精品解析：山东省德州市（优高联考）2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

高二数学试题 2025.11 主考学校：禹城一中 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页，共150分，测试时间120分钟. 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上. 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知向量，，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由数量积的坐标运算即可求解. 【详解】， 所以， 故选：C 2. 已知直线与直线平行，则a的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 2或 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行得到方程，解出值后再检验即可. 【详解】由题意得，解得或， 当时，直线与直线平行，满足题意； 当时，直线与直线重合，不合题意，舍去. 则a的值为. 故选：A. 3. 已知直线l经过点，，则正确的是（ ） A. 直线l的斜率为1 B. 直线l的倾斜角为 C. 直线l的方向向量为 D. 直线l的法向量为 【答案】B 【解析】 【分析】由两点求得斜率，进而逐项判断即可. 【详解】由斜率公式得， 所以倾斜角为，方向向量为， 法向量为，其中，所以A，C，D错误，B正确. 故选：B 4. 经过椭圆的左焦点作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得直线的方程，再与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式求解. 【详解】在中，，， 所以，即， 故左焦点为，而， 故直线的方程为， 联立得， ，设，， 由韦达定理得，， 则由弦长公式得． 故选：B． 5. 在三棱锥O-ABC中，M，N分别是边OA，CB的中点，点G在线段MN上，且，用向量，，表示向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量线性运算求得答案. 【详解】依题意， . 故选：C. 6. 已知圆：与圆：有公共点，则实数a的可能取值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由圆心距和半径和差的关系构造不等式求解即可. 【详解】，圆心，半径为1， ，圆心为，半径为， 因为两圆有公共点， 所以， 解得， 结合选项只有B符合， 故选：B 7. 已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件求得，进而求得双曲线的渐近线方程. 【详解】因为双曲线的两个焦点分别为，， 故双曲线的方程为，且， 又点在该双曲线上，所以，解得， 所以，故该双曲线的渐近线方程是. 故选：A 8. 如图，在正方体中，点P在线段上，若直线DP与平面所成的角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设正方体的棱长为1，且，以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求得和平面的法向量，结合向量的夹角公式，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设正方体的棱长为1，且， 以点为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 则， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 则， 设，即 当时，；当或时，， 所以. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求；全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线l：，圆C：，点，则下列说法正确的是（ ） A. 若直线l与圆C相离，则点A在圆C内 B. 若直线l经过点A，则点A在圆C上 C. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相交 D. 若点A在圆C上，则过点A的圆的切线方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，逐项计算判断即可得结论． 【详解】对于A，若直线l与圆C相离，则，所以， 所以点A在圆C内，故A正确； 对于B，若直线l经过点A，则，则， 所以点A在圆C上，故B正确； 对于C，若点A在圆C内，则， 则圆心C到直线的距离， 所以直线l与圆C相离，故C错误； 对于D，若点A在圆C上，则，当且时，则， 则过点A的圆的切线斜率为，方程为，化简得， 当时，，则过点A的圆的切线斜率为，切线方程为，满足， 当时，，则过点A的圆的切线斜率不存在，切线方程为，满足， 综上所述：若点A在圆C上，则过点A的圆的切线方程为，故D正确. 故选：ABD. 10. 在平行六面体中，各棱长均为2，.则下列命题中正确的是（ ） A. B. C. 不是空间的一组基底 D. 直线与底面所成角的正弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由向量的线性运算及模长公式求解即可；对于B，可证明即可判断；对于C，由题可得即可判断；对于D，连接交于点，过作交于，可证平面，则就是直线与底面所成角，再求边长确定余弦值即可． 【详解】对于A，， ，故A错误； 对于B，，， ， ，故B正确； 对于C，，即共面， 即不是空间的一组基底，故C正确； 对于D，连接交于点， 易知，又，平面， 平面，又平面，所以， 过作交于， 平面，， 又平面， 所以平面， 则就是直线与底面所成角， ， ， ，则， ， 即直线与底面所成角的正弦值为，故D正确； 故选：BCD． 11. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：，点为曲线C上一点，则（ ） A. 曲线C关于x轴对称 B. 曲线C为中心对称图形 C. 直线与曲线C有且仅有两个公共点 D. 点P的横坐标的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】将、代入方程可判断A、B；联立直线与曲线C：，解方程组可判断C；由，解不等式判断D. 【详解】将方程中的用替换可得，即， 因为所得方程与方原程不恒等，所以曲线C不关于x轴对称，故A错误； 将方程中的用替换，用替换， 可得，即，新方程与原方程相同， 所以曲线关于原点对称，故B正确； 联立，则，整理得， 因为，所以方程有两不等的解， 所以直线与曲线C有且仅有两个公共点，故C正确； 由C：，则C：， 可得，解得，所以点P的横坐标的取值范围为，故D错误. 故选：BC. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，，，使得与垂直的x值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，， 则， 则，即，解得. 故答案为：. 13. 已知圆C：，直线l过点，若直线l与圆C相切，则直线l的方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，分过点的直线的斜率存在与不存在两种情况讨论求解即可. 【详解】当过点的直线的斜率存在时，设切线方程为，即， 因为圆心到切线的距离等于半径1，所以，解得， 所以切线方程为，即， 当过点的直线的斜率不存在时，其方程为， 圆心到此直线的距离等于半径1，故直线也符合题意， 综上所述，所求的直线的方程是或. 故答案为：或. 14. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，其中A，，B三点共线，且，，则双曲线E的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由三角函数表达出其他边长，由双曲线定义求出，从而利用勾股定理求出，从而得到离心率. 【详解】如图，由⊥，可得， 所以，可得， 在Rt中，由，不妨设，则， 由勾股定理得， 又由双曲线的定义可得，， 根据可得，解得， 所以，， 故在中，，即， 故， 故双曲线E的离心率为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程与演算步骤. 15. 已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）设点在圆C内，过点P的最长弦和最短弦分别为GH和EF，求四边形EHFG的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆心，根据解得，即可得圆心和半径，进而可得方程； （2）根据圆的性质分析可知最长弦和最短弦，且最短弦EF垂直于GH，进而可求面积. 【小问1详解】 由题意设圆心， 因为，即， 解得，即， 则半径， 所以圆C的标准方程为. 【小问2详解】 因为， 由圆的性质可知过点P的最长弦过圆心，即为直径，即， 且最短弦EF垂直于GH，可得， 所以四边形EHFG的面积. 16. 如图，已知在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，点Q在棱PA上，且，底面为直角梯形，，，，，M，N分别是PD，PB的中点. （1）求证：平面PCB； （2）直线AD与直线CN所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行判定定理求解； （2）根据异面直线夹角的公式求值. 【小问1详解】 （1）法一：取的中点，连接,则，. 依题意得，，， 则四边形为平行四边形，， 为的中点，所以，所以， 又平面，平面，故平面. 法二：以为原点，以分别为建立空间直角坐标系， 由，，，，，分别是的中点， 可得：，，，， ，，，， 可得，， 设平面的法向量， 则有即，令，则，， 则，又平面 平面. 【小问2详解】 （2）法一：由（1）知，， 则直线与直线的所成角为直线与直线的所成角 因为，，所以 在中， 则直线与直线所成角的余弦值为 法二：由（1）知，, , 所以直线与直线所成角余弦值为. 17. 已知点在双曲线C：（，），且C的实轴长为2，，分别为C的左、右焦点. （1）求双曲线C的标准方程； （2）若P为双曲线上一点. ①当时，求的面积； ②求的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由点在双曲线上，和实轴长得到，求解即可； （2）①由余弦定理得到，再由面积公式即可求解；②，得到，，结合数量积的坐标运算即可求解. 【小问1详解】 由题设条件，可得， 解得，， 故双曲线C的标准方程为； 【小问2详解】 ①因为P为双曲线C：上的一点， 所以，平方得 ①， 在中，由余弦定理，得 ， 即 ②， 由①－②，得，即， 所以的面积； ②设，则，所以，， 因为，，，， ， 所以的取值范围是. 18. 如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. （1）求证：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）在图1中，证得，取AC的中点O，证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得； （2）以为原点，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设点到平面的距离为d，根据题意，求得，得到点到平面的距离为，令得到，结合向量的距离公式，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 证明：在图1中，由，可得， 所以，则， 因为，可得，所以， 在图2中知，取AC的中点O，连接QO，BO， 又因为Q为PC的中点，可得，所以， 因为，可得， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. 【小问2详解】 解：由题意知，平面平面，平面平面，且，所以平面ABC，所以直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为坐标轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，， 则，，，， 设平面的法向量为，则， 令，可得，，所以， 设平面的法向量为，因此， 令，可得，，所以， 因此， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 解：假设线段AP上是否存在点M，使得三棱锥的体积为， 在中，，可得， 因为三棱锥的体积为， 设点到平面的距离为d，可得，因此， 因此点到平面的距离为， 令（），由（2）得，， 又因为平面的法向量为， 则点到平面的距离为，解得， 所以线段上存在点，使得三棱锥的体积为，且. 19. 已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，轴上方的两动点在上，且，当时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求的坐标； （3）椭圆上的任意一点及（2）中的点，点在圆上，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由焦点坐标得到，然后由题意得到坐标，然后代入椭圆方程，即可求得，即可写出椭圆方程； （2）设坐标，由题意得，从而建立方程组，记得两点坐标的关系，然后代入椭圆方程消元后得到M的坐标； （3）由（2）可知的坐标，设，使，建立方程后由在圆上得到坐标，由椭圆定义化简得，当R，P，三点共线时取最小值，求出最小值. 【小问1详解】 由题可知，即， 若，且，则此时轴，即 所以，即，解得，， 所以椭圆C的标准方程. 【小问2详解】 设，，，， 由题可知，则，解得 因为两点M，N在椭圆C上，所以，所以， 即， 解得，，所以M的坐标为. 【小问3详解】 由题意，设，，使， 即，则， 整理得， 又点Q在圆上，所以，解得， 由椭圆定义得， 所以 当三点共线时，， 所以有最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 2025.11 主考学校：禹城一中 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页，共150分，测试时间120分钟. 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上. 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知向量，，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 2. 已知直线与直线平行，则a的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 2或 3. 已知直线l经过点，，则正确的是（ ） A. 直线l的斜率为1 B. 直线l的倾斜角为 C. 直线l的方向向量为 D. 直线l的法向量为 4. 经过椭圆的左焦点作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 5. 在三棱锥O-ABC中，M，N分别是边OA，CB的中点，点G在线段MN上，且，用向量，，表示向量是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆：与圆：有公共点，则实数a的可能取值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，点P在线段上，若直线DP与平面所成的角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求；全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线l：，圆C：，点，则下列说法正确的是（ ） A. 若直线l与圆C相离，则点A在圆C内 B. 若直线l经过点A，则点A在圆C上 C. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相交 D. 若点A在圆C上，则过点A的圆的切线方程为 10. 在平行六面体中，各棱长均为2，.则下列命题中正确的是（ ） A. B. C. 不是空间的一组基底 D. 直线与底面所成角的正弦值为 11. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：，点为曲线C上一点，则（ ） A. 曲线C关于x轴对称 B. 曲线C为中心对称图形 C. 直线与曲线C有且仅有两个公共点 D. 点P的横坐标的取值范围为 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，，，使得与垂直的x值为__________. 13. 已知圆C：，直线l过点，若直线l与圆C相切，则直线l的方程为__________. 14. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，其中A，，B三点共线，且，，则双曲线E的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程与演算步骤. 15. 已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）设点在圆C内，过点P的最长弦和最短弦分别为GH和EF，求四边形EHFG的面积. 16. 如图，已知在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，点Q在棱PA上，且，底面为直角梯形，，，，，M，N分别是PD，PB的中点. （1）求证：平面PCB； （2）直线AD与直线CN所成角的余弦值. 17. 已知点在双曲线C：（，），且C的实轴长为2，，分别为C的左、右焦点. （1）求双曲线C的标准方程； （2）若P为双曲线上一点. ①当时，求的面积； ②求的取值范围. 18. 如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. （1）求证：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，轴上方的两动点在上，且，当时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求的坐标； （3）椭圆上的任意一点及（2）中的点，点在圆上，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $