精品解析：重庆市复旦中学教育集团2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

重庆复旦中学教共体2025-2026学年度上期期中考试 高2027届数学试题 本试卷分为I卷和II卷，考试时间120分钟，满分150分.请将答案工整地书写在答题卡上 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 3. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A B. 且 C. D. 4. 已知直线与直线平行，则的值为（ ） A. 3 B. C. 1或 D. 或3 5. 圆：与圆：公切线的条数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 已知是椭圆上动点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面的位置关系为（ ） A B. 相交但不垂直 C. D. 8. 已知，，若直线上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共小3题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选的得0分 9. 以下四个命题表述正确的是（ ） A 直线恒过定点 B. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则的面积为 C. 已知实数，满足，则的最小值为 D. 已知，，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是或 10. 如图，在三棱柱中，，，，是线段上的点，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 直线与所成角的余弦值为 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为为上关于原点对称的两点（与的顶点不重合），则（    ） A. 的方程为 B. C. 的面积随周长变大而变大 D. 直线和斜率乘积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知空间中的三个点，，，则点到直线的距离为__________. 13. 已知圆，试写出一个半径为1，且与轴和圆都相切的圆的标准方程：__________. 14. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，是椭圆上一点（不在坐标轴上），是的平分线与轴的交点，若，则椭圆离心率的范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知两直线. （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 16. 已知圆的方程为. （1）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； （2）过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值. 17. 已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，直线，的斜率之积为. （1）求椭圆的离心率； （2）若直线与轴，轴分别相交于，两点，且，，求椭圆的方程. 18. 如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，. （1）若点为线段的中点， （i）证明：面； （ii）求点与平面间的距离； （2）若点为线段上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积. 19. 若一个四面体三组对棱分别相等，我们称它为“等腰四面体”.已知在等腰四面体中，分别为所在棱的中点，如图所示. （1）如图1，求证：平面； （2）如图1，若，，求平面与平面所成角的大小； （3）如图2，在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，为其下焦点，经过的直线与交于，两点，为平面下方一点，若四面体为等腰四面体，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆复旦中学教共体2025-2026学年度上期期中考试 高2027届数学试题 本试卷分为I卷和II卷，考试时间120分钟，满分150分.请将答案工整地书写在答题卡上 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标平面对称的特征确定对称点坐标. 【详解】由空间直角坐标系的特征，点关于平面的对称点为. 故选：A 2. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出直线的斜率，得到直线的一个方向向量，再根据向量共线可判断出结果. 【详解】因为，所以斜率， 所以一个方向向量为，即， 选项中仅有与共线，所以是直线的一个方向向量， 故选：B. 3. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程表示椭圆且焦点在轴上，列出不等式求参数范围. 【详解】由题意. 故选：C 4. 已知直线与直线平行，则的值为（ ） A. 3 B. C. 1或 D. 或3 【答案】B 【解析】 【分析】根据两条直线平行列出方程，再代入验证即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以,解得，或； 当时，两条直线为：两条直线重合，舍去； 当时，两条直线为：两条直线平行； 故选：B 5. 圆：与圆：公切线的条数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】求出两圆圆心距离和半径后，可得位置关系，由位置关系可得公切线的条数. 【详解】由圆，得圆心，半径； 由圆，得，即圆心，半径. 两圆圆心距， 所以，即两圆相交，所以两圆公切线有2条. 故选：C. 6. 已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令与直线平行且与椭圆相切的直线为，与椭圆方程联立，应用求参数值，再由平行线的距离公式求最小距离. 【详解】令与直线平行且与椭圆相切的直线为， 联立，则， 所以，可得，即， 所以，所求直线为， 对于，与直线的距离为， 对于，与直线的距离为， 所以最小距离为. 故选：B 7. 空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面的位置关系为（ ） A. B. 相交但不垂直 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件分别确定平面和直线的法向量和方向向量，结合已知点，再判断它们的位置关系. 【详解】由题设，平面的方程可写为， 所以平面经过点，且一个法向量为， 又直线的一个方向向量为， 所以，即，则或， 由于点在直线上，显然不在平面内，故，即. 故选：A 8. 已知，，若直线上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由两点间距离公式结合求出点的轨迹，然后再利用圆与直线有公共点可解. 【详解】设， 则， 因为，所以， 化简可得，即点在以为圆心，4为半径的圆上， 又直线上存在点，所以直线与圆有公共点， 所以，平方化简可得， 解得的取值范围为. 故选：D. 二、选择题：本大题共小3题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选的得0分 9. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则的面积为 C. 已知实数，满足，则的最小值为 D. 已知，，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是或 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，将直线化为求定点判断，对于B，由余弦定理及椭圆的定义可得，再应用三角形面积公式求面积判断，对于C，根据题设确定的几何意义，进而数形结合求其最小值，对于D，由两点式求线段与直线相交情况下直线的斜率范围，进而确定不相交对应的斜率范围判断. 【详解】对于A：由题设，直线可化为，联立，则其恒过定点，所以A对； 对于B：由题意，且， 又，则， 所以，则，即， 所以的面积为，所以B对； 对于C：由的圆心为，半径为， 而表示圆上点与原点所成直线的斜率，如下图示， 由图知，的范围是以过原点的两条切线的斜率为上下界， 即，故， 所以最小值为，所以C错； 对于D：由题设，， 由图知，过点的直线与线段相交，则直线斜率， 过点的直线与线段不相交，故，所以D错. 故选：AB 10. 如图，在三棱柱中，，，，是线段上的点，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 直线与所成角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：根据，通过空间向量的加减以及数乘运算将表示为的线性组合；B：记，，，用的线性组合表示出，再通过数量积的定义求解出；C：用的线性组合表示出，根据求解出结果；D：先计算出，然后根据求解出结果. 【详解】对于A：由题意知 ，故A错误； 对于B：记，，，所以， 所以，故B正确； 对于C：， 所以 ，故C正确； 对于D：由，， 所以， 所以， 又 ， 所以，所以直线与所成角的余弦值为，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为为上关于原点对称的两点（与的顶点不重合），则（    ） A. 的方程为 B. C. 的面积随周长变大而变大 D. 直线和的斜率乘积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】A由椭圆的离心率求解；B由椭圆的对称性知：，从而，借助基本不等式可得的最小值；表示出周长和面积分析可得；D设，则，，由点 在椭圆上，即可化得的值. 【详解】由题易知，解得，故椭圆方程为，故A正确； 连接，由椭圆对称性知为平行四边形， ， ， 当且仅当，时等号成立，故正确； 对C：由B知：， 设，则， 的面积为， 由对称性，不妨设在第一象限及正半轴上， 故随的增大而减小，的面积为随的增大而增大， 即的面积随周长变大而变小，C错误； 对D：设，则， 又，所以， 点 在椭圆上，结合C，， 所以，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知空间中的三个点，，，则点到直线的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知及向量数量积的坐标运算易得，从而有点到直线的距离为，即可得. 【详解】由题设，则， 所以，则点到直线的距离为. 故答案为： 13. 已知圆，试写出一个半径为1，且与轴和圆都相切的圆的标准方程：__________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】与轴相切需要满足圆心横坐标的绝对值为1，再数形结合考虑圆与圆外切或内切的情况即可得解. 【详解】由图可知，满足题意的圆共有四个： 设与圆内切的圆,故有：,解得, 故圆标准方程为：； 设与圆外切的圆,故有：,解得, 故圆的标准方程为：； 现计算圆心横坐标为且与圆外切的两个圆的方程. 设圆心，则有：, 整理得：,解得. 由对称性可知，的两解即的纵坐标. 因此，满足题意的圆共有四个：,,,,选择其中一个即可. 故答案为：（答案不唯一） 14. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，是椭圆上一点（不在坐标轴上），是的平分线与轴的交点，若，则椭圆离心率的范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由三角形内角平分线的性质结合椭圆的定义可得，从而有，结合椭圆离心率的范围，即可得. 【详解】∵，若在O在同侧， 则，， ∵是的角平分线， ∴，则， 由，得， 由，得，且， ∴椭圆离心率的范围是； 若在O在异侧，则，，， 则，得，所以，得，且， ∴椭圆离心率的范围是； 综上，椭圆离心率的范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知两直线. （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程； （2）求出点的对称点，利用两点之间直线最短可求答案. 【小问1详解】 联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； 【小问2详解】 设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则, 故的最小值为. 16. 已知圆的方程为. （1）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； （2）过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知得圆心，半径，讨论直线的斜率的存在性，结合圆的弦长公式、点线距离公式列方程求参数，即可得直线方程； （2）由圆的切线长，结合（为圆心到直线的距离），进而求其最小值，注意取值条件. 【小问1详解】 由题意，圆的标准方程为，圆心，半径， 当斜率不存在时，直线，则圆心到直线的距离， 所以直线截圆所得弦长为，符合题意， 当斜率存在时，设直线，圆心到直线的距离为， 根据垂径定理，得，即，解得， 故直线的方程为或； 【小问2详解】 由题意， 而到直线的距离，则， 所以，当且仅当时取等号，故最小值为. 17. 已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，直线，的斜率之积为. （1）求椭圆的离心率； （2）若直线与轴，轴分别相交于，两点，且，，求椭圆的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用点差法得到，再由离心率公式计算可得； （2）依题意可得为线段的中点，求出直线与坐标轴的交点，即可得到点坐标，从而求出，由求出，即可得到直线方程，由（1）得椭圆，联立直线与椭圆方程，列出韦达定理，利用弦长公式求出，即可得到椭圆方程. 【小问1详解】 依题意得，设，， 直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，则， ， ，，， 又直线与直线的斜率乘积为， ，则离心率． 【小问2详解】 因为直线与轴，轴分别相交于，两点，且， 为线段的中点，所以为线段的中点， 直线与轴，轴的交点为，， 所以，所以， 又，所以或（舍去）， 所以直线，又椭圆， 由，消去整理得， 由得，又，， 所以， 所以，则， 所以椭圆的方程为. 18. 如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，. （1）若点为线段的中点， （i）证明：面； （ii）求点与平面间的距离； （2）若点为线段上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积. 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）取的中点，通过证明四边形是平行四边形可得，由此证明线面平行；（ii）建立合适空间直角坐标系，利用向量法求解出点与平面间的距离； （2）设，利用向量法求解出的最大值即可求解出的值，从而可求得三棱锥的高和底面积，则三棱锥的体积可求. 【小问1详解】 （i）证明：如图，取的中点，连接， 因为为的中点，所以，且， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形，所以，且平面，平面， 所以平面； （ii）取中点，连接， 因为，所以， 因为， 所以四边形是正方形，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 在平面内作直线的垂线， 则平面，有，， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以平面，因为平面，所以， 由，，知， 由，可得， 从而，所以， 设平面的一个法向量为， 由，取，则，，所以， 因为面，所以到平面的距离即为直线与平面间的距离， 又，所以到平面的距离， 所以直线与平面间的距离为. 【小问2详解】 由条件知，设， 所以， 取平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， 所以， 当时，； 当时，， 当时，有最大值，此时， 所以到平面的距离为，且， 所以三棱锥的体积为. 19. 若一个四面体三组对棱分别相等，我们称它为“等腰四面体”.已知在等腰四面体中，分别为所在棱的中点，如图所示. （1）如图1，求证：平面； （2）如图1，若，，求平面与平面所成角的大小； （3）如图2，在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，为其下焦点，经过的直线与交于，两点，为平面下方一点，若四面体为等腰四面体，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）连接，，，，证得四边形为菱形，连接，则，连接，得，且四边形为菱形，应用线面垂直的判定证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，求相关平面的法向量，应用向量法求面面角的大小； （3）设，，结合题设有，联立直线与椭圆方程，根据已知有中角为锐角，再应用韦达定理及向量数量积的坐标表示列不等式求参数范围. 【小问1详解】 连接，，，，如图1， 则，， 所以，则四边形为平行四边形， 又，，所以， 所以四边形为菱形，连接，则， 连接，同理得，且四边形为菱形， ，交于一点且都在平面内，所以平面； 小问2详解】 如图2，将该三棱锥补全为一个长方体，并建立空间直角坐标系， 由，，得，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以， 由图知，二面角为锐角，所以二面角的大小为； 【小问3详解】 设，，因直线过椭圆焦点，所以， 联立，得，则， 所以，则， 由，，为某长方体三个顶点，结合题设新定义，易知中，为锐角， 所以，只需角锐角，即，得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $