精品解析：宁夏回族自治区银川市永宁县永宁中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

永宁中学2025-2026学年第一学期期中高二数学试题 考试时间：120分钟 命题人：李五寅 命题校对：高二数学备课组 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 圆心为，半径为3的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的标准方程易得. 【详解】圆心为，半径为3的圆的方程为. 故选：C. 2. 已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线过的两点的坐标，可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小. 【详解】直线l经过点，所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 即，所以. 故选：B. 3 已知向量，若，则（　　） A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，由求解. 【详解】因为向量，且， 所以，解得， 故选：A 4. 已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点距离为7，则m等于（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】 利用椭圆的定义，化简求解即可． 【详解】由椭圆定义知|PF1|+|PF2|＝2a＝10，椭圆1可知，椭圆的焦点坐标在x轴， ∴a＝5，∴a2＝25，即m＝25． 故选：D． 5. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（ ） A. 2 B. 1或0 C. 2或1 D. 2或0 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程直接求截距，列式求解即可. 【详解】由题意可知：， 令，则，解得. 令，则，解得. 因为直线在两坐标轴上的截距相等，所以. 得到.即.解得或. 故满足题意的实数或. 故选：C. 6. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两直线垂直的充要条件，进而根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若直线与直线垂直， 则，解得， 所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 7. 已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用相关点法求动点轨迹方程. 【详解】由题意，设，，则， 因是线段的中点， 又因为点在曲线上，即， 故，即. 故选：A 8. 已知直线：，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的方程确定直线所过的定点，利用斜率公式求得直线和的斜率，根据过定点的直线与线段总有交点分析运算即可得解. 【详解】解： 如上图，由题意，直线方程可化为： ，由解得：， ∴直线过定点. 又∵，∴，， ∴由直线与线段总有公共点知直线的斜率满足或， 当时，直线的斜率， ∴直线的倾斜角满足或， 即直线的倾斜角范围为. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算、数量积、模的坐标表示计算，依次判断选项即可. 【详解】A：，故A正确； B：，故B错误； C：，故C正确； D：，故D正确. 故选：ACD 10. 下列说法错误的是（　　） A. 直线必过定点 B. 直线在轴上的截距为1 C. 直线的倾斜角为 D. 过点，且在两坐标轴的截距相等的直线方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】计算直线定点得到A正确，计算截距为得到B错误，计算倾斜角得到C正确，举反例得到D错误，得到答案. 【详解】对选项A：直线必过定点，正确； 对选项B：取得到，故在轴上的截距为，错误； 对选项C：直线的斜率为，， 故，正确； 对选项D：过点，且与坐标轴截距相等，错误； 故选：BD 11. 设椭圆的左、右焦点为是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 椭圆的离心率 C. 面积的最大值为 D. 以线段为直径的圆与直线相离 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再逐项计算判断. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，，A正确； 对于B，椭圆的离心率，B正确； 对于C，设点纵坐标为，则，的面积，C错误； 对于D，以线段为直径的圆的圆心到直线距离，直线与圆相离，D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共18分．） 12. 经过点且与直线垂直的直线方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可设直线方程为，代入已知点坐标即得. 【详解】由题可设所求直线方程为， 代入点，可得，即， 所以经过点且与直线垂直的直线方程为. 故答案为：. 13. 已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为________． 【答案】 【解析】 分析】将两圆方程作差，即可求解． 【详解】由题设可得的方程为：， 整理得：. 故答案为： 14. 设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据椭圆性质和余弦定理得到，利用均值不等式得到，解得答案. 【详解】设，，则，， 即， ，即，当且仅当时等号成立， 故，即，. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 直线的斜率为3且它在轴上的截距为． （1）求直线的方程； （2）求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由斜截式得到直线方程； （2）令求出直线与轴上的截距，再由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为直线的斜率为3且它在轴上的截距为， 由斜截式得直线的方程为，即． 【小问2详解】 在中，令，即，解得，即直线与轴上的截距为1， 则直线与坐标轴所围成的三角形面积． 16. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求： （1）求圆心为的圆的标准方程； （2）设点在圆上，点在直线上，求的最小值； （3）若过点的直线被圆所截得弦长为，求该直线的方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】(1)设圆的标准方程为，利用圆经过的两个点，且圆心在直线上，建立方程组就可以求得. (2)求出圆心到直线的距离，即可求出最小值. (3)根据直线被圆截得的弦长为8，求出圆心到直线的距离，用点到直线的距离公式建立方程，求出得值，即可写出直线方程. 【小问1详解】 设圆的标准方程为，因为圆经过和点，且圆心在直线上， 所以 解得： 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为圆到直线的距离为 ， 所以直线与圆相离， 所以的最小值为. 【小问3详解】 当斜率存在时，由条件可知，圆心到直线的距离为 根据点到直线的距离公式得：，解得. 当斜率不存在时，直线方程为，符合截圆所得的弦长为8 所以直线方程为或. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点． （1）求的短轴长及的周长； （2）若直线过点，求弦长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的定义即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，求出的坐标，利用两点间的距离公式即可求得弦长. 【小问1详解】 由题意，所以短轴长为，且， 所以的周长为， 即的周长为． 【小问2详解】 ，又直线过点，所以， 所以直线的方程为， 联立，整理可得，可得或，可得或， 所以． 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行； （2）求出平面的一个法向量，再由向量法求解； （3）求出平面的法向量，再由向量法求解. 【小问1详解】 解：以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. 可得，，，，由为棱的中点，得， 向量，， 故，又为平面的一个法向量， 又面， 所以平面 【小问2详解】 向量，，. 设为平面的法向量，则，即， 令，得为平面的一个法向量， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 向量，设平面的法向量， ，即，令，得为平面的一个法向量， 则. 19. 已知椭圆（）的右焦点为，且过点，直线过点且交椭圆于A、两点. （1）求椭圆的方程； （2）若线段的垂直平分线与轴的交点为. （ⅰ）求直线的方程. （ⅱ）若点，求的面积. 【答案】（1）； （2）或； 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质并代入所过点坐标计算即可； （2）（ⅰ）先排除直线l斜率不存在的情况，设其点斜式方程，联立椭圆方程结合韦达定理、直线垂直的斜率积计算即可；（ⅱ）由上的结论及弦长公式、点到直线的距离公式计算即可. 【小问1详解】 根据题意有，解之得，所以椭圆方程； 【小问2详解】 （ⅰ）显然若l斜率不存在，其垂直平分线与横轴重合，不符合题意； 不妨设直线的方程为，的中点为C， 设， l与椭圆方程联立有，整理得， 则， 所以， 易知，解之得， 即，整理得直线的方程为或； （ⅱ）由弦长公式可知 ， 由直线的对称性知点P到两条直线l的距离相同，即， 所以的面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永宁中学2025-2026学年第一学期期中高二数学试题 考试时间：120分钟 命题人：李五寅 命题校对：高二数学备课组 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 圆心为，半径为3的圆的方程为（ ） A. B. C D. 2. 已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（　　） A. B. C. 6 D. 4. 已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点距离为7，则m等于（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 25 5. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（ ） A 2 B. 1或0 C. 2或1 D. 2或0 6. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线：，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C D. 10. 下列说法错误的是（　　） A. 直线必过定点 B. 直线在轴上的截距为1 C. 直线的倾斜角为 D. 过点，且在两坐标轴的截距相等的直线方程为 11. 设椭圆的左、右焦点为是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 椭圆的离心率 C. 面积的最大值为 D. 以线段为直径的圆与直线相离 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共18分．） 12. 经过点且与直线垂直的直线方程为___________. 13. 已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为________． 14. 设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 直线的斜率为3且它在轴上的截距为． （1）求直线的方程； （2）求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积． 16. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求： （1）求圆心为的圆的标准方程； （2）设点在圆上，点在直线上，求的最小值； （3）若过点的直线被圆所截得弦长为，求该直线的方程． 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点． （1）求的短轴长及的周长； （2）若直线过点，求弦长． 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 19. 已知椭圆（）的右焦点为，且过点，直线过点且交椭圆于A、两点. （1）求椭圆方程； （2）若线段的垂直平分线与轴的交点为. （ⅰ）求直线的方程. （ⅱ）若点，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $