精品解析：江苏省扬州市广陵区扬州大学附属中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

扬大附中2025~2026学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 2025.11 责任命题、审核：李令军、赵亮 本试卷共计：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜截式方程及斜率公式即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，， 则， 所以. 故选：. 2. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据渐近线方程公式计算. 【详解】双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 4. 椭圆的左、右焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程，求得a的值，再由椭圆的定义可得结果. 【详解】设椭圆的长轴长为， 因为椭圆，， 由椭圆的定义可得，的周长是. 故选：D. 5. 抛物线的焦点到其准线的距离为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用焦点到准线的距离为，即可求解 【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为， 所以由抛物线可得，则焦点到其准线的距离为2. 故选：C 6. 已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知双曲线中的关系，结合和离心率公式求解 【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为， 由题知，， 于是，则， 即. 故选：D 7. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：， 故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 8. 椭圆的左顶点为，点，均在上且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先设出点的坐标，再代入斜率公式，结合点在椭圆上，即可化简求解. 【详解】设，，， ，即，则， 所以椭圆的离心率. 故选：B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 过点且斜率不存在的直线方程为 B. 直线在轴上的截距是2 C. 两平行线和之间的距离为 D. 圆与圆的位置关系为外切 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用斜率不存在的直线与轴垂直即可求解，对于B，利用截距的定义求解即可；对于C，利用两平行线间距离求解即可；对于D，利用圆与圆的位置关系即可判断. 【详解】对于A，过点且斜率不存在的直线与轴垂直，所以方程为，即，故A正确； 对于B，令，得，则直线在轴上的截距是，故B不正确： 对于C，由可化为，所以两平行线和之间的距离为，故C不正确； 对于D，圆,半径，圆，半径，所以，则两个圆外切，故D正确； 故选：AD 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 的面积可能为2 C. 的最大值为4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆方程，求出a，c的值，代入离心率公式，即可判断A的正误；当P位于短轴端点时，的面积最大，求出面积最大值，分析即可判断B的正误；根据椭圆定义及基本不等式，即可判断C的正误；设，可求出，坐标，根据数量积公式，结合椭圆方程及x的范围，即可判断D的正误. 【详解】选项A：由题意，所以， 求得，所以离心率，故A正确； 选项B：当P位于短轴端点时，不妨取上端点，则， 此时的面积最大，且为， 所以的面积最大为，不可能为2，故B错误； 选项C：由椭圆定义得， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最大值为4，故C正确； 选项D：设，由题意， 所以， 所以， 因为P在椭圆上，所以，且， 所以， 所以当时，的最小值为-2，故D正确. 故选：ACD 11. 已知抛物线的焦点为，准线为，过的一条直线交于，两点，过作的垂线，垂足为，过且与直线垂直的直线交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，根据抛物线的定义判断；B选项，设直线的方程，然后联立，利用韦达定理得到，然后求最值即可；C选项，利用距离公式得到，并结合的范围求值即可；D选项，取，计算得到，，从而得到. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 由抛物线的定义可知，故A正确； 由抛物线的方程可知，准线方程为， 设直线的方程为，，， 联立得， 由韦达定理可得，， 则， 所以当时，最小，所以，故B正确； 因为，所以直线的方程为，则， ， 同理可得， ，故C正确； 当时，，，，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，则__________. 【答案】1 【解析】 【详解】， 则. 13. 过三点，，圆的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆心在弦的中垂线上可先求得圆心的坐标，再根据圆心到圆上的点的距离为半径求解即可. 【详解】由题，设三点，，，则的中垂线方程为， 又的中点为，且直线的斜率为，故直线的中垂线斜率为， 故直线的中垂线方程为，即， 由 故圆心的坐标为，半径， 故圆的方程为. 故答案为： 14. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左支和右支分别交于，两点，设、分别为、的内切圆半径，则内切圆圆心的横坐标为_______________；、的内切圆半径比值_______________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①根据内心的性质得到，然后结合双曲线的性质得到的坐标；②根据内心的性质得到，然后利用相似的性质求半径比. 【详解】 设内切圆与边分别相切于， 所以，，， ， 又，所以，则，即， 所以内切圆圆心的横坐标为-2； ②同理可证，的内切圆圆心的横坐标为， 设、分别为、的内切圆半径， 设点、分别为、的内心， 根据双曲线的定义可知内切圆与轴相切于点， 所以轴，同理，轴； 又点、分别为、的内心，所以直线平分， 注意到，在中，，， 在中，，，所以. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于根据内心的性质得到，然后结合双曲线的性质解题即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知点和直线． （1）若直线经过点，且，求直线的方程； （2）若直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）先根据平行得出斜率，再点斜式得出直线方程，最后转化为一般式即可； （2）先分直线经过原点及直线不经过原点，应用点斜式及截距式设直线再代入点计算求参，最后转化为一般式即可. 【小问1详解】 由直线的方程可知它的斜率为， 因为，所以直线的斜率为． 又直线经过点， 所以直线的方程为：，即． 【小问2详解】 若直线经过原点，直线的斜率为， 则直线的方程为，即； 若直线不经过原点，设直线方程为， 代入可得，即，故直线方程为． 综上所述，直线的方程为或． 16. 开口向上的抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，为坐标原点.当直线轴时，. （1）求抛物线的标准方程及准线方程； （2）若直线的斜率为1，求的面积. 【答案】（1）标准方程为.准线方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线轴得到，从而得到，然后求标准方程和准线方程即可； （2）联立直线和抛物线方程，利用韦达定理得到，然后根据求面积即可. 【小问1详解】 由题可知：. 当直线轴时，可得，.所以. 因为，所以，解得， 故抛物线的标准方程为.准线方程为. 【小问2详解】 由（1）知：，所以直线. 联立直线与抛物线方程，得， 设点，，则，， 所以. 所以的面积. 17. 动点到点的距离是到点的距离的3倍，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）直线与曲线交于，两点，，当面积最大时，求的值； （3）已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线，，切点分别为，，直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由. 【答案】（1） （2）或 （3）直线过定点. 【解析】 【分析】（1）设，然后根据列等式，最后整理即可； （2）根据三角形面积公式得到，即可得到当时，面积最大，然后利用等腰三角形的性质列方程，解方程即可； （3）根据圆的性质得到为以为直径的圆与圆的相交线，然后根据圆的方程得到的方程，最后求定点即可. 【小问1详解】 由题意得，所以. 设，因为点，，所以， 化简得. 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 曲线是圆心为，半径的圆， ， 当时，面积最大，所以为等腰直角三角形， 圆心到直线距离为，解得或. 【小问3详解】 圆的圆心，半径， 因为点为直线上一动点，则可设， 因为，都是圆的切线，所以，， 所以，也在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为，即①，化为②， 由①-②整理得， 所以直线的方程为，即， 令，解得，所以直线过定点. 18. 已知椭圆的离心率为是椭圆上两点，直线与椭圆交于、两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）当时，是否存在使得？说明理由； （3）记直线的斜率依次为，当且线段的中点在直线上时，试问是否为定值？说明理由． 【答案】（1）； （2） 不存在直线与椭圆交于、两点，满足． 当时，设， 由，消去得， ，因此， 则，， 所以， ， 因为，所以，所以，无解， 所以不存在直线与椭圆交于、两点，满足． （3） 为定值． 设， 由消去得， ，因此， 则， 所以线段的中点为，线段的中点在直线上时， 所以，所以； 所以 . 【解析】 【分析】（1）由椭圆C：的离心率为，且过点，列方程求出，，由此能求出椭圆的标准方程； （2）当时，联立方程再应用弦长公式计算求解即可说明； （3）联立方程组由此利用韦达定理，结合已知条件能求出，使得直线的斜率的积为定值． 【小问1详解】 椭圆的离心率为，且过点． ，解得，， 椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. （1）若离心率时，求的值； （2）若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； （3）连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率的值可求出的值，结合的值，即可得出的值； （2）由题意可知直线的方程为，将该直线方程与双曲线方程联立，可得出，分、两种情况讨论，结合直线与双曲线只有一个公共点可得出关于的等式，即可求得的值； （3）分析可知直线的斜率不为零，可设直线的方程为，设点、，可得出，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，根据结合平面向量数量积的坐标运算、韦达定理可得出，结合以及可求出的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得，故. 【小问2详解】 当时，双曲线的方程为， 由题意可知，直线的方程为， 联立可得（*）， 当时，即当时，方程（*）即为，该方程只有一个解，合乎题意； 当时，即当时，则，解得. 综上所述，或. 【小问3详解】 由题知、，当直线的斜率为时，此时，不合题意， 则直线的斜率不为，则设直线的方程为，设点、， 根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知， 联立有， 显然二次项系数，其中， 由韦达定理可得①，②， ，， 则， 因为、在直线上，则，， 即，即， 将①②代入有， 即 化简得， 所以，代入到，得，所以， 且，解得， 又因为，则， 综上，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬大附中2025~2026学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 2025.11 责任命题、审核：李令军、赵亮 本试卷共计：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 椭圆的左、右焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 5. 抛物线的焦点到其准线的距离为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 6. 已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 椭圆的左顶点为，点，均在上且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 过点且斜率不存在的直线方程为 B. 直线在轴上的截距是2 C. 两平行线和之间的距离为 D. 圆与圆的位置关系为外切 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 的面积可能为2 C. 的最大值为4 D. 的最小值为 11. 已知抛物线的焦点为，准线为，过的一条直线交于，两点，过作的垂线，垂足为，过且与直线垂直的直线交于点，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，则__________. 13. 过三点，，圆的方程为__________. 14. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左支和右支分别交于，两点，设、分别为、的内切圆半径，则内切圆圆心的横坐标为_______________；、的内切圆半径比值_______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知点和直线． （1）若直线经过点，且，求直线的方程； （2）若直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 16. 开口向上的抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，为坐标原点.当直线轴时，. （1）求抛物线的标准方程及准线方程； （2）若直线的斜率为1，求的面积. 17. 动点到点的距离是到点的距离的3倍，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）直线与曲线交于，两点，，当面积最大时，求的值； （3）已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线，，切点分别为，，直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由. 18. 已知椭圆的离心率为是椭圆上两点，直线与椭圆交于、两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）当时，是否存在使得？说明理由； （3）记直线的斜率依次为，当且线段的中点在直线上时，试问是否为定值？说明理由． 19. 已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. （1）若离心率时，求的值； （2）若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； （3）连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $