精品解析：贵州省贵阳市第一中学2025-2026学年高一上学期11月期中检测数学试题

贵阳市第一中学2025-2026学年高一上学期期中检测 数学试卷 一、单选题（本大题共7小题） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据交集的运算即可得到结果. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 2. 已知函数（）的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由正切函数的性质得出，继而由周期公式得出. 【详解】解：设的最小正周期为，由函数（）的图象上相邻两 个对称中心之间的距离为，知，， 又因为，所以，即，则． 故选：B． 3. 若将的图象进行变换，使得其与的图象重合，则下列变换正确的是（ ） A. 先将的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的 B. 先将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的 C. 先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向左平移个单位 D. 先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向右平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移变换和周期变化的原则逐一判断即可. 【详解】对于A，先将的图象向右平移个单位，得， 再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的， 得，故A错误； 对于B，先将的图象向左平移个单位，得， 再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得，故B错误； 对于C，先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得， 再将图象向左平移个单位，得，故C正确； 对于D，先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得， 再将图象向右平移个单位，得，故D错误. 故选：C. 4. 已知向量，，则“”是“与的夹角为锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先根据两向量的夹角为锐角，可知且与不同向共线，然后根据充分必要性判断即可. 【详解】解：由题意得： 当与的夹角为锐角时，且与不同向共线， 即，所以，且， 所以“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件. 故选：B 5. 已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知可得，利用投影向量的定义可求在上的投影向量. 【详解】由题意可得， 由，可得，解得， 所以在上的投影向量为. 故选：C. 6. 如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】先确定的位置，接着由进行转化，利用共线定理得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】由题可设， 则由题意得， 因为、、三点共线，故， 所以， 所以， 又、、三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 7. 已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，可得， 依题意， 解得（*）. 又又，则， 故由（*）得，时，即①. 由，得， 因对任意，都有，则， 解得， 因为，故时，即②. 综合①，②，可得的取值范围为. 故选：C 二、多选题（本大题共3小题） 8. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（ ） （参考数据：） A. B. 若，且扇形的半径，则 C. 若扇面为“美观扇面”，则 D. 若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用扇形面积公式来求解各选项即可. 【详解】对于A，因为与所在扇形的圆心角分别为，， 所以，故A正确： 对于B，因为，所以， 所以，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：AC. 9. 已知随机事件，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则事件与事件相互独立 B. 若，则事件与事件互对立 C. 若事件两两独立，则 D. 若事件两两互斥，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据反例可判断BC的正误，根据独立事件的定义可判断A的正误，根据互斥事件的概率性质可判断D的正误. 【详解】对于A，根据事件独立性的定义可得独立，故A正确； 对于B，记事件A：投掷一个骰子，骰子的点数为奇数， 事件：投掷一枚硬币，正面朝上，则，满足， 但不是对立事件，故B错误；. 对于C：考虑从1，2，3，4中随机选出一个数字， 记事件“取出的数字为1或2”，“取出的数字为1或3”，“取出的数字为1或4”， 则“取出的数字为1”， 显然， ， 满足，，， 所以事件A，B，C两两独立，但是，故C错误. 对于D，若两两互斥， 根据互斥事件的概率性质可得， 故选：AD 10. 将函数的图象向右平移个单位长度得到，的图象，在处取得极小值，与该极小值点相邻的一个对称中心为，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为π B. 若是奇函数，则， C. 在上单调递增 D. 在上的值域为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据已知先求，然后利用极小值点求，再根据平移变化求的解析式，由周期公式可判断A；由为奇函数可知，整理可判断B；根据余弦函数的单调性求出的单调递增区间可判断C；由得，根据余弦函数性质可得值域，可判断D. 【详解】由题知，，，所以， 所以， 又，所以，即， 因为，所以，所以， 将的图象向左平移后所得图象的函数解析式为： ， 对于A，由周期公式得，A正确； 对于B，， 若是奇函数，则，即，B正确； 对于C，由，解得，即在上单调递增， 所以在上单调递增，C正确； 对于D，当时，，所以， 所以，即的值域为，D错误. 故选：ABC 三、填空题（本大题共3小题） 11. 已知为钝角，且，角，，满足，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】首先“切化弦”，再利用两角和与差的三角函数公式求，再结合的范围求角. 【详解】因为 所以， 则， 即. 因为，所以，且为钝角，. 所以， 故 所以，又为锐角，所以. 故答案为： 12. 已知函数.若，则x的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】结合函数的定义域求出的范围，分，以及三种情况进行讨论即可. 【详解】因为的定义域为，所以，即， 当时，，不合题意， 当时，，则等价于，所以，因此，即，所以，因此，方程无解； 当时，，则等价于，所以，因此，即，所以，因此，即，则符合； 所以x的取值范围是. 故答案为：. 13. 若为边长为等边三角形，动点满足，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得在以为圆心，为半径的圆上，根据数量积的定义求出，再求出，则，再研究的大小与方向，可得的最大、最小值，最终得到的取值范围． 【详解】在同一平面内动点满足，则在以为圆心，为半径的圆上， ，， ， ， ，， ， ， ， 是边长为的等边三角形， 向量是与垂直且方向向上，长度为的一个向量， 由此可得，点在圆上运动，当与共线同向时，取最大值，且这个最大值为， 当与共线反向时，取最小值，且这个最小值为， 故的最大值为，最小值为．即的取值范围是. 故答案： 四、解答题（本大题共5小题） 14. 已知，，与的夹角是 （1）计算：①，②； （2）当为何值时，与垂直？ 【答案】（1）①；②；（2）. 【解析】 【分析】利用数量积的定义求解出的值；（1）将所求模长平方，从而得到关于模长和数量积的式子，代入求得模长的平方，再开平方得到结果；（2）向量互相垂直得到数量积等于零，由此建立方程，解方程求得结果. 【详解】由已知得： （1）① ② （2）若与垂直，则 即：，解得： 【点睛】本题考查利用数量积求解向量的模长、利用数量积与向量垂直的关系求解参数的问题.求解向量的模长关键是能够通过平方运算将问题转化为模长和数量积运算的形式，从而使问题得以求解. 15. 赣州市是我国当今保存最完好的北宋城，有“江南宋城”之誉，是客家先民中原南迁的第一站，世称“客家摇篮”，被命名为“国家历史文化名城”、“中国优秀旅游城市”.目前，赣州市形成了“红色故都、客家摇篮、江南宋城、生态家园、世界橙乡、堪舆圣地”六大旅游品牌年国庆假期，赣州旅游再次火爆“出圈”.据统计，10月1日至7日，全市共接待游客万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，并将收集到的游客满意度分值数据满分100分分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计100名游客满意度分值的中位数结果保留整数 （2）用分层随机抽样的方法从中抽取5个人，再从这5个人中随机抽两人进行深入访谈，求2人满意度分值在同一区间的概率; （3）已知满意度分值在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差 【答案】（1） （2）； （3）， 【解析】 【分析】（1）频率分布直方图，所有组距对应的频率之和为，利用这个性质可求出的值.中位数是将数据从小到大排序后，位于中间位置的数（如果数据个数为奇数）或中间两个数的平均值（如果数据个数为偶数），根据频率分布直方图求中位数需要通过计算累计频率来确定. （2）先根据分层随机抽样的原理确定从和中抽取的人数，然后利用组合数计算从个人中随机抽两人且在同一区间的概率. （3）求的平均数和方差，可根据平均数和方差的计算公式，结合已知区间的平均数和方差进行计算. 【小问1详解】 由，解得 满意度分值在的频率为， 在的频率为， 所以中位数落在区间内， 所以中位数为 【小问2详解】 从中抽取2人，记为A，B， 从中抽取3人，记为a，b，c 所以5个人中随机抽取两人，所以抽取的结果有：，共有10种情况， 取到2人满意度分值在同一区间有有4种情况，所以概率为， 人满意度分值在同一区间的概率为； 【小问3详解】 满意度分值在的频率为，人数为 在的频率为，人数为30， 满意度分值在的平均数，方差， 在的平均数，方差， 所以满意度分值在的平均数， 满意度分值在的方差为s22-2] 16. 人脸识别技术在社会各行各业中应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中，为了检测样本之间的相似度主要运用余弦距离进行测试.二维空间有两个点，，定义之间的余弦距离为，其中. （1）若，，求之间的余弦距离； （2）已知，，，，若，， ①求之间的余弦距离； ②求的值． 【答案】（1）； （2）①；②5 【解析】 【分析】（1）根据新定义计算即可； （2）①由新定义及所给点的坐标得出，，再求出，即可得出之间的余弦距离； ②由，，展开化简可得解. 【小问1详解】 由题意得， ∴之间余弦距离为； 【小问2详解】 ①由题意得 ∵，∴，∴， ∵， ∴，∵，∴ ∴，之间的余弦距离为. ②由①可得，， ∴，∴ ∴ 17. 定义在上的函数，已知其在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为3；当，函数取得最小值为. （1）求出此函数的解析式； （2）是否存在实数，满足不等式，若存在求出的取值范围，若不存在，请说明理由； （3）若将函数的图像保持横坐标不变，纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值. 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）先利用三角函数最值与周期的性质求得，再由求得，从而得解； （2）先根据根号的性质求得的取值范围，再结合的单调性得到关于的不等式，由此得解； （3）先利用三角函数平移的性质求得与，再利用复合函数的单调性确定满足条件时与的取值，从而求得的范围，由此得解. 【小问1详解】 ，， 又在内只取到一个最大值和一个最小值， ，， ，， 则，又，， . 【小问2详解】 假设存在实数，满足题设不等式， 则满足，解得， ，， 同理， 当时，，故在上单调递增， 若有， 只需要，即成立即可， 存在，使成立. 【小问3详解】 由题意得， 函数与函数均为单调增函数，且， 当且仅当与同时取得才有的最大值为, 由，得， 则由，得， ，则， 又，的最小值为. 【点睛】关键点睛：本题第3小问的解决关键是利用复合函数的单调性，结合三角函数的性质确定满足条件时与的取值，从而得解. 18. 对于三维向量，定义“变换”：，其中，．记，． （1）若，求及； （2）证明：对于任意，经过若干次变换后，必存在，使； （3）已知，将再经过次变换后，最小，求的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）505 【解析】 【分析】（1）根据定义找出，，从而得到，； （2）利用反证法，假设对，然后导出矛盾，命题得证； （3）先求出，再通过变换，找到最小的时的情况. 【小问1详解】 因为，，， 所以. 【小问2详解】 设， 假设对，则均不为0． 所以． 即． 因为， 所以． 所以． 与矛盾，故假设不正确． 综上，对于任意，经过若干次变换后，必存在，使． 【小问3详解】 设，因为， 所以有或． 当时，可得三式相加得． 又，可得． 当时，也可得，于是． 设的三个分量为这三个数， 当时，的三个分量为这三个数， 所以． 当时，的三个分量为， 则的三个分量为的三个分量为， 所以． 所以，由，可得． 因为，所以任意的三个分量始终为偶数， 且都有一个分量等于2． 所以三个分量只能是三个数， 的三个分量只能是三个数． 所以当时，；当时，． 所以的最小值为505． 【点睛】关键点睛：新定义问题，常见于选择（填空）的压轴小题中，少数会出现在解答题中，主要考查利用相关的知识点解决概念创新问题的能力，对新定义的理解以及转化，较灵活，属于综合题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市第一中学2025-2026学年高一上学期期中检测 数学试卷 一、单选题（本大题共7小题） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数（）的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 3. 若将的图象进行变换，使得其与的图象重合，则下列变换正确的是（ ） A. 先将的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的 B. 先将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的 C. 先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向左平移个单位 D. 先将图象上所有点横坐标缩短到原来的，再将图象向右平移个单位 4. 已知向量，，则“”是“与的夹角为锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量为（    ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 15 7. 已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题） 8. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（ ） （参考数据：） A. B. 若，且扇形的半径，则 C. 若扇面为“美观扇面”，则 D. 若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为 9. 已知随机事件，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则事件与事件相互独立 B. 若，则事件与事件互对立 C. 若事件两两独立，则 D. 若事件两两互斥，则 10. 将函数图象向右平移个单位长度得到，的图象，在处取得极小值，与该极小值点相邻的一个对称中心为，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为π B. 若是奇函数，则， C. 在上单调递增 D. 在上的值域为 三、填空题（本大题共3小题） 11. 已知为钝角，且，角，，满足，则______. 12. 已知函数.若，则x的取值范围是___________. 13. 若为边长为等边三角形，动点满足，则的取值范围为______. 四、解答题（本大题共5小题） 14. 已知，，与的夹角是 （1）计算：①，②； （2）当为何值时，与垂直？ 15. 赣州市是我国当今保存最完好北宋城，有“江南宋城”之誉，是客家先民中原南迁的第一站，世称“客家摇篮”，被命名为“国家历史文化名城”、“中国优秀旅游城市”.目前，赣州市形成了“红色故都、客家摇篮、江南宋城、生态家园、世界橙乡、堪舆圣地”六大旅游品牌年国庆假期，赣州旅游再次火爆“出圈”.据统计，10月1日至7日，全市共接待游客万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，并将收集到的游客满意度分值数据满分100分分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计100名游客满意度分值的中位数结果保留整数 （2）用分层随机抽样方法从中抽取5个人，再从这5个人中随机抽两人进行深入访谈，求2人满意度分值在同一区间的概率; （3）已知满意度分值在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差 16. 人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中，为了检测样本之间的相似度主要运用余弦距离进行测试.二维空间有两个点，，定义之间的余弦距离为，其中. （1）若，，求之间的余弦距离； （2）已知，，，，若，， ①求之间的余弦距离； ②求的值． 17. 定义在上的函数，已知其在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为3；当，函数取得最小值为. （1）求出此函数的解析式； （2）是否存在实数，满足不等式，若存在求出的取值范围，若不存在，请说明理由； （3）若将函数的图像保持横坐标不变，纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值. 18. 对于三维向量，定义“变换”：，其中，．记，． （1）若，求及； （2）证明：对于任意，经过若干次变换后，必存在，使； （3）已知，将再经过次变换后，最小，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $