5.2 二次函数的图像和性质(3) 导学案 2025-2026学年苏科版（2012）数学九年级下册

5.2二次函数的图像和性质(4) 【学习目标】 1. 会用描点法画函数y=a(x+m)²+k(a≠0)的图像； 2. 会用平移变换解释函数y=a(x+m)²+k 与函数y=a²+k、y=a(x+m²、y=ax²(a≠0) 的图像之间的关系； 3. 会用配方法确定二次函数图像的顶点坐标、对称轴，根据对称性列表、描点、画图，并 确定函数的最大值或者最小值. 【学习过程】 活动1:在同一平面直角坐标系中画函数y=x² 、y=(x+3² 和y=(x+3)²+2的图像. 观察：(1)从表格的数值看：相同的自变量所对应的三个函数的函数值有什么关系? (2)从对应点的位置看：函数y=x²、y=(x+3)² 和y=(x+3)²+2 的位置有什么关系? 数学认识： (1)函数y=a(x+m)²+k 的图像与y=ax²(a≠0) 的图像有什么关系? (2)函数y=a(x+m)²+k(a≠0)有什么性质? 活动2: 深化与思考 (1)你能将函数y=-x²-4x-5转化为y=a(x+m)²+k的形式吗?并画出它的图像，指出 的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大(小)值. (2)如何将二次函数y=a²+bx+c转化y=a(x+m)²+k的形式? 数学认识： 二次函数y=ax²+bx+c 转化为y=a(x+m)²+k 的形式是什么?由此，你能得到函数y=ax² +bx+c 的哪些性质? 课时练习 1.通过配方，把下列函数化成y=a(x+m)²+k 的形式，并求出函数的最大值或最小值： (1)y=-0.5x2+x (2)y=x²+3x-1. 课堂小结： 谈谈你这一节课学到了什么? 课后习题 1.填空题： (1)x²-6x+ =(x- )²,x2+1.5x+ =(x+ )2 x²-4x+5=(x-2)²+ x²+5x+7=(x+ )²+ (2)通过配方，把二次函数y=-x²+2x+3化成y=a(x+m)²+k的形式为 ,图像开口向 ,顶点坐标是 ,对称轴是过点 且 平 行 于 轴的直线，函数的最 值是 · 2. 下列图像中，二次函数y=x²-x+2 的图像是( ). 3. 已知二次函数的部分图像(如图),该图像与x轴的另一个交点的坐标是 ( ). A.(5,0) B.(6,0) C.(7,0) D.(8,0) 4.通过配方，把下列函数化成y=a(x+m²+k 的形式，并求出函数的最大值或最小值. (1)y=x²-x+2; (2)y=-2x²+4x-1; (3)y=0.5x2+3x (4)y=3x²-2x-1. 5. 已知二次函数的表达式为y=x²+4x+1. (1)求这个二次函数的图像的顶点坐标； ( 2 ) 当x的取值范围是 时 ，y 随x的增大而减小。 6.二次函数y=2x²+bx+1的图像的对称轴是y轴，求b的值. 7.已知二次函数y=ax²+bx+c,函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … -2 -1 0 1 2 3 … y … 9 4 1 0 1 4 … 求这个二次函数的表达式. 8.如图，利用二次函数的图像回答下列问题： (1)x 取什么值时，函数值大于0?(2)x取什么值时，函数值小于0? (3)二次函数的最小值是多少? (4)函数值随x的增大是怎样变化的? 9.把二次函数y=x²+bx+c 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数 y=x²-8x+10 的图像.求b、c的值. 课时练习 1.(1) 答案：y = -0.5(x - 1)² + 0.5，最大值为0.5 解析：先提取二次项系数-0.5，得到y = -0.5(x² - 2x)，再配方x² - 2x = (x - 1)² - 1，代入得y = -0.5[(x - 1)² - 1] = -0.5(x - 1)² + 0.5。因为a=-0.5<0，开口向下，函数有最大值0.5。 (2) 答案：y = (x + 1.5)² - 3.25，最小值为-3.25 解析：直接配方x² + 3x = (x + 1.5)² - 2.25，代入原式得y = (x + 1.5)² - 2.25 - 1 = (x + 1.5)² - 3.25。因为a=1>0，开口向上，函数有最小值-3.25。 课后习题 1.填空题 (1) 答案：9，3；0.5625，0.75；1；2.5，0.75 解析：根据完全平方公式(a±b)²=a²±2ab+b²，计算常数项： x²-6x+9=(x-3)²（2ab=6x→b=3→b²=9） x²+1.5x+0.5625=(x+0.75)²（2ab=1.5x→b=0.75→b²=0.5625） x²-4x+5=(x-2)² + 1（展开(x-2)²=x²-4x+4，5-4=1） x²+5x+7=(x+2.5)² + 0.75（展开(x+2.5)²=x²+5x+6.25，7-6.25=0.75） (2) 答案：y = -(x - 1)² + 4，下，(1,4)，(1,0)，y，大，4 解析：配方y=-x²+2x+3 = -(x²-2x) + 3 = -(x²-2x+1-1) + 3 = -(x-1)² + 1 + 3 = -(x-1)² + 4。a=-1<0，开口向下；顶点坐标为(1,4)，对称轴是过(1,0)且平行于y轴的直线；开口向下，函数有最大值4。 2.B 3.答案：C. (5,0) 4.(1) 答案：y = (x - 0.5)² + 1.75，最小值为1.75 解析：配方x² - x = (x - 0.5)² - 0.25，代入得y=(x - 0.5)² - 0.25 + 2=(x - 0.5)² + 1.75。a=1>0，开口向上，最小值为1.75。 (2) 答案：y = -2(x - 1)² + 1，最大值为1 解析：提取-2得y=-2(x² - 2x) - 1，配方x² - 2x=(x - 1)² - 1，代入得y=-2[(x - 1)² - 1] - 1=-2(x - 1)² + 2 - 1=-2(x - 1)² + 1。a=-2<0，开口向下，最大值为1。 (3) 答案：y = 0.5(x + 3)² - 4.5，最小值为-4.5 解析：提取0.5得y=0.5(x² + 6x)，配方x² + 6x=(x + 3)² - 9，代入得y=0.5[(x + 3)² - 9]=0.5(x + 3)² - 4.5。a=0.5>0，开口向上，最小值为-4.5。 (4) 答案：y = 3(x - 1/3)² - 4/3，最小值为-4/3 解析：提取3得y=3(x² - 2/3x) - 1，配方x² - 2/3x=(x - 1/3)² - 1/9，代入得y=3[(x - 1/3)² - 1/9] - 1=3(x - 1/3)² - 1/3 - 1=3(x - 1/3)² - 4/3。a=3>0，开口向上，最小值为-4/3。 5.(1) 答案：顶点坐标(-2, -3) 解析：配方y=x² + 4x + 1=(x + 2)² - 4 + 1=(x + 2)² - 3，顶点坐标为(-2, -3)。 (2) 答案：x ≤ -2 解析：二次函数开口向上（a=1>0），对称轴为x=-2，在对称轴左侧（x≤-2），y随x增大而减小。 6.答案：b=0 解析：二次函数对称轴公式为x=-b/(2a)，对称轴是y轴即x=0，代入得0=-b/(2×2)，解得b=0。 7.答案：y = x² - 2x + 1 解析：由表格可知，当x=1时y=0，且x=0和x=2时y=1，x=-1和x=3时y=4，说明顶点坐标为(1,0)，设函数为y=a(x - 1)²。代入x=0，y=1得1=a(0 - 1)²→a=1，展开得y=(x - 1)²=x² - 2x + 1。 8.(1).[答案] 由函数图象可知，抛物线与xc轴的交点为(-1,0),(3,0)，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,-4).当x>3或x<-1时，函数值y>0。 (2).[答案] 当-1<x<3时，函数值小于0。 (3).[答案] 二次函数的最小值为-4。 (4).[答案) 当x<1时，函数值随x的增大而减小，当xc>1时，函数值随x的增大而增大。 9.答案：b=-12，c=27 解析：先将y=x² - 8x + 10配方得y=(x - 4)² - 6。将其反向平移：先向下平移3个单位得y=(x - 4)² - 9，再向右平移2个单位得y=(x - 6)² - 9 = x² - 12x + 36 - 9 = x² - 12x + 27 学科网（北京）股份有限公司 $