专题02 直线、射线、线段重难点题型专训（5个知识点+14大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年人教版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题02 直线、射线、线段重难点题型专训 （5个知识点+14大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 直线、射线、线段的联系与区别 题型二 画出直线、射线、线段 题型三 直线、线段、射线的数量问题 题型四 点与线的位置关系 题型五 直线相交的交点个数问题 题型六 两点确定一条直线 题型七 线段的和与差 题型八 作线段(尺规作图) 题型九 线段中点的有关计算 题型十 线段n等分点的有关计算 题型十一 线段之间的数量关系 题型十二 两点之间线段最短 题型十三 两点间的距离 题型十四 线段的应用 拓展训练一 直线相交的交点个数综合 拓展训练二 线段中点的计算综合 拓展训练三 与线段有关的动点问题 拓展训练四 最短路径问题 知识点一：直线、射线与线段的概念 注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量 【即时训练】 1．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）下列各直线、线段、射线的表示中，正确的是（    ） A．直线： B．射线： C．线段： D．线段： 2．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期末）图中有几条 条直线． 知识点二：两点确定一条直线 1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）在一次植树活动中，小郡说“只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线”，其数学依据是（    ） A．两点之间，线段最短 B．直线最短 C．两点确定一条直线 D．过一点有无数条直线 2．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，要把一个木架固定到墙上至少要钉两颗钉子，其中的原理是 ． 知识点三：线段的性质 两点之间的线段中，线段最短，简称：两点间线段最短。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）一条直线上有三点，，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C．或 D．以上都不对 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，请根据图形完成下列填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 知识点四：两点间距离、中点概念 1. 两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 2. 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点 【即时训练】 1．（24-25七年级上·贵州黔南·期末）如图，，是线段上两点，若，是的中点，则的长（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）如图，点C、D在线段上，点C为中点，若，，则 ． 知识点五：双中点模型 C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 【即时训练】 1．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，三点共线，分别是、的中点，若，，则（  ） A．7 B．8 C．7.5 D．6 2．（24-25七年级上·湖北黄石·期末）如图，线段，点C为线段上一点，，点D，E分别为和的中点，则线段的长为 ． 【经典例题一 直线、射线、线段的联系与区别】 【例1】（24-25七年级上·山东聊城·期中）如图所示，下列说法不正确的是（         ） A．直线与直线是同一条直线 B．射线与射线是同一条射线 C．线段与线段是同一条线段 D．反向延长线段至C使 1．（2025七年级上·全国·专题练习）学习情境·你出我答小明和小亮为了互相促进学习，两人实行你出题我答题的模式，如图，这是小亮出的题目，小明的答题情况，则小明的得分是（   ） A．25分 B．50分 C．75分 D．100分 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）在日常生活中，手电筒发射出来的光线，类似于 ．（填“折线”或“线段”或“射线”或“直线”） 3．（24-25七年级上·江苏南通·期末）在学习了“简单的几何图形”一章后，小宇同学构建了本章的知识结构图（如下图所示），请把图中的补充完整，应为 ，应为 ．    4．（2025七年级上·全国·专题练习）学习情境·学科内融合已知数轴上的原点为O点，点A表示3，点B表示，回答下列问题．    (1)数轴在原点左边的部分（包括原点）是一条什么线？怎么表示？ (2)射线上的点表示什么数？ (3)数轴上表示不大于3，且不小于的数的部分是什么图形？怎么表示？ 【经典例题二 画出直线、射线、线段】 【例2】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）根据语句“直线与直线相交，交点为．”画出的图形是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，点A、B、C不在一条直线上，先作直线，再过点A作射线与线段交于点D，下列正确的作图是（    ）    A．   B．    C．    D．    2．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是 3．（2025九年级·全国·模拟预测）两个小朋友欣欣和希希在捉迷藏，欣欣站在图中的点处，没有看到希希，那么在图中所给出的位置点中，希希不可能躲藏的位置是点 处（图中带阴影部分为足够高且不透明的障碍物）． 4．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图，已知四点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作直线与射线交于点． (2)如图2，作射线与线段交于点． 【经典例题三 直线、线段、射线的数量问题】 【例3】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，以A、B、C、D的任意一点为端点，在图中找到不同的射线条数共有（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 1．（24-25七年级上·河北·期末）“经过两点有一条直线，并且只有一条直线．即两点确定一条直线”．如图，已知，过四棱锥的任意两个顶点都可以并且只能画一条直线，那么，由这个四棱锥的顶点所确定的直线有 条．（   ） A．4条 B．5条 C．10条 D．无数条 2．（24-25七年级上·福建南平·期末）图中线段共有 条． 3．（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）通过画图，我们发现了如下的规律： 图形 直线上点的个数 共有线段的条数 … … … 若直线上有个不同的点，则此图中共有 条线段． 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）（1）知识探究： 如图1，已知一条直线， 当上有2个点时，图中只有，条线段， 当上有3个点时，图中有条线段， 当上有4个点时，图中有条线段， 当上有5个点时，图中有条线段， ．．．．．． 按此规律： 当上有个点时，图中有___________条线段： （2）知识应用； 如图2，内有条射线，则图中共有___________个角； （3）知识迁移： 如图3，线段BC上有2016个点，则图中共有___________个三角形； （4）知识拓展： ①如图4，图中共有___________个长方形（含正方形）； ②如图5，图中共有___________个长方形（含正方形）； 【经典例题四 点与线的位置关系】 【例4】（24-25七年级上·河北邢台·期末）如图，请用直尺判断在线段延长线上的点是（    ） A．M B．N C．P D．Q 1．（24-25七年级上·河北唐山·期末）正方形网格中，直线经过的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（2025七年级上·全国·专题练习）点与直线有 种位置关系，分别是点在 和点在 ．如图：点A在 ，点B在 ． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图， （1）点B在直线AD ，点F在直线 上； （2）点C在直线AD ，点E是直线 和 的交点； （3）经过点C的直线共有 条，它们分别是 ． 4．（24-25七年级下·云南红河·阶段练习）如图，已知直线和点C，请用尺规作图完成（保留作图痕迹）． (1)用适当的语句表述图中点C与直线的关系：_____________； (2)用直尺和圆规完成以下作图：连接，在线段的延长线上作线段，使． 【经典例题五 直线相交的交点个数问题】 【例5】（24-25七年级下·贵州遵义·阶段练习）小红在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线（），其中，互相平行，，，三条直线交于一点，则他探究这7条直线的交点个数最多是（    ） A．17个 B．18个 C．19个 D．21个 1．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）下列说法错误的是（　　） A．  直线l经过点A B．  点C在线段上 C．  射线与线段有公共点 D．  直线a，b相交于点A 2．（24-25七年级下·全国·期中）一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；…；那么，10条直线两两相交，最多有 个交点． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有 个交点，4条直线相交最多有 个交点，……，像这样，8条直线相交最多有 个交点，n条直线相交最多有 个交点； （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成 部分，4条直线最多把平面分成 部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成 部分，n条直线最多把平面分成 部分． 4．（24-25七年级下·江西南昌·期中）探究平面内条直线相交的交点个数问题． (1)研究：平面内条直线相交，当这条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的．也就是说，当这条直线两两相交时交点个数最多．所以容易得出以下结论：平面内有3条直线，则最多有 个交点；平面内有4条直线，则最多有 个交点；若平面内有条直线，则最多有 个交点． (2)拓展：若平面内的条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为，其中表示5条直线两两相交时的最多交点个数，表示3条直线相互平行时减少的交点个数．问：若平面内有10条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有5条是互相平行的，则这10条直线交点的个数最多为 ． (3)应用：地面上有9条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现在有26位交警刚好满足每个岔口有且只有一位交警，则在某一方向上必须有 条公路互相平行． 【经典例题六 两点确定一条直线】 【例6】（25-26七年级上·全国·课后作业）在如图所示的现象中，体现了直线的基本事实“两点确定一条直线”的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 1．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，将甲、乙两把尺子拼在一起，两端重合．若甲尺经校订是直的，则乙尺不是直的，其判断依据是（   ） A．经过一点，有无数条直线 B．经过两点，有一条直线，并且只有一条直线 C．两点之间的所有连线中，直线最短 D．两点之间的所有连线中，线段最短 2．（2025七年级上·浙江·专题练习）如图，射击运动员在瞄准时，总是用一只眼瞄准准星和目标，这种现象用数学知识解释为 ． 3．（24-25七年级上·辽宁营口·阶段练习）如图，李沐买了一个简易的浴室置物架，要在墙上固定它至少需要两个钉子，理由是 ．    4．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，将甲､乙两个尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺是直的吗？为什么？ 【经典例题七 线段的和与差】 【例7】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）以下四把直尺都只有三个刻度，若要画出5个单位长度的线段，下列直尺中不能使用的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，一条直线上从左到右依次有共19个点，已知点A与其他点的距离之和为2024，点D与其他点的距离之和为1949，若，则点B与点C之间的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）一根绳子长为，C，D是绳子上任意两点（C在D 的左侧）．将，分别沿C，D 两点翻折（翻折处长度不计），A，B 两点分别落在上的点E，F处．当E，F两点间的距离为时，的长为 ． 3．（24-25七年级上·江西南昌·期末）如图，点为线段上的一点，，、两点分别为、的中点，若线段为，则的长为 ． 4．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点，同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； 【经典例题八 作线段(尺规作图)】 【例8】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知线段，，．小明利用尺规作图画出线段，则线段（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·山西运城·期末）已知线段，以点为圆心，任意长为半径画弧，交直线与点、，下列说法不正确的是（   ） A．是的中点 B． C． D． 2．（24-25七年级上·辽宁锦州·期末）如图，已知线段，，射线．如果按如下步骤进行尺规作图：①在射线上顺次截取；②在射线上截取，那么的长为 ．    3．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，的周长为15，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧的交点D恰好在边上，连接．若的周长为9，则的长为 ． 4．（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）作图与画图： 如图，已知线段，请用无刻度的直尺和圆规，按照下列步骤作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法） ①反向延长线段至点C，使得； ②作射线，使得； ③在射线上截取； ④连接，． 根据所作的图形，请测量____°． 【经典例题九 线段中点的有关计算】 【例9】（24-25七年级上·宁夏银川·期末）已知在一直线上有A、B、C三个点，且线段，，点M是线段的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 1．（24-25七年级上·河北邢台·期中）嘉嘉按要求画图并解答题目：画线段为的中点，延长到点D，使，求线段的长度． 她的解题过程如下： 解：画图，如图所示． 因为， 所以． 则以下判断正确的是（   ） A．画图正确，计算错误 B．画图错误，计算正确 C．画图和计算都错误 D．画图和计算都正确 2．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，C，D是数轴上的两点，它们分别表示，1.6，O为原点，则线段的中点表示的有理数是 ． 3．（24-25七年级上·河南郑州·期末）若线段上的一个点把这条线段分成两部分，则称这个点是这条线段的三等分点．如图，两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动．在，出发的同时，点也从出发，以某一速度沿相同方向运动；在运动过程中，当点为的三等分点时，点恰好为中点，此时的长为 ． 4．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图1，直线上从左到右有两条线段：，且满足． (1)求线段的长； (2)将线段向右移动到线段上，如图2．若是线段的中点，是线段的中点，求线段的长； (3)线段以每秒4个单位长度的速度向右运动，线段不动，，始终分别为，的中点．若运动6秒后，，直接写出运动前点，之间的距离． 【经典例题十 线段n等分点的有关计算】 【例10】（24-25七年级上·湖北荆州·阶段练习）如图，将数轴上与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为，，，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级·浙江·期末）定义：当点C在线段AB上，时，我们称为点C在线段AB上的点值，记作． 甲同学猜想：点C在线段AB上，若，则． 乙同学猜想：点C是线段AB的三等分点，则 关于甲乙两位同学的猜想，下列说法正确的是（    ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 2．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）已知线段，点为线段的三等分点，则 ． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）二等分点：又叫线段的 ，把线段分成 的两部分． 即：如图，若点P是线段的中点，则或 三等分点：把线段分成 的三部分．以此类推． 4．（24-25七年级上·全国·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______； (2)小明在求解的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点不与点，重合，小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． 如图，，分别是，的中点，则______； 如图，，分别是，的三等分点，即，，求的长； 若，分别是，的等分点，即，，则______． 【经典例题十一 线段之间的数量关系】 【例11】（24-25七年级上·全国·期中）如图， ， ，，则（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·河南郑州·期中）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和＝（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，C，D为线段上两点，cm，cm，D为线段的中点，则线段= cm．    3．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则 mm. 4．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）如图，是线段的中点，点在线段上，，且． (1)补全求线段的长的过程；（括号中填线段，横线上填数字） 解：因为是线段的中点， 所以（ ） ． 因为点在线段上，， 所以 ， 所以 ； (2)在图中，用尺规在线段上找一点，使得，并比较与的大小（直接写结果）． 【经典例题十二 两点之间线段最短】 【例12】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，从A地到B地，有四条路可走，那么最短的路是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如图，将一张三角形纸片剪去一部分后，发现剩余阴影部分的纸片周长要比原三角形纸片的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．经过一点有无数条直线 D．两点之间，线段最短 2．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，从地到地的三条路中选择线段最近的依据是 ． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）用所学知识解释生活中的现象，如图，从教学楼到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，为什么他们要做出如此破坏生态环境的不道德行为呢？试用所学数学知识来说明这个问题： ． 4．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知点（如图），请利用没有刻度的直尺和圆规按下列要求完成作图，并保留作图痕迹． (1)画线段，射线； (2)在射线上找一点（不与重合），使得； (3)在线段上找到一点，使点到、两点距离之和最小，请在图中标出点． 【经典例题十三 两点间的距离】 【例13】（24-25七年级上·甘肃定西·期末）三点在同一直线上，线段，，那么线段的长为（   ） A． B． C．或 D．以上答案都不对 1．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图，已知是线段中点，延长线段至，使，则下列结论中①；②；③；④；⑤；⑥，正确的有（　　） A．①②④⑥ B．①②⑤⑥ C．①②③④ D．②③⑤⑥ 2．（24-25七年级上·江西南昌·期中）在直线上顺次取A、B、C三点，使，如果点O是线段的中点，是线段的中点，则线段的长为 ． 3．（24-25七年级上·宁夏中卫·期末）下列说法：（1）两点之间的所有连线中，线段最短；（2）角是由两条具有公共端点的射线组成的；（3）经过两点有且只有一条直线；（4）连接两点的线段叫做这两点之间的距离．其中正确的有 （填正确说法的序号）． 4．（24-25七年级上·陕西商洛·期末）如图，点在线段上，，，动点从点出友，沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点与点相遇时，求的值． (2)当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． (3)当时，求的值． 【经典例题十四 线段的应用】 【例14】（24-25七年级上·浙江衢州·期末）杭衢高铁线上，要保证衢州、金华、义乌、诸暨、杭州每两个城市之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（　　） A．20种 B．15种 C．10种 D．5种 1．（24-25七年级上·河北邢台·期中）若两个图形有公共点，则称这两个图形相交，否则称它们不相交．如图，直线PA、PB和线段AB将平面分成五个区域（不包含边界），若线段PQ与线段AB相交，则点Q落在的区域是（    ） A．① B．② C．③ D．④或⑤ 2．（24-25七年级上·河南南阳·期中）如图，从甲地到乙地有两条路线，从乙地到丙地有三条甲路线，那么从甲地到丙地的路线条数是 ． 3．（24-25七年级上·河南许昌·期末）2022年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待．图中展示了郑许市域铁路的其中五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备 种不同的车票． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）点和线段在生活中有着广泛的应用． （1）用7根火柴棒可以摆出图中的“8”．你能去掉其中的若干根火柴棒，摆出其他的9个数字吗？这种用7条线段构成的数字称为“7画字”，它可以用在计算器或电梯的楼层显示屏上． （2）点也可以用来构成数字或符号，点阵式打印机就是利用了这个原理．如图，可以在上面的长方形点阵中，圈出一些点来构成数字或符号．试利用这种方法做出其他25个英文字母． 【拓展训练一 直线相交的交点个数综合】 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）平面上有A，B，C，D四点． (1)经过这四个点中任意两点可以作_______条直线． (2)当直线m上有n个点时，试用含n的式子表示线段的总条数为_______． (3)在一次联欢活动中，共有60人，若每人都与其余人握一次手，则共要握_______次手． (4)已知往返于甲、乙两地的客车，中途停靠五个站（每两站之间距离不等），假如你是客运公司经理： ①要定_______种不同的票价；    ②要准备_______种不同的车票． 2．（24-25七年级上·河南郑州·期末）用归纳策略解答问题： 如图，四条直线，，，，我们发现每两条直线都有一个交点，且交点不重合，我们称这种相交方式为“两两相交”． 问题：如果有101条直线“两两相交”，它们有多少个交点？请写出你的思考过程． 3．（24-25七年级下·河南南阳·期中）我们知道，两条直线相交，最多有个交点（如图①）；三条直线两两相交，最多有个交点（如图②）；四条直线两两相交，最多有个交点（如图③）；五条直线两两相交，最多有多少个交点（如图④）；六条直线两两相交，最多有多少个交点……条直线两两相交，最多有多少个交点呢（用含的代数式表示）： (1)完成下表 直线数 … 交点数 … (2)在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 【拓展训练二 线段中点的计算综合】 1．（25-26七年级上·河北张家口·期中）如图，点B，D在线段上． 发现：____________； 求值：若D是线段的中点，，求线段的长． 2．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）已知点M在数轴原点的右侧，到原点的距离等于2，将点M向左平移3个单位长度后得到点N (1)在数轴上标出点M和点N (2)求线段的长度 (3)如果点A到点M和点N的距离相等，写出点A所表示数的相反数 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，已知数轴上的点对应的数为，是数轴上的一点，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点对应的数是_____，点对应的数是_____用含的式子表示； (2)动点从点与点同时出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，试问：运动多少时间点可以追上点？ (3)是的中点，是的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若有变化，请说明理由；若没有变化，请你画出图形，并求出的长． 【拓展训练三 与线段有关的动点问题】 1．（2025七年级上·浙江·专题练习）如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长； (2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 3．（24-25七年级上·江苏南通·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，求的值． (2)若点C、D运动时，总有，直接填空： ___________． (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【拓展训练四 最短路径问题】 1．（24-25七年级下·甘肃武威·阶段练习）如图，A，B两地之间有一条小河，现在想在河岸搭一座桥（桥与河岸垂直），要使从点A处过桥到点B处的路程最短，应搭在什么地方?请在图中画出示意图. 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，点是四边形内一点，分别在边、上作出点，点，使的值最小，保留作图痕迹，不写作法． 3．（2025七年级·全国·模拟预测）某城市平面图如图所示，每条线段均表示街道． (1)图中共有多少条线段？ (2)小饶需从到办事，最近的走法共有几种？ 1．（25-26七年级上·江西南昌·期中）下列选项中，能用表示的是（   ） A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．这个长方形的周长： D．这个图形的面积： 2．（24-25七年级上·甘肃天水·期末）如图是天桥的侧面图，现实生活中，总有人横穿马路（如图中），却不愿从天桥（如图中）通过．请用数学知识解释这一现象，其原因为（    ） A．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 3．（24-25七年级上·山东枣庄·期中）若线段，在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点，在线段的延长线上取一点，使是的中点…，按这样操作下去，线段的长度为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·河北衡水·期中）题目：“如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．若已知是折线的“折中点”，为线段的中点，，，求线段的长．”甲答，乙答，丙答，下列判断正确的是（    ） A．只有甲的答案正确 B．甲、乙的答案合在一起才正确 C．甲、丙的答案合在一起才正确 D．三人的答案合在一起才正确 5．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，线段表示一条拉直铺平的细线（细线无弹性），、两点在线段上，且，．现将该细线沿点折叠，使点落在处，如图所示．分别在点和处，用剪刀沿与细线垂直的方向将细线剪断，把细线分成、、三段，则线段、、的长度之比是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·河南郑州·期中）值日生小亮为了把桌子又快又好的摆整齐，总是先把一列的第一张桌子和最后一张桌子摆好，再依次摆中间的桌子，这样做蕴含的数学依据是 ． 7．（2025七年级上·全国·专题练习）定义：在直线l上的三点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，，则____ ． 8．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点连续这样操作2024次，则线段的长度为 ． 9．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）湖南湘江新区大王山欢乐云巴对外运营．一张云巴票就能领略沿途余个景点，感受大王山人文风情，如图，乘云巴从山塘站出发，沿途经过个车站方可到达观音港站，那么运营公司在山塘站，观音港站两站之间往返需要安排不同的车票 种． 山塘站 欢乐雪域站 欢乐城站 华谊电影小镇站 大王山站 桐溪公园站 植物公园站 学士站 观音港站 10．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）电子跳蚤游戏盘（如图）为三角形，，，，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第次落点为，则与之间的距离为 ． 11．（24-25七年级上·河北保定·期末）根据下列语句，画出图形． 已知四点A、B、C、D．①画直线；②连接，相交于点；③画射线，交于点． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）图①中的黑色实线是弯的吗？ （2）图②中线段m和线段n的长度相等吗？ 13．（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知线段和线段，按照下列要求完成作图和计算． (1)延长线段到，使，延长线段到，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，为的中点，求线段的长． 14．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点C在上，点M、N分别是的中点． (1)若，求线段的长； (2)若点C为线段上任意一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗？并说明理由； (3)若点C在线段的延长线上，且满足，点M、N分别为的中点，请猜想的长度，请画出图形，并说明理由． 15．（24-25七年级上·湖北随州·期末）如图（1）所示，长方形是由两个正方形拼成的，正方形的边长为，对角线为，长方形对角线为．一只蚂蚁从点爬行到点． (1)求蚂蚁爬行的最短路线长（只能按箭头所示的三条路线走），并说明理由． (2)如果把右边的正方形沿翻转得到如图（2）所示的正方体相邻的两个面（实线表示），则蚂蚁从点到点的最短路线长是多少？请在图（2）中画出路线图，若与图中的线段有交点，则要标明并说明交点的准确位置．（可测量猜想判断） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线、射线、线段重难点题型专训 （5个知识点+14大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 直线、射线、线段的联系与区别 题型二 画出直线、射线、线段 题型三 直线、线段、射线的数量问题 题型四 点与线的位置关系 题型五 直线相交的交点个数问题 题型六 两点确定一条直线 题型七 线段的和与差 题型八 作线段(尺规作图) 题型九 线段中点的有关计算 题型十 线段n等分点的有关计算 题型十一 线段之间的数量关系 题型十二 两点之间线段最短 题型十三 两点间的距离 题型十四 线段的应用 拓展训练一 直线相交的交点个数综合 拓展训练二 线段中点的计算综合 拓展训练三 与线段有关的动点问题 拓展训练四 最短路径问题 知识点一：直线、射线与线段的概念 注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量 【即时训练】 1．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）下列各直线、线段、射线的表示中，正确的是（    ） A．直线： B．射线： C．线段： D．线段： 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义与表示，是基础题，熟记概念与它们的区别与联系是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义以及表示方法对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：A．图中直线不能用两个小写字母表示，故该选项说法错误，不符合题意； B．射线用它的端点和射线方向上的另外任意一点的两个字母表示，表示方法中起点字母总是放在第二个字母的前面，图中应该表示射线，故该选项说法错误，不符合题意； C．线段，故该选项说法正确，符合题意； D．线段用两个端点的大写字母或用一个小写字母表示，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期末）图中有几条 条直线． 【答案】2 【分析】根据直线的定义作答即可． 【详解】解：根据直线的含义可得图中有2条直线． 故答案为2． 【点睛】本题考查的是直线的定义，掌握“直线的定义”是解本题的关键． 知识点二：两点确定一条直线 1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）在一次植树活动中，小郡说“只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线”，其数学依据是（    ） A．两点之间，线段最短 B．直线最短 C．两点确定一条直线 D．过一点有无数条直线 【答案】C 【分析】本题考查了数学在实际生活中应用，两棵树的位置相当于两个点，要确定同一行树所在的直线，即两点确定一条直线． 【详解】解：“植树时只要定出两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线”，用数学知识解释其道理应是两点确定一条直线． 故选：C． 2．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，要把一个木架固定到墙上至少要钉两颗钉子，其中的原理是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查了直线的性质，根据两点确定一条直线即可得到答案． 【详解】解：要把一个木架固定到墙上至少要钉两颗钉子，其中的原理是两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 知识点三：线段的性质 两点之间的线段中，线段最短，简称：两点间线段最短。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）一条直线上有三点，，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了两点之间距离求法，正确画图很重要．本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解． 分情况讨论A，B，C三点的位置关系，即点C在线段内，点C在线段外． 【详解】解：点C在线段外，如图1所示：； 点C在线段内，如图2所示：， 综上，的可能值为或， 故选：C． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，请根据图形完成下列填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，正确的计算线段的和差是解题的关键．根据线段的和差即可得到结论． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：，，，，． 知识点四：两点间距离、中点概念 1. 两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 2. 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点 【即时训练】 1．（24-25七年级上·贵州黔南·期末）如图，，是线段上两点，若，是的中点，则的长（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两点之间的距离，线段的中点，熟知各线段之间的和差及倍数关系是解答此题的关键． 根据线段中点的定义得出，计算即可得到答案． 【详解】解：是的中点， ， ， 故选：C ． 2．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）如图，点C、D在线段上，点C为中点，若，，则 ． 【答案】3 【分析】根据线段图，先求出的长，就可以求出的长． 【详解】解：∵点C为中点， ∴， ∴． 故答案为：3 【点睛】本题考查了两点间的距离，掌握线段中点的性质，得出是解本题的关键． 知识点五：双中点模型 C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 【即时训练】 1．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，三点共线，分别是、的中点，若，，则（  ） A．7 B．8 C．7.5 D．6 【答案】A 【分析】此题考查了线段的中点，线段的和差，熟练掌握线段的中点，线段的和差是解题关键． 根据题意可得，，由即可求解． 【详解】解：分别是、的中点， ，， ． 故答案为：A． 2．（24-25七年级上·湖北黄石·期末）如图，线段，点C为线段上一点，，点D，E分别为和的中点，则线段的长为 ． 【答案】1.5 【分析】本题考查了线段的和差关系，线段中点的定义及线段的计算．根据题意先计算的长度，再求出和的长度，最终求得的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点D为中点，点E为中点， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：1.5． 【经典例题一 直线、射线、线段的联系与区别】 【例1】（24-25七年级上·山东聊城·期中）如图所示，下列说法不正确的是（         ） A．直线与直线是同一条直线 B．射线与射线是同一条射线 C．线段与线段是同一条线段 D．反向延长线段至C使 【答案】B 【分析】本题主要考查了直线，射线，线段的定义和描述，解题的关键是掌握相关的定义以及描述的准确性． 利用直线，射线，线段的定义和描述，逐项进行判断即可． 【详解】解：射线与射线端点不同，所以不是同一条射线，该选项错误，符合题意， 其它选项正确，不符合题意； 故选：B． 1．（2025七年级上·全国·专题练习）学习情境·你出我答小明和小亮为了互相促进学习，两人实行你出题我答题的模式，如图，这是小亮出的题目，小明的答题情况，则小明的得分是（   ） A．25分 B．50分 C．75分 D．100分 【答案】A 【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段的定义等知识，根据直线，射线，线段的定义判断即可． 【详解】解：射线是正确的，得分25分． 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）在日常生活中，手电筒发射出来的光线，类似于 ．（填“折线”或“线段”或“射线”或“直线”） 【答案】射线 【分析】本题主要考查射线的定义，根据直线，射线和线段的区别即可得出答案． 【详解】手电筒可近似看成一个点，所以手电筒发射出来的光线相当于一个从一个端点出发的一条射线， 故答案为：射线． 3．（24-25七年级上·江苏南通·期末）在学习了“简单的几何图形”一章后，小宇同学构建了本章的知识结构图（如下图所示），请把图中的补充完整，应为 ，应为 ．    【答案】 线段 相交直线 【分析】此题考查了简单的几何图形，根据有关概念即可，解题的关键是正确理解简单的几何图形的有关概念． 【详解】根据简单的几何图形可知：线有直线，射线，线段，两直线的位置关系有：异面直线，平行直线和相交直线， 故答案为：线段；相交直线． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）学习情境·学科内融合已知数轴上的原点为O点，点A表示3，点B表示，回答下列问题．    (1)数轴在原点左边的部分（包括原点）是一条什么线？怎么表示？ (2)射线上的点表示什么数？ (3)数轴上表示不大于3，且不小于的数的部分是什么图形？怎么表示？ 【答案】(1)是一条射线，表示为射线 (2)非正数 (3)线段，线段 【分析】本题考查了数轴，弄清题意是解本题的关键． （1）观察数轴，利用射线定义判断，表示即可； （2）找出射线上的点表示的数即可； （3）由线段的定义可直接得出结论． 【详解】（1）解：数轴在原点O左边部分（包括原点）是一条射线，表示为射线； （2）解：射线上的点表示非正数； （3）解：线段，可表示为线段． 【经典例题二 画出直线、射线、线段】 【例2】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）根据语句“直线与直线相交，交点为．”画出的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据语句作图，熟记作图方法及准确读懂几何语言是解题的关键．利用几何语言对各选项进行判断即可． 【详解】解：直线与直线相交，交点为， 点A既在直线a上，也在直线b上，如图所示：   ，   故选：C． 1．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，点A、B、C不在一条直线上，先作直线，再过点A作射线与线段交于点D，下列正确的作图是（    ）    A．   B．    C．    D．    【答案】B 【分析】本题考查直线，射线作法．根据题意利用直线和射线定义即可画出图形． 【详解】解：直线为两端均延长，射线与线段交于点D， ∴如图所示：   ， 故选：B． 2．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是 【答案】线段a 【分析】本题考查两点确定一条直线，掌握两点确定一条直线是解题关键．根据经过两点有一直线并且只有一条直线即可判断． 【详解】解：如图， ∴线段a与挡板另一侧的线段在同一直线上， 故答案为：线段a． 3．（2025九年级·全国·模拟预测）两个小朋友欣欣和希希在捉迷藏，欣欣站在图中的点处，没有看到希希，那么在图中所给出的位置点中，希希不可能躲藏的位置是点 处（图中带阴影部分为足够高且不透明的障碍物）． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了线段的知识，理解线段的定义是解题关键．连接，观察这些线段是否与障碍物相交，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接， 由图可知，仅有没有与障碍物相交， 故希希不可能躲藏的位置是点或处． 故答案为：或． 4．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图，已知四点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作直线与射线交于点． (2)如图2，作射线与线段交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了根据已知点画直线，射线，线段．熟练掌握直线的基本事实，直线，射线，线段的定义，是解题的关键． （1）作直线，连接并延长交直线于点M； （2）连接，连接并延长交线段于点N． 【详解】（1）如图，直线，射线即为所求作； （2）解：如图，线段，射线即为所求作． 【经典例题三 直线、线段、射线的数量问题】 【例3】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，以A、B、C、D的任意一点为端点，在图中找到不同的射线条数共有（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查射线的定义，能够在图中找到不同的射线是解决本题的关键． 在图中分别找出以B为端点的射线，以C为端点的射线，以D为端点的射线各有多少条，相加即可． 【详解】解：以B为端点的射线有2条，以C为端点的射线有2条，以D为端点的射线有2条， ∴共有条． 故选B． 1．（24-25七年级上·河北·期末）“经过两点有一条直线，并且只有一条直线．即两点确定一条直线”．如图，已知，过四棱锥的任意两个顶点都可以并且只能画一条直线，那么，由这个四棱锥的顶点所确定的直线有 条．（   ） A．4条 B．5条 C．10条 D．无数条 【答案】C 【分析】本题考查了两点确定一条直线．根据“两点确定一条直线”即可求解． 【详解】解：如图， 由这个四棱锥的顶点所确定的直线有10条． 故选：C． 2．（24-25七年级上·福建南平·期末）图中线段共有 条． 【答案】3/三 【分析】本题考查了线段的条数，熟练掌握线段的定义是解题的关键； 根据图形结合线段的定义解答即可； 【详解】解：本题图中的线段有：共3条， 故答案为：3． 3．（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）通过画图，我们发现了如下的规律： 图形 直线上点的个数 共有线段的条数 … … … 若直线上有个不同的点，则此图中共有 条线段． 【答案】 【分析】本题考查线段的概念，图形数字规律，根据表中规律即可求解，找到线段的组成规律是解题的关键． 【详解】解：由图可知：个点时：， 个点时：， 个点时：， 个点时：， ， 个点时：线段数， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）（1）知识探究： 如图1，已知一条直线， 当上有2个点时，图中只有，条线段， 当上有3个点时，图中有条线段， 当上有4个点时，图中有条线段， 当上有5个点时，图中有条线段， ．．．．．． 按此规律： 当上有个点时，图中有___________条线段： （2）知识应用； 如图2，内有条射线，则图中共有___________个角； （3）知识迁移： 如图3，线段BC上有2016个点，则图中共有___________个三角形； （4）知识拓展： ①如图4，图中共有___________个长方形（含正方形）； ②如图5，图中共有___________个长方形（含正方形）； 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）①36；②216 【分析】本题考查图形的变化规律，通过观察所给的图形，找到一般规律，并能应用规律是解题的关键 （1）通过观察所给的式子，求解即可； （2）通过计算，探索出一般规律即可； （3）通过计算，探索出一般规律即可； （4）①根据（1）的方法，类比求解即可；②根据以上解题的方法，类比求解即可， 【详解】解: （1）， 故答案为：； （2）内有1条射线，共有个角， 内有2条射线，共有个角， 内有3条射线，共有个角， 内有条射线，共有个角， 2 故答案为： （3）线段上有1个点，共有个三角形， 线段上有2个点，共有个三角形， 线段上有3个点，共有个三角形， 线段上有n个点，共有个三角形， 当时，共有个三角形； 故答案为：2035153； （4）①有个长方形， 故答案为：36； ②有个长方形， 故答案为：216. 【经典例题四 点与线的位置关系】 【例4】（24-25七年级上·河北邢台·期末）如图，请用直尺判断在线段延长线上的点是（    ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】D 【分析】让直尺一端与重合即可求解． 【详解】解：让直尺一端与 重合 可知点在的延长线上 故选：D 【点睛】本题考查线段的延长线．需注意点是在线段的反向延长线上． 1．（24-25七年级上·河北唐山·期末）正方形网格中，直线经过的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】此题考查了网格作图，延长线段即可得到答案． 【详解】解：如图，可知直线经过的点是点， 故选：C． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）点与直线有 种位置关系，分别是点在 和点在 ．如图：点A在 ，点B在 ． 【答案】 2 直线上 直线外 直线外 直线上 【分析】本题主要查了点与直线的位置关系．根据点与直线的位置关系，即可求解． 【详解】解：点与直线有2种位置关系，分别是点在直线上和点在直线外． 点A在直线外，点B在直线上． 故答案为：2；直线上；直线外；直线外；直线上 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图， （1）点B在直线AD ，点F在直线 上； （2）点C在直线AD ，点E是直线 和 的交点； （3）经过点C的直线共有 条，它们分别是 ． 【答案】 上 BC和AE 外 AE CD 3 直线AC、BC、DC 【分析】根据图形即可直接作出解答． 【详解】解：（1）点B在直线AD上，点F在直线和上， 故答案为：上；和； （2）点C在直线AD外，点E是直线AE和CD的交点， 故答案为：外；AE；CD； （3）经过点C的直线共有三条，它们分别是：直线、、, 故答案为：3；直线、、. 【点睛】解这类题必须分清个元素之间的位置关系，能用规范的语言表达． 4．（24-25七年级下·云南红河·阶段练习）如图，已知直线和点C，请用尺规作图完成（保留作图痕迹）． (1)用适当的语句表述图中点C与直线的关系：_____________； (2)用直尺和圆规完成以下作图：连接，在线段的延长线上作线段，使． 【答案】(1)点C在直线外 (2)见解析 【分析】本题考查了画直线、线段，点与直线的位置关系，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）根据直线与点的位置关系进行求解； （2）根据几何语言先连接并延长，一点为圆心，长为半径画弧交射线于点D即可． 【详解】（1）解：点C与直线的关系为：点C在直线外； （2）解：如图所示． 【经典例题五 直线相交的交点个数问题】 【例5】（24-25七年级下·贵州遵义·阶段练习）小红在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线（），其中，互相平行，，，三条直线交于一点，则他探究这7条直线的交点个数最多是（    ） A．17个 B．18个 C．19个 D．21个 【答案】B 【分析】根据直线两两都相交时，交点的个数最多，画图计算即可． 本题考查了直线的相交，熟练掌握两两相交时，交点个数最多是解题的关键． 【详解】解：根据题意，画图如下： 则最多有18个交点， 故选B． 1．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）下列说法错误的是（　　） A．  直线l经过点A B．  点C在线段上 C．  射线与线段有公共点 D．  直线a，b相交于点A 【答案】B 【分析】根据点和直线的位置关系，相交线的有关内容判断即可． 【详解】解：A、由图可得，点A在直线l上，故直线l经过点A，故本选项不符合题意； B、由图可得，点C在线段的上方，故点A不在线段上，故本选项符合题意； C、由图可得，射线与线段有交点，故射线与线段有公共点，故本选项不符合题意； D、由图可得，点A为直线a、b的公共点，故直线a、b相交于点A，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段的应用，主要考查学生的理解能力和应用能力，应用了数形结合思想． 2．（24-25七年级下·全国·期中）一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；…；那么，10条直线两两相交，最多有 个交点． 【答案】45 【分析】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法．由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点，…，总结出：在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有个交点，代入即可求解． 【详解】解：∵3条直线两两相交，最多有3个交点；而； 4条直线两两相交，最多有6个交点；而， 5条直线两两相交，最多有10个交点；而， …； ∴在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有 个交点， ∴10条直线两两相交，交点的个数最多为 ． 故答案为：． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有 个交点，4条直线相交最多有 个交点，……，像这样，8条直线相交最多有 个交点，n条直线相交最多有 个交点； （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成 部分，4条直线最多把平面分成 部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成 部分，n条直线最多把平面分成 部分． 【答案】 3 6 28 7 11 37 【分析】此题考查了规律型：图形的变化类，体现了从一般到特殊再到一般的认知规律，有一定的挑战性，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）根据图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多交点个数，总结出规律即可得出n条直线相交最多有交点的个数； （2）根据图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多把平面分成几部分，总结出规律即可n条直线最多把平面分成几部分． 【详解】解：（1）2条直线相交有1个交点； 3条直线相交最多有个交点； 4条直线相交最多有个交点； 5条直线相交最多有个交点； 6条直线相交最多有个交点； 7条直线相交，最多有个交点， 8条直线相交，最多有个交点， … n条直线相交最多有个交点； 故答案为：，，， （2）1条直线最多把平面分成部分； 2条直线最多把平面分成部分； 3条直线最多把平面分成部分； 4条直线最多把平面分成部分； 5条直线最多把平面分成部分； 6条直线最多把平面分成部分； 7条直线最多把平面分成部分； 8条直线最多把平面分成部分； … n条直线最多把平面分成； 故答案为：，，，； 4．（24-25七年级下·江西南昌·期中）探究平面内条直线相交的交点个数问题． (1)研究：平面内条直线相交，当这条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的．也就是说，当这条直线两两相交时交点个数最多．所以容易得出以下结论：平面内有3条直线，则最多有 个交点；平面内有4条直线，则最多有 个交点；若平面内有条直线，则最多有 个交点． (2)拓展：若平面内的条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为，其中表示5条直线两两相交时的最多交点个数，表示3条直线相互平行时减少的交点个数．问：若平面内有10条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有5条是互相平行的，则这10条直线交点的个数最多为 ． (3)应用：地面上有9条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现在有26位交警刚好满足每个岔口有且只有一位交警，则在某一方向上必须有 条公路互相平行． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了直线与直线间交点规律题，观察出相邻两个图形的交点个数的差为连续整数是解题的关键． （1）根据题意结合图形即可解答； （2）利用题中方法代入数据计算即可； （3）把9条公路看作是9条直线，先求出9条直线两两相交时的交点的个数，再根据差是10进行分析，即可得解． 【详解】（1）解：平面内有3条直线，则最多有个交点，即； 平面内有4条直线，则最多有个交点，即； ； 若平面内有条直线，则最多有个交点，即； （2）解：平面内有10条直线，且在某一方向上有5条是互相平行时， 其交点的个数最多为（个）， 其中表示10条直线两两相交时的最多交点个数，表示5条直线相互平行时减少的交点个数； （3）解：把9条公路看作是9条直线，则9条公路两两相交时交点的个数为：， ， 则可以看作，在某一方向上有5条直线两两互相平行，其余4条直线不平行，如图： 【经典例题六 两点确定一条直线】 【例6】（25-26七年级上·全国·课后作业）在如图所示的现象中，体现了直线的基本事实“两点确定一条直线”的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了直线的性质：两点确定一条直线，熟练掌握直线的性质是解题的关键． 根据直线的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：①平板弹墨线，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ②建筑工人砌墙，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ③固定挂钩架，体现了基本事实“两点确定一条直线”； 所以，在如图所示的现象中，体现了直线的基本事实“两点确定一条直线”的有个， 故选：D． 1．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，将甲、乙两把尺子拼在一起，两端重合．若甲尺经校订是直的，则乙尺不是直的，其判断依据是（   ） A．经过一点，有无数条直线 B．经过两点，有一条直线，并且只有一条直线 C．两点之间的所有连线中，直线最短 D．两点之间的所有连线中，线段最短 【答案】B 【分析】本题主要考查了两点确定一条直线，两点之间线段最短等知识点，熟练掌握直线和线段的相关知识是解题的关键． 直接利用直线的性质——两点确定一条直线，即可得出答案． 【详解】解：若甲尺经校订是直的，则乙尺不是直的，其判断依据是：经过两点，有一条直线，并且只有一条直线， 故选：． 2．（2025七年级上·浙江·专题练习）如图，射击运动员在瞄准时，总是用一只眼瞄准准星和目标，这种现象用数学知识解释为 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查了两点确定一条直线的性质，熟练掌握是解题的关键． 根据两点确定一条直线解答． 【详解】解：准星与目标是两点， 利用的数学知识是：两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 3．（24-25七年级上·辽宁营口·阶段练习）如图，李沐买了一个简易的浴室置物架，要在墙上固定它至少需要两个钉子，理由是 ．    【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查了直线的性质以及两点确定一条直线的应用：根据“要在墙上固定一个简易的浴室置物架至少需要两个钉子”，即运用两点确定一条直线的原理，即可作答． 【详解】解：依题意， 李沐买了一个简易的浴室置物架，要在墙上固定它至少需要两个钉子，理由是两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，将甲､乙两个尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺是直的吗？为什么？ 【答案】见解析 【分析】根据经过两点有且只有一条直线分析即可． 【详解】乙尺不是直的，因为如果乙尺是直的，那么过两点A，B就有两条直线了，这是不可能的， 所以乙尺不是直的． 【点睛】本题考查了过两点有且只有一条直线，掌握过两点有且只有一条直线是解题的关键． 【经典例题七 线段的和与差】 【例7】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）以下四把直尺都只有三个刻度，若要画出5个单位长度的线段，下列直尺中不能使用的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了简单的枚举法，线段的和差，正确理解线段的和差是解题的关键．根据线段的和差结合图形即可得到结论． 【详解】解：A、如图，画线段，， 则线段，故A不符合题意； B、如图，线段，再画线段， 则；故B不符合题意； C、如图，画线段，再画线段， 则，故C不符合题意； D、∵直尺中只有刻度0，4，12， ∴不能画出5个单位长度的线段， 故选：D． 1．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，一条直线上从左到右依次有共19个点，已知点A与其他点的距离之和为2024，点D与其他点的距离之和为1949，若，则点B与点C之间的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查线段的和差，图形变换的规律，根据线段的规律得出方程是解题的关键． 设，则，再得出一个端点是的线段和一个端点是的线段，再求出两者之差，即可． 【详解】解：设，则，则， ∵，，     ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 2．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）一根绳子长为，C，D是绳子上任意两点（C在D 的左侧）．将，分别沿C，D 两点翻折（翻折处长度不计），A，B 两点分别落在上的点E，F处．当E，F两点间的距离为时，的长为 ． 【答案】6或4 【分析】本题考查了线段的和差，解题的关键是数形结合，分两种情况：及，分别画出图形，即可求解． 【详解】解：当时，如图， 由于翻折，则，， 由图知，，即， ∴， ∴； 当时，如图， 则，即， ∴， ∴； 综上，的长为或． 故答案为：6或4． 3．（24-25七年级上·江西南昌·期末）如图，点为线段上的一点，，、两点分别为、的中点，若线段为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和与差．明确线段之间的数量关系是解题的关键． 由题意知，，由中点可知，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵M、N两点分别为的中点， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点，同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查绝对值的非负性及线段的和差关系． （）依据绝对值非负性，因，两个非负的绝对值相加为，则各自为，所以，解得； （）结合线段和差关系，由，得到，化简后得； （）分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）由（）和题意可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（）知：， ∴ ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时， 则， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或． 【经典例题八 作线段(尺规作图)】 【例8】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知线段，，．小明利用尺规作图画出线段，则线段（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了尺规作图—作一条线段等于已知线段．根据作图可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C 1．（24-25七年级上·山西运城·期末）已知线段，以点为圆心，任意长为半径画弧，交直线与点、，下列说法不正确的是（   ） A．是的中点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的画法及线段的和差，解题关键是根据画图得出相关结论，准确逐项判断即可． 【详解】解：根据画图可知，是的中点，，， 不能判断与是否相等，故D不正确， 故选：D． 2．（24-25七年级上·辽宁锦州·期末）如图，已知线段，，射线．如果按如下步骤进行尺规作图：①在射线上顺次截取；②在射线上截取，那么的长为 ．    【答案】或 【分析】根据题意画出几何图形，然后利用两点之间的距离得到． 【详解】解：如图，当点在点的左侧， ；    当点在点的右侧， ；    综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查作图—基本作图：作一条线段等于已知线段，线段的和差，两点间的距离．根据题意画出图形是解题的关键． 3．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，的周长为15，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧的交点D恰好在边上，连接．若的周长为9，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查作图﹣基本作图、作线段，证明的周长可得结论． 【详解】解：由题意， ∴的周长， ∵的周长为15， ∴． 故答案为：6． 4．（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）作图与画图： 如图，已知线段，请用无刻度的直尺和圆规，按照下列步骤作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法） ①反向延长线段至点C，使得； ②作射线，使得； ③在射线上截取； ④连接，． 根据所作的图形，请测量____°． 【答案】图见解析，90 【分析】本题考查了画线段，射线，角的度量，掌握基本作图以及角的度量是解题的关键． 根据题意作出图形，再用量角器测量角度即可求解；仿照例题画出图形即可求解． 【详解】解：如图所示， 测量得：， 故答案为：90． 【经典例题九 线段中点的有关计算】 【例9】（24-25七年级上·宁夏银川·期末）已知在一直线上有A、B、C三个点，且线段，，点M是线段的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了线段中点的有关计算； 分点在点的左侧和右侧两种情况，分别求出，再根据线段中点的定义计算即可． 【详解】解：如图，当点在点左侧时，可有， ∵点是线段的中点， ∴； 如图，当点在点右侧时，可有， ∵点是线段的中点， ∴； 综上：的长为或； 故选：C． 1．（24-25七年级上·河北邢台·期中）嘉嘉按要求画图并解答题目：画线段为的中点，延长到点D，使，求线段的长度． 她的解题过程如下： 解：画图，如图所示． 因为， 所以． 则以下判断正确的是（   ） A．画图正确，计算错误 B．画图错误，计算正确 C．画图和计算都错误 D．画图和计算都正确 【答案】B 【分析】本题考查了线段的长度计算问题，结合图形对线段进行和、差、倍、分的计算是解决本题的关键．根据题意画出图形，结合图形得到的思路来求解，代入已知量即可． 【详解】解：画图，如图所示． ∵为的中点， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，C，D是数轴上的两点，它们分别表示，1.6，O为原点，则线段的中点表示的有理数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数与数轴，线段中点的特点． 已知两个点所表示的有理数，求它们中点表示的有理数，就是将这两个数相加，然后除以2，即可解题． 【详解】解：因为C，D是数轴上的两点，它们分别表示，1.6， 所以线段的中点表示的有理数是， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·河南郑州·期末）若线段上的一个点把这条线段分成两部分，则称这个点是这条线段的三等分点．如图，两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动．在，出发的同时，点也从出发，以某一速度沿相同方向运动；在运动过程中，当点为的三等分点时，点恰好为中点，此时的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了两点间的距离，解题关键是正确识别图形，理解线段与线段之间的和差倍分关系．先根据已知条件可知，然后分两种情况讨论：①当点靠近点的的三等分点，②当点靠近点的的三等分点，根据三等分点的定义和中点的定义，把、和都用表示出来，求出，从而求出即可． 【详解】解：、两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动， ， ①当点靠近点的的三等分点，如图所示： ， 为中点， ， ， ， ， ②当点靠近点的的三等分点，如图所示： ， 为中点， ， ， ， ， 综上，的长为或， 故答案为：或． 4．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图1，直线上从左到右有两条线段：，且满足． (1)求线段的长； (2)将线段向右移动到线段上，如图2．若是线段的中点，是线段的中点，求线段的长； (3)线段以每秒4个单位长度的速度向右运动，线段不动，，始终分别为，的中点．若运动6秒后，，直接写出运动前点，之间的距离． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了非负数的性质，线段的和与差，两点间的距离等知识，解答本题的关键是掌握两点间的距离公式，解答第二问注意分类讨论思想，此题难度不大． （1）根据非负性求出的值，即可得出结果； （2）根据题意，求出此时，再利用线段中点的定义结合图形即可求解； （3）分6秒后，在点左边时，6秒后，在点右边时两种情况分别计算求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵是线段的中点，是线段的中点， ∴， ∴； （3）解：∵，分别为，的中点， ∴，， 若6秒后，在点左边时， ∵， ∴此时，点重合， ∴运动前点，之间的距离为； 若6秒后，在点右边时， ∵， ∴此时，点重合， ∴运动前点，之间的距离为； 综上，运动前点，之间的距离为或． 【经典例题十 线段n等分点的有关计算】 【例10】（24-25七年级上·湖北荆州·阶段练习）如图，将数轴上与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为，，，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出-6与6两点间的线段的长度为12，再求出六等分后每个等分的线段的长度为2，从而求出，，，，表示的数，然后判断各选项即可． 【详解】解：∵-6与6两点间的线段的长度=6-（-6）=12， ∴六等分后每个等分的线段的长度=12÷6=2， ∴，，，，表示的数为：-4，-2，0，2，4， A、，故该选项正确，不符合题意； B、，故该选项错误，符合题意； C、，故该选项正确，不符合题意； D、，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴，两点间的距离，求出，，，，表示的数是解题的关键． 1．（24-25七年级·浙江·期末）定义：当点C在线段AB上，时，我们称为点C在线段AB上的点值，记作． 甲同学猜想：点C在线段AB上，若，则． 乙同学猜想：点C是线段AB的三等分点，则 关于甲乙两位同学的猜想，下列说法正确的是（    ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】A 【分析】本题根据题目所给的定义对两人的猜想分别进行验证即可得到答案，对于乙的猜想注意进行分类讨论． 【详解】解：甲同学： 点C在线段AB上，且， ， ， 甲同学正确． 乙同学： 点C在线段AB上，且点C是线段AB的三等分点， 有两种情况， ①当时，， ②当时，， 乙同学错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查对于新定义和线段的等分点的理解，对于线段的三等分点注意分类讨论即可． 2．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）已知线段，点为线段的三等分点，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查线段之间的数量关系，分靠近点和靠近点两种情况，进行求解即可． 【详解】解：∵，点为线段的三等分点， ∴或； 故答案为：或． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）二等分点：又叫线段的 ，把线段分成 的两部分． 即：如图，若点P是线段的中点，则或 三等分点：把线段分成 的三部分．以此类推． 【答案】 中点 相等 相等 【分析】本题考查了线段的中点，线段的三等分点，正确理解定义是解题的关键． 【详解】二等分点：又叫线段的中点，把线段分成相等的两部分．     即：如图，若点P是线段AB的中点，     则或 三等分点：把线段分成相等的三部分．以此类推． 故答案为：中点；相等；相等． 4．（24-25七年级上·全国·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______； (2)小明在求解的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点不与点，重合，小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． 如图，，分别是，的中点，则______； 如图，，分别是，的三等分点，即，，求的长； 若，分别是，的等分点，即，，则______． 【答案】(1)； (2)；；． 【分析】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 首先根据、分别是、的中点，可得、，从而可得； 由，分别是，的中点，可得，根据可得； 根据、，可知、，所以可得，故从而可得:； 由，，知，，即得，从而可得： 【详解】（1）解：因为，， ， 点、分别是、的中点， ，， ； 故答案为：； （2）因为、分别是、的中点， ，， ， ， ； 故答案为：； ，， ，， ， ， ； ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 【经典例题十一 线段之间的数量关系】 【例11】（24-25七年级上·全国·期中）如图， ， ，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段的和差关系，解题的关键是等量代换得出，再结合即可列式求解． 【详解】解：，，， ， ，， ， ， ∴． 故选：C． 1．（24-25七年级上·河南郑州·期中）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【详解】解：线段，线段和的中点分别为，， ， 线段和的中点，， ， 发现规律： ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了线段规律性问题，与中点有关的计算，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度． 2．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，C，D为线段上两点，cm，cm，D为线段的中点，则线段= cm．    【答案】4 【分析】本题主要考查了线段的和、差及中点的定义，准确理解线段之间的数量关系是解题的关键．根据题意，可得cm，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵D为线段的中点，cm， ∴cm， ∵cm， ∴cm， 故答案为：4． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则 mm. 【答案】24 【分析】结合图形得出当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置，得出，再由图形中线段间的关系得出，即可求解． 【详解】解：由图3得，当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为， 由图4得，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：24． 【点睛】题目主要考查线段间的数量关系，理解题意，结合图形求解是解题关键． 4．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）如图，是线段的中点，点在线段上，，且． (1)补全求线段的长的过程；（括号中填线段，横线上填数字） 解：因为是线段的中点， 所以（ ） ． 因为点在线段上，， 所以 ， 所以 ； (2)在图中，用尺规在线段上找一点，使得，并比较与的大小（直接写结果）． 【答案】(1)；6；4；；1． (2)见解析， 【分析】本题考查了线段中点的定义、线段的和差，作线段等于已知线段，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据已知条件以及中点的定义、线段的和差关系填空即可． （2）以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，则点即为所求；由题意得，，则可得． 【详解】（1）解：因为是线段的中点， 所以． 因为点在线段上，， 所以， 所以． 故答案为：；；；；1． （2）如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点， 则点E即为所求． 因为是线段的中点， 所以． 因为， 所以， 所以． 【经典例题十二 两点之间线段最短】 【例12】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，从A地到B地，有四条路可走，那么最短的路是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题可根据线段的性质“两点之间，线段最短”来判断从地到地的最短路径．本题主要考查了线段的性质，熟练掌握“两点之间，线段最短”是解题的关键． 【详解】解：∵两点之间，线段最短，在从地到地的四条路中，路径②是线段， ∴最短的路是②． 故选：B． 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如图，将一张三角形纸片剪去一部分后，发现剩余阴影部分的纸片周长要比原三角形纸片的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．经过一点有无数条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了线段的性质，直接利用线段的性质进而分析得出答案． 【详解】解：将一张三角形纸片剪去一部分后，发现剩余阴影部分的纸片周长要比原三角形纸片的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间线段最短． 故选：D． 2．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，从地到地的三条路中选择线段最近的依据是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题主要考查了线段的性质，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．根据两点之间线段最短进行解答即可． 【详解】解：从地到地的三条路中选择线段最近的依据是两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）用所学知识解释生活中的现象，如图，从教学楼到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，为什么他们要做出如此破坏生态环境的不道德行为呢？试用所学数学知识来说明这个问题： ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，解题的关键是掌握线段的性质． 根据两点之间线段最短求解即可． 【详解】解：从教学楼到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪， 用所学数学知识来说明这个问题原因是：两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 4．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知点（如图），请利用没有刻度的直尺和圆规按下列要求完成作图，并保留作图痕迹． (1)画线段，射线； (2)在射线上找一点（不与重合），使得； (3)在线段上找到一点，使点到、两点距离之和最小，请在图中标出点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图一复杂作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最短，熟练掌握射线、线段的定义、线段的性质是解答本题的关键． （1）根据线段、射线的定义画图即可； （2）以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，则点即为所求； （3）结合线段的性质，连接交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，线段、射线即为所求， （2）解：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，则点即为所求， （3）解：如图，连接交于点，则点即为所求， 【经典例题十三 两点间的距离】 【例13】（24-25七年级上·甘肃定西·期末）三点在同一直线上，线段，，那么线段的长为（   ） A． B． C．或 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差计算是解题的关键. 根据线段的和差分两种情况计算即可 【详解】解：如图，点在点左侧， ； 如图，点在点右侧， ； 综上， 线段的长为或， 故选：C. 1．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图，已知是线段中点，延长线段至，使，则下列结论中①；②；③；④；⑤；⑥，正确的有（　　） A．①②④⑥ B．①②⑤⑥ C．①②③④ D．②③⑤⑥ 【答案】B 【分析】本题考查了两点间的距离，线段线段中点的定义．根据线段中点的定义以及线段的和差逐一判断即可得到结论． 【详解】解：是线段中点， ，故①正确； ， ，故②正确； ，，故③④错误； 是线段中点， ， ， ，故⑤正确； ，， ，故⑥正确； 故选：B． 2．（24-25七年级上·江西南昌·期中）在直线上顺次取A、B、C三点，使，如果点O是线段的中点，是线段的中点，则线段的长为 ． 【答案】/5厘米 【分析】本题考查了线段中点的计算，首先注意根据题意正确画出图形，这里是顺次取A，B，C三点，所以不用考虑多种情况．根据题意画出图形，根据中点的定义分别求出，，进而可求出线段的长． 【详解】解：如图所示， ∵ ∴ ∵点O是线段的中点， ∴， ∵是线段BC的中点， ∴ ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·宁夏中卫·期末）下列说法：（1）两点之间的所有连线中，线段最短；（2）角是由两条具有公共端点的射线组成的；（3）经过两点有且只有一条直线；（4）连接两点的线段叫做这两点之间的距离．其中正确的有 （填正确说法的序号）． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】根据线段的性质，角的定义，两点间的距离以及直线的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】（1）两点之间的所有连线中，线段最短，正确； （2）角是由两条具有公共端点的射线组成的，正确； （3）经过两点有且只有一条直线，正确； （4）连接两点的线段的长度叫做这两点之间的距离，故原说法错误． 故答案为：（1）（2）（3） 【点睛】本题考查了两点之间，线段最短，角的定义，以及直线的性质，两点间的距离的定义，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键． 4．（24-25七年级上·陕西商洛·期末）如图，点在线段上，，，动点从点出友，沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点与点相遇时，求的值． (2)当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2)当或时，点与点之间的距离为个单位长度 (3) 【分析】本题考查了线段的和差计算，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． （1）根据，依题意，，根据点与点相遇时，解方程即可求解； （2）分相遇前和相遇后分别列出方程，解方程即可求解； （3）分点在线段上和线段上，分别讨论，列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点在线段上，，， ∴， 依题意，， 当点与点相遇时， 解得：； （2）解：相遇前点与点之间的距离为个单位长度时， ， 解得：， 相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，则 ， 解得：， 综上所述，当或时，点与点之间的距离为个单位长度； （3）∵， 当在线段上时，，此时， ∵， ∴， 解得：（舍去） 当在线段上时，，此时， ∵， ∴， 解得：， ∴ 【经典例题十四 线段的应用】 【例14】（24-25七年级上·浙江衢州·期末）杭衢高铁线上，要保证衢州、金华、义乌、诸暨、杭州每两个城市之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（　　） A．20种 B．15种 C．10种 D．5种 【答案】A 【分析】先求出线段的条数，再计算车票的种数． 【详解】解：需要印制不同的火车票的种数是：2（1+2+3+4）=20（种）． 故选：A． 【点睛】本题考查了线段的运用．注意根据规律计算的同时，还要注意火车票需要考虑往返情况． 1．（24-25七年级上·河北邢台·期中）若两个图形有公共点，则称这两个图形相交，否则称它们不相交．如图，直线PA、PB和线段AB将平面分成五个区域（不包含边界），若线段PQ与线段AB相交，则点Q落在的区域是（    ） A．① B．② C．③ D．④或⑤ 【答案】B 【分析】先根据线段PQ与线段AB有公共点确交点的位置在AB上，连结线段PS，利用线段的延长线所在区域确定点Q落在区域②即可． 【详解】解：∵线段PQ与线段AB相交，设交点为S， ∴点S在线段AB上，连结PS并延长，点Q在PS的延长线上， ∵PS的延长线在区域② ∴点Q在区域②． 故选择B． 【点睛】本题主要考查了线段、射线和直线，延长线，点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外． 2．（24-25七年级上·河南南阳·期中）如图，从甲地到乙地有两条路线，从乙地到丙地有三条甲路线，那么从甲地到丙地的路线条数是 ． 【答案】6 【分析】根据题意，结合图形求解即可． 【详解】从甲地其中一条线路到丙地有三条路线，从甲地另一条路线到丙地有三条路线，即从甲地到丙地共6条路线， 故答案为：6． 【点睛】此题在线段的基础上，着重培养学生的观察能力，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复． 3．（24-25七年级上·河南许昌·期末）2022年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待．图中展示了郑许市域铁路的其中五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备 种不同的车票． 【答案】20 【分析】先求得单程的车票数，在求出往返的车票数即可． 【详解】解：5个点中线段的总条数是（种）， ∵任何两站之间，往返两种车票， ∴应印制（种）， 故答案为：20． 【点睛】此题考查了数线段，解决本题的关键是掌握“直线上有个点，则线段的数量有条”． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）点和线段在生活中有着广泛的应用． （1）用7根火柴棒可以摆出图中的“8”．你能去掉其中的若干根火柴棒，摆出其他的9个数字吗？这种用7条线段构成的数字称为“7画字”，它可以用在计算器或电梯的楼层显示屏上． （2）点也可以用来构成数字或符号，点阵式打印机就是利用了这个原理．如图，可以在上面的长方形点阵中，圈出一些点来构成数字或符号．试利用这种方法做出其他25个英文字母． 【答案】（1）如图见解析，分别去掉火柴棒①②③④⑦是1，②⑤是2，②③是3，①③④是4，③⑥是5，⑥是6，②③④⑦是7，③是9，⑦是0．就可以摆出1，2，3，4，5，6，7，9，0九个数字；（2）见解析． 【分析】（1）直接观察去掉火柴棒后得到的数字，即可求解； （2）根据英文字母的特征，圈出相应的点，即可． 【详解】解：（1）如图，分别去掉火柴棒①②③④⑦是1，②⑤是2，②③是3，①③④是4，③⑥是5，⑥是6，②③④⑦是7，③是9，⑦是0．就可以摆出1，2，3，4，5，6，7，9，0九个数字； （2）其他25个英文字母，如图所示： 分别是B，C，D，E，F，G，H，I，J，K，L，M，N，O，P，Q，R，S，T，U，V，W，X，Y，Z． 【点睛】本题主要考查了点和线段的应用，理解点和线段在生活中的作用是解题的关键． 【拓展训练一 直线相交的交点个数综合】 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）平面上有A，B，C，D四点． (1)经过这四个点中任意两点可以作_______条直线． (2)当直线m上有n个点时，试用含n的式子表示线段的总条数为_______． (3)在一次联欢活动中，共有60人，若每人都与其余人握一次手，则共要握_______次手． (4)已知往返于甲、乙两地的客车，中途停靠五个站（每两站之间距离不等），假如你是客运公司经理： ①要定_______种不同的票价；    ②要准备_______种不同的车票． 【答案】(1)1或4或6 (2) (3)1770 (4)①21，②42 【分析】此题考查图形的变化规律，找出运算的规律与方法，得出规律，解决问题． （1）分三种情况：当四个点在同一直线上时；当只有三个点在同一直线上时；当任意三点都不在同一直线上时，即可求解； （2）根据题意可得线段的总条数为，即可求解； （3）共要握手的次数为，即可求解； （4）①根据题意可得要定种不同的票价；②根据往返车票不同，可得车票的种类是票价的2倍，即可求解． 【详解】（1）解：当四个点在同一直线上时，可以画1条直线； 当只有三个点在同一直线上时，可以画4条直线； 当任意三点都不在同一直线上时，可以画6条直线． 综上，经过平面上四个点中任意两点可以作1或4或6条直线； 故答案为：1或4或6 （2）解：当直线m上有n个点时，线段的总条数为 ； 故答案为： （3）解：若每人都与其余人握一次手，则共要握（次）； 故答案为：1770 （4）解：①因为客车中途停靠五个站(每两站之间距离不等)， 所以包括甲地和乙地共有七个站， 所以要定种不同的票价； 故答案为：21 ②因为往返车票不同， 所以要准备种不同的车票． 故答案为：42 2．（24-25七年级上·河南郑州·期末）用归纳策略解答问题： 如图，四条直线，，，，我们发现每两条直线都有一个交点，且交点不重合，我们称这种相交方式为“两两相交”． 问题：如果有101条直线“两两相交”，它们有多少个交点？请写出你的思考过程． 【答案】5050个交点，见解析 【分析】本题主要考查了直线的交点个数问题，解题的关键在于能够根据特例推出相应的规律． 根据两直线“两两相交”有1个交点，三直线“两两相交”有个交点，四条直线“两两相交”有个交点，由此可以发现最多交点个数就是从1开始的连续的正整数相加，最后一个加数比直线的条数少1，由此进行求解即可 【详解】解：当有2条直线“两两相交”时，有1个交点； 当有3条直线“两两相交”时，有个交点； 当有4条直线“两两相交”时，有个交点； ……， ∴一般地，n条直线“两两相交”有个交点 ∴当有101条直线“两两相交”时，有个交点． 所以有101条直线“两两相交”时，有5050个交点． 3．（24-25七年级下·河南南阳·期中）我们知道，两条直线相交，最多有个交点（如图①）；三条直线两两相交，最多有个交点（如图②）；四条直线两两相交，最多有个交点（如图③）；五条直线两两相交，最多有多少个交点（如图④）；六条直线两两相交，最多有多少个交点……条直线两两相交，最多有多少个交点呢（用含的代数式表示）： (1)完成下表 直线数 … 交点数 … (2)在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 【答案】(1)；； (2)这一轮要进行场比赛 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解决本题的关键是要找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 根据题意，结合图形，发现：条直线相交最多有个交点，条直线相交最多有个交点，条直线相交最多有个交点．条直线相交最多有个交点，而，，，，故可猜想，条直线相交，最多有个交点； 把每个班作为一个点,进行一场比赛就是用线把两个点连接,用此方法即可. 【详解】（1）解：①两条直线相交最多有个交点：； ②三条直线相交最多有个交点：； ③四条直线相交最多有个交点：； ④五条直线相交最多有个交点：， ⑤六条直线相交最多有个交点： … 条直线相交最多有个交点； 故答案为：；； （2）解：该类问题符合上述规律，所以可将代入， 即； 故这一轮要进行场比赛 【拓展训练二 线段中点的计算综合】 1．（25-26七年级上·河北张家口·期中）如图，点B，D在线段上． 发现：____________； 求值：若D是线段的中点，，求线段的长． 【答案】； 【分析】本题考查线段的和差，线段中点．根据线段的和差即可解答“发现”．先由线段的中点求出，再根据得到，再由即可解答． 【详解】解：发现：． 故答案为：；． 求值：因为D是线段的中点，， 所以， 因为，， 所以， 所以． 2．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）已知点M在数轴原点的右侧，到原点的距离等于2，将点M向左平移3个单位长度后得到点N (1)在数轴上标出点M和点N (2)求线段的长度 (3)如果点A到点M和点N的距离相等，写出点A所表示数的相反数 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，线段中点，相反数的定义． （1）根据题干在数轴上标出点M和点N即可； （2）用M表示的数减N表示的数即可； （3）先求出点A表示的数，再求其相反数即可． 【详解】（1）解：如图所示； （2） 答：线段的长度为3； （3）因为点A到点M和点N的距离相等，所以点A表示的数为： 所以点A所表示的数的相反数是 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，已知数轴上的点对应的数为，是数轴上的一点，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点对应的数是_____，点对应的数是_____用含的式子表示； (2)动点从点与点同时出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，试问：运动多少时间点可以追上点？ (3)是的中点，是的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若有变化，请说明理由；若没有变化，请你画出图形，并求出的长． 【答案】(1)， (2)运动5秒，点可以追上点 (3)点在运动过程中，线段的长度不发生变化，的长为，图见解析 【分析】本题考查了数轴、一元一次方程的应用、线段的中点等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据数轴的性质即可得点表示的数和点对应的数； （2）根据点运动距离减去点运动距离等于的长，建立方程，解方程即可得； （3）分两种情况：①当点在点之间运动时，则，②当点在点左侧运动时，则，先根据线段中点可得，再线段的和差求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：点表示的数是， 点对应的数是， 故答案为：，． （2）解：由题意得：， 解得， 答：运动5秒，点可以追上点． （3）解：线段的长度不发生变化，画图求解如下： ①如图，当点在点之间运动时，则，    ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴； ②如图，当点在点左侧运动时，则，    ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴； 综上，点在运动过程中，线段的长度不发生变化，的长为． 【拓展训练三 与线段有关的动点问题】 1．（2025七年级上·浙江·专题练习）如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长； (2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查线段的和差运算，动点问题，熟练掌握数形结合，并会分类讨论是解题的关键． （1）由题意，当时，，，得出，结合，得出，可得，结合即可求解； （2）设运动时间为，则，，得，同（1）方法即可求解； （3）分类讨论，当点在线段上时和点在的延长线上时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， 则， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （2）解：设运动时间为， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （3）解：当点在线段上时， ∵， ∴, ∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴； 当点在的延长线上时， ． 综上所述，或． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（）先计算，再计算即可；利用中点的性质求解即可； （）设运动时间为，则，，得到，又由，得到，进而得到即可求解； 本题考查了线段上动点问题、求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：，， ； ∵点到达中点时，点也刚好到达的中点，设运动时间为， 则：，， ； （2）解：设运动时间为，则，， ， ， ． 3．（24-25七年级上·江苏南通·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，求的值． (2)若点C、D运动时，总有，直接填空： ___________． (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1 【分析】（1）本题考查线段的和与差，以及动点问题，根据题意算出，，再由，即可解题． （2）本题考查线段的和与差，以及动点问题，设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）本题考查线段的和与差，以及动点问题，根据N是直线上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段上时和当点N在线段的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：（1）当点C、D运动了时，，， ，，， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ， 故答案为：． （3）解：当点N在线段上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ， 又， ，即．综上所述的值为或． 【拓展训练四 最短路径问题】 1．（24-25七年级下·甘肃武威·阶段练习）如图，A，B两地之间有一条小河，现在想在河岸搭一座桥（桥与河岸垂直），要使从点A处过桥到点B处的路程最短，应搭在什么地方?请在图中画出示意图. 【答案】见解析 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，解答本题的关键是构造平行四边形把点移动点的位置．因为桥的宽度是一定的，过点A作AC垂直于河岸，使AC等于河的宽度，根据两点、之间线段最短找出桥的一端位置，再作出即可． 【详解】解：过点A作AC垂直于河岸，使AC等于河的宽度，连接交河岸于点N，过点N作垂直于河岸，垂足为M，为C到B的最短线段，为建桥位置， ∵ ∴四边形AMNC是平行四边形 ∴ ∴ 又∵B、N、C三点在同一直线上 要使从点A处过桥到点B处的路程最短，即为建桥的位置. 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，点是四边形内一点，分别在边、上作出点，点，使的值最小，保留作图痕迹，不写作法． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查轴对称最短路线问题，熟练掌握两点之间线段最短是解题的关键．分别做出点关于的对称点，根据两点之间线段最短画图即可． 【详解】解：分别做出点关于的对称点，连接，交于点，交于点，则点即为所求点． 3．（2025七年级·全国·模拟预测）某城市平面图如图所示，每条线段均表示街道． (1)图中共有多少条线段？ (2)小饶需从到办事，最近的走法共有几种？ 【答案】(1)144条 (2)6种 【分析】本题考查了线段的数量问题、最短路径问题，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据两点可以确定一条线段，水平方向每行有条线段，竖直方向处含列外，每列有条线段，含点这列有条线段，方向有3条线段，还有这一条，即可得出答案； （2）观察图形即可列出线路，从而得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：（条）， 图中共有条线段； （2）解：最近路线为： ， ， ， ， ， ， 共种走法． 1．（25-26七年级上·江西南昌·期中）下列选项中，能用表示的是（   ） A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．这个长方形的周长： D．这个图形的面积： 【答案】C 【分析】根据线段的和，长方形的周长，长方形的面积的计算公式解答即可． 本题考查了代数式的意义，熟练掌握线段长度的和，长方形周长，面积计算是解题的关键． 【详解】 解：A. 整条线段的长度：，表示为，不符合题意； B. 整条线段的长度：，表示为，不符合题意； C. 这个长方形的周长：，表示为，符合题意； D. 这个图形的面积：，表示为，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·甘肃天水·期末）如图是天桥的侧面图，现实生活中，总有人横穿马路（如图中），却不愿从天桥（如图中）通过．请用数学知识解释这一现象，其原因为（    ） A．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了两点之间，线段最短．根据两点之间，线段最短作答即可. 【详解】现实生活中，总有人横穿马路（如图中），却不愿从天桥（如图中）通过，其原因为两点之间，线段最短． 故选：D． 3．（24-25七年级上·山东枣庄·期中）若线段，在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点，在线段的延长线上取一点，使是的中点…，按这样操作下去，线段的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段中点的定义，找出题目中的规律是解题的关键．根据线段中点的定义，找出题目中的规律求出，因此，进而中点的定义即可解答． 【详解】解：∵，是的中点， ∴． ∵，是的中点， ∴． ∵，是的中点， ∴， ．．．； ∴， ∴． ∵是的中点， ∴． 故选：C． 4．（25-26七年级上·河北衡水·期中）题目：“如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．若已知是折线的“折中点”，为线段的中点，，，求线段的长．”甲答，乙答，丙答，下列判断正确的是（    ） A．只有甲的答案正确 B．甲、乙的答案合在一起才正确 C．甲、丙的答案合在一起才正确 D．三人的答案合在一起才正确 【答案】C 【分析】本题主要考查与线段中点有关的计算，线段的和差,熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 先根据中点定义即可求解线段的长；再分两种情况：当“折中点”在上时；当“折中点”在上时，根据“折中点”的定义,结合线段的和差即可求解． 【详解】解：∵点为线段的中点，， ∴， ∴， ①如图，当“折中点”在上时， ∵点是折线的“折中点”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，当“折中点”在上时， ∵点是折线的“折中点”， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述， 的长为6或14， 即甲、丙的答案合在一起才正确， 故选：C 5．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，线段表示一条拉直铺平的细线（细线无弹性），、两点在线段上，且，．现将该细线沿点折叠，使点落在处，如图所示．分别在点和处，用剪刀沿与细线垂直的方向将细线剪断，把细线分成、、三段，则线段、、的长度之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，准确利用线段的和差是解题的关键． 根据，，，的比例关系，设绳子为，求出对应的线段长度即可解得． 【详解】解：设，则，，，， ，，从图的点及与点重叠处一起剪开后， 细线分成三段为：，，， ∴三段细线的长度比是； 故选：D 6．（25-26七年级上·河南郑州·期中）值日生小亮为了把桌子又快又好的摆整齐，总是先把一列的第一张桌子和最后一张桌子摆好，再依次摆中间的桌子，这样做蕴含的数学依据是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查了几何公理，掌握“两点确定一条直线”是解题关键．小亮先摆好第一张和最后一张桌子，相当于确定一条直线的两个端点，从而确定一条直线，然后中间的桌子沿这条直线摆放，确保整齐． 【详解】解：根据几何公理，两点确定一条直线．小亮先摆好两端桌子，就确定了桌子的摆放直线，再摆中间桌子，使所有桌子在一条直线上， 故答案为：两点确定一条直线． 7．（2025七年级上·全国·专题练习）定义：在直线l上的三点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，，则____ ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和差，熟练找出已知条件中线段的和差关系是解题的关键． 对点P在线段之间和在的反向延长线上时的情况，分别画出示意图，再据此进行计算即可． 【详解】解：由题知， 当点P在线段之间时，如图所示， 点P是点M关于点N的“半距点”， 当点P在的反向延长线上时，如图所示， 因为点P是点M关于点N的“半距点”， 综上所述，或 ． 故答案为：或． 8．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点连续这样操作2024次，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段规律性问题，线段中点的有关计算，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【详解】解：是和的中点， ， 是和的中点， ， 是和的中点， ， ， 发现规律：， 当时，， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）湖南湘江新区大王山欢乐云巴对外运营．一张云巴票就能领略沿途余个景点，感受大王山人文风情，如图，乘云巴从山塘站出发，沿途经过个车站方可到达观音港站，那么运营公司在山塘站，观音港站两站之间往返需要安排不同的车票 种． 山塘站 欢乐雪域站 欢乐城站 华谊电影小镇站 大王山站 桐溪公园站 植物公园站 学士站 观音港站 【答案】 【分析】本题考查了如何求线段的条数的问题，设首尾两站为点，点是线段上的七个点，求出之间的所有线段条数，进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设首尾两站为点，点是线段上的七个点， 则图中共有线段条， ∵到与到车票不同， ∴从到的车票共有种， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）电子跳蚤游戏盘（如图）为三角形，，，，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第次落点为，则与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：此题主要是能够根据题意利用线段的和差计算出有关线段的长，发现电子跳蚤的落点的循环规律，本题首先根据题意，分别计算电子跳骚的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定第2025次落点的位置，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时与重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点． ∵， 即与重合， ∴与C之间的距离为． 故答案为： 11．（24-25七年级上·河北保定·期末）根据下列语句，画出图形． 已知四点A、B、C、D．①画直线；②连接，相交于点；③画射线，交于点． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了直线、射线、线段．分别分局直线、线段、射线的特征画图即可． 【详解】解：如图： 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）图①中的黑色实线是弯的吗？ （2）图②中线段m和线段n的长度相等吗？ 【答案】（1）通过直尺验证，图①中的黑色实线是直的． （2）通过测量，图②中线段m与线段n的长度相等． 【分析】本题考查了线段的认识及线段长短的比较，注意刻度尺的使用． （1）用直尺验证即可； （2）用直尺直接量出两线段的长度，比较即可． 【详解】解：（1）通过直尺验证，图①中的黑色实线是直的； （2）通过测量，图②中线段m与线段n的长度相等． 13．（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知线段和线段，按照下列要求完成作图和计算． (1)延长线段到，使，延长线段到，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，为的中点，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图和线段的和差，解决本题的关键是掌握尺规作图的方法并能通过观察图形找到线段之间的数量关系． （1）以为圆心，的长度为半径画弧，交延长线于点，以为圆心，长为半径画弧，交延长线于点，即可得答案； （2）由（1）的作图求出，由为的中点可得，再由线段的和差关系即可求得的长度． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图，为的中点， ∵，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． 14．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点C在上，点M、N分别是的中点． (1)若，求线段的长； (2)若点C为线段上任意一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗？并说明理由； (3)若点C在线段的延长线上，且满足，点M、N分别为的中点，请猜想的长度，请画出图形，并说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3)；见解析 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，掌握线段之间的和差关系是解题关键． （1）根据题意求得和的长，利用线段的关系即可得出答案； （2）根据题意设得到，求得和的长，利用线段的关系即可得出答案； （3）根据题意设得到，求得和的长，利用线段的关系即可得出答案； 【详解】（1）解：∵，，M，N分别是，的中点， ∴，， 则． （2）解：设，， ∵M，N分别是，的中点． ∴，， 则． （3）解：如图所示： 设，根据题意得， ∵点C在线段的延长线上，M，N分别是，的中点， ∴，， 则． 15．（24-25七年级上·湖北随州·期末）如图（1）所示，长方形是由两个正方形拼成的，正方形的边长为，对角线为，长方形对角线为．一只蚂蚁从点爬行到点． (1)求蚂蚁爬行的最短路线长（只能按箭头所示的三条路线走），并说明理由． (2)如果把右边的正方形沿翻转得到如图（2）所示的正方体相邻的两个面（实线表示），则蚂蚁从点到点的最短路线长是多少？请在图（2）中画出路线图，若与图中的线段有交点，则要标明并说明交点的准确位置．（可测量猜想判断） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据两点之间线段最短求解； （2）把正方体相邻的两个面展开成平面，连接A，C即是最短路线． 【详解】（1）解：从路线长：， 从路线长：， 从路线长：， 根据两点之间，线段最短， 可得，即， 所以，即， 故从到的最短路线长为． （2）解：从到的最短路线长为， 图中的点为线段的中点， 位置如图． 【点睛】本题主要考查了平面展开中的最短路径问题，一般根据两点之间线段最短求解． 学科网（北京）股份有限公司 $