精品解析：甘肃省兰州市多校联片办学2025-2026学年高一上学期期中联考数学试卷卷

2025-2026学年第一学期联片办学期中考试 高一数学试卷 注意事项： 1.全卷共150分，考试时间120分钟. 2.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数则等于（ ） A. 4 B. C. D. 2 3. 下列命题中，真命题是（ ） A. 若且，则x，y至少有一个大于1 B. C. 的充要条件是 D. 4. 已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式解集为,则函数的图像大致为（ ） A. B. C D. 6. 已知，则函数的解析式为（        ） A. B. （） C. （） D. （） 7. 已知函数的定义域是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为（ ） A 12 B. C. D. 15 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分. 9. 已知全集，集合，，则集合可以表示为 A. B. C. D. 10. 已知正数a，b满足，则（ ） A. B. a与b可能相等 C. D. 的最小值为 11. 下列命题正确是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“”是“”的必要不充分条件 C. “”是“”成立的充要条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若不等式有解，则实数的取值集合是_________. 13. 函数定义域为______. 14. 若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 解下列不等式： （1）； （2）． 16. 已知集合，且． （1）若是的充分条件，求实数的取值范围； （2）若命题“”为真命题，求实数的取值范围． 17. （1）已知，求的最大值； （2）已知正实数满足，求的最大值. 18. 十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本） （2）当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 19. 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A具有可分性． （1）分别判断集合，是否具有可分性，并说明理由； （2）判断是否存在五个元素的集合具有可分性，并说明理由． （3）若集合A具有可分性，求集合A中元素个数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期联片办学期中考试 高一数学试卷 注意事项： 1.全卷共150分，考试时间120分钟. 2.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合集合交集和并集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合，，， 可得，所以. 故选：B. 2. 已知函数则等于（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的定义域，先求得，再求即可. 【详解】因为函数 所以， 所以， 故选：D 3. 下列命题中，真命题是（ ） A. 若且，则x，y至少有一个大于1 B. C. 的充要条件是 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，和特称量词命题和全称量词命题的证明方法，逐一说明各选项命题真假，得出结果. 【详解】当且时，，所以当时，x，y至少有一个大于1，所以A正确； 当时，，所以B错误； 当时，可知无法推导，所以不具备充分性，C错误； ，所以，所以D错误； 故选：A. 4. 已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的并集运算即可求解. 【详解】，，， ∴结合数轴可知：. 故选：A. 5. 不等式的解集为,则函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可． 【详解】根据题意，的解集为，则方程的两个根为和，且. 则有，变形可得， 故函数是开口向下的二次函数，且与轴的交点坐标为和. 对照四个选项，只有C符合. 故选：C． 6. 已知，则函数的解析式为（        ） A. B. （） C. （） D. （） 【答案】D 【解析】 【分析】令，采用换元法求函数的解析式. 【详解】令，则， ， 所以. 故选：D. 7. 已知函数的定义域是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数的定义域是，等价于不等式对任意恒成立，分和两种情况求出实数的取值范围即可. 【详解】因为函数的定义域是， 所以不等式对任意恒成立， 当时，，对任意恒成立，符合题意； 当时，，即，解得：， 综上，实数的取值范围是; 故选：D 8. 我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为（ ） A. 12 B. C. D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】因为，借助重要不等式求最大值. 【详解】因为直角三角形斜边长等于5，设两直角边分别为a、b，则， 又因为， 所以，当且仅当时取“＝”， 故三角形周长的最大值为. 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分. 9. 已知全集，集合，，则集合可以表示为 A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据集合的基本运算可得答案. 【详解】A. ；B. ； C. ； D. . 故选：BD. 10. 已知正数a，b满足，则（ ） A. B. a与b可能相等 C. D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合基本不等式及“1”的妙用逐一判断即得. 【详解】由正数a，b满足，得，A错误； 若，则，而a为正数，则，B正确； 显然，则，当且仅当时取等号，C错误； ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BD 11. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“”是“”的必要不充分条件 C. “”是“”成立的充要条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项利用充分不必要条件定义进行判断；B选项利用必要不充分条件的定义进行判断；C选项利用充要条件的定义进行判断；D选项利用必要不充分条件的定义进行判断. 【详解】对于A选项，当时，成立；反之，当时，若，则不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B选项，当时，若，则不能推出；反之，当时，成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C选项，当时，，所以由不能推出； 反之当时，若，，则不能推出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D选项，当，时，，所以由不能推出； 反之，当时，且，所以由能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若不等式有解，则实数的取值集合是_________. 【答案】 【解析】 【分析】结合二次函数的性质及判别式求解即可. 【详解】由题意，可得，即， 则实数的取值集合是. 故答案为：. 13. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】观察函数解析式的组成，列出使函数有意义的条件不等式，求解即得函数定义域. 【详解】由函数有意义，可得，解得且. 故函数的定义域为：， 故答案为：. 14. 若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值三角不等式可得，即可得求解， 【详解】由于，故，即， 当且仅当等号成立，即. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 解下列不等式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原不等式可化为，再根据一元二次不等式解集公式得出结果； （2）先移项再通分转化为，由分子恒为正数，得出分母大于零求得结果. 【小问1详解】 原不等式可化为，即， 解得或， 所以原不等式的解集为. 小问2详解】 原不等式可化为，， 因为， 所以，即. 所以原不等式的解集为. 16. 已知集合，且． （1）若是的充分条件，求实数的取值范围； （2）若命题“”为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知可知，解分式不等式求得集合，由包含关系构造不等式组求得结果； （2）由交集结果可直接构造不等式组求得结果. 【详解】（1）是的充分条件，， ，，解得：， 实数的取值范围为. （2）由（1）知：， ，或，解得：或，又， 实数的取值范围为. 17. （1）已知，求的最大值； （2）已知正实数满足，求的最大值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式可求得结果；（2）利用基本不等式可求得结果. 【详解】（1）因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立. 因此，当时，取到最大值. （2）由，解得， 当且仅当时，取等号. 所以最大值为10. 18. 十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本） （2）当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1） （2）百辆，最大利润为万 【解析】 【分析】（1）根据题意分情况列式即可； （2）根据分段函数的性质分别计算最值. 【小问1详解】 由题意得当时，， 当时，， 所以, 【小问2详解】 由（1）得当时，， 当时，， 当时， ，当且仅当，即时等号成立， ，时，，， 时，即年产量为百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元. 19. 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A具有可分性． （1）分别判断集合，是否具有可分性，并说明理由； （2）判断是否存在五个元素的集合具有可分性，并说明理由． （3）若集合A具有可分性，求集合A中元素个数的最小值． 【答案】（1）集合{1，2，3，4}不具有可分性，集合{1，2，3，4，5}不具有可分性，理由见解析； （2）不存在，理由见解析； （3）7． 【解析】 【分析】（1）若集合具有可分性，则去掉任意元素之后，剩余元素之和必偶数，由此可以快速判断（1）中两个集合不具有可分性； （2）存在性问题，可先假设存在满足要求的五元集合，再根据新定义进行检验； （3）根据新定义，设，则容易发现为偶数，若n为偶数，则可进一步得到为偶数，为4的倍数，为8的倍数，……，从而得出矛盾，n必为奇数，易知不符合，由（2）知不符合要求，构造出符合要求的7元集合即可说明n的最小值为7． 【小问1详解】 若集合具有可分性，则去掉任意元素之后，剩余元素之和必为偶数， 对于集合{1，2，3，4}，去掉1时，剩下三个元素之和为9，不是偶数，矛盾，故集合{1，2，3，4}不具有可分性， 对于集合{1，2，3，4，5}，去掉2时，剩下四个元素之和为13，不是偶数，矛盾，故集合{1，2，3，4，5}不具有可分性； 【小问2详解】 不存在，理由如下： 假设存在满足要求的五元集，其中， 则去掉时，可能的情况为或， 若，则去掉时，，不能分成两个集合，且两个集合的元素之和相等， 若，则去掉时，，，不能分成两个集合，且两个集合的元素之和相等， 故假设不成立，即不存在五元集合具有可分性； 【小问3详解】 先证明若集合A具有可分性，则集合A的元素个数n为奇数， 否则n为偶数，记，则为偶数，所以为偶数，所以M为偶数，ai为偶数， 所以是一系列偶数的和，也为偶数，所以则为4的倍数，所以为4的倍数，所以M为4的倍数，ai为4的倍数， 所以是一系列4的倍数的和，也为4的倍数，所以则为8的倍数，所以为8的倍数，所以M为8的倍数，为8的倍数， ………， 依次类推下去，可得为的倍数，显然矛盾，故假设不成立，n为奇数，证毕． 时，去掉任意元素之后，另两个元素不可能相等，集合A不可分， 由（2）知时，集合A也不可分，所以， 当时，取， 划去1时，； 划去3时，； 划去5时，； 划去7时，； 划去9时，； 划去11时，； 划去13时，， 即A具有可分性， 综上可知，集合A中元素个数的最小值为7. 【点睛】思路点睛： 在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $