精品解析：湖南师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

湖南师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试 数学试题 命题人：陈斐 陈森君 陈晓萱 王学成 吴浩 时量：120分钟 满分：150分 得分：__________ 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用集合的交、补运算求结果． 【详解】由题设，则． 故选：B 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题得到答案. 【详解】命题“”的否定是“”， 故选：B 3. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知不等式的解集求出，再求解不等式. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以1是方程的解，所以，解得， 所以不等式可化为， 解得，或， 所以不等式的解集为. 故选：B. 4. 已知函数若，则的值为（ ） A. 1 B. 或2 C. 1或2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】分，和三种情况求解即可. 【详解】当时，由，得，解得，不满足，舍去； 当时，由，得，解得或（舍去）； 当时，由，得，解得，不满足，舍去； 综上所述：的值为2. 故选：D 5. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出BCD选项中函数的定义域，再结合函数值的正负判断出答案. 【详解】对于B选项：，定义域为：， 因为，不满足图像，B错误； 对于C选项：，定义域为：， 因为，不满足图像，C错误； 对于D选项：，定义域为：， 因为，不满足图像，D错误； 故选：A. 6. 已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（ ） A. 和无法确定 B. 和无法确定 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由抽象函数定义域的求法代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数的定义域和值域都是，令，解得， 所以函数的定义域为，由的值域得的值域为． 故选：D. 7. 已知函数（且）是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数可判断分段函数在上单调递减，再根据二次函数和对数函数的单调性列不等式即可. 【详解】因为当时，二次函数图象开口向上，则要使整个函数单调，则函数在上单调递减， 则分段函数在上单调递减， 则有 解得. 故选：C. 8. 若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数的性质，结合二次函数的图象性质列式求解. 【详解】由函数的值域为，得函数的值域包含， 则函数的图象与轴有交点，即方程有实根， 因此，解得或； 由函数在上单调递增，而函数是减函数， 则函数在上单调递减且恒为正，则有， 解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】 利用指数与指数函数，对数和对数函数的图象和性质即可判断. 【详解】项，因为，所以为单调递减函数，由得，故正确； 项，因为，所以为单调递减函数，由，得，故错误；项，因为 ， ，所以，所以，故正确； 项，取，则，故错误. 故选：. 【点睛】本题主要考查对数与对数函数的图象和性质、指数与指数函数的图象和性质以及不等关系与不等式，考查学生的分析能力，是基础题. 10. 下列结论正确的是（ ） A. ， B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对每个选项注意检验，要么证明其成立，要么举出反例判定其错误. 【详解】当时，为负数，所以A不正确； 若，则，考虑函数在R上单调递增， 所以，即，所以B正确； 若，则，，所以C不正确； 若，，，根据基本不等式有 所以D正确. 故选：BD 【点睛】此题考查命题真假性的判断，内容丰富，考查的知识面很广，解题中尤其注意必须对每个选项逐一检验，要么证明其成立，要么举出反例，方可确定选项. 11. 已知连续函数满足：①，，有；②当时，；③．则以下说法正确的是（ ） A. B. C. 在区间上的最大值是6 D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，令求值判断；对B，将分解赋值代入已知关系式求解；对C，判断的单调性，结合赋值求解最值；对D，将不等式转化为，利用单调性求解. 【详解】对于A：令，则，解得，A正确； 对于B： ，B正确； 对于C：，且，则， 因为，所以，所以， 所以，即， 所以在单调递减，在上最大值为， 因为，且， 所以，C错误； 对于D：由得， 因为， 所以，因为是减函数， 所以，解得， 所以不等式的解集为.D正确； 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，，则__________（用，表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据换底公式即可求解. 【详解】. 故答案为： 13. 已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x－1，则f(x)＝________. 【答案】2x－－ (x≠0) 【解析】 【分析】由可得，联立即可求出答案 【详解】已知，① 以代替①式中的，得 ，② ①②得 故 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解及其常用方法，掌握解方程组法来求解函数解析式是解题的关键，属于基础题． 14. 对于任意实数，，定义已知实数，均大于0，令，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意可知，， 由不等式性质可知 因为， 令，，则， 因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当，时， 即时，等号成立，所以的最大值为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可知，，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，当时，， 因为全集，则或，或， 因此，或. 【小问2详解】 易知集合为非空集合， 因为是的必要不充分条件，则，所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 16. 已知命题，，命题，． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由为真命题求出实数的取值范围，则其补集就是为假命题实数的取值范围； （2）分真假、假真两种情况求解. 【小问1详解】 若为真命题，则当，不等式变为解集为，满足； 若，则，解得， 所以实数的取值范围为， 所以当为假命题时，实数的取值范围为. 【小问2详解】 若命题为真，即，， 令，则，不等式变为，即， 设， 的图象开口向下，对称轴为，在单调递减， 所以，所以， 即命题为真时，实数的取值范围为. 若真假，则，解得； 若假真，则或，解得 综上，若，中有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围为. 17. 2023年宜宾市新添城市名片“中国动力电池之都”，初步建成较为完整的配套协同动力电池产业布局，并搭建起从原材料到整车制造的新能源汽车产业链.新能源电动车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车､纯电动汽车.有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速.经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示： 0 10 40 60 0 1420 4480 6720 为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③. （1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式； （2）现有一辆同型号纯电动汽车从宜宾行驶到重庆某地，其中，国道上行驶，高速上行驶.假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量与速度的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速（单位：）满足，且每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足.则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 【答案】（1）选①，； （2）在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为，. 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，对3个函数模型逐一判断即得. （2）分别求出国道和高速上该辆车耗电量的最小值及对应行驶速度即可得解. 【小问1详解】 对于③，，当时，它无意义，不符合题意； 对于②，，当时，，又， 所以，不符合原意； 因此选①，. 由表中的数据得，，解得， 所以. 【小问2详解】 高速上行驶，所用时间为， 则所耗电量为， 显然函数在上单调递增， 于是； 国道上行驶，所用时间为， 则所耗电量为， 而，则当时，. 所以当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为时， 该车从宜宾行驶到重庆某地的总耗电量最少，最少为. 18. 已知函数，． （1）判断并用定义证明函数在区间上的单调性； （2）若，在区间上恒成立，求实数的取值范围； （3）若存在实数，使得函数在区间上的值域是，求实数的取值范围． 【答案】（1） 在区间上单调递增，证明如下： ，且， 则， 因为，所以，因为，所以，， 所以，即， 所以在区间上单调递增. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可； （2）将问题转化为在上的符号问题解决； （3）将问题转化为有两个大于的不等实根解决. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，在区间上恒成立，可得， 整理得，令，则， 则不等式变为：，即， 因为，且在恒成立， 令， 则开口向上，且在和时函数值非正， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 由（1）知，在单调递增， 若函数在区间上的值域是，则， 即方程有两个不等的正实根， 令，则方程变为：，即， 此方程有两个大于的不等实根，设为， 则，，解得或； 又，且，解得， 所以实数的取值范围. 19. 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，都有，则称具有“-互倒性”．设，． （1）判断函数是否具有“-互倒性”，并说明理由； （2）当时，若函数与的图象恰有一个交点，求实数的值； （3）当时，设，已知在区间上有两个零点，，证明：． 【答案】（1）函数具有“-互倒性”，理由如下： 函数定义域为，对， , 若，则， 整理得：， 若函数具有“-互倒性”，则方程中各项系数为，则，解得， 即存在，使函数具有“-互倒性”. （2）； （3） 当时，， 设是的两个零点，则①， ②， ①②得， 整理得 假设，则，所以， 又，所以，而与同号， 所以与同号， 与矛盾， 所以假设不成立，所以. 【解析】 【分析】（1）假设具有“-互倒性”，由求判断； （2）将函数与的图象恰有一个交点转化为恰有一根求解； （3）用反证法证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，, 函数与的图象恰有一个交点，即方程有且仅有一个解， 令，则，，方程变为：， 即，令， 对，由均值不等式，当且仅当，即时取等号， 对，当时其最小值为， 所以当时，取得最小值， 因为方程有且仅有一个解，所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试 数学试题 命题人：陈斐 陈森君 陈晓萱 王学成 吴浩 时量：120分钟 满分：150分 得分：__________ 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 4. 已知函数若，则的值为（ ） A. 1 B. 或2 C. 1或2 D. 2 5. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（ ） A. 和无法确定 B. 和无法确定 C. 和 D. 和 7. 已知函数（且）是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. ， B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，，则 11. 已知连续函数满足：①，，有；②当时，；③．则以下说法正确的是（ ） A. B. C. 在区间上的最大值是6 D. 不等式的解集为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，，则__________（用，表示）． 13. 已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x－1，则f(x)＝________. 14. 对于任意实数，，定义已知实数，均大于0，令，则的最大值为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知命题，，命题，． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 17. 2023年宜宾市新添城市名片“中国动力电池之都”，初步建成较为完整的配套协同动力电池产业布局，并搭建起从原材料到整车制造的新能源汽车产业链.新能源电动车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车､纯电动汽车.有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速.经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示： 0 10 40 60 0 1420 4480 6720 为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③. （1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式； （2）现有一辆同型号纯电动汽车从宜宾行驶到重庆某地，其中，国道上行驶，高速上行驶.假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量与速度的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速（单位：）满足，且每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足.则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 18. 已知函数，． （1）判断并用定义证明函数在区间上的单调性； （2）若，在区间上恒成立，求实数的取值范围； （3）若存在实数，使得函数在区间上的值域是，求实数的取值范围． 19. 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，都有，则称具有“-互倒性”．设，． （1）判断函数是否具有“-互倒性”，并说明理由； （2）当时，若函数与的图象恰有一个交点，求实数的值； （3）当时，设，已知在区间上有两个零点，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $