逐步剥离无关信息，画出简化几何示意图，最终确定相似三角形及对应关系，降低建模难度。

3. 精讲示范策略：针对重难点问题（如标杆法测高度、构造直角三角形测河宽），教师结合实物演示与示意图，完整示范“审题—建模—列比例式—计算—验证”全流程，明确易错点（对应边混淆），标注关键步骤。

4. 分层巩固策略：设计基础题（直接套用模型）、提升题（稍作场景变形）两类练习，基础题夯实建模与计算能力，提升题拓展思路，兼顾不同学情学生，确保全员掌握核心知识。

5. 总结归纳策略：课堂结尾引导学生自主梳理“实际问题解决步骤”与“常见相似模型”，提炼核心思路，帮助学生形成知识体系，便于后续迁移应用。

五、教学过程分析

（一）复习引入

1.展示生活场景图片：校园旗杆、远处高楼、河流，提问：“无法直接用卷尺测量旗杆高度、河流宽度时，我们能借助什么数学知识解决？”引出本节课主题——相似三角形应用举例。

2. 回顾旧知：快速提问相似三角形的判定定理（两角对应相等的两个三角形相似）与核心性质（对应边成比例），为新课应用铺垫基础。

设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。

（二）主动参与、感悟新知

胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” ．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．

在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？

（一）利用相似三角形测量高度

  据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.

例1如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.

解：太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF.

又 ∠AOB =∠DFE = 90°∴△ABO ∽△DEF.

O==134  

答：金字塔的高度为134 m.

归纳：测高方法一

测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 表达式：甲物高 ：乙物高 = 甲影长 ：乙影长

二、利用相似三角形测量宽度

 例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点Q和S，使点 P，Q，S共线且直线 PS与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂