精品解析：江苏省南通市2025-2026学年高一上学期期中质量监测数学试题

2025-2026学年（上）高一期中质量监测 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，若，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由交集定义计算即可. 【详解】由，则，故实数的取值范围为. 故选：B. 2. 化简：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助平方根与立方根性质计算即可得. 【详解】. 故选：A. 3. 下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据相同函数的概念，依次判断选项即可. 【详解】A：的解析式不同，不是相同函数，故A不符合题意； B：的定义域为，的定义域为R，不是相同函数，故B不符合题意； C：的定义域为，的定义域为， 是相同函数，故C符合题意； D：的解析式不同，不是相同函数，故D不符合题意； 故选：C 4. “，”是“为R上的偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】结合偶函数定义与充分条件及必要条件定义判断即可得. 【详解】若为R上的偶函数，则对，， 故，时，不一定为偶函数， 故“，”是“为R上的偶函数”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 若，，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举出反例可得A、B、D；分类讨论从而去掉绝对值可得C. 【详解】对A：取，则，故A错误； 对B：取，，则，，有，故B错误； 对C：若，则，， 由可得，，则； 若，则，，则； 若，则，，由，则， 则，即； 综上所述：恒成立，故C正确； 对D：取，，，，此时，故D错误. 故选：C. 6. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数奇偶性，借助赋值法可求出、，则可解出、，再利用赋值法，得到将，从而计算即可得. 【详解】由为奇函数，则， 令，则，故， 由为偶函数，则， 令，则，故，即， 对，令，则， 即，，解得， 故当时，， 对，令，则， 对，令，则， 则. 故选：C. 7. 旅游博主小胡自驾出行周游世界.已知各地燃油价格高低不一，出行中小胡有两种加油方案：第一种，每次均加升的燃油；第二种，每次加元的燃油，则下列说法正确的是（ ） A. 采用第一种方案划算 B. 采用第二种方案划算 C. 两种方案一样 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】设两次加油时的油价分别为元/升和元/升，计算出两种方案下的燃油的均价，利用基本不等式比较即得. 【详解】任取其中两次加油，假设第一次的油价为元/升，第二次的油价为元/升． 第一种方案的均价：， 当且仅当时取等号； 第二种方案的均价：， 因，则， 故，当且仅当时取等号. 综上，第一种方案的均价不低于第二种方案的均价（当且仅当时取等号）.结合题干“各地燃油价格高低不一”可知油价会变化，此时第二种方案更划算． 故选：B． 8. 函数，若存在正实数，，…，，其中且，使得，则的最大值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式求出，则由不等式的性质可知，将题意转化为，得关于的不等式组，解之即可. 【详解】， 当时，， ，， 即，所以， ， 由知， 集合， 因为且，所以， 所以，即，又， 所以的最大值为7. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正实数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可得A、B、C；借助消元法，结合二次函数性质计算可得D. 【详解】对A：，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对B：， 当且仅当，即、时，等号成立，故B错误； 对C：， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对D：由，则， 故， 则当时，有最大值，故D错误. 故选：AC. 10. 下列条件能成为“为上的增函数”的充分条件的有（ ） A. ， B. ， C. ，且，有 D. ，且，有 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合增函数定义，逐项判断即可得. 【详解】对A：构造函数，则恒成立， 当，，故不是上的增函数，故A错误； 对B：对且，令，则， 则，即， 故为上的增函数，故B正确； 对C：对且，有，则， 故为上的增函数，故C正确； 对D：对且，有， 由，则， 故为上的增函数，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知集合，下列说法正确的有（ ） A. 集合A中最大元素可以为3 B. 若集合A为无限集，则 C. 集合A中至少有8个元素 D. 若集合A中恰有8个元素，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据k的不同取值情况，分类讨论集合A，结合基本不等式分别解出对应的一元二次不等式，即可判断选项. 【详解】当时，原不等式等价于为，解得， 此时，为无限集，集合A中最大的元素可以为3，故A正确； 当时，原不等式等价于为， 若，则， 当且仅当即时，等号成立， 此时或，为无限集； 综上，当或时，集合A为无限集，故B错误； 若，则， 当且仅当即时，等号成立， 此时，为有限集， 集合A的元素可能有. 综上，集合A至少有8个元素，故C正确； 若集合A恰有8个元素， 则，解得，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设命题，，则命题的否定为________. 【答案】，. 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定为全称命题即可得. 【详解】命题的否定为：，. 故答案为：，. 13. 已知函数在上为减函数，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数以及反比例函数的单调性，结合分段函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 故答案为： 14. 已知集合，若集合B，C满足，则称为“完美集合对”，所有“完美集合对”的个数记作，则________. 【答案】27 【解析】 【分析】利用列举法，结合并集的定义即可求解. 【详解】时，，则满足的有: 当时，， 当时，或， 当时，或， 当时，或， 当时，或或或， 当时，或或或， 当时，或或或， 当时，或或或或或或或， 综上可得. 故答案为：27 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求不等式的解集； （2）记（1）中的解集为集合A，非空集合.设，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）化简再应用一元二次不等式计算求解； （2）根据条件关系可得包含关系，再根据包含关系可得关于的不等式组，故可求其范围. 【详解】（1）由，故， ， 解得， 所以解集； （2）由题意可知：， 因为非空，故，故， 而“”是“”的必要不充分条件，故是的真子集， 故，且等号不同时成立，解得. 16. （1）求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，，证明：. 【答案】（1）；（2）； （3），， 则 ，即. 【解析】 【分析】（1）借助立方和公式及对数运算法则计算即可得； （2）借助指数幂的恒等变形计算即可得； （3）借助换底公式及对数运算法则计算即可得. 【详解】（1）原式 （2），则， ， ， 由，则； （3）略 17. 某县将“双招双引”作为战略性先导工程，以精细化服务优化营商环境，多举措多维度引进相应企业，已知某企业生产一款测绘仪器，生产该仪器全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部仪器的售价为0.7万元，且所生产的仪器当年能全部销售完. （1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润＝销售额-成本）； （2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元 【解析】 【分析】（1）利用收入减去另投入成本和固定成本即可得利润函数； （2）利用分段函数思想来求每一段函数的最大值，然后再判断此函数的最大值即可. 【小问1详解】 由题意有销售额为， 所以当时，， 当时，， 所以； 【小问2详解】 （2）当时，， 当时，万元， 当时，，当且仅当， 即时等号成立，万元， 即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 18. 已知函数. （1）利用定义证明在区间上单调递增； （2）解不等式：； （3）若，，都有，求的取值范围. 【答案】（1） 设，则 ， 由、，则、， 故，故在区间上单调递增； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助函数单调性定义，设出，作差计算即可得； （2）借助换元法，令，再分与讨论即可得； （3）求出的最大值后，借助参变分离可得在上有解，计算出在上的最大值即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可得，则， 令，则有，即， 若，即时，恒成立，即有； 若，则时，， 化简得，解得， 又，故； 综上可得，即，则或；故不等式解集 【小问3详解】 由函数在上单调递增，则， 由题意可得在上有解， 则在上有解， 由在上递增，故， 即，又，故. 19. （1）已知，试比较方程的两根与1的大小关系，并说明理由； （2）若方程恰有3个不等实根，求实数a的取值范围； （3）若方程恰有2个不等正实根，试比较与的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）；理由如下： 一元二次方程， 由韦达定理，得， 则一正一负，不妨设， 可得， 因为，所以， 经检验由可得，即可得， 因此可得. （2） （3），理由如下： 方程的两个根， 当，即时，原方程变形为， 即，易知，所以此时两根异号， 此时有效根为，且该根在内； 当时，即，原方程变形为， 解得，依题意此根必是有效根，因此，可得； 由题意可知； 所以， 要比较与的大小，只需比较与0的大小， 易知函数在上单调递增，所以； 而函数在上单调递减，所以； 可得当时，，即； 因此. 【解析】 【分析】（1）设，根据韦达定理和即可求解； （2）去绝对值，分类讨论根的情况，求出对应的取值范围，即可求解； （3）去绝对值，分别求得，，进而，将问题转化为比较的大小即可求解. 【详解】（1）略 （2），易知. 当即或时，原方程变形为，解得， 此时方程有1个解，，所以且； 当即时，原方程变形为， 即，此时方程在内需有2个解， 设，则，开口向上， 有，解得. 综上，方程有3个不等的实根， 实数需满足，解得或. 故实数的取值范围为. （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年（上）高一期中质量监测 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，若，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 2. 化简：（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. “，”是“为R上的偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若，，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 旅游博主小胡自驾出行周游世界.已知各地燃油价格高低不一，出行中小胡有两种加油方案：第一种，每次均加升的燃油；第二种，每次加元的燃油，则下列说法正确的是（ ） A. 采用第一种方案划算 B. 采用第二种方案划算 C. 两种方案一样 D. 无法确定 8. 函数，若存在正实数，，…，，其中且，使得，则的最大值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正实数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 10. 下列条件能成为“为上的增函数”的充分条件的有（ ） A. ， B. ， C. ，且，有 D. ，且，有 11. 已知集合，下列说法正确的有（ ） A. 集合A中最大元素可以为3 B. 若集合A为无限集，则 C. 集合A中至少有8个元素 D. 若集合A中恰有8个元素，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设命题，，则命题的否定为________. 13. 已知函数在上为减函数，则实数a的取值范围是________. 14. 已知集合，若集合B，C满足，则称为“完美集合对”，所有“完美集合对”的个数记作，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求不等式的解集； （2）记（1）中的解集为集合A，非空集合.设，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 16. （1）求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，，证明：. 17. 某县将“双招双引”作为战略性先导工程，以精细化服务优化营商环境，多举措多维度引进相应企业，已知某企业生产一款测绘仪器，生产该仪器全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部仪器的售价为0.7万元，且所生产的仪器当年能全部销售完. （1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润＝销售额-成本）； （2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数. （1）利用定义证明在区间上单调递增； （2）解不等式：； （3）若，，都有，求的取值范围. 19. （1）已知，试比较方程的两根与1的大小关系，并说明理由； （2）若方程恰有3个不等实根，求实数a的取值范围； （3）若方程恰有2个不等正实根，试比较与的大小关系，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $