精品解析：四川省绵阳东辰高级中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

姓名：________________ 准考证号：__________________ 2025-2026学年度绵阳东辰学校高2023级高三上期中考试 数学学科试题 说明： 1．开始作答前，请考生先在答题卡相应位置填写好自己的个人信息． 2．选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分用0.5mm黑色墨迹签字笔书写． 3．考试结束后，只需要将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集定义，借助于数轴即可求得. 【详解】. 故选：B. 2. 复平面内表示复数的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，复数对应的点为， 则表示复数的点位于第三象限，则选项C正确. 3. 设非零向量，满足，则 A. ⊥ B. C. ∥ D. 【答案】A 【解析】 【详解】由平方得，即，则，故选A. 【点睛】本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，再由，排除部分选项求解. 【详解】函数的定义域为且关于原点对称， 因为，所以为奇函数，即可排除A， 当时，，排除， 故选：B． 5. 将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小.若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】确定1，9的位置，再确定2，3的位置，最后确定余下4个数的位置，列式计算即可. 【详解】由每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小，得在左上角，在右下角，如图，    排在位置，有种方法， 从余下的4个数字中任取2个按从左到右由大到小排在位置，有种方法， 最后两个数字从上到下由大到小排在位置，有1种方法， 所以填写方格表的方法共有（种）. 故选：A 6. 已知不同两点，在曲线上，且满足，则直线AB斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将曲线方程变形可知曲线为半圆弧，将斜率关系转化为过点的直线与圆弧与两不同交点，结合图形可求直线斜率的范围. 【详解】由得， 曲线为以为圆心，为半径的上半圆弧. 由，为不同两点，且， 则过点的直线与半圆弧有两个不同的交点. 如图，直线的斜率为， 当过点的直线与圆相切于点时， 设直线方程为，即：， 由圆心到直线的距离， 解得（舍），或，即直线的斜率为， 如图可知，要使直线与半圆弧有两个不同的交点， 则直线AB斜率的取值范围为，即. 故选：B. 7. 已知、、为实常数，数列的通项，，则“存在，使得、、成等差数列”的一个必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差中项建立等式，代入通项展开，消去参数，得到参数的约束约束，再辨析必要条件. 【详解】存在，使得成等差数列， 可得， 化简可得，所以使得成等差数列的必要条件是. 8. 设为实数，若函数有且仅有一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性，利用零点存在定理可知函数在上只有一个零点，则函数在上无零点，并利用导数分析函数在上的单调性，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】当时，，则且不恒为零， 所以，函数在上单调递增，所以，， 又因为，所以，函数在上只有一个零点； 因为函数只有一个零点，则函数在上无零点， 则当时，，则， 由可得，由可得. 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，只需，解得. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 若函数在区间上单调递增，则（ ） A. 存在，使得函数为奇函数 B. 函数的最大值为 C. 的取值范围为 D. 存在4个不同的，使得函数的图象关于直线对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A选项，计算，得到其与的关系即可判断，对B选项，根据正弦函数的值域即可求出的最大值，对C选项，根据在区间上单调递增，得到不等式组，解出即可，对D选项，令，解出，再结合C选项范围则可得到的值. 【详解】解：，定义域为， 不恒成立， 则不存在，使得函数为奇函数，故A错误; 由，得，则的最大值为，故B正确; 由于在区间上单调递增，故, 解第一个不等式得，,故，解二式得，故， 又，所以，故C正确; 令，，解得，， 由知的取值为，，，，共4个值，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题的难点在于C,D选项的判断，根据的某个单调增区间，则其整体应该在，即应该是后者的子集，再结合，从而得到关键的不等式组，解出范围，而D选项我们采取代入法，将代入则内部整体应等于对称轴通项即，再结合范围，则得到所有取值. 10. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（ ） A. 平面平面 B. 平面 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 三棱锥的体积不变 【答案】ABD 【解析】 【分析】由面面垂直的判定定理可判断A，由面面平行的性质定理可判断B，由线面垂直的性质定理可判断C，由线面平行的性质及棱锥的体积公式可判断D． 【详解】正方体中由平面，平面，可得， 又，是平面内两相交直线，从而得平面， 平面，因此有， 同理，， ∴平面，又平面，∴平面平面，A正确； 正方体中与平行且相等，则是平行四边形，，平面，平面， ∴平面，同理平面，，都在平面内， ∴平面平面，平面，∴平面，B正确； 与A选项同理可证平面，当是与交点时，平面， ，异面直线与所成角为，C错误； 由 B选项，知平面，∴到平面的距离不变，因此三棱锥体积不变，D正确． 故选：ABD． 11. 已知抛物线的焦点为，准线为上的点到焦点的距离为3，过的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），过线段的中点作轴的垂线，交抛物线于点，交的准线于点为坐标原点，则（ ） A. B. 若，则直线的倾斜角为 C. 为常数 D. 的面积不小于的面积 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线定义可得A正确；由弦长公式可得，代入计算可得或，所以B错误；设出直线的方程为并与抛物线方程联立，由韦达定理可得，求出即可得，即C正确；求出弦长，再由点到直线距离公式可得三角形面积表达式为，即可知D正确. 【详解】因为上的点到焦点的距离为3， 根据抛物线的定义可知，所以，所以正确， 对于选项，易知，设直线的倾斜角为，如下图所示： 作于点，作于点， 则，可得， 同理可得， 所以， 令，则，因为，所以， 可得或，所以B错误； 对于选项：因为焦点，所以可设直线的方程为，即， 设，，联立，整理得0， 则，所以，所以， 则，代入抛物线，得，即， 则， 所以，故C正确； 对于D，结合选项C可得： ， 点到直线的距离为，点到直线的距离为， 则， ； 所以可得，即，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：抛物线中弦长与焦半径公式可根据题目条件的不同有很多形式，可以直接由相应结论代入计算即可，也可推导证明后再进行求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，且，则_______. 【答案】2 【解析】 【详解】由题意可得解得. 【点睛】（1）向量平行：，,，，. （2）向量垂直：. （3）向量的运算：，， 13. 在直三棱柱中，若，则=____________.(用表示) 【答案】 【解析】 【分析】连接根据直三棱柱的结构特征及空间向量减法的几何意义可得，结合已知即可求表达式. 【详解】连接则. 故答案为： 14. 已知为个互不相等的正整数，满足，，若集合有个元素，则的最大值为__________.. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列求和公式结合，可得，再利用时，集合中所有元素的平均数与所得矛盾，则可得，举出时符合要求的例子即可得的最大值为. 【详解】由题意可得对任意的，，且， 又互不相等，由， 则， 由，则，故，故； 若，则， 不妨设， 且， 则，，，，， 此时， 与矛盾，故； 当时，有，，，，，，，， 使得，，，， 即，共个元素， 故的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列{an}满足：a4＝7，a10＝19，其前n项和为Sn． （1）求数列{an}的通项公式an及Sn； （2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn． 【答案】（1）,；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． （2）利用“裂项求和”方法即可得出． 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则， 解得，， ∴. （2）， ∴数列的前项和为 . 16. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，且，点E在上. （1）求证：平面； （2）若E为的中点，求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1） 因为底面，、底面，所以，， 所以，， 所以矩形是正方形，所以， 因为，所以平面 （2）. 【解析】 【分析】（1）由条件可得，，然后算出的长度可得矩形是正方形，然后可得，即可证明； （2）、、两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知、、两两垂直，建系如图， ，0，，，2，，，0，，，2，，，1，， ，，，，1，，，2，， 设平面的法向量为， 则，，即 所以可取，0，， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 17. 近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试、某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：并整理得到如图的频率分布直方图： （1）求的值； （2）该机构用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有辆汽车行驶里程不小于8万公里，求的分布列． 【答案】（1） （2）分布列： 0 1 2 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，即可求得的值； （2）由4组无人驾驶汽车的数量比为，得到行驶里程在和抽取的车辆数，得到随机变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望和方差的公式，即可求解； 【小问1详解】 由频率分布直方图的性质，可得，解得. 【小问2详解】 由4组无人驾驶汽车的数量比为：， 若采用分层抽样抽取10辆汽车，则行驶里程在，这一组的无人驾驶汽车有辆， 在行驶里程，这一组的无人驾驶汽车有辆， 由题意知，随机变量的可能取值为， 可得， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 18. 定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求“共轭点对”中点所在直线的方程； （3）设为坐标原点，点在椭圆上，且，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于0，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于. 【答案】（1） ； （2） ； （3） 由（2）知，直线：，由，解得或， 则，， 设点，，则，两式相减得， 又，于是，则，有，线段PQ被直线l平分， 设点到直线的距离为d，则四边形的面积， 而，则有， 设过点P且与直线l平行的直线的方程为，则当与C相切时，d取得最大值， 由消去y得， 令，解得， 当时，此时方程为，即，解得， 则此时点P或点Q必有一个和点重合，不符合条件，从而直线与C不可能相切， 即d小于平行直线和（或）的距离， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用椭圆的定义求出长轴长即可作答. （2）设，根据“共轭点对”的定义列出方程，化简作答. （3）求出的坐标，设点，，利用点差法得，再求出点P到直线l距离的范围即可推理作答. 【小问1详解】 依题意，椭圆的另一焦点为， 因此 ， 于是， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设“共轭点对”中点B的坐标为，由（1）知，点在椭圆C：上， 依题意，直线l的方程为，整理得， 所以直线的方程为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是设点，，代入椭圆方程，利用点差法证明出线段PQ被直线l平分，再设过点P且与直线l平行的直线的方程为，将其与椭圆方程联立，求出直线与椭圆相切时的值，即可证明面积小于. 19. ①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则 . ②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数. 结合以上两个信息，回答下列问题： （1）试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数； （2）计算：； （3）证明：，. 【答案】（1）不是区间上的2阶无穷递降函数； （2） （3） 令，则原不等式等价于， 即证， 记，则， 所以， 即有对任意，均有， 所以， 因为， 所以， 所以，证毕! 【解析】 【分析】（1）根据函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义即可判断； （2）通过构造，再结合即可得到结果； （3）通过换元令令，则原不等式等价于，再通过构造函数，根据题干中函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义证出，即可证明结论. 【小问1详解】 设， 由于， 所以不成立， 故不是区间上的2阶无穷递降函数. 【小问2详解】 设，则， 设， 则， 所以，得. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用函数方法证明不等式成立问题时，应准确构造相应的函数，注意题干条件中相关限制条件的转化. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名：________________ 准考证号：__________________ 2025-2026学年度绵阳东辰学校高2023级高三上期中考试 数学学科试题 说明： 1．开始作答前，请考生先在答题卡相应位置填写好自己的个人信息． 2．选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分用0.5mm黑色墨迹签字笔书写． 3．考试结束后，只需要将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 复平面内表示复数的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设非零向量，满足，则 A. ⊥ B. C. ∥ D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小.若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 6. 已知不同两点，在曲线上，且满足，则直线AB斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知、、为实常数，数列的通项，，则“存在，使得、、成等差数列”的一个必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 设为实数，若函数有且仅有一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 若函数在区间上单调递增，则（ ） A. 存在，使得函数为奇函数 B. 函数的最大值为 C. 的取值范围为 D. 存在4个不同的，使得函数的图象关于直线对称 10. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（ ） A. 平面平面 B. 平面 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 三棱锥的体积不变 11. 已知抛物线的焦点为，准线为上的点到焦点的距离为3，过的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），过线段的中点作轴的垂线，交抛物线于点，交的准线于点为坐标原点，则（ ） A. B. 若，则直线的倾斜角为 C. 为常数 D. 的面积不小于的面积 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，且，则_______. 13. 在直三棱柱中，若，则=____________.(用表示) 14. 已知为个互不相等的正整数，满足，，若集合有个元素，则的最大值为__________.. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列{an}满足：a4＝7，a10＝19，其前n项和为Sn． （1）求数列{an}的通项公式an及Sn； （2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn． 16. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，且，点E在上. （1）求证：平面； （2）若E为的中点，求直线与平面所成的角的正弦值. 17. 近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试、某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：并整理得到如图的频率分布直方图： （1）求的值； （2）该机构用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有辆汽车行驶里程不小于8万公里，求的分布列． 18. 定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求“共轭点对”中点所在直线的方程； （3）设为坐标原点，点在椭圆上，且，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于0，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于. 19. ①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则 . ②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数. 结合以上两个信息，回答下列问题： （1）试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数； （2）计算：； （3）证明：，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $