精品解析：吉林省长春市长春汽车经济技术开发区长沈路学校2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

长沈路学校2025–2026学年度第一学期第一次学科核心素养调研 八年级数学 满分：120分时间：120分 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，是三角形的边长，由甲、乙、丙三个三角形中标注的信息，能确定与左侧全等的是（ ）     A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 只有丙 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知、、是的三边长，它们满足，则这个三角形的形状是( ) A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 6. 如图所示，在中，，分别以、、为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为、、，则的值为（　　） A. 25 B. 175 C. 600 D. 625 7. 如图，直线l1l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 30° 8. 如图，在中，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到，的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算：______． 10. 分解因式：=_________________________． 11. 把命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：______． 12. 用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，使其一边的长度为，另外两边的长为_________． 13. 如图，一架2.5米长的梯子靠在一竖直的墙上，此时梯子底部离墙面0.7米．若梯子的顶部滑下0.4米，则梯子的底部向外滑出距离为________米． 14. 如图，在中， ，，直线经过点，与相交 于点F，且于，于．给出下面四个结论：①；②与互余；③；④．其中，正确的序号为_____． 三、解答题： 15. 计算： （1）； （2）． 16. 因式分解： （1）； （2）． 17. 已知，，求的值． 18. 先化简，再求值：，其中 . 19. 如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 20. 作图题：如图，是两个由25个边长为1的小正方形组成的网格． （1）请分别在这两个网格图中画出1个格点等腰三角形（三个顶点分别在正方形的格点上），要求：腰长为5且面积各不相同； （2）在所有满足条件的等腰三角形中，最大的面积为_____． 21. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的时节，八（1）班有位同学在学完勾股定理后，为计算风筝的垂直高度，不考虑风等影响，放出去的风筝线是直的．进行了如下测量： ①测得水平距离的长为； ②根据手中剩余的线计算出放出去的风筝线为 ③该同学身高1.6m （1）求风筝的垂直高度 （2）如果该同学想让风筝沿方向下降，则他应该往回收线多少米？ 22. 阅读理解： 教材呈现：如图是某数学教材的部分内容． 2.线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线是线段的垂直平分线，是上任意一点，连接，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足点为，点是直线的任意一点，求证：． （1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （2）如图②，在中，的垂直平分线分别交于点，垂足分别为，已知的周长为22，则的长为_________． （3）如图③，在中，分别是上任意一点，若，，则的最小值是_________． 23. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）． （1）求AC的长． （2）求斜边AB上的高． （3）①当点P在BC上时，PC的长为　 　．（用含t的代数式表示） ②若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为　 　． （4）在整个运动过程中，直接写出△PBC是等腰三角形时t的值． 24. 图①是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开．把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②拼成一个正方形． （1）图②中间空白部分的面积是________（填、或）． （2）观察图②，请写出代数式、、之间的等量关系式． （3）根据图②得到的关系式解答下列问题：若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沈路学校2025–2026学年度第一学期第一次学科核心素养调研 八年级数学 满分：120分时间：120分 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方及积的乘方分别运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B、，故选项计算正确，符合题意； C、，故选项计算错误，不符合题意； D、，故选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B、等式右边不是几个整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； C、等式右边不是几个整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； D、是把一个多项式转化成几个整式积的形式，属于因式分解，故本选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别． 3. 如图，，，是三角形的边长，由甲、乙、丙三个三角形中标注的信息，能确定与左侧全等的是（ ）     A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 只有丙 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． 根据全等三角形的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：甲图的三角形与无法证明两个三角形全等； 乙图的三角形与可以利用证明两个三角形全等； 丙图的三角形与可以利用证明两个三角形全等； ∴能确定与左侧全等的是乙和丙． 故选：C． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查乘法公式，涉及平方差公式、完全平方公式等知识，熟记平方差公式、完全平方公式是解决问题的关键． 根据平方差公式、完全平方公式逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、，选项中计算错误，不符合题意； B、，选项中计算错误，不符合题意； C、，选项中计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意； 故选：D． 5. 已知、、是的三边长，它们满足，则这个三角形的形状是( ) A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值，偶次方，算术平方根的非负性可得，，，从而可得，，，然后利用勾股定理的逆定理进行计算，即可解答． 【详解】解： ，，， ，，， ，， ， 是直角三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，绝对值，偶次方，算术平方根的非负性，等边三角形的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 6. 如图所示，在中，，分别以、、为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为、、，则的值为（　　） A. 25 B. 175 C. 600 D. 625 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理得到，根据正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：在中，，由勾股定理得，， 则， 故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解题的关键在于熟练掌握勾股定理，直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，则有． 7. 如图，直线l1l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】由作图得为等腰三角形，可求出，由l1l2得，从而可得结论． 【详解】解：由作图得，， ∴为等腰三角形， ∴ ∵∠BCA＝150°， ∴ ∵l1l2 ∴ 故选B 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，求出是解答本题的关键． 8. 如图，在中，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到，的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】点P到点、的距离相等知点P在的角平分线上，据此可得答案． 【详解】解：∵点P到点、的距离相等， ∴点P在的角平分线上， 故选：B． 【点睛】本题主要考查尺规作图—作角平分线及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质与尺规作图． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式．利用完全平方公式展开即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 分解因式：=_________________________． 【答案】 【解析】 【详解】解：==． 故答案为． 11. 把命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：______． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角的补角相等 【解析】 【分析】本题考查了命题的改写，理解命题的构成成为解题的关键． 根据命题的条件与结论即可改写即可． 【详解】解：命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等． 12. 用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，使其一边的长度为，另外两边的长为_________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形三边之间的关系，熟练掌握以上知识，并且分类讨论是解题的关键． 分两种情况进行讨论：①若的边为底边，②若的边为腰．分别求出另外两边长，再根据三角形三边之间的关系判断能否组成三角形进行取舍． 【详解】解：①若的边为底边，则腰长为：， ， ∴此时能构成三角形， ∴另两边的长度分别是，； ②若的边为腰，则另一腰也为，则底边长为：， ，不满足三角形三边之间的关系，因此的边不能为腰． 综上，另两边的长度分别是，． 故答案为：，． 13. 如图，一架2.5米长的梯子靠在一竖直的墙上，此时梯子底部离墙面0.7米．若梯子的顶部滑下0.4米，则梯子的底部向外滑出距离为________米． 【答案】0.8## 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出米，再求出米，然后根据勾股定理求出米，最后求出梯子的底部向外滑出距离即可． 【详解】解：∵， ∴与都是直角三角形， ∵米，米， ∴根据勾股定理得：米， ∵米， ∴（米）， ∴根据勾股定理得：米， ∴梯子的底部向外滑出距离为：（米）， 故答案为：0.8． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，求出下滑后梯子底部距离墙面的距离． 14. 如图，在中， ，，直线经过点，与相交 于点F，且于，于．给出下面四个结论：①；②与互余；③；④．其中，正确的序号为_____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形两锐角互余，根据题意得到，然后证明出，推出，进而逐项判断即可． 【详解】①∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴，故①正确； ∴ ∵ ∴ ∴与互余，故②正确； ∵中， ∴，故③错误； ∵ ∴， ∴，故④正确． 综上所述，正确的序号为①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题： 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、多项式除以单项式等知识点，掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则计算即可； （2）用多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解决本题的关键． （1）先提取公因式2，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先把原多项式化成一般式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知，，求的值． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法．利用同底数幂除法法则对式子进行变形． 【详解】解：，， ． 18. 先化简，再求值：，其中 . 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查单项式乘多项式，解题关键在于掌握运算法则． 首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】略 20. 作图题：如图，是两个由25个边长为1的小正方形组成的网格． （1）请分别在这两个网格图中画出1个格点等腰三角形（三个顶点分别在正方形的格点上），要求：腰长为5且面积各不相同； （2）在所有满足条件的等腰三角形中，最大的面积为_____． 【答案】（1） 如图所示， （2）12.5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及等腰三角形的定义，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理和等腰三角形的定义即可求解． （1）根据勾股定理和等腰三角形的性质求解即可； （2）画出另外一种腰长为5的等腰三角形，然后分别求出三种三角形的面积，然后比较即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴，都是腰长为5的等腰三角形； 【小问2详解】 如图所示， ∴是腰长为5的等腰三角形 ∵的面积，的面积，的面积， ∵ ∴在所有满足条件的等腰三角形中，最大的面积为12.5． 21. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的时节，八（1）班有位同学在学完勾股定理后，为计算风筝的垂直高度，不考虑风等影响，放出去的风筝线是直的．进行了如下测量： ①测得水平距离的长为； ②根据手中剩余的线计算出放出去的风筝线为 ③该同学身高1.6m （1）求风筝的垂直高度 （2）如果该同学想让风筝沿方向下降，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）8米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键； （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴在中，由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为米； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该往回收线8米． 22. 阅读理解： 教材呈现：如图是某数学教材的部分内容． 2.线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线是线段的垂直平分线，是上任意一点，连接，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足点为，点是直线的任意一点，求证：． （1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （2）如图②，在中，的垂直平分线分别交于点，垂足分别为，已知的周长为22，则的长为_________． （3）如图③，在中，分别是上任意一点，若，，则的最小值是_________． 【答案】 （1）证明：如图①中， ∴， 在和中， ∴ ∴． （2）22；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据证明即可； （2）根据线段垂直平分线的性质定理证明，，那么的周长就转化为的长， （3）根据等腰三角形的三线合一性质，可知是的垂直平分线，过点C作，垂足为点E，交于点P，此时，的值最小． 【详解】（1） 略 （2）∵的周长为22， ∴， ∵垂直平分线段，垂直平分线段， ∴，，， ∴． 故答案为：22； （3）过点C作，垂足为点E，交于点P， ∵，， ∴ ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 此时的值最小，最小值为线段的长， 在中， ∴的面积 ∵，， ∴， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 23. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）． （1）求AC的长． （2）求斜边AB上的高． （3）①当点P在BC上时，PC的长为　 　．（用含t的代数式表示） ②若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为　 　． （4）在整个运动过程中，直接写出△PBC是等腰三角形时t的值． 【答案】（1）AC＝8 （2）斜边AB上的高为 （3）①16﹣2t；②． （4）t的值为1.4或2或2.5或11 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理直接求出AC的值； （2）由勾股定理可求得AC的值，再设斜边AB上的高为h，由面积法可求得答案； （3）分两种情况计算即可：①当点P在CB上时，②当点P'在∠BAC的角平分线上时； （4）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上，当点P在线段AC上时，分三种情况：BC=BP；PC=BC；PC=PB，分别求得点P运动的路程，再除以速度即可得出答案． 【小问1详解】 ∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6， ∴AC＝＝＝8； 【小问2详解】 设边AB上的高为h 则， ∴， ∴， 答：斜边AB上的高为； 【小问3详解】 ①当点P在BC上时，点P运动的长度为AB+BP＝2t， 则PC＝BC﹣BP＝6﹣（2t﹣10）＝6﹣2t+10＝16﹣2t； ②当点P'在∠BAC的角平分线上时，过点P作PD⊥AB，如图： ∵AP平分∠BAC，PC⊥AC，PD⊥AB， ∴PD＝PC， 有①知，PC＝16﹣2t，BP＝2t﹣10， ∴PD＝16﹣2t， 在Rt△ACP和Rt△ADP中， ， ∴Rt△ACP≌Rt△ADP（HL）， ∴AD＝AC＝8， 又∵AB＝10， ∴BD＝2， 在Rt△BDP中，由勾股定理得： 22+（16﹣2t）2＝（2t﹣10）2， 解得：t＝． 故答案为：①16﹣2t；②． 【小问4详解】 由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上， ①当点P在线段AC上时，此时△BCP是等腰直角三角形， 则CP＝BC＝6， ∴AP＝AC﹣CP＝8﹣6＝2， ∴10+8+6﹣2t＝24﹣2t＝2 ∴t＝11； ②当点P在线段AB上时，若BC＝BP， 则点P运动的长度为AP＝2t， ∵AP＝AB﹣BP＝10﹣6＝4， ∴2t＝4， ∴t＝2； 若PC＝BC，如图2，过点C作CH⊥AB于点H，则BP＝2BH， 在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8， ∴AB•CH＝AC•BC， ∴10CH＝8×6， ∴CH＝， 在Rt△BCH中，由勾股定理得： BH＝＝＝＝3.6， ∴BP＝2BH＝7.2， ∴点P运动的长度为：AP＝AB﹣BP＝10﹣7.2＝2.8， ∴2t＝2.8， ∴t＝1.4； 若PC＝PB，如图3所示，过点P作PQ⊥BC于点Q， 则BQ＝CQ＝×BC＝3，∠PQB＝90°， ∴∠ACB＝∠PQB＝90°， ∴PQ//AC， ∴PQ为△ABC的中位线， ∴PQ＝×AC＝×8＝4， 在Rt△BPQ中，由勾股定理得：BP＝＝＝5， 点P运动的长度为AP＝2t， AP＝AB﹣BP＝10﹣5＝5， ∴2t＝5， ∴t＝2.5． 综上，t的值为1.4或2或2.5或11． 【点睛】本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 24. 图①是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开．把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②拼成一个正方形． （1）图②中间空白部分的面积是________（填、或）． （2）观察图②，请写出代数式、、之间的等量关系式． （3）根据图②得到的关系式解答下列问题：若，，求的值． 【答案】（1） （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，解题的关键是理解题意，结合图形求解． （1）结合图形可知空白部分的面积为：大正方形的面积-4个小长方形面积，计算即可； （2）由图②可知：大正方形面积=空白部分的面积+4个长方形面积，即可解答； （3）由（2）可得：，计算即可． 【小问1详解】 解：由图形可知：空白部分的面积． 故答案为：； 【小问2详解】 解：由图②可知：大正方形面积=空白部分的面积+4个长方形面积， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $