27.2.3 相似三角形应用举例-【名师学案】2025-2026学年九年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

27.2.3相似 +++++十 础知识储备砂 在日常生活中，我们可以借助光线或视线来 构造相似三角形，然后利用相似三角形的对应边 来计算不能直接测量的河的宽度或物 体的高度 A基础练 必备知识梳理一 知识点一利用相似测量物体的高度 1.【新情境·视力保护】为了加强视力保护意 识，小明要在书房里挂一张视力表.由于书房 空间狭小，他想根据测试距离为5m的大视力 表制作一个测试距离为3m的小视力表.如 图，如果大视力表中的“E”的高度是3.5cm, 那么小视力表中相应“E”的高度是() 3.5cm cm -3m 5m A.3 cm B.2.5 cm C.2.3 cm D.2.1 cm 2.【新课标·跨物理学科】如图是小明设计用手 电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放 一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜 反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已 知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=1.2m, BP=1.8m,PD=12m,那么该古城墙的高 度是 () mwtwwwwmmmmmmmmmmwwmmmhwc B P D A.6 m B.8 m C.18m D.24m 3.【教材P40例6变式】九年级(1)班课外活动 小组利用标杆测量学校旗杆的高度.已知标 杆高度CD=3m,标杆与旗杆的水平距离 BD=15m,人的眼睛与地面的高度EF= 37 九年级数学·下册 三角形应用举例 1.6m,人与标杆CD的水平距离DF=2m, 求旗杆AB的高度. C B 知识点二利用相似测量距离与宽度 4.【新情境·居民生活】如图 40.6mB 是某晾衣架的侧面示意图， .5m 根据图中数据，则C,D两 点间的距离是 D地面 A.0.9m B.1.2m C.1.5m D.2.5m 5.【新课标·数学文化】《九章算术》中 记载了一种测量井深的方法.如图， 在井口B处立一根垂直于井口的木 杆BD,从木杆的顶端D观察井水水 岸C,视线DC与井口的直径AB交于 点E.如果测得AB=1.6m,BD= 1m,BE=0.2m,那么AC的长为 m. 6.【教材P40例5变式】如图，为测量出湖边不 可直接到达的A,B两点间的距离，测量人员 选取一定点O,使点A,O,C和点B,O,D分 别在同一条直线上，测出CD=150m,且OB =3OD,OA=3OC,则AB= m. 7.如图，一架投影机插入胶片后图像可投到屏 幕上.已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与 胶片BC的距离为0.1m,胶片的高BC为 0.038m,若需要投影后的图像DE高1.9m, 求投影机光源到屏幕的距离。 B综合练 关键能力提升一 8.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=60°， 直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB, AC于点D,E.点B,C,D,E处的读数分别为 15,12,0,1,则直尺宽BD的长为 fmmwummnm 3 5 14 13 12 w山 B C 9.如图，某校宣传栏BC后面12m处种有一排 与宣传栏平行的若干棵树，即BC∥DE,且相 邻两棵树的间隔为2m,一人站在距宣传栏 前面的A处正好看到两端的树干，其余的树 均被宣传栏挡住.已知AF⊥BC,AF=3m, BC=10m,求DE处共有多少棵树.（不计宣 传栏的厚度) C素养练 卧学科素养培育一 10.【一日一优】【教材P59复习题T12变式】某 校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在 地面上C处垂直于地面竖立了高度为2m 的标杆CD,此时地面上的点E、标杆的顶端 D、大雁塔的塔尖B正好在同一条直线上， 测得EC=4m,将标杆CD向后平移到点G 处，此时地面上的点F、标杆的顶端H、大雁 塔的塔尖B正好在同一条直线上（点F,G, E,C与塔底A在同一直线上)，测得FG= 6m,GC=53m,请你根据以上数据，计算大 雁塔的高度AB, oooo么 D FG 解题妙招 测量不能直接到达的物体的高度（宽度），先 将生活中的实际问题抽象为数学问题，再建立相 似三角形模型，利用相似三角形的性质解决.如 T3,T7,T10等 助学助觳优质高敦 38FE ∥BC,∠DAC=∠ACB,∠DAC=∠B.又：∠EFB=∠D.△EBFD△CAD,CD 、=5,即EF·AC=CD·BE:(2)解：AB=AC.AB=20,AC=20,由(1)知△EBF☑ △CAD器-需即毁-专部得EB=16、3证明：矩形ACD.∠BAD= 20 ∠ADE=90°，AB=DC..∠ABD+∠ADB=90°.，AE⊥BD,.∠DAE+∠ADB=90° ∠ABD=∠DAE:∠BAD-=∠ADE=S0△ADEn△BADR-AD =DE·BA.:AB=DC,AD=DE·DC.4.证明：矩形ABCD,.AB=CD, ∠ADC=90°.'AE⊥BD,PE⊥CE,∴.∠AED=90°=∠AEP+∠PED,∠PEC=90°= ∠PED+∠DEC.∴.∠AEP=∠DEC.又：∠EAP+∠ADE=9O°，∠ADE+∠EDC= 90∠EAP-∠EDC△AEPn△DEC能-C又AB=(D.AE,AB-DE ·AP5证明：DE∥BC△ADE△ABC能-.又：BF∥CD.长 需E-器DE,CD=C·EF,6证明：ADLBC.∠ADB=∠AC 90°.：E是AC的中点，∴.DE=AE=CE..∠EDC=∠C.:∠BAC=90°=∠BAD+ ∠DAC,∠ADC=90°=∠DAC+∠C,∴.∠BAD=∠C.:∠BDF=∠EDC,∠EDC= ∠C∠BAD=∠BDE.又：∠P=∠R.△BDFO△DAR册-又：∠ADB =∠AC,∠BAD=∠C△ABDACAD.0六0REAB.AF=AC ·DF.7.证明：：AD是△ABC的高，DE⊥AB,∠AED=∠ADB=∠ADC=90°. ∠BAD=∠EAD△AEDD△ADB.÷0-A8AD=AE·AB.同理可证明AD =AF·AC,.AE·AB=AF·AC. 27.2.2相似三角形的性质 知识储备 1.相似比2.相似比3.相似比的平方 基础练 1.C2.(1DB2BE7.5(2)63.1)A(2)C4.815.1)i证明：∠BCE= ∠ACD,∴.∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE,即∠ACB=∠DCE.又·∠A=∠D, AAC0aDce,aA△Dec=(2)-古偎号周是 6 -号CE=9.6,4:25或9：257.B8B9.1:3号22(32：2 10.a2解：(2△ADB△ABC:S-()-(行)广-G△ADE的面 S△Ane 积为1，.△ABC的面积是16.，四边形BFED是平行四边形，.EF∥AB.:△EFCc △ABC小-()广-△BFC的面积为8平行四边形BFBD的面积-16 -9-1=6、1解：品-及成立，证明如下：△ABCn△ABC,且相似比是， ∠BAC=∠BAC,∠ABC=∠ABC,0-∠BAE=∠BAE,∠ABD=∠AB D.:AD,AD'分别是∠BAE和∠BA'E的平分线，.∠BAD=∠BAE,∠BA'D'= ∠BA'E.∠BAD=∠BA'D.又：∠ABD=∠AB'D,△ABDO△AB'D. AD AB AD'-AB-. 27.2.3相似三角形应用举例 知识储备 成比例 基础练 1.D2.B3.解：过点E作EH⊥AB于点H,交CD于点G.由题意，得CG∥AH △CGB△AHE÷器-器：=5品2解得AH=1.9AB=AH+HB =AH十EF=11.9+1.6=13.5(m).答：旗杆AB的高度是13.5m.4.B5.76.450 —158 7.解：过点A作AG⊥DE于G,交BC于F.BC∥DE,AG⊥DE,.△ABC∽△ADE, AFLRC.小裙品即沿-9g解得AG=5,答：投影机光源到屏磨的距离是5m 8.号59.解：延长AF交DE于点G,:AF⊥BC,BC∥DE,∴AGLDE,△ABC) AADE.:G-DE.BC=10 m.AF=3 m.FG-12 m.AG=AF+FG=3+12-15(m) 六语-品DE=50m则50÷2+1=25（棵.答：DE处共有26棵树。10，解：AB ⊥AF,CD⊥AF,GH⊥AF,∴.AB∥CD∥GH..△EDC∽△EBA,△FHG∽△FBA.. 能华紧由愿意知DC=G1,-器ACAC解得AC 6 、4 106,浴-E∴后-十06邮得AB=5答：大框塔的商度是5m 4 27.3位似 第1课时位似图形 知识储备 1.一点成比例2.放大缩小 基础练 1.D2.D3.解：点O的位置如图所示.4.A5.B6.A7.D8.C 第3题答图 第9题答图 第11题答图 9.解：如图，△AB'C和△A"B"C"即为所求.10.A11.解：(1)位似中心O的位置如图 所示：(2)1：2(3)如图所示，△AB,C即为所求.12.解：(1)AC∥A'C,理由如下： △ABC与△A'B'C'是位似图形，∴△ABC△A'BC'.∠A=∠BA'C..AC∥A'C'. (2)5 13.(1)2点0(2)证明：：EC'∥EC,ED'∥ED,△0CE∞△OCE, △ODE∽△OD'E',.CE:CE'=OE:OE',DE:D'E=OE:OE,∠CEO=∠CE'O. ∠DEO=∠D'E'O,.CE:C'E'=DE:D'E',∠CED=∠CE'D',.△CDE∽△CD'E'. :△CDE是等边三角形，∴△CD'E是等边三角形. 第2课时平面直角坐标系中的位似 知识储备 (kx,ky)或(-kx,一ky) 基础练 1.D2.(1)A(2)(一4，一3)3.24.(1,0)或（一1,0）5.解：如图所示，△OA'B'即 为所求；A'(-6,2),B(-4,-2).6.D7.(2,23)8.89.(1)解：如图所示，△DEF 即为所求.(2)ma(3)nb 3-2 B -2 第5题答图 第9(1)题答图 微专题（六）确定位似中心的坐标 【例】4x442242x+4-2(-2,0) 【变式练习】1.D2.(-1,0) 回归教材专题（二）三角形中内接矩形问题 1.解：设小正方形边长为x,由题意，得SP=ED=x,AE=60-x,SR=2x,SR∥PQ, ∠ADB=90.△ASRn△ABC,∠APS=∠ADB=90,5=即00-箭解 60 得x=24..PQ=SR=2x=48.答：矩形的边PQ的长为48.2.解：设PQ=x.:AD⊥ BC,∴.∠ADB=90°.矩形PQRS,.PQ∥BC..△APQn△ABC,∠AEP=∠ADB= -159