专题03 角重难点题型专训（8个知识点+15大题型+5大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年人教版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

本讲义聚焦角的核心知识，系统梳理角的概念、角度制换算、方位角、角平分线、余角补角等8个知识点，构建“概念理解-单位换算-运算应用-性质探究-综合拓展”的递进式学习支架，覆盖15类基础题型与5大综合训练。 资料通过情境化例题（如方向角、钟表夹角）和分层训练，培养学生抽象能力与推理意识，借助三角板旋转等动态问题提升应用意识。课中辅助教师实施分层教学，课后学生可通过自我检测与拓展训练查漏补缺，强化知识体系。

专题03 角重难点题型专训 （8个知识点+15大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 角的概念理解 题型二 角的分类 题型三 角的单位与角度制 题型四 角度的四则运算 题型五 角的度数大小比较 题型六 方向角的表示 题型七 与方向角有关的计算题 题型八 几何图形中角度计算问题 题型九 三角板中角度计算问题 题型十 角平分线的有关计算 题型十一 角n等分线的有关计算 题型十二 求一个角的余角 题型十三 求一个角的补角 题型十四 与余角、补角有关的计算 题型十五 同(等)角的余(补)角相等的应用 拓展训练一 方向角、钟面角计算综合 拓展训练二 角平分线的有关计算综合 拓展训练三 几何图形中角度计算综合 拓展训练四 余角、补角计算综合 拓展训练五 利用余角、补角探索角度关系 知识点一：角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·广东深圳·期末）深圳市数码产品购置补贴活动期间，小山爸爸在坪山商场购入了一台“三折叠”手机，小山测量“三折叠”手机打开角度如下图．此时“三折叠”手机的打开角度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的概念，解题的关键是掌握量角器的读数方法是解题的关键． 根据量角器直接读取即可． 【详解】解：观察量角器可得“三折叠”手机的打开角度， 故选：D． 2．（2025七年级上·浙江·专题练习）下面四个图中的角表示正确的有 （把你认为正确的序号都填上） ①②③④ 【答案】②④ 【分析】依据角的概念进行判断，即可得出结论． 【详解】解：①表示的角为∠BAC，故错误； ②表示的角为平角∠AOB，故正确； ③射线AB不是周角，故错误； ④表示∠CAB，故正确； 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查了角的概念，角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始边与终边旋转重合时，形成周角． 知识点二：角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位 【即时训练】 1．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，直尺的一边经过量角器的圆心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的测量，熟练掌握角的测量方法是解题的关键．根据角的测量方法，观察直尺的位置即可确定角的度数． 【详解】解：由图可知，直尺的一边经过量角器的刻度线，所以的度数为． 故选：B． 2．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）用度表示： ． 【答案】 【分析】本题考查角度的单位换算，解题的关键是掌握角度单位的换算方法．根据角度的单位换算得出结果． 【详解】解：， ， 故答案为：． 知识点三：钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）如图，在这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了钟面角，正确理解题意得到6点20分，时针和分针中间相差个大格是解题的关键． 6点20分时，时针指向6和7的中间，分针指向4，则时针和分针中间相差个大格，再根据一大格为进行求解即可． 【详解】解：， 6点20分，时针和分针中间相差个大格． 钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， 6点20分时分针与时针的夹角是． 故选：C． 2．（24-25七年级上·云南大理·期末）如图所示，下午5：00时，钟面上时针与分针之间的夹角度数是 ． 【答案】150° 【分析】因为钟面上12个数字，以表芯为旋转点，表针转一圈是360°，被12个数字平均分成12份，每一份也就是两数之间夹角是30°；当钟面上5：00时，分针指在12上，时针指在5上，构成的角的度数是30×5=150°． 【详解】解：根据分析，当钟面上5：00时，分针指在12上，时针指在5上， 构成的角的度数是30×5=150°． 故答案为：150°． 【点睛】解答此题应结合题意，根据角的概念和分类进行解答．在学习角的时候，渗透了钟表的认识，及两者的共性，时针和分针在旋转过程中组成的两个特殊角．一个两针互相垂直，一个两针成一直线． 知识点四：方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意： （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点 【即时训练】 1．（24-25七年级上·全国·期末）按下图所示，点A在点B的（    ）方向上． A．北偏西 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏西 【答案】C 【分析】本题考查了方向角，正确理解方向角的概念，数形结合是解题的关键； 由图知，点B在点A的南偏西方向上，根据两点位置的相对性原则求解即可． 【详解】由图知，点B在点A的南偏西方向上， 所以点A在点B的北偏东方向上． 故选：C． 2．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，点在点的什么方向： ． 【答案】北偏西 【分析】本题考查方向角问题，根据方向角先南北再东西的顺序求解即可． 【详解】解：， ∴点在点的北偏西方向， 故答案为：北偏西． 知识点五：角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，平分，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质即可求解，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：平分， ， 故选D． 2．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）如图，点A、B、O 在一条直线上，射线是的平分线， ． 【答案】/度 【分析】先根据平角的定义求出，再根据角平分线的定义求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵射线是的平分线， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平角的定义，角平分线的定义，熟知角平分线的定义是解题的关键． 知识点六：角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 【即时训练】 1．（2025·广东东莞·模拟预测）将一副三角尺按如图所示的方式摆放在直尺上，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板的角度计算问题． 直接根据平角的定义计算即可． 【详解】， 故选：C． 2．（24-25七年级上·河北张家口·期末）按图填空： （1） ； （2） ； （3）（ + ）． 【答案】 【分析】本题考查了角的和差关系，是基础题，准确识图是解题的关键．分别根据图中各角度之间的包含关系解答即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； 故答案为：（1）；；（2）；（3）；． 知识点七：余角和补角 （1）余角： 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。 ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A （2）补角： 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角 ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）下列角中，可能与角互余的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角的知识，比较简单，解答本题的关键是掌握互余的两个角的度数之和为．根据互余的两个角的度数之和为，结合图形可得出答案． 【详解】解：与角互余的是， 选项中是的只可能是选项B， 故选：B． 2．（24-25七年级下·河南平顶山·阶段练习）如图，于点O，则的余角是 ，的补角是 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查的补角和余角的含义，直接利用补角和余角的含义作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的余角是， ∵， ∴的补角是， 故答案为：；． 知识点八：余角和补角的性质 （1）补角的性质： 同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。 等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 （2）余角的性质： 同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。 等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 注意： ①钝角没有余角； ②互为余角、补角是两个角之间的关系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角； ③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）如图所示，都是以为顶点的直角，能解释的理由是（　　） A．同角的余角相等 B．平角的定义 C．对顶角相等 D．同角的补角相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，根据同角的余角相等即可得到答案． 【详解】解：∵都是以为顶点的直角， ∴， ∴（同角的余角相等）， 故选：A． 2．（25-26七年级上·福建福州·期中）如图是用一副三角板拼成的图形，则图中 ． 【答案】45 【分析】本题主要利用三角板的知识以及平角是180度解决问题．一副三角尺中有一个是等腰直角三角形，度数分别是，，，另一个是直角三角形，度数分别是，和，熟记各个角的度数是解答此类题的关键． 【详解】解：， 故答案为：45． 【经典例题一 角的概念理解】 【例1】（24-25七年级下·山东聊城·期中）在∠AOB的内部从顶点O引出3条射线，则图中共有角的个数是（    ） A．9个 B．10个 C．11个 D．12个 【答案】B 【分析】本题考查角的概念，在数角的个数时要从一个边开始把它上的角数完后再换另一条射线，这样可使数的角不重不漏．有公共顶点的射线：两条射线构成1个角；三条射线构成个角；四条射线构成个角；…条射线构成个角． 【详解】解：根据题意可知，角的顶点处有条射线，共有个角． 故选B． 1．（24-25七年级下·山东聊城·期中）下列说法中，正确的个数有（    ） ①两条射线组成的图形是角；②角的大小与边的长短有关；③角的两边可以画的一样长，也可以一长一短；④角的两边是两条射线；⑤因为平角的两边也成一条直线，所以一条直线可以看作一个平角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了角的定义，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，注意不要忽略“公共端点”．还应注意角的大小与边的长短无关，与度数的大小一致． 根据角的概念，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】解：①有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故原说法错误； ②角的大小与边的长短无关，故原说法错误； ③角的两边是两条射线，射线不能度量，所以不能说长或短，故原说法错误； ④有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故角的两边是两条射线，此说法正确； ⑤平角的两边在同一直线上，平角有顶点，而直线没有，故选项错误； 以上5种说法正确的有1个， 故选：A． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）如图①，我们可以将角表示为 或 或 ． （2）如图②，共有 个角，它们分别是 ． 【答案】 3 ，， 【分析】本题考查了角的相关概念，熟练掌握角的相关定义，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据角的表示方法并结合图形即可得解； （2）根据图形并结合角的相关定义即可得解． 【详解】解：（1）由图①可得，我们可以将角表示为或或， 故答案为：，，； （2）由图②可得，共有3个角，它们分别是，，， 故答案为：3；，，． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）在锐角内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角…照此规律，画9条不同的射线，可以画出 个锐角． 【答案】55 【分析】分别找出各图形中锐角的个数，找出规律解题． 【详解】解：∵在锐角内部，画1条射线，可得个锐角， 在锐角内部，画2条射线，可得个锐角， 在锐角内部，画3条射线，可得个锐角， …… ∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是 ∴画9条不同的射线，可得锐角 故答案为：55． 【点睛】考查了角的概念，解决改题的关键是找到规律，从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是 4．（2025七年级上·全国·专题练习）（1）如图，在中，以O为顶点引射线，填表： 内射线的条数 1 2 3 4 角的总个数 （2）若内射线的条数是n，请用关于n的式子表示出上面的结论． 【答案】（1）3，6，10，15；（2） 【分析】本题考查了图形类规律探究，列代数式，根据图形发现规律是解题的关键． （1）对内射线的条数为1，2，3，4时，角的总个数分别统计出填表即可； （2）根据表格数据变化规律，写出内射线的条数是n时，角的总个数即可． 【详解】解：（1）内射线的条数为1条时，角的总个数为：（个）， 内射线的条数为2条时，角的总个数为：（个）， 内射线的条数为3条时，角的总个数为：（个）， 内射线的条数为4条时，角的总个数为：（个）， 故答案为：3，6，10，15； （2）由（1）中几个数据规律可知：若内射线的条数是n，角的总个数为：（个）， 答：若内射线的条数是n，用含n的式子表示角的总个数为个． 【经典例题二 角的分类】 【例2】（24-25七年级上·广西百色·期末）下列四个角中，钝角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角的分类，即可求解． 【详解】解：A、是平角，故本选项不符合题意； B、是锐角，故本选项不符合题意； C、是直角，故本选项不符合题意； D、是钝角，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了角的分类，熟练掌握锐角是大于0°小于90°的角；直角等于90°；钝角是大于90°小于180°的角；平角等于180°是解题的关键． 1．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角的表示方法，平角、射线、周角的定义分析判断即可． 【详解】解：图1中，角的顶点为，应表示为； 图2表示正确； 图3，射线和周角是两个概念，射线不能表示周角； 图4表示正确． 所以表示正确的个数为2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角的表示方法、平角、射线、周角等知识，理解并掌握相关知识是解题关键． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，小于平角的角共有 个． 【答案】14 【分析】此题考查的是数角，掌握平角的定义和角的数法是解决此题的关键． 根据题意，写出所有小于平角的角即可得出结论． 【详解】解：由于平角为， 小于平角的角有，，，，，，，，，，，，，，共14个， 故答案为：14． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）如图所示的图形中有 个小于平角的角，写出以为一边的所有角： ． 【答案】 7 ，，， 【分析】本题考查了角的表示及分类熟练掌握角的表示及分类是解答本题的关键．根据角的表示方法及角的分类，即可得到答案． 【详解】题图中小于平角的角有，，，，，，，共7个；其中以为一边的角有，，，． 故答案为：7； ，，，． 4．（24-25七年级上·江西赣州·期末）按照要求作图： (1)画直线AC，连接BD与AC相交于点О； (2)画射线AB，反向延长线段CD与射线AB相交于点G． (3)以A为顶点的锐角有_______________个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】（1）根据直线、线段定义画直线，连接即可； （2）根据射线的定义画射线，反向延长线段与射线相交于点即可； （3）按一定的规律依次列举出所有的情况即可． 【详解】（1）解：如图，直线，线段即为所求； （2）解：如图，射线、点即为所求． （3）解：以A为顶点的锐角有： ，共3个， 故答案为：3． 【点睛】本题考查作图复杂作图，直线、射线、线段、锐角，解题的关键是掌握直线、射线、线段的定义． 【经典例题三 角的单位与角度制】 【例3】（24-25七年级上·陕西汉中·期末）下列角度中，比小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角度的度分转换，解题的关键是将分转化为度，统一单位后进行角度大小比较． 先将选项中的角度都转化为以度为单位的形式，再与比较大小． 【详解】因为，所以将分转化为度： ，则． ，则． 现在比较各选项与的大小： ． ． ． ，即比小． 故选：D． 1．（24-25七年级上·江西南昌·期末）如图，直尺的一边经过量角器的圆心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的测量，熟练掌握角的测量方法是解题的关键．根据角的测量方法，观察直尺的位置即可确定角的度数． 【详解】解：由图可知，直尺的一边经过量角器的刻度线，所以的度数为． 故选：B． 2．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末） ， 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算：1度分，即，1分秒，即． 根据度分秒的转换规律求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：；；；． 3．（24-25七年级上·江西南昌·期中）如图，某种齿轮每相邻两齿中心线间的夹角都相等，如果是一个15个齿的齿轮，则这个夹角的度数是；如果是一个22个齿的齿轮，则这个夹角的度数约为 ．（精确到分） 【答案】 【分析】本题考查了角在实际生活中的运用，理解所有齿所对应的中心角的和组成一个周角是解题关键．理解题意，得，则，即可计算22个齿的齿轮每相邻两齿中心线间的夹角． 【详解】解：∵某种齿轮每相邻两齿中心线间的夹角都相等，如果是一个15个齿的齿轮，则这个夹角的度数是 ∴， ∵一个齿轮有22个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等， ∴这个夹角的度数为 ∴如果是22个齿的齿轮，这个夹角约为． 故答案为： 4．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)把化为度、分、秒的形式． (2)把化成度的形式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角度的换算，回忆度、分、秒之间的换算关系，解题时要熟练掌握它们之间的换算关系并灵活运用． （1）根据度、分、秒之间的换算关系换算即可； （2）根据度、分、秒之间的换算关系换算即可． 【详解】（1）解：根据得：， 根据得：， 所以； （2）因为，， 所以． 【经典例题四 角度的四则运算】 【例4】（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）一副三角板按如图方式摆放，若， 则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用三角形板求角的度数，由图可知，再结合即可求出的度数． 【详解】解：根据图形，得， 故选：A． 1．（24-25七年级上·重庆渝北·期末）如图，已知，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用减去即可． 【详解】解：， 故选A． 【点睛】本题考查了角的计算，解题的关键是根据图形得出角的和差关系． 2．（24-25七年级上·广东东莞·期末）如图，表示北偏东方向，表示南偏东方向，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方向角，度分秒的换算，正确计算是解题的关键．根据计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，甲从处出发沿北偏东方向走到处，乙从处出发沿南偏西方向走到处，则是 度． 【答案】 【分析】本题考查了方位角的计算，理解图示中方位角的度数，掌握角的和差计算是解题的关键． 根据图示可得，，由此得到，根据，即可求解，识记是计算角度和差的重点． 【详解】解：如图所示，由题意得， ∴， ∴ ， 故答案为： ． 4．（25-26七年级上·河北衡水·期中）计算题（能简算的简算） (1)． (2) (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了度分秒的加减运算、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）角度减法，需度、分、秒分别相减，不够减时借位求解即可； （2）先算乘方，然后利用乘法分配律计算乘法、并计算除法，最后加减，注意符号； （3）乘除运算，从左到右顺序计算，将带分数化为假分数，除法变乘法； （4）将带分数化为假分数，利用分配律和结合律简算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【经典例题五 角的度数大小比较】 【例5】（24-25七年级上·甘肃天水·期末）已知，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的大小比较，度、分、秒的换算．首先根据，将转化为，再比较即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A 1．（25-26七年级上·福建福州·期中）用一条线段表示，把它平均分成9份（如图）．线段上与度数最接近的点的序号是（   ）． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题主要考查角的估算与分类，先计算出每份是，再估算出序号①②③④表示的度数即可解决问题． 【详解】解：， 因此①表示的度数为，②表示的度数为；③表示的度数为；④表示的度数为， 而是钝角，其度数与④表示的度数相近， 故选：D． 2．（24-25七年级上·浙江台州·期末）若，，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角的大小比较，度分秒的换算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据度分秒的进制进行计算比较，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）已知，则的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了度分秒的换算和角的大小比较，先统一单位，，，再比较大小即可求解． 【详解】解：， 因为， 所以． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，已知平面上的两点，． (1)作直线； (2)在（1）的基础上，用尺规在直线的上方找到一点C，使得；（保留作图痕迹，不要求写作法） (3)在（1）、（2）的基础上，作射线，．用量角器测量出与的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查了画直线，射线，线段，度量角度； （1）过作直线，即可求解； （2）分别以为圆心，的长为半径作圆，在的上方交于点，点即为所求； （3）作射线，，并用量角器测量出与的度数，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图所示， （3）解：用量角器测量出， 【经典例题六 方向角的表示】 【例6】（24-25七年级上·广西北海·期末）如图，小明家在学校的（    ） A．南偏西方向上 B．北偏东方向上 C．南偏西方向上 D．北偏东方向上 【答案】D 【分析】本题考查了方向角的定义，由方向角的定义可得小明家的方向，即可作答． 【详解】解：由图可得：小明家在学校北偏东方向上， 故选：D 1．（24-25七年级下·重庆·期中）一艘海上搜救船借助雷达探测仪寻找到事故船的位置，雷达示意图如图，搜救船位于图中圆心处，事故船位于距点50海里的处，雷达操作员要用方位角把事故船相对于搜救船的位置汇报给船长，以便调整航向，下列四种表述方式正确的为（   ）． A．事故船在搜救船的北偏东方向 B．事故船在搜救船的北偏东方向 C．事故船在搜救船的南偏西方向 D．事故船在搜救船的南偏西方向 【答案】A 【分析】本题考查了方位角的定义，确定方位角的两个要素：一是方向；二是角度，掌握理解定义是解题关键． 根据点的位置确定方位角即可． 【详解】解：由图可得，事故船A在搜救船北偏东方向， 故选：A． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，射线表示的方向是 ． 【答案】北偏东/被骗到30度 【分析】本题考查的是方向角的含义，掌握方向角的定义是解本题的关键．由方向角的定义即可得出结论． 【详解】解：射线表示的方向是北偏东． 故答案为：北偏东． 3．（25-26七年级上·河北邢台·期中）下图是一个圆形钟面． （1）点在圆心的 偏 ， °的位置上． （2）如果点绕圆心沿弧线顺时针移动后就能到达点，点在圆心的 偏 ， 的位置上． 【答案】 北 东 南 东 【分析】本题考查了钟面角和用角度表示方向． （1）钟表上的大格是把一个圆平均分成了等份，每一份是，所以两个大格之间的夹角是度；点在圆心的北偏东的位置上； （2）如果点绕圆心沿弧线顺时针移动，到达点，点在数字的位置，点在圆心的南偏东的位置上． 【详解】解：（1）点在圆心的北偏东的位置上． 故答案为：北，东，． （2）如果点绕圆心沿弧线顺时针移动，到达点，点在数字的位置，点在圆心的南偏东的位置上． 故答案为：南，东，． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，某轮船上午8：00时位于点A处，测得灯塔S在北偏东的方向上，向东行驶至中午12：00时，该轮船位于点B处，测得灯塔S在北偏西的方向上．请在图中画出灯塔S的位置． 【答案】 【分析】本题考查了方向角的定义，正确画出方位角，再结合三角形的内角和的性质求解． 根据方位角的概念，画图正确表示出方位角即可． 【详解】解：灯塔S的位置，如图所示： 【经典例题七 与方向角有关的计算题】 【例7】（24-25七年级下·山西运城·期中）为推进城乡融合发展，某乡镇要修建一条乡村公路，如图所示，公路从地沿着北偏东方向到地，再从地沿着南偏东方向到地，然后从地到地．已知的方向与的方向一致，则公路从地到地修建的方向为（   ） A．东偏北 B．北偏东 C．南偏东 D．北偏西 【答案】B 【分析】本题考查了与方位角有关的计算题，根据的方向与的方向一致，且公路从地沿着北偏东方向到地，即可作答． 【详解】解： ∵的方向与的方向一致，且公路从地沿着北偏东方向到地， ∴公路从地到地修建的方向为北偏东， 故选：B 1．（2025·河北邯郸·模拟预测）甲、乙、丙三家的位置如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．丙家在甲家北偏西方向 B．甲家在丙家南偏东方向 C．甲家在乙家南偏西方向 D．丙家在乙家北偏东方向 【答案】D 【分析】根据方向角的应用，判定解答即可． 本题考查了方向角的应用，熟练掌握方向角是解题的关键． 【详解】解：A. 丙家在甲家南偏东方向，此选项不符合题意； B. 甲家在丙家北偏西方向，此选项不符合题意； C. 甲家在乙家北偏东方向，此选项不符合题意；     D. 丙家在乙家北偏东方向，此选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·内蒙古通辽·期末）在航行、测绘等工作中，经常以正北、正南方向为基准，描述物体的运动的方向，如“北偏东”“南偏西”等．如图，射线的方向是北偏东，在同一个平面内，则射线的方向是 ． 【答案】北偏西或南偏东方向 【分析】本题主要考查了角的计算及方位角，熟练掌握方位角的概念是解题的关键．根据方位角进行角的和差计算即可． 【详解】解：如图， 当射线在射线右侧时，， 射线在南偏东方向， 当射线在射线左侧时，， 射线在北偏西方向， 故答案为：北偏西或南偏东方向． 3．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）图中是故宫博物院的主要建筑分布图．其中点A表示养心殿所在位置，点O表示太和殿所在位置，点B表示文渊阁所在位置．已知养心殿位于太和殿北偏西方向上，文渊阁位于太和殿南偏东方向上，则的度数是 ° 【答案】143 【分析】本题考查了方位角及角的和差运算，掌握角的和差运算是关键．先求的余角，然后加上与的和即可． 【详解】由题意可得：， ， 故答案为: 143. 4．（24-25七年级上·陕西铜川·期末）如图，射线表示的方向是北偏东，射线表示的方向是北偏西，射线在射线和射线之间，且．    (1)填空：的度数为__________； (2)求射线的方向． 【答案】(1) (2)射线的方向为北偏东． 【分析】本题考查的是与方向角有关的计算题，掌握角的和差运算是解本题的关键； （1）由可得答案； （2）先求解，再求解，从而可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∴． （2）由题意可得：，， ∴， ∵， ∴； ∴射线的方向为北偏东． 【经典例题八 几何图形中角度计算问题】 【例8】（24-25七年级上·江西南昌·期中）如图，已知为直线上一点，，平分．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义及角的和差计算，邻补角互补求角度等知识点． 先由求出，再根据角平分线求出，最后根据邻补角求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B． 1．（24-25七年级下·广西防城港·期中）如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个角的余角与补角、垂直、对顶角相等，熟练掌握求一个角的余角与补角的方法是解题关键．先求出，再求出，根据垂直的定义可得，从而可得，最后根据对顶角相等即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， 故选：A． 2．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，将一副三角尺的直角顶点重合，摆放在桌面上，若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查三角尺，角的和差，掌握知识点是解题的关键． 先推导出，继而求出，则，即可解得． 【详解】解：由图，得 ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·安徽淮南·阶段练习）一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点转动一个角度，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线的上方． （1）当在左边且平分时， ； （2）当在右边且平分时， ． 【答案】 30 105 【分析】本题考查了角平分线及角度加减，解题的关键是熟练掌握角平分线有关计算． （1）根据角平分线的定义得出，然后结合已知和角的和差关系求解即可； （2）根据角平分线定义求出，然后结合已知和角的和差关系求解即可． 【详解】解：（1）当在左边且平分时，如图2，此时， ，， ， 故答案为∶30； （2）当在右边且平分时，如图， ， ， ， ， ， 故答案为∶105． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1中，______，______． (2)将图1中的三角板按图2的位置放置，使得在射线上，则______； (3)将上述直角三角板按图3的位置放置，使得在的内部，求的度数． 【答案】(1)，； (2)； (3)的度数为 【分析】本题考查角的计算，找出各个角之间的关系，与已知条件建立关系，然后求出所求角的度数是解题的关键． （1）根据平角的定义可知，结合已知条件，即可求出和的度数； （2）根据的度数和的度数可以得到的度数； （3）根据角的和差关系，分别用含有的式子表示出和，然后两者相减即可得到的度数． 【详解】（1）解：，， ,， 故答案为：，； （2）由（1）得，， ， ， 故答案为：； （3）由（1）得，， ， ， ， ， 即的度数为． 【经典例题九 三角板中角度计算问题】 【例9】（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）将一副直角三角尺如图放置，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了几何图形中角的计算，先得出的度数，再求出的大小即可． 【详解】解：∵将一副直角三角尺如图放置，， ∴， ∴． 故选：C． 1．（24-25七年级上·广东东莞·期末）如图，用一副三角尺可以画出许多不同的角度，以下角度不能用三角尺画出的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中的角度计算问题； 根据三角尺的度数结合角的和差运算逐项判断即可． 【详解】解：一副三角尺的锐角分别为， ∵，，， ∴A、B、D选项均可用三角尺画出，不符合题意， 故选：C． 2．（24-25七年级上·四川泸州·期末）如图，一副直角三角板的顶点重合在一起，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，掌握角的和差计算是解题的关键． 由题意可知，，则，，即①，②，再根据，可得，代入②可得：③，①③可得：，即可得出的度数，进而得出答案． 【详解】解：一副三角板的顶点重合在一起， ． ，， ①，②， ， ， ③， ①③，得， ， ． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一个角度，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，两边组成的角时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线及角度加减，解题的关键是熟练掌握角平分线有关计算． 设三角板绕着点O顺时针旋转一个角度，得到，点B的对应点为,当平分时，得，结合，由计算即可得到答案． 【详解】解：设三角板绕着点O顺时针旋转一个角度，到的位置，点B的对应点为． 当平分时， ∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）数学活动课上，老师带领学习小组利用一副直角三角尺进行“玩转尺”的探究活动． (1)老师将三角尺和三角尺按如图①所示的方式摆放在直线上，边落在直线上，，，，则____________； (2)第一小组同学将图①中三角尺绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，设三角尺的旋转时间为t秒，提出下列问题： ①当____________秒时，边首次落在直线上； ②当____________秒时，； (3)如图②，第二小组同学受第一小组同学的启发继续进行探究，将三角尺绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角尺绕点C以每秒的速度按逆时针方向旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．当时，求t的值． 【答案】(1) (2)①10 ；②6或8 (3)4.5或6 【分析】本题考查了与三角板有关的角度计算，一元一次方程的应用等知识，数形结合是解题的关键，注意分类讨论． （1）利用三个角的和为一个平角即可求解； （2）①求出的度数即可求解； ②分两种情况求解：当边在的外部；当边在的内部；求出旋转t秒后，由已知即可求解； （3）分两种情况：边相遇前与相遇后考虑即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：． （2）解：①边首次落在直线上，旋转了， 则旋转的时间为：（秒）； 故答案为：10； ②当边在的外部时； 顺时针旋转t秒，则，； 则， 解得：； 当边在的内部时； 顺时针旋转t秒，则，； 则， 解得：； 综上，当或8时，； 故答案为：6或8； （3）解：当边相遇前，如图， ∵，， ∴， 解得：； 当边相遇后，如图， ∵，， ∴， 解得：； 综上，t的值为4.5或6． 【经典例题十 角平分线的有关计算】 【例10】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知是内的一条射线，下列条件中不能确定射线平分的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，正确把握角平分线的定义是解题关键．直接利用角平分线的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、，能确定平分，故此选项不合题意； B、，能确定平分，故此选项不合题意； C、，能确定平分，故此选项不符合题意； D、不能确定平分，故此选项符合题意． 故选：D．    1．（24-25七年级上·山东德州·期末）一副直角三角板如图1放置：直角三角板的边与直角三角板的边重合，点在线段的延长线上．如图2，将边三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当线段与射线重合时停止），平分，当满足时，三角板的运动时间为（   ） A．16秒 B．秒 C．32秒 D．秒 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，直角三角板中角度的计算，解题的关键是理解题意，弄清各角之间的关系．设三角板的运动时间为秒，根据题意并利用角平分线的定义，列出关于的方程，解方程即可获得答案． 【详解】解：设三角板的运动时间为秒， 根据题意，将边绕点以每秒的速度顺时针旋转， 则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，解得秒， ∴三角板的运动时间为秒． 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期末）已知分别是的角平分线．是内部的一条射线，若，则的度数为 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了角的计算，角平分线，利用角的加减，角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵分别是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）如图，点O为直线上一点，当直角在如图所示位置时，平分，平分，若，则的度数为 【答案】/77度 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，先根据角平分线的定义得到，进而求出，再由平角的定义求出，则由角平分线的定义可得． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵是直角，即， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)_____（填“”、“”或“”）； (2)当时，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由； (4)将三角板绕点逆时针旋转一周，当直线平分时，的度数为_______（注：不写过程，直接写出结果，只填写小于平角的结果）． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 (4)或 【分析】（）根据角的和差关系即可求解； （）先求出的度数，再根据角的和差关系即可求解； （）分两种情况分别画出图形，再根据角平分线的定义及角的和差关系即可求解； 本题考查了三角板中的角度运算问题，角平分线的定义，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， 即； （4）解：当三角板旋转到如图①位置时，直线平分， ∵， ∴， 当三角板旋转到如图②位置时，直线平分， ∴； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 【经典例题十一 角n等分线的有关计算】 【例11】（24-25七年级上·江苏南京·期末）在锐角内部由O点引出3种射线，第1种是将分成10等份；第2种是将分成12等份；第3种是将分成15等份，所有这些射线连同､可组成的角的个数是（    ） A．595 B．406 C．35 D．666 【答案】B 【分析】设锐角，第1种中间由9条射线，每个小角为，第2种中间由11条射线，每个小角为，第3种中间由14条射线，每个小角为，利用内部的三种射线与OA形成的角相等求出重合的射线，第一种第m被倍小角为，第二种n倍小角，与第三种p倍小角相同，则，先看三种分法中无同时重合的，再看每两种分法重合情况，第1种, 第2种,共重合1条，第1种,第3种，共重合4条，，第2种,第3种,共重合2条，在中一共有射线数29条射线，29条射线分成的小角最多28个，所有角=1+2+3+…+28求和即可． 【详解】设锐角 第1种是将分成10等份；中间由9条射线，每个小角为， 第2种是将分成12等份；中间由11条射线，每个小角为， 第3种是将分成15等份，中间由14条射线，每个小角为， 设第1种, 第2种，第3种中相等的角的射线重合为1条， 第一种第m倍小角为，第二种n倍小角，与第三种p倍小角相同 则， 先看三种分法中同时重合情况除OA，OB外没有重合的， 再看每两种分法重合情况 第1种, 第2种, ，第一种第5条与第二种第6条重合，共重合1条， 第1种,第3种，，m=2，4，6，8,与P=3，6，9，12重合，共重合4条， 第2种,第3种, ,n=4，8与p=5，10重合，共重合2条， 在中一共有射线数=2+9+11+14-1-2-4=29条射线， 29条射线分成的所有角=1+2+3+…+28=个角． 故选择：B． 【点睛】本题考查射线分角问题，不同角的个数求法，掌握掌握三种分法中排出重合射线的条数是解题关键． 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D．4a 【答案】A 【分析】本题考查了角度的计算，角的数量问题，根据题意可得每一个小角的度数为，进而将所有角的度数相加即可求解． 【详解】∵四条射线五等分， ∴每个小角的度数为．如图， 图中所有锐角的和为 ， 故选：A． 2．（24-25七年级上·江西南昌·期末）如图，，，，则的度数为 ° 【答案】76 【分析】本题考查了角的计算，先根据求出的度数，然后根据计算即可． 【详解】解∶∵，， ∴， 又， ∴， 故答案为∶76． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．    （1）如图1，若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且． ①则 ； ②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 【答案】 /度 /度 或 【分析】本题属于新定义类型的问题，主要考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏． （1）根据三分线的定义计算即可； （2）①根据三分线的定义计算即可；②根据三分线的定义可得，由旋转得，然后分两种情况：当是的三分线，且时；当是的三分线，且时，分别求出和的值即可． 【详解】解：（1）解：∵， ∴, 故答案为：； （2）①∵，是的两条三分线，， ∴， 故答案为：； ②∵，，是的两条三分线， ∴， 由旋转得：， 分两种情况： 当是的三分线，且时，可得， ∴， ∴，即； 当是的三分线，且时，可得， ∴，即； 故答案为：或． 4．（24-25七年级下·重庆·期中）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了角的计算，分情况画图讨论是解题的关键． （1）当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）根据从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，如图3，②当时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， 当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2， ， 故答案为：； （2）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图4， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图5， ， ， ， ，， ，， ， ， ，不合题意； 综上所述：的值为或． 【经典例题十二 求一个角的余角】 【例12】（2025·江苏苏州·模拟预测）若，则的余角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了余角的定义，度分秒的换算，注意度分秒是进制．根据互为余角的两个角的和等于，列式进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴的余角的度数为 故选：D ． 1．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，这是光线经过平面镜反射的示意图．已知是直角，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的计算，余角的性质等知识点，运用进行代数计算．即可作答． 【详解】解：∵是直角，， ， 故选：B． 2．（24-25七年级下·四川成都·期中）如果，那么的余角等于 ；的补角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两角互余及互补的定义．利用两角互余及互补的定义，进行计算，即可求解． 【详解】解：， 的余角为：，的补角为：， 故答案为：，． 3．（24-25七年级下·河南平顶山·阶段练习）如图，于点O，则的余角是 ，的补角是 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查的补角和余角的含义，直接利用补角和余角的含义作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的余角是， ∵， ∴的补角是， 故答案为：；． 4．（24-25七年级上·全国·期末）如图是由个边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的内角都是直角，每个顶点称为格点，A，B，C，D，E，F均在格点上，且． (1)仅用无刻度的直尺按要求画图： ①作直线； ②连接； ③延长至点G，使． (2)填空： ①若点M是的三等分点，点N是的中点，则 ； ②图中能用所给字母表示的角中，互余的角有 对，互补的角有 对； ③若点P是平面内一点，当点P是与的公共点时，的值最小，理由是 ． 【答案】(1)见解析 (2)①或；②4，7；③两点之间，线段最短 【分析】本题考查基本作图、互余和互补定义、两点之间线段最短等知识，掌握相关知识是解答的关键． （1）①连接并双向延长，直接用直尺连接并延长，②连接；③根据，延长，根据，使； （2）根据和为的两个角互余，和为的两个角互补求解即可； （3）根据两点之间线段最短求解即可． 【详解】（1）解：①直线即为所求； ②线段即为所求； ③点G即为所求； （2）①由图得：，， 当在靠近的三等分点时. ，， 当在靠近的三等分点时.，， ； 故答案为：或； ②互余的角有与，与，与，与，共4对； 互补的角有与，与，与，与，与，与，与，共7对， 故答案为：4，7； ③解：如图 当在与公共点时，最短，最短，故最小，理由是：两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短． 【经典例题十三 求一个角的补角】 【例13】 （24-25七年级上·湖南长沙·期末）如图，点在一条直线上，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了补角，平角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平角可得，求解即可求得答案． 【详解】解：∵点在一条直线上， ∴为平角， ∴， ∴， 故选：C． 1．（24-25七年级上·天津·期末）如图，结论正确的是（    ） ①射线的方向是北偏西； ②射线的方向是东南方向；③射线的方向是北偏东；④和互为补角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了方位角的表示方法，以正南（或正北）为基准线，其夹角的度数即为某条射线的方位角． 根据方位角的确定方法依次判断． 【详解】解：①射线的方向是北偏西40°，故错误； ②射线的方向是东南方向，故正确； ③射线的方向是北偏东，故正确； ④，故错误； 正确的有2个， 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·期中）已知，那么的补角等于 ． 【答案】或(任写一个即可) 【分析】本题考查了补角的定义，因为，所以它的补角为，解决本题的关键是根据相加等于 的两个角互为补角列式计算即可． 【详解】解：， 的补角等于， ， ， 故答案为：或(任写一个即可)． 3．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，点、、分别为内部三点，连接、、，，，，，则的补角的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查了角平分线，角的和差，余角和补角等知识点，掌握余角和补角的定义成为解题的关键． 根据题意可得，进而得到，再根据余角的定义求得，然后求得，最后根据补角的定义即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ∴的补角为． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）根据以下素材，探索完成任务． 探究三角尺中的学问 素材1 已知点C为直线上一点，，． 素材2 如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合，按三角尺②的一条直角边与边的夹角为摆放． 问题解决 任务1 问题1：如图1，若，图中哪些角与互余？ 任务2 问题2：如图2，已知射线是的平分线，且，求的度数； 任务3 问题3：探究当，求三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数，请直接写出探究结论，不必写出探究过程． 【答案】问题1：和 问题2： 问题3：或后或． 【分析】本题考查了角的互余、角平分线的性质、角的和差计算以及三角尺中角度的关系，解题的关键是利用平角（）、直角（）的度数特征，结合角的和差与比例关系建立等量关系． 问题1：根据互余定义，结合直角和平角性质，找出和为的角． 问题2：设比例系数，利用角平分线性质表示角，结合平角和直角列方程求解． 问题3：利用三角尺②的直角特征和的度数，结合的度数计算夹角，分四种情况讨论． 【详解】解：任务 1（问题 1）：∵，即， ∴与互余； ∵直角三角形中，则， 又∵， ∴与互余； 任务2（问题2）：设，， ∵平分， ∴， ∴； ∵，， ∴， 解得； ∴， ∴； 任务3（问题3）：分四种情况讨论： ①当与边的夹角，且在下方时，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴； ②当与边的夹角，且在上方时，如图： ∵，，， ∴； ③当与边的夹角时，且在下方时，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴； ④当与边的夹角时，且在上方时，如图： ∵，，， ∴； 综上所述，另一条直角边与边的夹角可能是或后或． 【经典例题十四 与余角、补角有关的计算】 【例14】（2025七年级上·全国·专题练习）将一副三角尺按下列不同的位置摆放，与互余的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了余角的定义，三角板中角度的计算，度数之和为90度的两个角互余，据此结合三角板中角度的特点求解即可． 【详解】解：A、由余角性质可得，该选项不合题意； B、由图可得，与互补，该选项不合题意； C、由图可得，该选项不合题意； D、由图可得，与互余，该选项符合题意； 故选：D． 1．（24-25七年级下·广东深圳·阶段练习）将一副三角板按不同位置摆放，下列选项中，与互余的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查余角和补角，如果两个角的和等于，那么这两个角互为余角，由此即可判断． 【详解】解：若两个角的和为，则这两个角互余． A、图中（平角定义 ），所以，满足互余，A正确； B、图中与是三角板中对应相等的角（如与 ），和不为，不互余，B错误； C、图中（对顶角或三角板角度对应 ），和不为，不互余，C错误； D、图中，，不互余，D错误； 故答案为：A． 2．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算及余角的知识，属于基础题，关键是利用角的和差关系进行计算． 先由求出的度数，再由求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·全国·期末）如图，将直角三角板的直角顶点O放在直线上，射线平分，，将三角板绕点O旋转（旋转过程中与均大于且小于）一周，的度数为 （用含的代数式表示）． 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角板中角度的计算，余角和补角，熟练掌握角平分线定义是解题的关键．分两种情况：当点C在上方时以及当点在下方时，根据补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，结合三角板的度数计算即可． 【详解】解：当点C在上方时，如图， ， ， 平分， ， ； 当点在下方时，如图， 同理可得， ， ， 故答案为：或． 4．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起（其中，，；） (1)若，则的度数为_____； (2)若点在的上方，设（），求．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是补角和余角的定义，掌握图形相关角的和与差的关系是解题的关键． （1）利用角的和与差的关系即可求值； （2）利用角的和与差的关系即可求值． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ． 故答案为：． （2）解：由题意得，， ， ． 【经典例题十五 同(等)角的余(补)角相等的应用】 【例15】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，直线、相交于点O，则可推导出“”，下列依据中，最合理的是（   ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【答案】C 【分析】本题考查了补角的性质，根据同角的补角相等分析即可． 【详解】解：，， ， 依据最合理的是同角的补角相等， 故选：C． 1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图①、图②、图③和图④，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形为（  ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角板中的角度的关系，同角的余角相等，根据直角三角板中的角度分别求出和逐项求解即可． 【详解】图①，， ∴，符合题意； 图②，， ∴，不符合题意； 图③，根据同角的余角相等可得，符合题意； 图④，， ∴，符合题意； 综上所述，摆放位置中的图形为①③④． 故选：D． 2．（24-25七年级下·辽宁丹东·阶段练习）如图，，分别交，于点P，F，过点P作，则图中与互余的角有 个．    【答案】3 【分析】由，得到，，因此，由平行线的性质得到，因此，于是得到图中与互余的角有3个． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， 图中与互余的角有3个．． 故答案为：3 【点睛】本题考查平行线的性质，余角，关键是掌握余角的定义，平行线的性质． 3．（24-25七年级上·福建厦门·期末）数学兴趣小组在测量教学楼高度的活动中需要测量观察教学楼顶的视线与水平线的夹角，他们制作了一个简易测角仪，使用方法如下：如图1所示，量角器的圆心在垂直于地面的支杆一端上，量角器刻度线与支杆重合．如图2所示，绕点转动量角器，使教学楼顶与直径两端点，在同一条直线上，此时视线与水平线的夹角．请用你学过的一个几何知识解释简易测角仪的工作原理： ． 【答案】同角的余角相等 【分析】本题考查等角或同角的余角相等．由图可得与互余，与互余，得到是运用“同角的余角相等”，据此可解答． 【详解】∵是刻度线， ∴， ∴与互余， ∵支杆垂直地面，是水平线， ∴， ∴与互余， 根据“同角的余角相等”可得． 故答案为：同角的余角相等． 4．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，如图所示，请解决以下问题： (1)①________（填“＞”“＜”或“＝”）； ②当时，求的度数； (2)若为任意锐角时，猜想：与之间的数量关系．（直接写出答案，不写证明过程） 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题考查的是角的和差运算，与余角补角相关的计算； （1）①由可得； ②求解，结合，利用可得答案； （2）由，，再结合角的和差运算可得答案． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②，， ， 由（1）知， ． （2）解：当为任意锐角时，， 理由如下：，， ． 【拓展训练一 方向角、钟面角计算综合】 1．（24-25七年级上·江西南昌·期末）根据要求画图并作答． (1)如图所示，一个公园是正方形布局，近期景观升级需要将其改造为圆形，请你在设计图中画一个最小的圆，使它恰好能够围住正方形．（先用虚线表示出你是怎样找到圆心的，并给圆心标上字母，再用实线画圆．） (2)公园的南门到北门距离200米，扩建后公园面积增加多少平方米？ (3)小明现在的位置在公园的中心，他计划从东门离开搭乘地铁回家．地铁站在公园东门北偏东距离100米的位置，请画出地铁站的位置． 【答案】(1)见解析 (2)11400平方米 (3)见解析 【分析】关键是掌握画圆的方法，能根据方向、角度和距离画出路线图，结合题意分析解答即可． （1）先用虚线画出正方形对角线，对角线的交点是圆心，半径=对角线的一半，据此画出圆． （2）增加的面积=圆的面积-正方形面积，南门到北门距离是圆的直径，圆的面积=圆周率×半径的平方，正方形可以看成两个三角形，三角形面积=底×高÷2，据此求出增加的面积． （3）用方向和距离结合来画路线时，要注意三个要素：一是观测点（即参照物），二是方向，三是距离．看图可知，图上1段表示50米，实际距离÷50=要画的段数． 【详解】（1）解：设计图中画一个最小的圆，使它恰好能够围住正方形，如图 （2）（米） （平方米） 答：扩建后公园面积增加11400平方米 （3）（段），如图 2．（24-25七年级上·全国·课堂例题）小丽、小影、小华三人每天相约在如图所示的早餐店碰面，小丽家在早餐店南偏西方向上，小影家在点处，小华家在早餐店东南方向上，，且早餐店到小华家与小丽家的距离相等．    (1)在图中画出小华家的位置； (2)求的度数； (3)若，请说出小影家相对于早餐店的位置． 【答案】(1)见解析图； (2)； (3)小影家在早餐店的位置北偏西的位置上． 【分析】（）根据要求画出图形即可； （）得与正东方向的夹角，从而求得的度数； （）求出与正北方向的夹角，根据方向角的定义判断即可． 【详解】（1）如图，点即为所求；    （2）∵， ∴与正东方向的夹角为， ； （3）由（）得与正东方向的夹角为， ∵， ∴与正东方向的夹角为：， ∵正东和正北的夹角为， ∴与正北方向的夹角为：， ∴小影家在早餐店的位置北偏西的位置上． 【点睛】此题考查了作图-应用与设计作图，方向角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识． 一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型：如图②，表带的两端用点A和点D表示，表盘与线段交于点B、C，O为表盘圆心． (1)若为，，B是中点，求手表全长的长度． (2)表盘上的点B对应数字“12”，点C对应数字“6”，为时针，为分针，时表盘指针状态如图③所示，分针与重合． ①求的度数； ②作射线，使，求此时的度数． 【答案】(1)14 (2)①；②在内部时，，在外部时 【分析】本题考查了线段的和差问题，角平分线的性质和钟面角，以及分类讨论的思想． （1）利用中点和，求出和，求和即可得； （2）①利用分针和时针每分钟走过的角度即可计算；②分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：是中点． ； ； ； ； ； （2）解：①分针的速度为（每分）； 时针的速度为（每分）； 30分钟时针走的路程为，即时针从8点到走了， ； ②当在内部时，， ； 当在外部时，． 【拓展训练二 角平分线的有关计算综合】 1．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，在中，射线平分，连接，射线平分． (1)若是直角，，求的度数； (2)若，，则是多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，找准角之间的和差关系是解题的关键： （1）根据直角结合角的和差关系得到的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）根据角平分线和角的和差关系推出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是直角， ∴， ∴， ∵射线平分，射线平分， ∴，， ∴； （2）∵射线平分，射线平分， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，且直角三角板在直线的上方． (1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则_____； (2)如图2，直角三角板的边在的内部． ①若恰好平分，求和的度数； ②请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了余角，角平分线的定义，熟练掌握余角，角平分线的定义，分情况讨论是解题关键． （1）根据两个角互为余角，求出的度数； （2）①根据平角定义先求出，根据角平分线的定义得，进而求出； ②根据角的和差关系求出与之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴ 故答案为：； （2）解：①∵， ∴， ∵恰好平分 ∴， ∴； ②与之间的数量关系为：； ∵， ∴ ∴ ∵， ∴． 3．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）已知，，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)将绕点O按顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)继续将绕点O按顺时针方向旋转到如图3所示的位置，若，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的有关计算；能熟练用角的和差表示出所求的角是解题的关键． （1）由角的和差得，由角的平分线得，即可求解； （2）由角的和差得，由角的平分线得，即可求解； （3）由角的和差得，由角的平分线得，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， 平分， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ； （3）解：，， ， 平分， ， ． 【拓展训练三 几何图形中角度计算综合】 1．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）如图：中，是的平分线，是的平分线． (1)求的度数； (2)如果题目中，其它条件不变，求的度数； (3)如果题目中（为锐角），其它条件不变，求的度数； (4)从（1）、（2）、（3）的结果中能得到什么结论，请简述理由． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查角平分线的定义以及角的和差运算，解题关键是根据角平分线的性质，将所求角转化为与已知角、相关的角的和差，再进行计算． （1）先求的度数：，再根据角平分线的定义求和的度数：、，最后求的度数：； （2）先求的度数：，再根据角平分线的定义求和的度数：、，最后求的度数：； （3）先求的度数：，再根据角平分线的定义求和的度数：、，最后求的度数：； （4）先求的度数：，再根据角平分线的定义求和的度数：、，最后求的度数：； 【详解】（1）解： 是的平分线，是的平分线， ，， （2）解：，， 是的平分线，是的平分线， ，， ． （3）解：，， 是的平分线，是的平分线， ，， ． （4），理由如下： ， 是的平分线，是的平分线， ，， ． 2．（24-25七年级上·贵州·期末）【综合与探究】如图①，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． (1)若，_______；若，则 ； (2)【大胆猜想】与的大小有何特殊关系是 ； (3)【问题解决】如图②，若是两个同样的三角尺锐角的顶点A重合在一起，则与的大小有何关系？请说明理由； (4)【拓展延伸】如图③，已知（，），若把它们的顶点O重合在一起，则与的大小有何关系？用字母和表示（不需要证明直接写出答案即可）． 【答案】(1)， (2) (3)，见解析 (4) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算． （1）先求出，进而求出；先求出，进而可得； （2）先求出，再求出，据此可得结论； （3）仿照（2）求解即可； （4）根据可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵，，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：；； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：；理由如下 由题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （4）解：，理由如下： ∵， ∴． 3．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）已知：平面内四点A，B，C，D，有，点E在线段上移动，点F在线段上移动，点G在线段上移动，将以为折痕折叠，点B落在处，将以为折痕折叠，点C落在处． (1)如图1，点在同一直线上，，求的度数； (2)如图2，，求的度数； (3)如图3，点落在上，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了折叠的性质、平角的定义及垂直的定义，熟记折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠可得，再根据平角的定义得到得到，即可得到； （2）由折叠得到，再由平角得到求出，即可得到； （3）由折叠得到，，再由平角求出，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：由折叠可得， ， ， ∴， ； （2）解：由折叠得到， ， ，且， ， ； （3）解：，， ∴由折叠得到，， ， ， ． 【拓展训练四 余角、补角计算综合】 1．（24-25七年级上·广东肇庆·期末）（1）列方程求解：把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．问这个班有多少学生？这些图书共有多少本？ （2）列方程求解：一个角的余角比这个角的补角的三分之一多，求这个角的大小． 【答案】（1）这个班有45名学生，图书有155本；（2）这个角是 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目中的等量关系列出方程，再求解． （1）设这个班有x个学生，根据总本数相等和每人分3本，剩余20本，每人分4本，缺25本，可列出方程，求解即可． （2）设这个角为，根据一个角的余角比这个角的补角的三分之一多，可列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设这个班有x个学生， 则：， 解得， 图书：， 答：这个班有45名学生，图书有155本． （2）解：设这个角为， 依题意得：， 解得：， 答：这个角是． 2．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知点在直线上，在直线的上方作两条射线、． (1)如图1，当时，写出图中互余的两个角______与______； (2)已知是的角平分线，是的角平分线，， ①如图2，当时，计算的度数； ②画图探究和之间的数量关系（可直接写出结果）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了余角和补角、角平分线的定义，解决本题的关键是根据角平分线的定义进行解答． （1）根据互余的定义，结合已知以及平角来找出互余的角； （2）①先根据已知条件求出的度数，再利用角平分线的性质求出的度数，最后通过，即可求解； ②设，用含的式子表示出，再根据角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 又∵， ∴， ∴互余的两个角为与； 故答案为：，； （2）解：①∵，， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴ ； ②如图：设， 则， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 3．（24-25七年级下·四川泸州·期中）一块三角板按如图1方式摆放，其中边与直线重合，，射线在直线上方，且，作的角平分线． (1)求图1中的度数； (2)如图2，将三角板绕点O按逆时针方向旋转一个角度α，在转动过程中三角板一直处于直线的上方． ①当，求的度数； ②时，求旋转角α的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查角的和差计算与角平分线性质的应用，解题关键是利用平角、角平分线定义及余角关系，通过角的和差运算求解角度． （1）先求出，再根据平分即可得出的度数；   （2）①先求出，再根据平分可得出的度数；②先根据平分得，则，进而得，则与互为余角，据此可得的值． 【详解】（1），，   ，   平分，   ； （2）①，，，   ，   平分，   ；   ②，平分，   ，   ，   ，   ，   与互为余角，   ． 【拓展训练五 利用余角、补角探索角度关系】 1．（24-25七年级上·广西梧州·期末）如图①，，都是直角． (1)和在数量上是否存在相等、互余或互补关系？你能说明你猜想的正确性吗？ (2)当绕点O旋转到图②所示的位置时，你的猜想还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)和在数量上存在互补关系，即，理由见解析 (2)猜想还成立，即，理由见解析 【分析】本题考查了补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据已知并结合图形，利用角的和差关系进行计算即可解答； （2）利用周角是，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： 和在数量上存在互补关系， 理由：， ， 和在数量上存在互补关系．； （2）解：猜想还成立，即． 理由：， ， 和在数量上存在互补关系． 2．（24-25七年级上·重庆巴南·期末）如图，已知在同一平面上的点A，B，C，D，O． (1)按下列要求作图．（尺规作图，保留作图痕迹） ①分别作直线，射线，连接； ②在的延长线上作，使； (2)按（1）作图所示，若，，探究与的关系． 解：∵，， ∴ ① °， ∵ ② ， ③ ， ∴ ④ ． 通过以上探究，请同学们联系所学思考：若，，所以．我们可以得到一个结论： ⑤ ． 【答案】(1)①详见解析；②详见解析 (2)①，②，③，④，⑤同角（或等角）的余角相等 【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）①根据直线，射线，线段的定义画出图形；②根据射线，线段的定义画出图形； （2）利用角的和差定义，等式的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：①如图所示 ②如图所示 （2）解：∵，， ∴． ∵， ， ∴． 通过以上探究，请同学们联系所学思考：若，，所以．我们可以得到一个结论：等角的余角相等． 故答案为：①，②，③，④，⑤同角（或等角）的余角相等． 3．（24-25七年级上·广东阳江·期末）如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究． (1)如图①，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若恰好平分，请你猜想此时是否平分，并简述理由； (2)如图②，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若始终在的内部，请猜想与是否相等，并简述理由； (3)如图②，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若始终在的内部，设，试用含的式子表示的度数，并说明当的值逐渐增大时，的度数会发生怎样的变化； (4)如图③，将两个同样的含角的直角三角板中锐角的顶点叠放在一起，请你猜想与有何关系，并说明理由． 【答案】(1)平分，见解析 (2)，见解析 (3)，当的值逐渐增大时，的度数逐渐减小 (4)或，见解析 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，角平分线的定义，等角的余角相等，熟练掌握图形中角的运算是解题的关键． （1）由，平分得，进而得，据此可得出结论； （2）由得，，然后根据同角的余角相等可得出结论； （3）由得，据此可得，进而可得当的值逐渐增大时，的度数的变化情况； （4）①当在的内部时，由得，据此可得与的关系； ②当在的外部时，由可得出与的关系． 【详解】（1）解：平分，理由如下： 依题意得：， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：，理由如下： 依题意得：， ∴，， ∴． （3）解：依题意得：， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴当的值逐渐增大时，的度数逐渐减小． （4）解：或，理由如下： 依题意得：， ①当在的内部时，如图： ， ∴； ②当在的外部时，如图： ． 1．（24-25七年级上·陕西汉中·期末）下列角度中，比小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角度的度分转换，解题的关键是将分转化为度，统一单位后进行角度大小比较． 先将选项中的角度都转化为以度为单位的形式，再与比较大小． 【详解】因为，所以将分转化为度： ，则． ，则． 现在比较各选项与的大小： ． ． ． ，即比小． 故选：D． 2．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）如图，当时钟指向上午时，时针与分针较小的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了钟面角，先得出 9点整时时针与分针的夹角，再得出分针转动的角度，最后减时针转动的角度即可得出答案． 【详解】解：∵时针与分针的夹角因为时钟一圈为，且被平均分成12个大格， ∴每一个大格的角度为． 在9点整时，时针指向9，分针指向12，它们之间间隔3个大格， ∴此时时针与分针的夹角是． ∵分针转动的角度已知分针每分钟转，从9点整到9点10分经过了10分钟， ∴分针转动的角度为． ∵时针转动的角度因为时针每分钟转0.5°，同样从9点整到9点10分经过了10分钟，所以时针转动的角度为． ∴时，时针与分针较小的夹角是， 故选：D 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）将一副三角尺如图摆放，点 D在 上，延长交的延长线于点F，，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角板中的角度计算，直角三角形的性质等知识，根据直角三角形互余及平角的定义即可求解． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 4．（25-26七年级上·全国·期末）如图，点是量角器的中心点，射线经过刻度线90．若，射线，分别经过刻度线和，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线..；③若，则图中共有对角互为余角．其中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查读角、余角和补角的定义、角的计算等，掌握相关知识是是解题的关键．根据等式的性质可判断①，根据补角的定义求出，从而得到可判断②，算出各角的度数，找到直角，根据余角的定义和性质可判断③． 【详解】解：①， ， ，故正确； ②由题意可得：， ， ，即， ， ，即射线经过刻度线160，故错误； ③如图： ，， ， 和互为余角， 射线经过刻度线90， ， 和，和，和，和，和互为余角， 即共有6对角互为余角，故正确； 正确的有①③， 故选：C． 5．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）一副三角板按图①的方式拼接在一起，其中边落在直线上，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一个角度a（如图②），在转动过程中两块三角板始终在直线的上方，当平分时，a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线及角的和差．根据角平分线的定义求出，得出，根据平角求出．解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义． 【详解】解：如图， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在已知角内画射线．画一条射线，图中共有 个角；画2条射线，图中共有 个角；画3条射线，图中共有 个角． 【答案】 3 6 10 【分析】本题考查了对角的概念的应用，图形类探索与规律，关键是能根据已知图形得出规律． 根据图形数出角的个数即可得出前三个空的答案． 【详解】在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 故答案为3，6，10． 7．（25-26七年级上·四川德阳·期中）如图，将长方形纸片沿直线、进行折叠后（点在边上），点刚好落在上，若折叠角，则另一个折叠角 ． 【答案】 【详解】本题主要考查了角的计算；熟练掌握折叠重合的性质是解决问题的关键．由折叠重合可得，即可得出结果． 【分析】解：由折叠重合得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：。 8．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，下列结论：①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】由∠AOB＝∠COD＝90°根据等角的余角相等得到∠AOC＝∠BOD，而∠COE＝∠BOE，即可判断①正确； 由∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°，而∠AOD+∠AOC＝90°，即可判断②正确； 由∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，没有∠AOC≠∠AOD，即可判断③不正确； 由OF平分∠AOD得∠AOF＝∠DOF，由①得∠AOE＝∠DOE，根据周角的定义得到∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即点F、O、E共线，又∠COE＝∠BOE，即可判断④正确． 【详解】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOC＝∠BOD， 而∠COE＝∠BOE， ∴∠AOE＝∠DOE，所以①正确； ∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°＝90°+90°＝180°，所以②正确； ∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD， 而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确； ∵OF平分∠AOD， ∴∠AOF＝∠DOF， 而∠AOE＝∠DOE， ∴∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即点F、O、E共线， ∵∠COE＝∠BOE， ∴∠COE+∠BOF＝180°，所以④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了角度的计算，解题的关键是结合图形和题中信息准确判断． 9．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）以灯塔为观察点： （1）A岛在 偏 方向上，距离是 千米； （2）B岛在 偏 方向上，距离是 千米． 【答案】 北 东 3 西 南 4 【分析】本题考查方位图，掌握用方位表示位置的方法是解题的关键． 直接根据题干所给的图进行解答即可． 【详解】解：由图可知， A岛在北偏东方向上，距离是3千米； B岛在西偏南方向上，距离是4千米； 故答案为： 北，东，，3；西，南，，4． 10．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）有下列说法： ①已知，则M点是线段的中点： ②把一个周角7等分，计算每份的结果（精确到秒）为：； ③如图甲，射线分别平分，若，则； 其中正确的是 （填序号） 【答案】①② 【分析】本题考查了线段中点的定义，度分秒的转化，角平分线的有关计算，熟练掌握各知识点是解题的关键． ①根据线段中点的定义即可判断；②根据度分秒的转化方法即可求解；根据角平分线依次得到，，，而，则，求出，再检验即可． 【详解】解：∵， ∴M点是线段的中点， 故①正确； ∵把一个周角7等分， ∴计算每份的结果为， ， ， ∴计算每份的结果（精确到秒）为：， 故②正确； ∵射线平分， ∴设， ∵平分，平分 ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故③错误， 故答案为：①②． 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，当时钟指向时，钟面上时针与分针的夹角是多少度． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角，根据每个大格代表，当时钟指向时，包含了个大格，由此计算即可得解，熟练掌握钟面角的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，当时钟指向时，钟面上时针与分针的夹角是． 12．（24-25七年级上·云南昆明·期末）如图，已知，，平分，平分，求∠AOB的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的运算和角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义以及角的计算方法是解决本题的关键．根据角平分线的定义设，根据，可得，再根据，得出关于的方程，解方程即可得出答案． 【详解】平分，平分， ，， 设， ， ， ， ， 解得， ． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）如图1，和都是直角，试猜想和是相等、互余还是互补的关系，请说明理由． （2）若绕着点O旋转，如图2所示，则（1）中的猜想还成立吗？ 【答案】（1）与互补，理由见解析；（2）猜想成立，理由见解析 【分析】本题考查的是余角及补角的定义，掌握补角的定义是解题关键， （1）根据和都是直角求出，，进而求出结论； （2）根据和都是直角求出，进而求出结论． 【详解】解：（1）与互补，理由如下： ∵和都是直角， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴与互补； （2）猜想成立，理由如下： ∵和都是直角， ∴. ∵， ∴， ∴与互补． 14．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，以直线上一点O为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：） (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则________； (2)如图②，将直角三角板转到如图位置，当恰好平分时，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点O转动，如果始终在的内部，直接写出和的数量关系：________． 【答案】(1)20 (2) (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的和差、几何图形中的角度计算等知识点，能根据图形求出各个角的度数是解题的关键． （1）根据图形得出，然后代入数据即可解答； （2）根据角平分线定义求出，再代入求解即可； （3）根据图形得出，，两式作差即可解答． 【详解】（1）解：如图①，． 故答案为：20． （2）解：如图②，∵恰好平分，， ∴， ∵∠BOC=70°， ∴． （3）解：，理由如下： 如图③，∵， ∴ ， ∴． 15．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）根据以下素材，探索完成任务． 探究三角尺中的学问 素材1 已知点C为直线上一点，，． 素材2 如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合，按三角尺②的一条直角边与边的夹角为摆放． 问题解决 任务1 问题1：如图1，若，图中哪些角与互余？ 任务2 问题2：如图2，已知射线是的平分线，且，求的度数； 任务3 问题3：探究当，求三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数，请直接写出探究结论，不必写出探究过程． 【答案】问题1：和 问题2： 问题3：或后或． 【分析】本题考查了角的互余、角平分线的性质、角的和差计算以及三角尺中角度的关系，解题的关键是利用平角（）、直角（）的度数特征，结合角的和差与比例关系建立等量关系． 问题1：根据互余定义，结合直角和平角性质，找出和为的角． 问题2：设比例系数，利用角平分线性质表示角，结合平角和直角列方程求解． 问题3：利用三角尺②的直角特征和的度数，结合的度数计算夹角，分四种情况讨论． 【详解】解：任务 1（问题 1）：∵，即， ∴与互余； ∵直角三角形中，则， 又∵， ∴与互余； 任务2（问题2）：设，， ∵平分， ∴， ∴； ∵，， ∴， 解得； ∴， ∴； 任务3（问题3）：分四种情况讨论： ①当与边的夹角，且在下方时，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴； ②当与边的夹角，且在上方时，如图： ∵，，， ∴； ③当与边的夹角时，且在下方时，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴； ④当与边的夹角时，且在上方时，如图： ∵，，， ∴； 综上所述，另一条直角边与边的夹角可能是或后或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 角重难点题型专训 （8个知识点+15大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 角的概念理解 题型二 角的分类 题型三 角的单位与角度制 题型四 角度的四则运算 题型五 角的度数大小比较 题型六 方向角的表示 题型七 与方向角有关的计算题 题型八 几何图形中角度计算问题 题型九 三角板中角度计算问题 题型十 角平分线的有关计算 题型十一 角n等分线的有关计算 题型十二 求一个角的余角 题型十三 求一个角的补角 题型十四 与余角、补角有关的计算 题型十五 同(等)角的余(补)角相等的应用 拓展训练一 方向角、钟面角计算综合 拓展训练二 角平分线的有关计算综合 拓展训练三 几何图形中角度计算综合 拓展训练四 余角、补角计算综合 拓展训练五 利用余角、补角探索角度关系 知识点一：角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·广东深圳·期末）深圳市数码产品购置补贴活动期间，小山爸爸在坪山商场购入了一台“三折叠”手机，小山测量“三折叠”手机打开角度如下图．此时“三折叠”手机的打开角度是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·浙江·专题练习）下面四个图中的角表示正确的有 （把你认为正确的序号都填上） ①②③④ 知识点二：角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位 【即时训练】 1．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，直尺的一边经过量角器的圆心，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）用度表示： ． 知识点三：钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）如图，在这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·云南大理·期末）如图所示，下午5：00时，钟面上时针与分针之间的夹角度数是 ． 知识点四：方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意： （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点 【即时训练】 1．（24-25七年级上·全国·期末）按下图所示，点A在点B的（    ）方向上． A．北偏西 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏西 2．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，点在点的什么方向： ． 知识点五：角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，平分，则的大小是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）如图，点A、B、O 在一条直线上，射线是的平分线， ． 知识点六：角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 【即时训练】 1．（2025·广东东莞·模拟预测）将一副三角尺按如图所示的方式摆放在直尺上，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河北张家口·期末）按图填空： （1） ； （2） ； （3）（ + ）． 知识点七：余角和补角 （1）余角： 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。 ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A （2）补角： 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角 ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）下列角中，可能与角互余的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南平顶山·阶段练习）如图，于点O，则的余角是 ，的补角是 ． 知识点八：余角和补角的性质 （1）补角的性质： 同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。 等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 （2）余角的性质： 同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。 等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 注意： ①钝角没有余角； ②互为余角、补角是两个角之间的关系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角； ③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）如图所示，都是以为顶点的直角，能解释的理由是（　　） A．同角的余角相等 B．平角的定义 C．对顶角相等 D．同角的补角相等 2．（25-26七年级上·福建福州·期中）如图是用一副三角板拼成的图形，则图中 ． 【经典例题一 角的概念理解】 【例1】（24-25七年级下·山东聊城·期中）在∠AOB的内部从顶点O引出3条射线，则图中共有角的个数是（    ） A．9个 B．10个 C．11个 D．12个 1．（24-25七年级下·山东聊城·期中）下列说法中，正确的个数有（    ） ①两条射线组成的图形是角；②角的大小与边的长短有关；③角的两边可以画的一样长，也可以一长一短；④角的两边是两条射线；⑤因为平角的两边也成一条直线，所以一条直线可以看作一个平角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）如图①，我们可以将角表示为 或 或 ． （2）如图②，共有 个角，它们分别是 ． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）在锐角内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角…照此规律，画9条不同的射线，可以画出 个锐角． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）（1）如图，在中，以O为顶点引射线，填表： 内射线的条数 1 2 3 4 角的总个数 （2）若内射线的条数是n，请用关于n的式子表示出上面的结论． 【经典例题二 角的分类】 【例2】（24-25七年级上·广西百色·期末）下列四个角中，钝角是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，小于平角的角共有 个． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）如图所示的图形中有 个小于平角的角，写出以为一边的所有角： ． 4．（24-25七年级上·江西赣州·期末）按照要求作图： (1)画直线AC，连接BD与AC相交于点О； (2)画射线AB，反向延长线段CD与射线AB相交于点G． (3)以A为顶点的锐角有_______________个． 【经典例题三 角的单位与角度制】 【例3】（24-25七年级上·陕西汉中·期末）下列角度中，比小的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·江西南昌·期末）如图，直尺的一边经过量角器的圆心，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末） ， 3．（24-25七年级上·江西南昌·期中）如图，某种齿轮每相邻两齿中心线间的夹角都相等，如果是一个15个齿的齿轮，则这个夹角的度数是；如果是一个22个齿的齿轮，则这个夹角的度数约为 ．（精确到分） 4．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)把化为度、分、秒的形式． (2)把化成度的形式． 【经典例题四 角度的四则运算】 【例4】（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）一副三角板按如图方式摆放，若， 则（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·重庆渝北·期末）如图，已知，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广东东莞·期末）如图，表示北偏东方向，表示南偏东方向，则 ． 3．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，甲从处出发沿北偏东方向走到处，乙从处出发沿南偏西方向走到处，则是 度． 4．（25-26七年级上·河北衡水·期中）计算题（能简算的简算） (1)． (2) (3)； (4)； 【经典例题五 角的度数大小比较】 【例5】（24-25七年级上·甘肃天水·期末）已知，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 1．（25-26七年级上·福建福州·期中）用一条线段表示，把它平均分成9份（如图）．线段上与度数最接近的点的序号是（   ）． A．① B．② C．③ D．④ 2．（24-25七年级上·浙江台州·期末）若，，则 ．（填“”“”或“”） 3．（2025七年级上·全国·专题练习）已知，则的大小关系是 ． 4．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，已知平面上的两点，． (1)作直线； (2)在（1）的基础上，用尺规在直线的上方找到一点C，使得；（保留作图痕迹，不要求写作法） (3)在（1）、（2）的基础上，作射线，．用量角器测量出与的度数． 【经典例题六 方向角的表示】 【例6】（24-25七年级上·广西北海·期末）如图，小明家在学校的（    ） A．南偏西方向上 B．北偏东方向上 C．南偏西方向上 D．北偏东方向上 1．（24-25七年级下·重庆·期中）一艘海上搜救船借助雷达探测仪寻找到事故船的位置，雷达示意图如图，搜救船位于图中圆心处，事故船位于距点50海里的处，雷达操作员要用方位角把事故船相对于搜救船的位置汇报给船长，以便调整航向，下列四种表述方式正确的为（   ）． A．事故船在搜救船的北偏东方向 B．事故船在搜救船的北偏东方向 C．事故船在搜救船的南偏西方向 D．事故船在搜救船的南偏西方向 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，射线表示的方向是 ． 3．（25-26七年级上·河北邢台·期中）下图是一个圆形钟面． （1）点在圆心的 偏 ， °的位置上． （2）如果点绕圆心沿弧线顺时针移动后就能到达点，点在圆心的 偏 ， 的位置上． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，某轮船上午8：00时位于点A处，测得灯塔S在北偏东的方向上，向东行驶至中午12：00时，该轮船位于点B处，测得灯塔S在北偏西的方向上．请在图中画出灯塔S的位置． 【经典例题七 与方向角有关的计算题】 【例7】（24-25七年级下·山西运城·期中）为推进城乡融合发展，某乡镇要修建一条乡村公路，如图所示，公路从地沿着北偏东方向到地，再从地沿着南偏东方向到地，然后从地到地．已知的方向与的方向一致，则公路从地到地修建的方向为（   ） A．东偏北 B．北偏东 C．南偏东 D．北偏西 1．（2025·河北邯郸·模拟预测）甲、乙、丙三家的位置如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．丙家在甲家北偏西方向 B．甲家在丙家南偏东方向 C．甲家在乙家南偏西方向 D．丙家在乙家北偏东方向 2．（24-25七年级上·内蒙古通辽·期末）在航行、测绘等工作中，经常以正北、正南方向为基准，描述物体的运动的方向，如“北偏东”“南偏西”等．如图，射线的方向是北偏东，在同一个平面内，则射线的方向是 ． 3．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）图中是故宫博物院的主要建筑分布图．其中点A表示养心殿所在位置，点O表示太和殿所在位置，点B表示文渊阁所在位置．已知养心殿位于太和殿北偏西方向上，文渊阁位于太和殿南偏东方向上，则的度数是 ° 4．（24-25七年级上·陕西铜川·期末）如图，射线表示的方向是北偏东，射线表示的方向是北偏西，射线在射线和射线之间，且．    (1)填空：的度数为__________； (2)求射线的方向． 【经典例题八 几何图形中角度计算问题】 【例8】（24-25七年级上·江西南昌·期中）如图，已知为直线上一点，，平分．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·广西防城港·期中）如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，将一副三角尺的直角顶点重合，摆放在桌面上，若，则 °． 3．（24-25七年级下·安徽淮南·阶段练习）一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点转动一个角度，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线的上方． （1）当在左边且平分时， ； （2）当在右边且平分时， ． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1中，______，______． (2)将图1中的三角板按图2的位置放置，使得在射线上，则______； (3)将上述直角三角板按图3的位置放置，使得在的内部，求的度数． 【经典例题九 三角板中角度计算问题】 【例9】（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）将一副直角三角尺如图放置，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·广东东莞·期末）如图，用一副三角尺可以画出许多不同的角度，以下角度不能用三角尺画出的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川泸州·期末）如图，一副直角三角板的顶点重合在一起，若，则的度数为 ． 3．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一个角度，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，两边组成的角时，的值为 ． 4．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）数学活动课上，老师带领学习小组利用一副直角三角尺进行“玩转尺”的探究活动． (1)老师将三角尺和三角尺按如图①所示的方式摆放在直线上，边落在直线上，，，，则____________； (2)第一小组同学将图①中三角尺绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，设三角尺的旋转时间为t秒，提出下列问题： ①当____________秒时，边首次落在直线上； ②当____________秒时，； (3)如图②，第二小组同学受第一小组同学的启发继续进行探究，将三角尺绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角尺绕点C以每秒的速度按逆时针方向旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．当时，求t的值． 【经典例题十 角平分线的有关计算】 【例10】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知是内的一条射线，下列条件中不能确定射线平分的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·山东德州·期末）一副直角三角板如图1放置：直角三角板的边与直角三角板的边重合，点在线段的延长线上．如图2，将边三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当线段与射线重合时停止），平分，当满足时，三角板的运动时间为（   ） A．16秒 B．秒 C．32秒 D．秒 2．（24-25七年级上·江苏南京·期末）已知分别是的角平分线．是内部的一条射线，若，则的度数为 ． 3．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）如图，点O为直线上一点，当直角在如图所示位置时，平分，平分，若，则的度数为 4．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)_____（填“”、“”或“”）； (2)当时，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由； (4)将三角板绕点逆时针旋转一周，当直线平分时，的度数为_______（注：不写过程，直接写出结果，只填写小于平角的结果）． 【经典例题十一 角n等分线的有关计算】 【例11】（24-25七年级上·江苏南京·期末）在锐角内部由O点引出3种射线，第1种是将分成10等份；第2种是将分成12等份；第3种是将分成15等份，所有这些射线连同､可组成的角的个数是（    ） A．595 B．406 C．35 D．666 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D．4a 2．（24-25七年级上·江西南昌·期末）如图，，，，则的度数为 ° 3．（2025七年级上·全国·专题练习）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．    （1）如图1，若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且． ①则 ； ②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 4．（24-25七年级下·重庆·期中）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【经典例题十二 求一个角的余角】 【例12】（2025·江苏苏州·模拟预测）若，则的余角的度数是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，这是光线经过平面镜反射的示意图．已知是直角，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川成都·期中）如果，那么的余角等于 ；的补角为 ． 3．（24-25七年级下·河南平顶山·阶段练习）如图，于点O，则的余角是 ，的补角是 ． 4．（24-25七年级上·全国·期末）如图是由个边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的内角都是直角，每个顶点称为格点，A，B，C，D，E，F均在格点上，且． (1)仅用无刻度的直尺按要求画图： ①作直线； ②连接； ③延长至点G，使． (2)填空： ①若点M是的三等分点，点N是的中点，则 ； ②图中能用所给字母表示的角中，互余的角有 对，互补的角有 对； ③若点P是平面内一点，当点P是与的公共点时，的值最小，理由是 ． 【经典例题十三 求一个角的补角】 【例13】 （24-25七年级上·湖南长沙·期末）如图，点在一条直线上，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·天津·期末）如图，结论正确的是（    ） ①射线的方向是北偏西； ②射线的方向是东南方向；③射线的方向是北偏东；④和互为补角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·全国·期中）已知，那么的补角等于 ． 3．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，点、、分别为内部三点，连接、、，，，，，则的补角的度数为 ． 4．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）根据以下素材，探索完成任务． 探究三角尺中的学问 素材1 已知点C为直线上一点，，． 素材2 如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合，按三角尺②的一条直角边与边的夹角为摆放． 问题解决 任务1 问题1：如图1，若，图中哪些角与互余？ 任务2 问题2：如图2，已知射线是的平分线，且，求的度数； 任务3 问题3：探究当，求三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数，请直接写出探究结论，不必写出探究过程． 【经典例题十四 与余角、补角有关的计算】 【例14】（2025七年级上·全国·专题练习）将一副三角尺按下列不同的位置摆放，与互余的是（ ）． A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·广东深圳·阶段练习）将一副三角板按不同位置摆放，下列选项中，与互余的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，，，则 ． 3．（24-25七年级上·全国·期末）如图，将直角三角板的直角顶点O放在直线上，射线平分，，将三角板绕点O旋转（旋转过程中与均大于且小于）一周，的度数为 （用含的代数式表示）． 4．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起（其中，，；） (1)若，则的度数为_____； (2)若点在的上方，设（），求．（用含的式子表示） 【经典例题十五 同(等)角的余(补)角相等的应用】 【例15】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，直线、相交于点O，则可推导出“”，下列依据中，最合理的是（   ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图①、图②、图③和图④，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形为（  ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2．（24-25七年级下·辽宁丹东·阶段练习）如图，，分别交，于点P，F，过点P作，则图中与互余的角有 个．    3．（24-25七年级上·福建厦门·期末）数学兴趣小组在测量教学楼高度的活动中需要测量观察教学楼顶的视线与水平线的夹角，他们制作了一个简易测角仪，使用方法如下：如图1所示，量角器的圆心在垂直于地面的支杆一端上，量角器刻度线与支杆重合．如图2所示，绕点转动量角器，使教学楼顶与直径两端点，在同一条直线上，此时视线与水平线的夹角．请用你学过的一个几何知识解释简易测角仪的工作原理： ． 4．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，如图所示，请解决以下问题： (1)①________（填“＞”“＜”或“＝”）； ②当时，求的度数； (2)若为任意锐角时，猜想：与之间的数量关系．（直接写出答案，不写证明过程） 【拓展训练一 方向角、钟面角计算综合】 1．（24-25七年级上·江西南昌·期末）根据要求画图并作答． (1)如图所示，一个公园是正方形布局，近期景观升级需要将其改造为圆形，请你在设计图中画一个最小的圆，使它恰好能够围住正方形．（先用虚线表示出你是怎样找到圆心的，并给圆心标上字母，再用实线画圆．） (2)公园的南门到北门距离200米，扩建后公园面积增加多少平方米？ (3)小明现在的位置在公园的中心，他计划从东门离开搭乘地铁回家．地铁站在公园东门北偏东距离100米的位置，请画出地铁站的位置． 2．（24-25七年级上·全国·课堂例题）小丽、小影、小华三人每天相约在如图所示的早餐店碰面，小丽家在早餐店南偏西方向上，小影家在点处，小华家在早餐店东南方向上，，且早餐店到小华家与小丽家的距离相等．    (1)在图中画出小华家的位置； (2)求的度数； (3)若，请说出小影家相对于早餐店的位置． 3．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识． 一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型：如图②，表带的两端用点A和点D表示，表盘与线段交于点B、C，O为表盘圆心． (1)若为，，B是中点，求手表全长的长度． (2)表盘上的点B对应数字“12”，点C对应数字“6”，为时针，为分针，时表盘指针状态如图③所示，分针与重合． ①求的度数； ②作射线，使，求此时的度数． 【拓展训练二 角平分线的有关计算综合】 1．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，在中，射线平分，连接，射线平分． (1)若是直角，，求的度数； (2)若，，则是多少度？ 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，且直角三角板在直线的上方． (1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则_____； (2)如图2，直角三角板的边在的内部． ①若恰好平分，求和的度数； ②请直接写出与之间的数量关系． 3．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）已知，，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)将绕点O按顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)继续将绕点O按顺时针方向旋转到如图3所示的位置，若，求的度数（用含的代数式表示）． 【拓展训练三 几何图形中角度计算综合】 1．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）如图：中，是的平分线，是的平分线． (1)求的度数； (2)如果题目中，其它条件不变，求的度数； (3)如果题目中（为锐角），其它条件不变，求的度数； (4)从（1）、（2）、（3）的结果中能得到什么结论，请简述理由． 2．（24-25七年级上·贵州·期末）【综合与探究】如图①，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． (1)若，_______；若，则 ； (2)【大胆猜想】与的大小有何特殊关系是 ； (3)【问题解决】如图②，若是两个同样的三角尺锐角的顶点A重合在一起，则与的大小有何关系？请说明理由； (4)【拓展延伸】如图③，已知（，），若把它们的顶点O重合在一起，则与的大小有何关系？用字母和表示（不需要证明直接写出答案即可）． 3．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）已知：平面内四点A，B，C，D，有，点E在线段上移动，点F在线段上移动，点G在线段上移动，将以为折痕折叠，点B落在处，将以为折痕折叠，点C落在处． (1)如图1，点在同一直线上，，求的度数； (2)如图2，，求的度数； (3)如图3，点落在上，，求的度数． 【拓展训练四 余角、补角计算综合】 1．（24-25七年级上·广东肇庆·期末）（1）列方程求解：把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．问这个班有多少学生？这些图书共有多少本？ （2）列方程求解：一个角的余角比这个角的补角的三分之一多，求这个角的大小． 2．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知点在直线上，在直线的上方作两条射线、． (1)如图1，当时，写出图中互余的两个角______与______； (2)已知是的角平分线，是的角平分线，， ①如图2，当时，计算的度数； ②画图探究和之间的数量关系（可直接写出结果）． 3．（24-25七年级下·四川泸州·期中）一块三角板按如图1方式摆放，其中边与直线重合，，射线在直线上方，且，作的角平分线． (1)求图1中的度数； (2)如图2，将三角板绕点O按逆时针方向旋转一个角度α，在转动过程中三角板一直处于直线的上方． ①当，求的度数； ②时，求旋转角α的值．                    【拓展训练五 利用余角、补角探索角度关系】 1．（24-25七年级上·广西梧州·期末）如图①，，都是直角． (1)和在数量上是否存在相等、互余或互补关系？你能说明你猜想的正确性吗？ (2)当绕点O旋转到图②所示的位置时，你的猜想还成立吗？请说明理由． 2．（24-25七年级上·重庆巴南·期末）如图，已知在同一平面上的点A，B，C，D，O． (1)按下列要求作图．（尺规作图，保留作图痕迹） ①分别作直线，射线，连接； ②在的延长线上作，使； (2)按（1）作图所示，若，，探究与的关系． 解：∵，， ∴ ① °， ∵ ② ， ③ ， ∴ ④ ． 通过以上探究，请同学们联系所学思考：若，，所以．我们可以得到一个结论： ⑤ ． 3．（24-25七年级上·广东阳江·期末）如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究． (1)如图①，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若恰好平分，请你猜想此时是否平分，并简述理由； (2)如图②，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若始终在的内部，请猜想与是否相等，并简述理由； (3)如图②，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若始终在的内部，设，试用含的式子表示的度数，并说明当的值逐渐增大时，的度数会发生怎样的变化； (4)如图③，将两个同样的含角的直角三角板中锐角的顶点叠放在一起，请你猜想与有何关系，并说明理由． 1．（24-25七年级上·陕西汉中·期末）下列角度中，比小的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）如图，当时钟指向上午时，时针与分针较小的夹角是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）将一副三角尺如图摆放，点 D在 上，延长交的延长线于点F，，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·全国·期末）如图，点是量角器的中心点，射线经过刻度线90．若，射线，分别经过刻度线和，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线..；③若，则图中共有对角互为余角．其中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）一副三角板按图①的方式拼接在一起，其中边落在直线上，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一个角度a（如图②），在转动过程中两块三角板始终在直线的上方，当平分时，a的值为（    ） A． B． C． D． ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴； 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在已知角内画射线．画一条射线，图中共有 个角；画2条射线，图中共有 个角；画3条射线，图中共有 个角． 7．（25-26七年级上·四川德阳·期中）如图，将长方形纸片沿直线、进行折叠后（点在边上），点刚好落在上，若折叠角，则另一个折叠角 ． 8．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，下列结论：①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．所有正确结论的序号是 ． 9．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）以灯塔为观察点： （1）A岛在 偏 方向上，距离是 千米； （2）B岛在 偏 方向上，距离是 千米． 10．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）有下列说法： ①已知，则M点是线段的中点： ②把一个周角7等分，计算每份的结果（精确到秒）为：； ③如图甲，射线分别平分，若，则； 其中正确的是 （填序号） 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，当时钟指向时，钟面上时针与分针的夹角是多少度． 12．（24-25七年级上·云南昆明·期末）如图，已知，，平分，平分，求∠AOB的度数． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）如图1，和都是直角，试猜想和是相等、互余还是互补的关系，请说明理由． （2）若绕着点O旋转，如图2所示，则（1）中的猜想还成立吗？ 14．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，以直线上一点O为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：） (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则________； (2)如图②，将直角三角板转到如图位置，当恰好平分时，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点O转动，如果始终在的内部，直接写出和的数量关系：________． 15．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）根据以下素材，探索完成任务． 探究三角尺中的学问 素材1 已知点C为直线上一点，，． 素材2 如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合，按三角尺②的一条直角边与边的夹角为摆放． 问题解决 任务1 问题1：如图1，若，图中哪些角与互余？ 任务2 问题2：如图2，已知射线是的平分线，且，求的度数； 任务3 问题3：探究当，求三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数，请直接写出探究结论，不必写出探究过程． 学科网（北京）股份有限公司 $