专题03 用一元一次方程解决问题重难点题型专训（1个知识点+14大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年人教版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题03 用一元一次方程解决问题重难点题型专训 （1个知识点+14大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 行程问题 题型二 配套问题 题型三 工程问题 题型四 销售盈亏问题 题型五 比赛积分问题 题型六 方案选择问题 题型七 数字问题 题型八 几何问题 题型九 动点问题 题型十 和差倍分问题 题型十一 电费和水费问题 题型十二 比例分配问题 题型十三 日历问题 题型十四 古代问题 拓展训练一 一元一次方程与数轴综合应用 拓展训练二 一元一次方程实际综合应用 拓展训练三 一元一次方程的应用规律问题 知识点一：用一元一次方程解决问题 1. 列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审：弄清题意和题目中的数量关系。 （2） 设：用字母表示题目中的一个未知量。 （3） 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （4） 列：根据这个相等关系列出方程。 （5） 解：解所列的方程，求出未知数的值。 （6） 验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。 （7） 答：写出答案。 2．设未知数的三种方法： （1） 直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。 （2） 间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。 （3） 设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。 一元一次方程应用题的常见类型 类型 内容 题中涉及的数量关系及公式 等量关系 注意事项 和、差、倍、分 问题 增长量=原有量×增长率 现有量=原有量增长量 现有量=原有量－降低量 由题可知 弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等 行 程 问 题 相遇问题 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离 相向而行，注意出发时间、 地点 追及问题 快车行驶路程-慢车行驶距离=原距离 同向而行，注意出发时间、 地点 调配问题 从调配后的数量关系中找等量关系 调配对象流动的方向和数量 工程问题 工作量=工作效率×工作时间 工作效率=工作量÷工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般情况下，把总工作量设为1 销售打折问题 商品利润=售价-进价（成本价） 由题可知 打几折就是按售价的十分之几销售 数字问题（包括日历中的数字规律） 设、分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为 由题可知 ①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律； ②设间接未知数 阶梯付费问题 由题可知 注意付费特点是阶梯式的 方案选择问题 由题可知 方案选择问题一般比较之后选最优的方案。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·山东威海·期中）一个长方形的长与宽的比是，周长为28，则该长方形的面积是（   ） A．48 B．36 C．24 D．12 2．（25-26七年级上·广东广州·阶段练习）幻方是中国古代一种填数游戏，幻方最早出现于我国的“洛书”．对于“”的幻方，其填数规则为：使同一行、同一列和同一对角线上的个数的和都相等，这个和称为“幻和”．如图为“洛书”对应的“”幻方，则图中“幻和”的值为 ． 【经典例题一 行程问题】 【例1】（24-25七年级上·江苏·阶段练习）某人沿着相同的路径上山，下山共需，如果上山速度为，下山速度为，这条山路长是多少？ 1．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）有一艘轮船所带的燃料最多可用小时，驶出时速度是千米/时，返回时逆水，速度是顺水速度的，这艘轮船最多驶出 （      ）千米就应返航． A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）运动场环形跑道周长为米，爷爷一直都在跑道上按逆时针方向匀速跑步，速度为米/秒，与此同时小红在爷爷后面米的地方也沿该环形跑道按逆时针方向运动，若两人第一次相遇所用的时间为秒，则小红的速度为 米/秒． 3．（24-25七年级上·湖北黄石·阶段练习）一支长千米的队伍正在前进，在队尾的李明要送信给队首的首长，他跑步用了6分钟赶到队首将信送给首长，为了返回队尾，他原地等待了24分钟．如果他以原速度跑回队尾，要多长时间？ 4．（24-25七年级上·河南许昌·阶段练习）许多人选择晨跑作为锻炼身体的一种方式．某日早上7：00小飞与小浩相约在鹿鸣湖晨跑，从相同的起点匀速跑向相同的终点，跑完后，他们查看自己运动手表上的数据，得到如下信息： 信息二：小飞每分钟比小浩多跑20步． 信息三：小飞每步比小浩每步多跑0.1米．解决问题： (1)以上“信息一”中的a为_____； (2)列方程求起点与终点的距离． 【经典例题二 配套问题】 【例2】（24-25七年级上·福建福州·期中）某车间32名工人生产桌子和椅子，每人每天平均生产15张桌子或50张椅子，一张桌子要配两张椅子，当每天安排多少名工人生产桌子时，生产的桌子和椅子刚好配套？ 1．（24-25七年级上·重庆綦江·期中）某车间有33名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或1800个螺母，1个螺钉配两个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？设有名工人生产螺钉，则下列方程错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山西大同·期中）某眼镜厂车间有28名工人，每名工人每天可以生产60个镜架或90片镜片，要求每天生产的镜架和镜片刚好配套，则应安排 名工人生产镜片． 3．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）某车间有66名工人，生产某种由1个螺栓套2个螺母的产品，每人每天生产螺母12个或螺栓5个．分配多少名工人生产螺栓多少名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ 4．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，将某种规格的长方形纸板按照图①、图②所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板或3块小正方形纸板．4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图③所示的无盖长方体纸盒．而有盖长方体纸盒则需要4块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板．现有这种规格的长方形纸板21张． (1)怎样裁剪这21张纸板可制成的无盖纸盒数最多？最多能做多少个？ (2)根据需要，要求加工方再制成有盖长方体纸盒30个，则加工方还需要购进同样规格的长方形纸板多少张？ 【经典例题三 工程问题】 【例3】（24-25七年级上·江西南昌·课后作业）某工程甲单独完成要10天，乙单独完成要15天．现在两人合作完成整个工程后，厂家共付4500元，如果按完成工作量的多少分配，则甲、乙两人各分得多少元？ 1．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）整理一批数据，由一个人做要40小时完成，计划安排5人完成此项工作，在工作一段时间后需提前按完成任务，因此增加了3人和他们一起又做了30分钟，完成这项任务．假设这些人的工作效率相同，设实际完成这项工作花了x小时，可列方程为（　　） A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 2．（2025七年级·江西南昌·模拟预测）一个蓄水池中有两个进水管甲、乙和一个排水管丙．单独打开甲进水管，6小时可将空水池注满；单独打开乙进水管，8小时可将空水池注满；单独打开丙排水管，9小时可将满池水排空．如果先将甲、乙两个进水管同时打开2小时，然后再打开丙排水管，那么要将空水池注满总共所需的时间为 小时． 3．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）现有一项工程，甲单独做需要10天能完成，乙单独做需要15天能完成，甲做一天需要的报酬比乙做一天需要的报酬多100元，甲、乙合作完成此项工程需要5400元报酬． (1)甲乙合作几天完成？ (2)列方程解决问题：求甲做一天需要的报酬． 4．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）中学原计划在一个直径为20米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案： 方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛： 方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛； 方案C：如图3所示，先画一条直径，然后在直径上任意取四点，把直径分成5条线段，再分别以这5条线段为直径修5个圆形花坛．（本题取3） (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是_________； (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？ (3)如果按照方案C修，学校要求在8小时内完成，工人甲承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请工人乙来帮忙，工人乙的工作效率是甲的，且在乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务．若修1米花坛可得到100元钱，则修完花坛后，工人甲和乙分别可以得到多少报酬？ 【经典例题四 销售盈亏问题】 【例4】（24-25七年级上·陕西渭南·期中）某服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现其中一件衣服的标价被污渍遮盖了，已知这件衣服打九五折比打八折多盈利15元钱，求这件衣服的标价是多少元？ 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一商店出售书包时，将一种进价为50元的双肩背书包，按进价提高30%作为标价，由于清仓处理，需按打折出售，这样商场每卖出一个书包就可赢利8.5元．设每个双肩背书包打x折，根据题意列一元一次方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）智慧书店开展学生优惠购书活动，凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．某学生第一次去购书付款72元，第二次去购书享受八折优惠，他查看了所买书的定价，发现两次共节约了42元，则该学生第二次购书实际付款 元． 3．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）某商店批进衬衫500件，每件进价为30元，准备加价出售，预计可盈利多少元？当这批衬衫售出后，决定将余下的按八折继续出售，这样，这批衬衫全部售出实际盈利多少元？ 4．（24-25七年级上·山东烟台·期中）大三学生小凡参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是型平板电脑一台和2000元现金，当他工作满20天时因故结束实习，结算工资时公司给了他一台型平板电脑和500元现金． (1)这台型平板电脑公司的报价是多少元？ (2)小凡若工作天，将上述约定工资支付标准折算为现金，他应获得多少报酬（用含的代数式表示）？ (3)若某电脑经销商正在经销这款型平板电脑，他按进货价提高后标价，又以九折优惠卖出，结果每台仍可获利340元，这款型平板电脑每台的进货价是多少元？ 【经典例题五 比赛积分问题】 【例5】（24-25七年级上·甘肃白银·期中）一份试卷共30道题，每道题都给出四个答案，其中只有一个是正确的，要求学生把正确的答案选出来，选对得4分，选错或不选倒扣1分，如果一个学生得了95分，那么他选对了几道题？ 1．（24-25七年级上·陕西西安·期中）足球比赛记分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分，某队进行了14场比赛，其中负5场，共得分19分，若设胜场次数为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）某电视台组织知识模拟预测，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了其中5位参赛者的得分情况，参赛者说自己得分是71至80之间的一个整数，请根据图表信息推断参赛者的得分为 ． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 3．（24-25七年级上·河南信阳·期中）某校七年级班组织生活小常识模拟预测，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中个参赛者的得分情况．请你补全表格，并写出你的研究过程． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A B C 4．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）为营造学党史、迎冬奥的浓厚氛围，某学校举行了主题为“扛红旗、当先锋、学党史、迎奥运”的知识模拟预测，一共有30道题，每一题答对得4分，答错或不答扣2分． (1)小明参加了模拟预测，得90分，则他一共答对了多少道题？ (2)小刚也参加了模拟预测，考完后自信满满，说：“这次模拟预测我会得100分！”你认为可能吗？并说明理由．      【经典例题六 方案选择问题】 【例6】（24-25七年级上·浙江·阶段练习）某校组织七年级师生赴农场参加劳动，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满，如果单独租用55座客车，可少租一辆，且余5个座位， (1)求七年级师生参加劳动人数． (2)已知租45座客车的日租金为每辆2250元，55座客车日租金每辆2680元．问：哪种客车更合算？ 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）某超市在“元旦”活动期间，推出如下购物优惠方案： ①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠； ②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠； ③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠； 小敏在该超市两次购物分别付了85元和270元，如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（    ）元 A．284 B．308 C．312 D．320 2．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）甲、乙两商场在做促销，如下所示，已知两家商场相同商品的标价都一样． 甲商场：全场均打八五折； 乙商场：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元，一律打八八折；超过500元时，其中的500元打八八折，超过500元的部分打八折． （1）某顾客要购买商品的总标价为600元，该顾客选择 （填“甲”或“乙”）商场更划算； （2）当购物总额是 元时，甲、乙两商场实付款相同． 3．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）暑假期间，某校组织学生到某市研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50人时，研学社给出两种优惠方案（只选其中一种方案）： 方案一：研学团队先交1600元后，每人再收费320元； 方案二：其中5人免费，其余每人收费打九折． 当参加研学的总人数是时． (1)请用含的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元； (2)当两种方案的收费相同时，求该校参加研学的总人数． 4．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）某水果加工厂收购了29吨黄桃，经市场预测，销售方式及利润如下表： 销售方式 直接销售 包装销售 制成罐头销售 每吨利润（万元） 0.05 0.4 0.6 加工能力限制：每天可包装5吨或制成罐头3吨（包装和加工前后质量不变），同一天内两种加工方式不可同时进行． 时间限制：所有黄桃需在7天内销售或加工完毕． 方案一：尽可能多制成罐头，剩余直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行包装，并恰好7天完成． (1)通过计算比较两种方案，说明哪种方案可使工厂所获利润较多； (2)若采用利润较多的方案，将罐头运输到市场售卖．运输公司费用如下： 运输公司 运输单价 每吨装卸费 甲 每吨每千米5元 50元 乙 每吨每千米6元 30元 已知乙公司总费用比甲公司多243元，求水果加工厂到市场的距离． 【经典例题七 数字问题】 【例7】（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，求这个两位数． 1．（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）在等式□□的两个“□”内分别填入一个数，使这两个数互为相反数且等式成立，则第一个“□”内的数是（    ） A．6 B． C．4 D．5 2．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一，从下列图中取一列数1，3，6，10，…，记着，若（n为正整数），则n的值为 ． 3．（24-25七年级上·江西南昌·期中）定义：对于确定位置的三个数：a，b，c（），取，，这三个数的最大值，叫做求a，b，c的最优值，记作．例如，计算：，因为，，，所以． (1)计算______； (2)若，求x值． (3)若，求x值． 4．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将化为分数形式， 由于，设，① 得，② ②－①得，解得，于是得． 同理可得，． 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） (1)______； (2)将化成分数形式，并写出推理过程． (3)若则______． 【经典例题八 几何问题】 【例8】（24-25七年级上·广东东莞·期中）在数轴上点A，B分别对应有理数a，b，线段，且点A、B到原点的距离相等． (1)填空：________，________． (2)若点C对应的有理数为x，点C把线段分成了两部分，其中一部分是另外一部分的3倍，求x的值． 1．（24-25七年级上·山东烟台·期中）要锻造一个直径、高为的圆柱形毛坯， 应截取直径为的圆钢多长？若设应截取直径为的圆钢，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，甲、乙、丙三个容器，甲为正方体，内壁的各条棱长为厘米；乙为圆柱体，内壁高厘米，内部底面半径为厘米；丙是长方体，长厘米，宽厘米，高厘米．现将甲容器盛满水，乙、丙均为空容器，若把甲容器内的水倒入与乙相同的个容器，均倒满后，把剩下的水倒入丙容器，则丙容器内水的高度为 厘米（取，结果保留小数点后一位）． 3．（2025七年级上·江西南昌·模拟预测）将内径为，高为的圆柱形水桶盛满水后全部倒入一个长方体水箱中，水占水箱容积的．若水箱的长，宽分别为，，则水箱的高约为多少厘米？（取，结果精确到） 4．（24-25七年级上·江西南昌·单元测试）如图，将一张正方形纸片第一次剪成4张大小相同的小正方形纸片，第二次将其中的一张小正方形纸片按同样的方法剪成4张更小的正方形纸片，如此继续剪下去．    (1)填写表格： 剪的次数 1 2 3 4 5 … 正方形纸片的张数 ______ ______ ______ ______ ______ … (2)剪n次一共可以剪出多少张小正方形纸片（用含n的代数式表示）？ (3)能否经过若干次分割后，共得2024张纸片？请说明理由． 【经典例题九 动点问题】 【例9】（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在数轴上，点P从表示－40的点出发，沿水平向右的方向以每秒3个单位长度的速度运动，同时点Q从表示20的点出发，沿水平向左的方向以每秒2个单位长度的速度运动． （1）当点Q运动到原点O时，点P的位置表示的数是多少？ （2）当P、Q两点间的距离为30个单位长度时，问两点运动的时间是多少？ 1．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点和点表示的数为，，则，两点之间的距离，若，则可化简为若，则可化简为，请你利用数轴解决以下问题：若数轴上两点、对应的数分别为，，点为数轴上一动点，其对应的数为当到点、的距离之和为时，则对应的数的值为（    ） A． B．和 C．和 D．和 2．（24-25七年级上·河南漯河·期中）如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为和12，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点Q同时从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒，当时，t的值为 秒．    3．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是______，点表示的数是______（用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求： 当点运动多少秒时，点与点相遇？ 当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 4．（25-26七年级上·江西南昌·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究： (1)操作1：折叠纸带，若数轴上表示的点与表示1的点重合，则折痕处对应的点表示的数是________，此时表示数a的点与表示数________的点重合； (2)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到4）的一条线段，并把这条线段沿某点向左对折，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段（如图），若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是________； (3)操作2：若点A、B表示的数分别是、4，点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，若点P在点Q的左侧且线段PQ上（含线段端点）恰好有3个整数点，则时间t的最大值是________． 【经典例题十 和差倍分问题】 【例10】（24-25七年级上·湖南·阶段练习）兄弟俩的年龄之和是32岁，当哥哥是弟弟现在这么大时，哥哥的年龄是当时弟弟年龄的3倍，求哥哥现在的年龄． 1．（24-25七年级上·天津·期中）有辆客车及个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘43人，则最后一辆车有2个空位．给出下面五个等式：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（    ） A．②③⑤ B．①④⑤ C．①③⑤ D．②④ 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）某班有学生人，参加文学社的人数是参加科学社的人数的倍，既参加文学社又参加科学社的人数是人，既不参加文学社也不参加科学社的有人，则参加科学社但不参加文学社的人数是 ． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）学校将礼品颁发给朗诵比赛获得一、二、三等奖的同学，一等奖的每个同学能得到5个礼品，二等奖的每个同学能得到3个礼品，三等奖的每个同学能得到1个礼品．已知一、二、三等奖的同学共有56人，且获得三等奖的人数是获得二等奖人数的2倍，最终共颁发了120个礼品．求获得一、二、三等奖的同学分别有多少人？ 4．（24-25七年级上·河南郑州·期中）在巴黎奥运会上，中国体育健儿以为国而战的情怀，顽强拼搏的信念，团结协作的品质，为祖国和人民赢得了荣誉，生动地诠释了新时代中国精神，成为广大青少年的榜样，掀起了运动的热潮．某校七年级乒乓球社团人数增加，需购买一批乒乓球拍和乒乓球，已知一副乒乓球拍比一盒乒乓球贵20元，买12副乒乓球拍和8盒乒乓球共需640元． (1)求一副乒乓球拍和一盒乒乓球的价格各是多少元； (2)在“双12”促销活动中，某体育用品商店制订以下优惠方案： 方案一：商品按原价打9折优惠； 方案二：商品按原价出售，每满200元返30元； 方案三：商品按原价出售，超过800元的部分打7折优惠； 现计划购买23副乒乓球拍和20盒乒乓球，请通过计算说明按照哪种方案购买较为合算．             【经典例题十一 电费和水费问题】 【例11】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）自来水公司为鼓励节约用水，对水费按以下方式收取：用水不超过10吨，每吨按2元收费，超过10吨的部分按每吨3元收费，王老师三月份平均水费为每吨2.5元收费，则王老师家三月份用水多少吨？ 1．（24-25七年级上·江西南昌·单元测试）保险公司的汽车保险，汽车修理费是按分段赔偿，具体赔偿细则如下表： 汽车修理费x元 赔偿率 某人在汽车修理后在保险公司得到的赔偿金额是2000元，那么此人的汽修理费是（    ）元 A．2687 B．2687.5 C．2688 D．2688.5 2．（24-25七年级上·浙江·期中）下表是某市居民出行方式以及收费标准：（不足1千米按1千米算） 打车方式 出租车 3千米以内8元；超过3千米的部分元/千米 滴滴快车 路程：元 /千米；时间：元/分钟 说明 打车的平均车速千米/时 假设乘坐8千米，耗时：分钟；出租车收费：元；滴滴快车收费：元． 为了提升市场竞争力，出租车公司推出行驶里程超过千米立减元活动．小聪乘坐出租车从甲地到达乙地支付车费元，若改乘滴滴快车从甲地到乙地，则需支付 元． 3．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）某省公布的居民用电阶梯定价听证方案如下：     第一档电量 第二档电量 第三档电量 月用电量度以下，每度价格元 月用电量度至度，每度比第一档次提价元 月用电量度以上，每度比第一档提价元 例：若某户月用电量度，则需交电费的计算过程如下 元． (1)如果按此方案计算，小华家5月份的电费为元，请你求出小华家5月份的用电量； (2)依此方案，请你用学过的数学方法说明：若小华家某月的电费为元，则小华家该月用电量属于第几档？ 4．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过8立方米，则按每立方米1.5元收费；若每月用水超过8立方米不超过20立方米，则超过8立方米的部分按每立方米元收费；若每月用水超过20立方米，则超过20立方米的部分按每立方米4元收费．某居民户今年5月用水14立方米，缴纳了27元水费． (1)求的值； (2)设每月用水量为立方米，应缴水费为元（用含的式子表示） ①当时，___________元． ②当时，___________元． ③当时，___________元． (3)小明家4、5两个月一共用水30立方米，两次一共缴纳水费60.5元．试确定4月份和5月份小明家分别用水多少立方米？ 【经典例题十二 比例分配问题】 【例12】（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）甲、乙、丙三位同学向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知这三位同学捐赠图书册数的比是，如果他们共捐374本，那么这三位同学各捐书多少册？ 1．（24-25七年级上·浙江台州·期中）把一些图书分给某班学生阅读，如果_____；如果每个同学分4本，则缺25本．设这个班级有x名学生，可列出方程．则横线的信息可以是（   ） A．分给3个同学，则剩余20本 B．每个同学分3本，则剩余20本 C．分给3个同学，则缺20本 D．每个同学分3本，则缺20本 2．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）茶百道生产的一种由A、B两种原料按一定比例配制而成的奶茶，其中A原料成本价为10元/千克，B原料成本价为15元/千克，按现行价格销售每千克奶茶可获得4.8元的利润．由于物价上涨，A原料上涨20%，B原料上涨10%，配制后的总成本增加．茶百道为了拓展市场，打算再投入现总成本的10%做广告宣传，使得销售成本再次增加，如果要保证每千克的利润不变，则此时这种奶茶每千克的售价与原售价之差为 元 3．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）某眼镜厂要制作一批眼镜，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每个工人平均每天可以制作镜架50个或镜片120片． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)该工厂原计划男工负责制作镜架，女工负责制作镜片，一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，如果要使每天制作的镜架与镜片恰好配套，那么要调多少名女工帮男工制作镜架？ 4．（2025·安徽·模拟预测）为提高销售业绩，安徽省某茶叶专卖店店长对店内销售额居于前三的六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额进行了分析，发现上月三种茶叶销售额的比值为4∶2∶3，本月六安瓜片销售额是上月销售额的a倍，黄山毛峰销售额是上月销售额的（a﹣3）倍，太平猴魁的销售额与上月的相同，同时这三种茶叶本月的总销售额恰好是上月总销售额的2倍，求本月六安瓜片销售额与上月销售额的比值． 【经典例题十三 日历问题】 【例13】（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，将1，2，3，…，40这40个数按照下表进行排列，现用一个Z字框（图中阴影部分）框住表中的4个数，移动该框，设框中最小的数为． (1)请用含x的代数式表示框中4个数的和； (2)框中4个数的和可能是124吗？若能，请求出最小的数． 1．（24-25七年级上·湖北·期中）如图是某月的日历图，用“”形框任意框出7个数（如图中阴影部分所示），这7个数的和不可能是（    ） A．63 B．70 C．105 D．96 2．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）在某月的月历表中，用如图所示的“S”型框任意框出表中四个数，若框出的四个数的和是58，则框中最小的数是 ． 3．（24-25七年级上·湖北孝感·期中）如图是某年11月份的月历，用一个小正方形在任意圈出其中的9个数，设圈出的9个数中最中心的数为x． (1)用含x的式子表示圈出的9个数的和． (2)若圈出的9个数的和为，求圈出的最大数是多少？ 4．（24-25七年级上·甘肃白银·期中）“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．如图1，这是“洛书”的示意图．数出图1中各处的圆圈和圆点的个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图2），此时每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为15． (1)①如图3，当______时，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等； ②若将，，，1，3，5，7，9，11这9个数填入图4的九个格子中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，则______． (2)将幻方迁移到月历，如图5，这是2024年12月的月历．某同学说：“在该月历中，不改变阴影方框的大小，将方框移动位置，方框中的9个数的和可以是189．”该同学的说法正确吗？请说明理由． 【经典例题十四 古代问题】 【例14】（24-25七年级上·福建厦门·期中）《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题：“今有共买羊，人出六，不足四十五；人出八，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出6元，则差45元；每人出8元，则差3元．求人数和羊价各是多少？请你用一元一次方程的知识解决． 1．（2025·福建莆田·模拟预测）古代元朝时，著名数学家朱世杰的名著《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走．遇店添一倍，逢友饮一斗．店友经三处，没了壶中酒．借问此壶中，当原多少酒？”意思是：“朱世杰携带一壶酒游春，经过酒店就把壶里的酒添加一倍，碰到朋友就饮酒1斗，途中先经过酒店，再碰到朋友，又经过酒店，再碰到朋友，又经过酒店，再碰到朋友，最后壶中无酒，问酒壶中原来有多少斗酒？设酒壶中原来有x斗酒，则符合题意的方程是(　　) A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和均相等，例如下图（1）就是一个幻方，图（2）是一个未完成的幻方，则的值是 ． 4 9 2 16 3 5 7 11 15 8 1 6 12   图（1）                 图（2） 3．（24-25七年级上·江西南昌·期中）自西汉张骞出使西域以来，丝绸之路作为中国和国外进行商贸往来和文化交流的商道，繁荣发展了十几个世纪．中国古代数学也经由丝绸之路进行传播，其中刘徽所著《九章算术》中“盈不足术”有一题，原文如下：“今有羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，还差45元；每人出7元，则还差3元，求人数和羊价各是多少？ 4．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务： ×年×月×日，星期日 曹冲称象得到的启示今天，我在一本杂志上看到这样一段话： 孙权曾致巨象、太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理，冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”——《三国志》 按照曾冲称象的方法：先将象牵到大船上，并在船的侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上拾入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标志位置，如果再拾入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记的位置，已知搬运工体重为130 kg，求大象的体重，下面是小康的部分解答过程： 解：设每块条形石的质量为x kg，根据题意得，… 任务： (1)填空：解决这个问题用到的等量关系是20块等量的条形石的质量+___________=_________+1个搬运工的体重． (2)将小康的解答过程补充完整． 【拓展训练一 一元一次方程与数轴综合应用】 1．（24-25七年级上·宁夏银川·阶段练习）已知数轴上点在原点左边，到原点的距离为个单位长度，点在原点的右边，从点走到点，要经过个单位长度． (1)，两点分别表示的数为_______． (2)若点也是数轴上的点，点表示的数是正数，点到点的距离是点到原点的距离的倍，则点表示的数为_______． 2．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）请利用数轴研究下列问题： (1)特例研究：数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示和5的两点之间的距离是______，数轴上表示2和的两点之间的距离是______； (2)合理猜想：在数轴上，点、分别表示有理数，，则、间的距离为______； (3)结论应用： ①数轴上表示和的两点和之间的距离是______（用含的式子表示）．如果，那么为______； ②当代数式，则的值是______． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如果数轴上有两点，其表示的数分别为，那么线段的长度表示为，线段的中点表示的数为．如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且．动点从点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点运动时间为秒 (1)填空：___________；___________；的距离为___________； (2)点运动多少秒后，成立？ (3)当点在之间运动时，且．如果点为的中点，请你探究式子是否是定值，如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由． 【拓展训练二 一元一次方程实际综合应用】 1．（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件进价为_____元，乙种商品的利润率为_____． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共45件，恰好总进价为2100元，则分别购进甲、乙两种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场针对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动： 一次性购物总金额 优惠措施 不超过450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按售价打9折优惠 超过600元 其中600元部分打8.2折优惠，超过600元的部分打3折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，则小华在该商场购买乙种商品多少件？ 2．（25-26七年级上·河南南阳·阶段练习）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将化为分数形式 由于，设① 则② ②－①得，解得，于是得． 同理可得， 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） 【基础训练】 （1）______，______；（注：） （2）将化为分数形式，写出推导过程； 【能力提升】 （3）______；（注： ） 3．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，在长方形中，，点E是边上的一点，分别长，满足．动点P从B点出发，以的速度沿运动，最终到达点D．设运动时间为． (1)___________，__________． (2)把四边形的周长平分，求t的值？ (3)另有一点Q从点E出发，按照的路径运动，且速度为，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．___________时，的面积等于． 【拓展训练三 一元一次方程的应用规律问题】 1．（25-26七年级上·江西南昌·课后作业）如图所示，将形状、大小完全相同的“”与线段按照一定规律摆成下列图案，其中第①个图案用了6个“”，第②个图案用了11个“”，第③个图案用了16个“”，第④个图案用了21个“”，…，按此规律排列下去，则第几个图案用的“”个数是51个？ 2．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第1幅图有4个圆点，第2幅图有7个圆点，第3幅图有10个圆点，…，按照此规律排列下去． . (1)第5幅图中有______个圆点，第 n幅图中有______个圆点； (2)若第幅图和第n幅图中的圆点个数的和为128个，求n的值． 3．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）某长方形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列． 【观察思考】 （1）如图2，当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块；当正方形地砖有⒉块时，等腰直角三角形地砖有__________块（如图3）；以此类推． 【规律总结】 （2）长方形人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加2块；若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为__________；（用含的代数式表示） 【问题解决】 （3）现有2025块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？ 1．（25-26七年级上·江西南昌·课后作业）小明在一场篮球比赛中得了21分．如果他只投进了2分球和3分球，且投进的2分球比3分球多3个，那么2分球他一共投了（    ） A．2个 B．3个 C．6个 D．7个 2．（2025·甘肃武威·模拟预测）“十一”期间，某商品按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为240元．设该商品的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·湖北孝感·期中）轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用2小时，若船速为20千米/时，水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米．设A港和B港相距x千米．根据题意，可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·四川乐山·期中）如图，是一块在电脑屏幕上出现的长方形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，最小的一个正方形边长为1，则这个长方形色块图的面积为（   ） A．101 B．121 C．143 D．144 5．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出5个数，它们的和为55．不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得5个数的和可能是（   ） A．40 B．88 C．107 D．110 6．（25-26七年级上·江西南昌·课后作业）某人在银行存有一笔钱，已知年利率为，一年到期后所得利息为元，则一年前他在银行存了 元． 7．（25-26七年级上·江西南昌·课后作业）甲、乙、丙三人同做某种零件，已知在相同的时间内，甲、乙、丙三人做的零件个数比为．现在甲、乙、丙三人一起做了51个零件，则丙做了 个零件． 8．（25-26七年级上·江西南昌·课后作业）在去年的“双十一”活动中，中百超市对某种商品作调价，按原售价的八折出售，此时该商品的利润率是12%．若该商品的进价是每件1200元，则该商品的原售价是每件 元． 9．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图是用灰白两种颜色的纸片按一定的规律摆成的图案，依此规律继续摆下去，若第n个图案中白色纸片的个数是2023，则n的值为 ． 10．（2025·四川成都·模拟预测）已知滑块沿滑槽从点向点运动，到达点会有一个短暂停留，然后滑块又从点运动到点．已知滑块长度为，某次滑块在滑槽内以的速度由点向点运动；当滑块右端点到达点时停顿，然后再以小于的速度匀速返回．设时间为时，．由点向点运动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数，从点到点与点到点整个过程总用时（含停顿时间）．在整个往返过程中，若，则的值是 ． 11．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）父亲今年岁，儿子今年岁，多少年前父亲的年龄是儿子年龄的倍? 12．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）某校老师带领该班学生去旅游，旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠．旅行社说：包括老师在内按六折优惠．若每张全票价是元，则 (1)学生数多少时，两家旅行社收费一样多？ (2)该校老师今年准备带名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因． 13．（24-25七年级上·陕西汉中·期中）为了提高某品牌家电的销售量，某店从11月份开始对销售员采取新奖励办法．已知该店在新奖励办法出台前一个月售出这种家电的A型和B型共200台，新奖励办法出台后的第一个月售出这两种型号的家电共246台，其中A型和B型家电的销售量分别比新奖励办法出台前一个月增长和． (1)在新奖励办法出台后第一个月里，该店分别销售了A型和B型家电多少台？ (2)若A型家电每台售价为3000元，B型家电每台售价为5000元．新奖励办法是：每销售一台A型家电按每台A型家电售价的给予奖励，每销售一台B型家电按每台B型家电售价的给予奖励．新奖励办法出台后的第二个月，A型家电的销售量比出台后的第一个月增加了，而B型家电受到某问题零件召回的影响，销售量比出台后的第一个月减少了，新奖励办法出台后的第二个月该店共发出奖励金额元，求a的值． 14．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，株洲市采用分段收费，规定每月每户居民生活用水标准量为，每月生活用水的收费标准（单位：元）及单价说明如表所示： 用水量 单价（元） 费用说明 免收污水处理费 超出的部分 超出的部分加收污水处理费元 某居民某月用水，共缴纳水费23元． (1)求a的值； (2)该居民用户10月份缴纳水费71元，求该用户10月份的用水量． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）【观察思考】如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”， 【规律发现】 （1）第⑥个图案中“●”的个数为 ； （2）第①个图案中“○”的个数可表示为，第②个图案中“○”的个数可表示为，第③个图案中“○”的个数可表示为，第④个图案中“○”的个数可表示为，…，第个图案中“○”的个数可表示为______； 【规律应用】 （3）按照此规律继续摆下去，第个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 用一元一次方程解决问题重难点题型专训 （1个知识点+14大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 行程问题 题型二 配套问题 题型三 工程问题 题型四 销售盈亏问题 题型五 比赛积分问题 题型六 方案选择问题 题型七 数字问题 题型八 几何问题 题型九 动点问题 题型十 和差倍分问题 题型十一 电费和水费问题 题型十二 比例分配问题 题型十三 日历问题 题型十四 古代问题 拓展训练一 一元一次方程与数轴综合应用 拓展训练二 一元一次方程实际综合应用 拓展训练三 一元一次方程的应用规律问题 知识点一：用一元一次方程解决问题 1. 列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审：弄清题意和题目中的数量关系。 （2） 设：用字母表示题目中的一个未知量。 （3） 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （4） 列：根据这个相等关系列出方程。 （5） 解：解所列的方程，求出未知数的值。 （6） 验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。 （7） 答：写出答案。 2．设未知数的三种方法： （1） 直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。 （2） 间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。 （3） 设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。 一元一次方程应用题的常见类型 类型 内容 题中涉及的数量关系及公式 等量关系 注意事项 和、差、倍、分 问题 增长量=原有量×增长率 现有量=原有量增长量 现有量=原有量－降低量 由题可知 弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等 行 程 问 题 相遇问题 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离 相向而行，注意出发时间、 地点 追及问题 快车行驶路程-慢车行驶距离=原距离 同向而行，注意出发时间、 地点 调配问题 从调配后的数量关系中找等量关系 调配对象流动的方向和数量 工程问题 工作量=工作效率×工作时间 工作效率=工作量÷工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般情况下，把总工作量设为1 销售打折问题 商品利润=售价-进价（成本价） 由题可知 打几折就是按售价的十分之几销售 数字问题（包括日历中的数字规律） 设、分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为 由题可知 ①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律； ②设间接未知数 阶梯付费问题 由题可知 注意付费特点是阶梯式的 方案选择问题 由题可知 方案选择问题一般比较之后选最优的方案。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·山东威海·期中）一个长方形的长与宽的比是，周长为28，则该长方形的面积是（   ） A．48 B．36 C．24 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，已知长方形的长宽比为，周长为．设长为，宽为，根据周长公式列方程求解，再计算面积． 【详解】解：设长方形的长为，宽为． 由题意得： ，解得． ∴长为，宽为． ∴面积． 故选A． 2．（25-26七年级上·广东广州·阶段练习）幻方是中国古代一种填数游戏，幻方最早出现于我国的“洛书”．对于“”的幻方，其填数规则为：使同一行、同一列和同一对角线上的个数的和都相等，这个和称为“幻和”．如图为“洛书”对应的“”幻方，则图中“幻和”的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查一元一次方程的应用，由题中的等量关系表示出右下角的数是解题的关键，根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，即可列方程，即可求出的值，进而求出“幻和”． 【详解】解：设第三行第三个数为， 则根据题意列—元—次方程，， 解得． ∴“幻和” 故答案为：． 【经典例题一 行程问题】 【例1】（24-25七年级上·江苏·阶段练习）某人沿着相同的路径上山，下山共需，如果上山速度为，下山速度为，这条山路长是多少？ 【答案】这条山路长是 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设这条山路长是，根据某人沿着相同的路径上山，下山共需，再建立方程求解即可． 【详解】解：设这条山路长是，则 ， 整理得：， 解得：， 答：这条山路长是． 1．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）有一艘轮船所带的燃料最多可用小时，驶出时速度是千米/时，返回时逆水，速度是顺水速度的，这艘轮船最多驶出 （      ）千米就应返航． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题一元一次方程的应用，设这艘轮船最多驶出千米就应返航，根据“距离顺水速度距离逆水速度小时”列方程求解即可．正确理解题意，找出等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这艘轮船最多驶出千米就应返航， 依题意，得：， 解得：， ∴这艘轮船最多驶出千米就应返航． 故选：A． 2．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）运动场环形跑道周长为米，爷爷一直都在跑道上按逆时针方向匀速跑步，速度为米/秒，与此同时小红在爷爷后面米的地方也沿该环形跑道按逆时针方向运动，若两人第一次相遇所用的时间为秒，则小红的速度为 米/秒． 【答案】或 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设小红的速度为米/秒，然后分两种情况：，，分别建立方程求解即可．正确理解题意，找出等量关系列出方程时解题的关键． 【详解】解：设小红的速度为米/秒， ①当时， 依题意，得：， 解得：； ②当时， 依题意，得：， 解得：， 综上所述，小红的速度为米/秒或米/秒． 故答案为：或． 3．（24-25七年级上·湖北黄石·阶段练习）一支长千米的队伍正在前进，在队尾的李明要送信给队首的首长，他跑步用了6分钟赶到队首将信送给首长，为了返回队尾，他原地等待了24分钟．如果他以原速度跑回队尾，要多长时间？ 【答案】4分钟 【分析】本题主要考查了利用一元一次方程解决行程问题，解题的关键是理解题意，找准等量关系． 求出队伍的速度，假设出李明的速度，根据追赶的路程列出方程求解，然后利用时间公式进行求解即可． 【详解】解：队伍的速度为：， 设李明的速度为，根据题意得， ， 解得， ∴， 所以，以原速度跑回队尾，要4分钟． 4．（24-25七年级上·河南许昌·阶段练习）许多人选择晨跑作为锻炼身体的一种方式．某日早上7：00小飞与小浩相约在鹿鸣湖晨跑，从相同的起点匀速跑向相同的终点，跑完后，他们查看自己运动手表上的数据，得到如下信息： 信息二：小飞每分钟比小浩多跑20步． 信息三：小飞每步比小浩每步多跑0.1米．解决问题： (1)以上“信息一”中的a为_____； (2)列方程求起点与终点的距离． 【答案】(1) (2)3600 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数运算的应用，熟练掌握行程类一元一次方程的应用方法是解题的关键． （1）先求出小飞的速度，由小飞每分钟比小浩多跑20步，得出小浩的速度，再求出小浩的步数，即可求出小浩的运动时间； （2）设小浩每步跑米，则小飞每步跑米，利用两人行驶路程相同列式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 小飞每分钟跑的步数为：（步）， 则小浩每分钟跑的步数为：（步）， ∴小浩跑完用的时间为：（分钟）， ∴a为； （2）解：设小浩每步为米，则小飞每步为米，根据题意得， 解得， 则起点与终点的距离为：（米）． 【经典例题二 配套问题】 【例2】（24-25七年级上·福建福州·期中）某车间32名工人生产桌子和椅子，每人每天平均生产15张桌子或50张椅子，一张桌子要配两张椅子，当每天安排多少名工人生产桌子时，生产的桌子和椅子刚好配套？ 【答案】每天安排20名工人生产桌子时，生产的桌子和椅子刚好配套． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设当每天安排x名工人生产桌子时，生产的桌子和椅子刚好配套，根据题意列出关于x的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设当每天安排x名工人生产桌子时，生产的桌子和椅子刚好配套， 依题意得：， 解得： 答：当每天安排20名工人生产桌子时，生产的桌子和椅子刚好配套． 1．（24-25七年级上·重庆綦江·期中）某车间有33名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或1800个螺母，1个螺钉配两个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？设有名工人生产螺钉，则下列方程错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得生产螺钉的工人为人，则生产螺母的工人为人，根据一个螺钉需两个螺母的数量关系找出螺钉与螺母的等量关系：螺母的总数为螺钉总数的两倍，即可求解． 【详解】生产螺钉的工人为人，工人总数为：33人， 生产螺母的工人为人， 一个螺钉需两个螺母配套，每人每天可生产螺钉1200个或螺母1800个， 为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，则生产螺母的总数为螺钉总数的两倍， 可列等量关系式为：， ∴B选项不符合题意； ∵，可变形为：A选项，C选项， ∴A选项，C选项不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，通过数量关系找出等量关系是解题关键． 2．（24-25七年级上·山西大同·期中）某眼镜厂车间有28名工人，每名工人每天可以生产60个镜架或90片镜片，要求每天生产的镜架和镜片刚好配套，则应安排 名工人生产镜片． 【答案】 【分析】设安排名工人生产镜片，则生产镜架的工人有名，根据题意，列方程求解即可． 【详解】解：设安排名工人生产镜片，则生产镜架的工人有名， 由题意可得： 解得，，即安排名工人生产镜片 故答案为： 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程． 3．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）某车间有66名工人，生产某种由1个螺栓套2个螺母的产品，每人每天生产螺母12个或螺栓5个．分配多少名工人生产螺栓多少名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ 【答案】分配36名工人生产螺栓，其他30名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设每天有x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为人，根据题意找出等量关系列出方程并解方程即可． 【详解】解：设生产螺栓的工人为x人，则生产螺母的工人为人， 根据题意得： ， 解得：， ∴ ， 答：分配36名工人生产螺栓，其他30名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套． 4．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，将某种规格的长方形纸板按照图①、图②所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板或3块小正方形纸板．4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图③所示的无盖长方体纸盒．而有盖长方体纸盒则需要4块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板．现有这种规格的长方形纸板21张． (1)怎样裁剪这21张纸板可制成的无盖纸盒数最多？最多能做多少个？ (2)根据需要，要求加工方再制成有盖长方体纸盒30个，则加工方还需要购进同样规格的长方形纸板多少张？ 【答案】(1)用张裁剪长方形，张裁剪正方形；个 (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（配套问题），有理数四则混合运算的实际应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程或算式是解题的关键． （1）设用张裁剪长方形，则用张裁剪正方形，根据“4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图③所示的无盖长方体纸盒”得，解方程即可得出答案； （2）制成有盖长方体纸盒30个，分别需要个小长方形纸板和个小正方形纸板，因而需要的长方形纸板数量为，依式计算即可得解． 【详解】（1）解：设用张裁剪长方形，则用张裁剪正方形，可制作个无盖纸盒， 根据题意得：， 解得：， ， ， 答：用张裁剪长方形，张裁剪正方形，可制成的无盖纸盒数最多，最多能做个； （2）解：制成有盖长方体纸盒30个，分别需要个小长方形纸板和个小正方形纸板， 需要的长方形纸板数量为：（张）， 答：加工方还需要购进同样规格的长方形纸板张． 【经典例题三 工程问题】 【例3】（24-25七年级上·江西南昌·课后作业）某工程甲单独完成要10天，乙单独完成要15天．现在两人合作完成整个工程后，厂家共付4500元，如果按完成工作量的多少分配，则甲、乙两人各分得多少元？ 【答案】甲分得2700元，乙分得1800元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设两人合作天完成任务，则甲完成工程量的，乙完成工程量的，和为1，由此列方程求出x的值，即可求解． 【详解】解：设两人合作天完成任务， 由题意可得， 解得， 甲：（元）； 乙：（元）． 答：甲分得2700元，乙分得1800元． 1．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）整理一批数据，由一个人做要40小时完成，计划安排5人完成此项工作，在工作一段时间后需提前按完成任务，因此增加了3人和他们一起又做了30分钟，完成这项任务．假设这些人的工作效率相同，设实际完成这项工作花了x小时，可列方程为（　　） A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 【答案】B 【分析】根据题意找出等量关系式列式即可． 【详解】解：设实际完成这项工作花了x小时， 依题意，得：， 即． 故选：B． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系式列出方程． 2．（2025七年级·江西南昌·模拟预测）一个蓄水池中有两个进水管甲、乙和一个排水管丙．单独打开甲进水管，6小时可将空水池注满；单独打开乙进水管，8小时可将空水池注满；单独打开丙排水管，9小时可将满池水排空．如果先将甲、乙两个进水管同时打开2小时，然后再打开丙排水管，那么要将空水池注满总共所需的时间为 小时． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设打开丙管后x小时可注满水池．等量关系为：甲注水量+乙注水量丙排水量． 据此列出方程并解答． 【详解】解：设打开丙管后x小时可注满水池， 由题意得，， ， ∴， ∴， 解得．    答：打开丙管后小时可注满水池． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）现有一项工程，甲单独做需要10天能完成，乙单独做需要15天能完成，甲做一天需要的报酬比乙做一天需要的报酬多100元，甲、乙合作完成此项工程需要5400元报酬． (1)甲乙合作几天完成？ (2)列方程解决问题：求甲做一天需要的报酬． 【答案】(1)甲乙合作6天完成 (2)甲做一天需要的报酬为500元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数除法的实际应用，正确理解题意列出方程和算式求解是解题的关键． （1）把工作总量看做单位1，则可求出两人的工作效率，再用1除以两人的工作效率之和即可得到答案； （2）设甲做一天需要的报酬为x元，则乙做一天需要的报酬为元，根据甲、乙合作完成此项工程需要5400元报酬建立方程求解即可． 【详解】（1）解：天， 答：甲乙合作6天完成； （2）解：设甲做一天需要的报酬为x元，则乙做一天需要的报酬为元， 由题意得，， 解得， 答：甲做一天需要的报酬为500元． 4．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）中学原计划在一个直径为20米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案： 方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛： 方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛； 方案C：如图3所示，先画一条直径，然后在直径上任意取四点，把直径分成5条线段，再分别以这5条线段为直径修5个圆形花坛．（本题取3） (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是_________； (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？ (3)如果按照方案C修，学校要求在8小时内完成，工人甲承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请工人乙来帮忙，工人乙的工作效率是甲的，且在乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务．若修1米花坛可得到100元钱，则修完花坛后，工人甲和乙分别可以得到多少报酬？ 【答案】(1) (2)不省料，因为方案B与方案A的周长相等． (3)甲可以得到3600元，乙可以得到2400元． 【分析】本题考查的是圆的周长的计算，一元一次方程的应用． （1）根据圆的周长公式：，把数据代入公式求此直径是10米的两个圆的周长即可． （2）首先根据圆的周长公式：，求出直径是8米、和12米的圆的周长和，然后与图1进行比较． （3）因为圆的周长和直径成正比例，所以5个小圆的周长和等于直径20米的圆的周长．设甲原来每小时的工作效率为每小时x米，则乙的工作效率为每小时x米，甲的速度提高后为每小时x米，据此列方程解答． 【详解】（1）解：（米）， 答：修的花坛的周长是米． （2）解：， （米） （米）， （米）， 答：不省料，因为方案B与方案A的周长相等． （3）解：综合前两问可得，花坛的总周长为，修完花坛共花费元， 设甲原来每小时的工作效率为每小时x米，则乙的工作效率为每小时x米，甲的速度提高后为每小时x米， ， 解得， ∴甲获得（元），乙获得元， 答：甲可以得到3600元，乙可以得到2400元． 【经典例题四 销售盈亏问题】 【例4】（24-25七年级上·陕西渭南·期中）某服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现其中一件衣服的标价被污渍遮盖了，已知这件衣服打九五折比打八折多盈利15元钱，求这件衣服的标价是多少元？ 【答案】这件衣服的标价是100元 【分析】本题考查了一元方程的实际应用，正确理解题意，建立方程是解题的关键． 设这件衣服的标价是元，由这件衣服打九五折比打八折多盈利15元钱即可建立方程． 【详解】解：设这件衣服的标价是元， 由题意得，， 解得：， 答：这件衣服的标价是100元． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一商店出售书包时，将一种进价为50元的双肩背书包，按进价提高30%作为标价，由于清仓处理，需按打折出售，这样商场每卖出一个书包就可赢利8.5元．设每个双肩背书包打x折，根据题意列一元一次方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程．设每个双肩背书包的进价是x元，则每个双肩背书包的售价是元，根据利润=售价-进价，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设每个双肩背书包的进价是x元，则每个双肩背书包的售价是元， 根据题意得：． 故选：C． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）智慧书店开展学生优惠购书活动，凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．某学生第一次去购书付款72元，第二次去购书享受八折优惠，他查看了所买书的定价，发现两次共节约了42元，则该学生第二次购书实际付款 元． 【答案】236 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，先求出第一次购书实际付款，设第二次购书定价为x元，根据两次共节约了42元列方程求解，再求出实际付款即可，正确理解题意列得一元一次方程是解题的关键 【详解】解：∵，, ∴第一次购书不超过200元， 第一次购书定价为（元）， 设第二次购书定价为x元，则 解得 则第二次实际付款为：（元） 故答案为：236 3．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）某商店批进衬衫500件，每件进价为30元，准备加价出售，预计可盈利多少元？当这批衬衫售出后，决定将余下的按八折继续出售，这样，这批衬衫全部售出实际盈利多少元？ 【答案】加价出售，预计可盈利4500元；这批衬衫全部售出实际盈利4110元． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，先求出每件衬衫的售价为元，设加价出售，预计可盈利x元，依题意列出方程，解此方程求出x即可得出答案；当这批衬衫售出后，还余下件，设这批衬衫全部售出实际盈利y元，依题意列出方程，解此方程求出y即可得出答案； 【详解】解：每件衬衫进价为30元，加价出售， 则每件衬衫的售价为：（元） 设加价出售，预计可盈利x元， 依题意得：， 解得：， 答：加价出售，预计可盈利4500元． 当这批衬衫售出后，还余下（件）， 设这批衬衫全部售出实际盈利y元， 依题意得：， 解得：， 答：这批衬衫全部售出实际盈利4110元． 4．（24-25七年级上·山东烟台·期中）大三学生小凡参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是型平板电脑一台和2000元现金，当他工作满20天时因故结束实习，结算工资时公司给了他一台型平板电脑和500元现金． (1)这台型平板电脑公司的报价是多少元？ (2)小凡若工作天，将上述约定工资支付标准折算为现金，他应获得多少报酬（用含的代数式表示）？ (3)若某电脑经销商正在经销这款型平板电脑，他按进货价提高后标价，又以九折优惠卖出，结果每台仍可获利340元，这款型平板电脑每台的进货价是多少元？ 【答案】(1)这台型平板电脑公司的报价是2500元 (2)他应获得150n元的报酬 (3)这款型平板电脑每台的进货价是2000元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，用含n的代数式表示出他应获得的报酬；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设这台M型平板电脑公司的报价是x元，利用日均工资不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用日均工资这台M型平板电脑公司的报价，可求出日均工资，再利用他应获得的报酬=日均工资×小凡的工作时间，即可用含n的代数式表示出他应获得的报酬； （3）设这款M型平板电脑每台的进货价是y元，利用利润=售价-进价，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设这台型平板电脑公司的报价是x元， 由题意，得：， 解得：， 因此，这台型平板电脑公司的报价是2500元； （2）解：由题意，得：， 因此，他应获得150n元的报酬； （3）解：设这款型平板电脑每台的进货价是元， 由题意，得：， 解这个方程，得， 因此，这款型平板电脑每台的进货价是2000元． 【经典例题五 比赛积分问题】 【例5】（24-25七年级上·甘肃白银·期中）一份试卷共30道题，每道题都给出四个答案，其中只有一个是正确的，要求学生把正确的答案选出来，选对得4分，选错或不选倒扣1分，如果一个学生得了95分，那么他选对了几道题？ 【答案】他选对了25道题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设他选对了x道题，则选错或不选的有道题，据此列方程，解方程即可求解． 【详解】解：设他选对了x道题，则选错或不选的有道题． 根据题意，得，解得． 答：他选对了25道题． 1．（24-25七年级上·陕西西安·期中）足球比赛记分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分，某队进行了14场比赛，其中负5场，共得分19分，若设胜场次数为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一方程的实际应用，设该队胜了x场，根据题中的等量关系：平场得分胜场得分分，列出方程，即可解题 【详解】解：设该队胜了x场，则该队平了场， 胜场得分是分，平场得分是分． 根据等量关系列方程得：． 故选：B． 2．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）某电视台组织知识模拟预测，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了其中5位参赛者的得分情况，参赛者说自己得分是71至80之间的一个整数，请根据图表信息推断参赛者的得分为 ． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 【答案】76 【分析】根据图表，得到答错一题扣6分，设参赛者F答错了x题，实际得分为，根据题意分类讨论，求解即可． 【详解】根据图表，得到答错一题扣6分，设参赛者F答错了x题，实际得分为，根据题意，得分是71至80之间的一个整数， ∵100是偶数，6是偶数，x是整数， ∴一定是偶数， 故这个整数可以是72,74,76,78， ∴， 解得，不符合题意，舍去； ， 解得，不符合题意，舍去； ， 解得，符合题意； ， 解得，不符合题意，舍去； ∴， 故答案为：76． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，熟练掌握解一元一次不等式组及其整数解是解题的关键． 3．（24-25七年级上·河南信阳·期中）某校七年级班组织生活小常识模拟预测，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中个参赛者的得分情况．请你补全表格，并写出你的研究过程． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A B C 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意发现答对一道得分、答错一道扣分成为解答本题的关键． 根据题意发现答对一道得分、答错一道扣分，进而列方程求解即可； 【详解】解：因为共有题，参赛者B答错题，故答对题， 因为参赛者答对题答错题得分， 所以答对题得分， 设答错题扣分， 由参赛者的得分可得，， 解得， 所以答错题扣分， 设参赛者答对题， 由题意得，， 解得． 故参赛者答对题，答错题． 补全表格如下： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A B C 4．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）为营造学党史、迎冬奥的浓厚氛围，某学校举行了主题为“扛红旗、当先锋、学党史、迎奥运”的知识模拟预测，一共有30道题，每一题答对得4分，答错或不答扣2分． (1)小明参加了模拟预测，得90分，则他一共答对了多少道题？ (2)小刚也参加了模拟预测，考完后自信满满，说：“这次模拟预测我会得100分！”你认为可能吗？并说明理由． 【答案】(1)小明一共答对25道题 (2)不可能达到100分，理由见解析 【分析】（1）设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了（30-x）道题，根据总得分=4×答对题目数-2×答错题目数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设参赛者需答对y道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了（30-y）道题，根据总得分=4×答对题目数-2×答错题目数，结合总得分等于100分，即可得出关于y的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）（1）设小明一共答对道题，则他答错或不答道题.     答：小明一共答对25道题. （2）（2）设小明一共答对道题，则他答错或不答道题. y的值是整数， 不符合实际     故小刚模拟预测不可能达到100分 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键设出做对的题数，以分数做为等量关系列出方程求解． 【经典例题六 方案选择问题】 【例6】（24-25七年级上·浙江·阶段练习）某校组织七年级师生赴农场参加劳动，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满，如果单独租用55座客车，可少租一辆，且余5个座位， (1)求七年级师生参加劳动人数． (2)已知租45座客车的日租金为每辆2250元，55座客车日租金每辆2680元．问：哪种客车更合算？ 【答案】(1)270 (2)租用55座的客车更合算些 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，有理数混合运算的实际应用，注意题中的等量关系，由人数分别表示两种车的数量建立等量关系是解题的关键． （1）设这次参加秋游的人数是x人，列方程解答即可； （2）根据人数算出租用车辆数，再进一步算出价钱进行比较即可得到答案． 【详解】（1）解：设参加秋游的人数是x人， 则有， 解得：， 答：七年级师生参加劳动人数270人． （2）解：租用座的客车的总价钱为（元）， 座的客车的总价钱为（元）， ∵， ∴租用座的客车更合算些． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）某超市在“元旦”活动期间，推出如下购物优惠方案： ①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠； ②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠； ③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠； 小敏在该超市两次购物分别付了85元和270元，如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（    ）元 A．284 B．308 C．312 D．320 【答案】B 【分析】设第一次购物购买商品的价格为x元，第二次购物购买商品的价格为y元，分0＜x＜100及100≤x＜350两种情况可得出关于x的一元一次方程，解之可求出x的值，由第二次购物付款金额=0.9×第二次购物购买商品的价格可得出关于y的一元一次方程，解之可求出y值，再利用两次购物合并为一次购物需付款金额=0.8×两次购物购买商品的价格之和，即可求出结论． 【详解】解：设第一次购物购买商品的价格为x元，第二次购物购买商品的价格为y元， 当0＜x＜100时，x=85； 当100≤x＜350时，0.9x=85， 解得：（不符合题意，舍去）； ∴； 当100≤y＜350时，则0.9y=270， ∴y=300． 当y>350时，0.8y=270， ∴y=337.5（不符合题意，舍去）； ∴； ∴（元）． ∴小敏至少需付款308元． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是第一次购物的90元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种． 2．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）甲、乙两商场在做促销，如下所示，已知两家商场相同商品的标价都一样． 甲商场：全场均打八五折； 乙商场：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元，一律打八八折；超过500元时，其中的500元打八八折，超过500元的部分打八折． （1）某顾客要购买商品的总标价为600元，该顾客选择 （填“甲”或“乙”）商场更划算； （2）当购物总额是 元时，甲、乙两商场实付款相同． 【答案】 甲 【分析】（1）根据两商场的促销方案，即可求出哪家商场更划算； （2）设购物总额是x元时，甲、乙两商场实付款相同，选择适当的等量关系列出一元一次方程解方程求解即可 【详解】解：（1）甲商场需要：（元） 乙商场需要：（元） 该顾客选择甲商场更划算； 故答案为：甲 （2）设购物总额是元时，甲、乙两商场实付款相同， 当时，，此方程无解， 当时，则，此方程无解 当时 依题意， 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的数量关系是解题的关键． 3．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）暑假期间，某校组织学生到某市研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50人时，研学社给出两种优惠方案（只选其中一种方案）： 方案一：研学团队先交1600元后，每人再收费320元； 方案二：其中5人免费，其余每人收费打九折． 当参加研学的总人数是时． (1)请用含的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元； (2)当两种方案的收费相同时，求该校参加研学的总人数． 【答案】(1)当参加研学的总人数是时，方案一收费元，方案二收费元 (2)85 【分析】本题考查了列代数式，以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据两种方案的优惠方法列出关于的代数式即可； （2）根据采用两种方案的收费列方程求解即可． 【详解】（1）解：方案一共收费：元， 方案二共收费：元， 答：当参加研学的总人数是时，方案一收费元，方案二收费元； （2）解：当时， 解得， 答：当参加研学的总人数是85人时，采用两种方案的收费是一样的． 4．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）某水果加工厂收购了29吨黄桃，经市场预测，销售方式及利润如下表： 销售方式 直接销售 包装销售 制成罐头销售 每吨利润（万元） 0.05 0.4 0.6 加工能力限制：每天可包装5吨或制成罐头3吨（包装和加工前后质量不变），同一天内两种加工方式不可同时进行． 时间限制：所有黄桃需在7天内销售或加工完毕． 方案一：尽可能多制成罐头，剩余直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行包装，并恰好7天完成． (1)通过计算比较两种方案，说明哪种方案可使工厂所获利润较多； (2)若采用利润较多的方案，将罐头运输到市场售卖．运输公司费用如下： 运输公司 运输单价 每吨装卸费 甲 每吨每千米5元 50元 乙 每吨每千米6元 30元 已知乙公司总费用比甲公司多243元，求水果加工厂到市场的距离． 【答案】(1)方案二可使工厂所获利润较多，计算见解析 (2)47千米 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键： （1）列式求出方案一的利润，方案二设吨制成罐头，根据恰好7天完成，列出方程，求出的值，进而求出方案二的利润进行判断即可； （2）设加工厂到市场的距离为千米，根据乙公司总费用比甲公司多243元，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：方案一：（万元）， 方案二：设吨制成罐头，则吨进行包装，， 解得， 有20吨进行包装．经检验，符合题意． 获利：（万元）， ， 方案二可使工厂所获利润较多； （2）设加工厂到市场的距离为千米，， 解得，经检验，符合题意． 答：水果加工厂到市场的距离为47千米． 【经典例题七 数字问题】 【例7】（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，求这个两位数． 【答案】21，32，43，54，65，76，87，98 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．根据题意可得，则这个两位数为，新数为，再由题意可得x为2到9的自然数，y为1到8的自然数，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，则这个两位数为，新数为， ∵对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9， ∴， 整理得：为恒等式， 根据题意得：x为2到9的自然数，y为1到8的自然数， ∴符合条件的两位数为21，32，43，54，65，76，87，98． 1．（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）在等式□□的两个“□”内分别填入一个数，使这两个数互为相反数且等式成立，则第一个“□”内的数是（    ） A．6 B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据题意可以设第一个“□”填入的数为，则第二个“□”填入的数为，然后列出方程，求解即可． 【详解】解：设第一个“□”填入的数为，则第二个“□”填入的数为， 由题意可得：， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 2．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一，从下列图中取一列数1，3，6，10，…，记着，若（n为正整数），则n的值为 ． 【答案】31 【分析】此题考查了数字类规律的探索，一元一次方程的求解，解题的关键是正确找出数字的规律．根据已知数据，找到数字之间的规律，根据题意，列出关于的方程，求解即可． 【详解】解：由，，，，…，知， ∴，， ∵， ∴， 解得． 故答案为：31． 3．（24-25七年级上·江西南昌·期中）定义：对于确定位置的三个数：a，b，c（），取，，这三个数的最大值，叫做求a，b，c的最优值，记作．例如，计算：，因为，，，所以． (1)计算______； (2)若，求x值． (3)若，求x值． 【答案】(1)4049 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了新定义以及有理数的混合运算，解一元一次方程． （1）根据题中意思分别求出三个数，然后比较大小即可得出答案； （2）（3）根据题中意思分别求出三个数，再列式方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，，， ∵， ∴或或， 解，得； 解，无解； 解，得； 综上：或； （3）解：由题意得，，， ∵， ∴或或， 解，无解； 解，得； 解，得； 综上：或． 4．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将化为分数形式， 由于，设，① 得，② ②－①得，解得，于是得． 同理可得，． 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） (1)______； (2)将化成分数形式，并写出推理过程． (3)若则______． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查解一元一次方程． （1）将代入中计算即可； （2）设，则，两式相减求出的值即可； （3）将代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：设，则， ， 解得， 即化成分数形式为； （3）解：， ． 故答案为：． 【经典例题八 几何问题】 【例8】（24-25七年级上·广东东莞·期中）在数轴上点A，B分别对应有理数a，b，线段，且点A、B到原点的距离相等． (1)填空：________，________． (2)若点C对应的有理数为x，点C把线段分成了两部分，其中一部分是另外一部分的3倍，求x的值． 【答案】(1)；4 (2) 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用： （1）根据题意可得点A、B到原点的距离都为4，据此可得答案； （2）根据数轴上两点距离计算公式分别表示出，再分和两种情况分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵线段，且点A、B到原点的距离相等， ∴点A、B到原点的距离都为4， ∴； （2）解：由题意得，点C在线段上， ∴， 当时，则， ∴； 当时，则， ∴； 综上所述，． 1．（24-25七年级上·山东烟台·期中）要锻造一个直径、高为的圆柱形毛坯， 应截取直径为的圆钢多长？若设应截取直径为的圆钢，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设应截取直径为的圆钢，根据题意即可得出关于的一元一次方程即可，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键． 【详解】解：设应截取直径为的圆钢， 由题意得：， 故选：． 2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，甲、乙、丙三个容器，甲为正方体，内壁的各条棱长为厘米；乙为圆柱体，内壁高厘米，内部底面半径为厘米；丙是长方体，长厘米，宽厘米，高厘米．现将甲容器盛满水，乙、丙均为空容器，若把甲容器内的水倒入与乙相同的个容器，均倒满后，把剩下的水倒入丙容器，则丙容器内水的高度为 厘米（取，结果保留小数点后一位）． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．正方体，圆柱，长方体的体积公式，设丙容器内水的高度大约为，根据水的体积不变列出方程，求解即可． 【详解】解：设丙容器内水的高度大约为，根据题意，得 ， 解得：， 答：丙容器内水的高度大约为． 故答案为：． 3．（2025七年级上·江西南昌·模拟预测）将内径为，高为的圆柱形水桶盛满水后全部倒入一个长方体水箱中，水占水箱容积的．若水箱的长，宽分别为，，则水箱的高约为多少厘米？（取，结果精确到） 【答案】131厘米 【分析】此类题目主要考查了一元一次方程在几何问题中的应用，此类题目往往需要结合几何的相关概念或定理，解题的关键是根据题目中的等量关系（如体积不变、周长不变等）列方程，从而通过解方程使问题得以解答． 设水箱的高为，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设水箱的高为， 依题意，得， 整理，得， 解得． 答：水箱的高约为131厘米． 4．（24-25七年级上·江西南昌·单元测试）如图，将一张正方形纸片第一次剪成4张大小相同的小正方形纸片，第二次将其中的一张小正方形纸片按同样的方法剪成4张更小的正方形纸片，如此继续剪下去．    (1)填写表格： 剪的次数 1 2 3 4 5 … 正方形纸片的张数 ______ ______ ______ ______ ______ … (2)剪n次一共可以剪出多少张小正方形纸片（用含n的代数式表示）？ (3)能否经过若干次分割后，共得2024张纸片？请说明理由． 【答案】(1)4，7，10，13，16； (2)张 (3)不能．理由见解析 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，一元一次方程的应用： （1）每一次剪的时候，都是把上一次的图形中的一个来剪．所以在4的基础上，依次多3个，据此求解即可； （2）根据（1）的规律求解即可； （3）根据（2）所求得到方程，看方程是否有正整数解即可． 【详解】（1）解：填表如下： 剪的次数 1 2 3 4 5 … 正方形纸片的张数 4 7 10 13 16 … （2）解：由（1）可知，每剪一次，小正方形的数量都会比前一次多3， ∴剪n次一共可以剪出张小正方形纸片 （3）解：不能经过若干次分割后，共得2024张纸片，理由如下： 令， 解得， 此时n不是正整数， ∴不能经过若干次分割后，共得2 024张纸片． 【经典例题九 动点问题】 【例9】（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在数轴上，点P从表示－40的点出发，沿水平向右的方向以每秒3个单位长度的速度运动，同时点Q从表示20的点出发，沿水平向左的方向以每秒2个单位长度的速度运动． （1）当点Q运动到原点O时，点P的位置表示的数是多少？ （2）当P、Q两点间的距离为30个单位长度时，问两点运动的时间是多少？ 【答案】（1）-10，（2）6秒或18秒 【分析】（1）求出点Q运动到原点O时所用时间，再求出点P所走的距离，求出点P表示的数即可； （2）设两点运动的时间是x秒时，两点间的距离为30个单位长度，分两种情况列出方程，求解即可． 【详解】解：（1）当点Q运动到原点O时，点Q运动的距离为20，运动时间为20÷2=10（秒），此时，点P所走的距离为：3×10=30，点P表示的数为-40+30=-10； （2）设两点运动的时间是x秒时，两点间的距离为30个单位长度， 当点P在点Q左侧时， [20-（-40）]-3x-2x=30， 解得，x=6， 当点P在点Q右侧时， 3x+2x -[20-（-40）] =30， 解得，x=18， 答：设两点运动的时间是6秒或18秒时，P、Q两点间的距离为30个单位长度． 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离和一元一次方程的应用，解题关键是准确理解题意，列出方程，注意分类讨论． 1．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点和点表示的数为，，则，两点之间的距离，若，则可化简为若，则可化简为，请你利用数轴解决以下问题：若数轴上两点、对应的数分别为，，点为数轴上一动点，其对应的数为当到点、的距离之和为时，则对应的数的值为（    ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查数轴上两点间的距离．根据两点间的距离公式，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当点在点左侧时，则：， 解得； 当点在点和点之间时，则：，不符合题意； 当点在点右侧时，则：， 解得； 综上：或； 故选：C． 2．（24-25七年级上·河南漯河·期中）如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为和12，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点Q同时从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒，当时，t的值为 秒．    【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的实际应用．根据两点间的距离公式，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：点P表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴， 解得：或； 故答案为：或． 3．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是______，点表示的数是______（用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求： 当点运动多少秒时，点与点相遇？ 当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【答案】(1)，； (2)①当点运动秒时，点与点相遇；②当点运动或秒时，点与点间的距离为8个单位长度 【分析】本题考查在数轴上找出点的位置，结合数轴求追赶和相遇问题，正确运用数形结合解决问题是解题的关键，注意不要漏解． （1）根据题意可先求出点表示的数为，由点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，得点运动秒的长度为，即可表示出点； （2）①由于点和Q都是向左运动，故点追上Q时相遇，根据点比Q多走了10个单位长度列出等式，根据等式求出t的值即可得出答案； ②要分两种情况计算：第一种是点追上点Q之前，第二种是点追上点Q之后，根据数轴上两点间距离公式列式求出t的值即可得出答案. 【详解】（1）数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点， ， 则， 数轴上点表示的数为； 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动 点运动秒的长度为， 点所表示的数为：， 故答案为：，； （2）①设点运动秒时追上点， 根据题意得， 解得， 答：当点运动秒时，点与点相遇； ②设当点运动秒时，点与点间的距离为8个单位长度， 当点未超过点，则，解得； 当点超过点，则，解得； 答：当点运动或秒时，点与点间的距离为8个单位长度． 4．（25-26七年级上·江西南昌·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究： (1)操作1：折叠纸带，若数轴上表示的点与表示1的点重合，则折痕处对应的点表示的数是________，此时表示数a的点与表示数________的点重合； (2)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到4）的一条线段，并把这条线段沿某点向左对折，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段（如图），若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是________； (3)操作2：若点A、B表示的数分别是、4，点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，若点P在点Q的左侧且线段PQ上（含线段端点）恰好有3个整数点，则时间t的最大值是________． 【答案】(1)0； (2)0或或或2 (3) 【分析】本题考查了有理数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，一元一次方程的几何应用，明确数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等，数轴上任意两点的距离为两点所表示的数差的绝对值；本题第三问有难度，采用了分类讨论的思想． （1）根据对称性找到折痕的点为0，根据两点间的距离可得答案； （2）根据题意分情况讨论，分别根据三条线段的长度之比为列式求解即可； （3）根据覆盖部分整点个数可得当距离为2时，点P和Q都在整点上，这时线段上恰好有3个整点，即可求出最大值． 【详解】（1）解：∵数轴上表示的点与表示1的点重合， ∴折痕点表示的数是， ∴表示数a的点与它重合的点表示的数为：， 故答案为：0，； （2）解：设表示的点是A，表示4的是D， ∴， ∴， 当三条线段的比值为时，，则； 当三条线段的比值为时，，则； 当三条线段的比值为时，，则； 当三条线段的比值为时，，则； 当三条线段的比值为时，，则； 当三条线段的比值为时，，则； 故答案为：0或或或2． （3）解：根据题意得点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 令 ， 解得或， 即当秒或秒时， ∴线段上恰好有3个整点， ∴时间的最大值是， 故答案为：． 【经典例题十 和差倍分问题】 【例10】（24-25七年级上·湖南·阶段练习）兄弟俩的年龄之和是32岁，当哥哥是弟弟现在这么大时，哥哥的年龄是当时弟弟年龄的3倍，求哥哥现在的年龄． 【答案】哥哥现在20岁 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设当哥哥是弟弟现在这么大时，弟弟的年龄是x岁，则哥哥当时岁，两人的年龄差是岁，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设当哥哥是弟弟现在这么大时，弟弟的年龄是x岁，则哥哥当时岁，两人的年龄差是岁． 根据题意，得 解得 今年哥哥：（岁） 答：哥哥现在20岁． 1．（24-25七年级上·天津·期中）有辆客车及个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘43人，则最后一辆车有2个空位．给出下面五个等式：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（    ） A．②③⑤ B．①④⑤ C．①③⑤ D．②④ 【答案】C 【分析】根据总人数相同列出方程，根据车数相同列出方程，进行判断即可． 【详解】解：根据总人数相同，可得：；； 根据车数相同，可得：； 综上：正确的是：①③⑤； 故选C． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据题意，正确的列出方程，是解题的关键． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）某班有学生人，参加文学社的人数是参加科学社的人数的倍，既参加文学社又参加科学社的人数是人，既不参加文学社也不参加科学社的有人，则参加科学社但不参加文学社的人数是 ． 【答案】6 【分析】设参加科学社但不参加文学社的人数是人，则参加科学社的人数是人，参加文学社的人数是人，根据参加文学社与参加科学社的人数一共是人列方程求解． 【详解】解：设参加科学社但不参加文学社的人数是人，则参加科学社的人数是人，参加文学社的人数是人， 根据题意得：， 解得：， ∴参加科学社但不参加文学社的人数是6人， 故答案为：6． 【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用，解题的关键是设参加科学社但不参加文学社的人数是人，再用表示出参加文学社的人数． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）学校将礼品颁发给朗诵比赛获得一、二、三等奖的同学，一等奖的每个同学能得到5个礼品，二等奖的每个同学能得到3个礼品，三等奖的每个同学能得到1个礼品．已知一、二、三等奖的同学共有56人，且获得三等奖的人数是获得二等奖人数的2倍，最终共颁发了120个礼品．求获得一、二、三等奖的同学分别有多少人？ 【答案】获得一等奖8人，二等奖16人，三等奖32人． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找到等量关系是解题的关键．设获得二等奖有x人，则获得三等奖有人，获得一等奖有人，依题意列出一元一次方程，继而计算即可． 【详解】解：设获得二等奖有x人，则获得三等奖有人，获得一等奖有人，依题意，得 ， 解得， ∴获得三等奖有（人），获得一等奖有（人）， 答：获得一等奖8人，二等奖16人，三等奖32人． 4．（24-25七年级上·河南郑州·期中）在巴黎奥运会上，中国体育健儿以为国而战的情怀，顽强拼搏的信念，团结协作的品质，为祖国和人民赢得了荣誉，生动地诠释了新时代中国精神，成为广大青少年的榜样，掀起了运动的热潮．某校七年级乒乓球社团人数增加，需购买一批乒乓球拍和乒乓球，已知一副乒乓球拍比一盒乒乓球贵20元，买12副乒乓球拍和8盒乒乓球共需640元． (1)求一副乒乓球拍和一盒乒乓球的价格各是多少元； (2)在“双12”促销活动中，某体育用品商店制订以下优惠方案： 方案一：商品按原价打9折优惠； 方案二：商品按原价出售，每满200元返30元； 方案三：商品按原价出售，超过800元的部分打7折优惠； 现计划购买23副乒乓球拍和20盒乒乓球，请通过计算说明按照哪种方案购买较为合算． 【答案】(1)一副乒乓球拍的价格为40元，一盒乒乓球的价格为20元 (2)按照方案二购买较为合算，见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出方程和对应的算式是解题的关键． （1）设一副乒乓球拍的价格是元，则一盒乒乓球的价格是元，根据买12副乒乓球拍和8盒乒乓球共需640元建立方程求解即可； （2）根据所给的优惠方案，分别计算出三种优惠方案下的费用，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：设一副乒乓球拍的价格是元，则一盒乒乓球的价格是元， 根据题意，得，     解得，     ∴． 答：一副乒乓球拍的价格为40元，一盒乒乓球的价格为20元． （2）解：方案一：（元）． 方案二：元， ， （元）．     方案三：（元）．         ， 按照方案二购买较为合算． 【经典例题十一 电费和水费问题】 【例11】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）自来水公司为鼓励节约用水，对水费按以下方式收取：用水不超过10吨，每吨按2元收费，超过10吨的部分按每吨3元收费，王老师三月份平均水费为每吨2.5元收费，则王老师家三月份用水多少吨？ 【答案】王老师家三月份用水20吨． 【分析】设王老师家三月份用水x吨，根据水费超出10吨的部分×3及水费=每吨均价×用水数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设王老师家三月份用水x吨， 依题意，得：， 解得：． 答：王老师家三月份用水20吨． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 1．（24-25七年级上·江西南昌·单元测试）保险公司的汽车保险，汽车修理费是按分段赔偿，具体赔偿细则如下表： 汽车修理费x元 赔偿率 某人在汽车修理后在保险公司得到的赔偿金额是2000元，那么此人的汽修理费是（    ）元 A．2687 B．2687.5 C．2688 D．2688.5 【答案】B 【分析】根据表格计算得知此人的修理费用应该在1000到3000之间，设此人的修理费为x元，由赔偿金额（x-1000）×0.8+300+350=2000解出x值即可解答． 【详解】解：设此人的汽车修理费为x元． 故元， 元， 元， ，所以此人的汽车修理费在1000到3000之间． ， 解得：． 故选B． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答的关键是读懂题意，确定修理费的范围，并正确表示出赔偿金额． 2．（24-25七年级上·浙江·期中）下表是某市居民出行方式以及收费标准：（不足1千米按1千米算） 打车方式 出租车 3千米以内8元；超过3千米的部分元/千米 滴滴快车 路程：元 /千米；时间：元/分钟 说明 打车的平均车速千米/时 假设乘坐8千米，耗时：分钟；出租车收费：元；滴滴快车收费：元． 为了提升市场竞争力，出租车公司推出行驶里程超过千米立减元活动．小聪乘坐出租车从甲地到达乙地支付车费元，若改乘滴滴快车从甲地到乙地，则需支付 元． 【答案】或 【分析】分两种情况进行分析：（1）没有超过千米；（2）超过享受优惠；分别计算即可． 【详解】解：设此次的路程为千米， 若此次路程没有超过千米， 则， 解得：千米， 则改乘滴滴快车从甲地到乙地，需支付元； 若此次路程超过千米， 则， 解得：千米， 则改乘滴滴快车从甲地到乙地，需支付元； 综上：若改乘滴滴快车从甲地到乙地，则需支付元或元， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用－分段收费问题，读懂题意，列出方程是解本题的关键． 3．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）某省公布的居民用电阶梯定价听证方案如下：     第一档电量 第二档电量 第三档电量 月用电量度以下，每度价格元 月用电量度至度，每度比第一档次提价元 月用电量度以上，每度比第一档提价元 例：若某户月用电量度，则需交电费的计算过程如下 元． (1)如果按此方案计算，小华家5月份的电费为元，请你求出小华家5月份的用电量； (2)依此方案，请你用学过的数学方法说明：若小华家某月的电费为元，则小华家该月用电量属于第几档？ 【答案】(1)小华家5月份的用电量是度 (2)当时，小华家该月用电量属于第一档；当时，小华家该月用电量属于第二档；当时，小华家该月用电量属于第三档． 【分析】本题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示用电量在某一档时的电费是解题的关键． （1）先计算出用电度和用电度的电费分别为元和元，可知小华家月份的用电量大于度而小于度，设小华家月份的用电量是度，可列方程，解方程求出的值即可； （2）由（1）可知，，则该月用电量为第一档；，则该月用电量为第二档；，则该月用电量属于第三档，由此即可确定小华家该月用电量属于第几档． 【详解】（1）解：元，元， 用电度和用电度的电费分别为元和元， ， 小华家月份的用电量大于度而小于度， 设小华家月份的用电量是度， 根据题意得， 解得， 答：小华家月份的用电量是度． （2）由（1）可知，当时，小华家该月用电量属于第一档； 当时，小华家该月用电量属于第二档； 当时，小华家该月用电量属于第三档． 4．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过8立方米，则按每立方米1.5元收费；若每月用水超过8立方米不超过20立方米，则超过8立方米的部分按每立方米元收费；若每月用水超过20立方米，则超过20立方米的部分按每立方米4元收费．某居民户今年5月用水14立方米，缴纳了27元水费． (1)求的值； (2)设每月用水量为立方米，应缴水费为元（用含的式子表示） ①当时，___________元． ②当时，___________元． ③当时，___________元． (3)小明家4、5两个月一共用水30立方米，两次一共缴纳水费60.5元．试确定4月份和5月份小明家分别用水多少立方米？ 【答案】(1)2.5 (2) (3)小陈家4、5月份用水量是9立方米和21立方米或21立方米和9立方米 【分析】本题考查一元一次方程的应用，列代数式，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）根据题意列方程求解即可； （2）根据题意分三种情况，列出对应的代数式即可； （3）设小明家4月份用水m立方米，则5月份用水立方米，由两个月的用水量30立方米得，两个月的用水量不可能都不超过8立方米，也不可能都超过20立方米，分情况讨论，①当时，此时4月份用水量在第二档，而5月份用水量在第三档，②当时，此时4月份用水量在第二档，而5月份用水量在第二档，③当时，4月份用水量在第三档，而5月份用水量在第二档，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 解得（元）， 答：的值为2.5元； （2）解：由题意得： ①当时，， ②当时，， ③当时，， （3）解：设小陈家4月份用水立方米，则5月份用水立方米， 两个月的用水量30立方米，因此两个月的用水量不可能都不超过8立方米，也不可能都超过20立方米， ①当时，此时4月份用水量在第二档，而5月份用水量在第三档，故， ， 解得：，此时； ②当时，此时4月份用水量在第二档，而5月份用水量在第二档，故， ，不合题意舍去； ③当时，4月份用水量在第三档，而5月份用水量在第二档，故， ， 解得：，此时； 综上所述：小陈家4、5月份用水量是9立方米和21立方米或21立方米和9立方米 【经典例题十二 比例分配问题】 【例12】（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）甲、乙、丙三位同学向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知这三位同学捐赠图书册数的比是，如果他们共捐374本，那么这三位同学各捐书多少册？ 【答案】甲捐书本，乙捐书本，丙捐书为本 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 设甲捐书本，则乙捐书本，丙捐书为，根据他们共捐了374本，即可求出这三位同学各捐书多少册； 【详解】解：设甲捐书本，则乙捐书本，丙捐书为， ∵他们共捐了374本， ∴， 解得， ∴甲捐书本，乙捐书本，丙捐书为本． 1．（24-25七年级上·浙江台州·期中）把一些图书分给某班学生阅读，如果_____；如果每个同学分4本，则缺25本．设这个班级有x名学生，可列出方程．则横线的信息可以是（   ） A．分给3个同学，则剩余20本 B．每个同学分3本，则剩余20本 C．分给3个同学，则缺20本 D．每个同学分3本，则缺20本 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据“如果每个同学分4本，则缺25本”，结合这个班级的人数，可得出这些图书共有本，结合所列方程，可得出这些图书共有本，进而可得出横线的信息，根据所列方程，找出缺失的条件是解题的关键． 【详解】解：如果每个同学分4本，则缺25本，且这个班级有名学生， 这些图书共有本， 所列方程为， 这些图书共有本， 横线的信息可以是：每个同学分3本，则剩余20本． 故选：B． 2．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）茶百道生产的一种由A、B两种原料按一定比例配制而成的奶茶，其中A原料成本价为10元/千克，B原料成本价为15元/千克，按现行价格销售每千克奶茶可获得4.8元的利润．由于物价上涨，A原料上涨20%，B原料上涨10%，配制后的总成本增加．茶百道为了拓展市场，打算再投入现总成本的10%做广告宣传，使得销售成本再次增加，如果要保证每千克的利润不变，则此时这种奶茶每千克的售价与原售价之差为 元 【答案】 【分析】设配制比例为，则原液上涨后的成本是元，原液上涨后的成本是元，配制后的总成本是，根据题意可得方程，解可得配制比例，然后计算出原来每千克的成本和售价，然后表示出此时每千克成本和售价，即可算出此时售价与原售价之差． 【详解】解：设配制比例为，由题意得： 解得x=， 则原来每千克成本为： ＝12（元）， 原来每千克售价为：（元） 此时每千克成本为：（元）， 此时每千克售价为：（元）， 则此时售价与原售价之差为：（元）． 故答案为：． 【点睛】此题考查一元一次方程的应用，解题关键是计算出配制比例，以及原售价和此时售价． 3．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）某眼镜厂要制作一批眼镜，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每个工人平均每天可以制作镜架50个或镜片120片． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)该工厂原计划男工负责制作镜架，女工负责制作镜片，一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，如果要使每天制作的镜架与镜片恰好配套，那么要调多少名女工帮男工制作镜架？ 【答案】(1)该工厂有男工36人，女工52人； (2)12名女工． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，确定等量关系列方程是解题的关键． （1）设该工厂有男工x人，则女工有人，利用总人数是88人列方程求解即可． （2）设调y名女工帮男工制作镜架，利用镜片是镜架的二倍列方程求解即可． 【详解】（1）解：设该工厂有男工人，则女工有人． 由题意得， 解得， 所以女工有（人）． 答：该工厂有男工36人，女工52人． （2）设调名女工帮男工制作镜架． 由题意得， 解得． 答：如果要使每天制作的镜架与镜片恰好配套，要调12名女工帮男工制作镜架． 4．（2025·安徽·模拟预测）为提高销售业绩，安徽省某茶叶专卖店店长对店内销售额居于前三的六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额进行了分析，发现上月三种茶叶销售额的比值为4∶2∶3，本月六安瓜片销售额是上月销售额的a倍，黄山毛峰销售额是上月销售额的（a﹣3）倍，太平猴魁的销售额与上月的相同，同时这三种茶叶本月的总销售额恰好是上月总销售额的2倍，求本月六安瓜片销售额与上月销售额的比值． 【答案】 【分析】设上个月六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额分别为4x，2x，3x，根据这三种茶叶本月的总销售额恰好是上月总销售额的2倍，列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设上个月六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额分别为4x，2x，3x， 根据题意得：4x•a＋2x•（a﹣3）＋3x＝2（4x＋2x＋3x）， 解得：a， 则本月六安瓜片销售额与上月销售额的比值为． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用按比例分配问题，解题关键巧设参数，找出题中等量关系列出方程． 【经典例题十三 日历问题】 【例13】（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，将1，2，3，…，40这40个数按照下表进行排列，现用一个Z字框（图中阴影部分）框住表中的4个数，移动该框，设框中最小的数为． (1)请用含x的代数式表示框中4个数的和； (2)框中4个数的和可能是124吗？若能，请求出最小的数． 【答案】(1) (2)框中4个数的和能是124，最小的数为25，理由见解析 【分析】（1）根据框中数的规律写出其他三个数分别为，和，相加即可； （2）根据第一问结论列方程可解得答案． 【详解】（1）解：∵框中最小的数为x， ∴另外3个数为，和． ∴4个数的和为； （2）框中4个数的和能是124， 根据题意得：， 解得， ∴最小的数为25． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据列表找到框中四个数的规律． 1．（24-25七年级上·湖北·期中）如图是某月的日历图，用“”形框任意框出7个数（如图中阴影部分所示），这7个数的和不可能是（    ） A．63 B．70 C．105 D．96 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系．设最中间的数为，根据题意列出方程即可求出判断． 【详解】解：设最中间的数为， 这7个数分别为， 故， 故不是的倍数， 故选：D． 2．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）在某月的月历表中，用如图所示的“S”型框任意框出表中四个数，若框出的四个数的和是58，则框中最小的数是 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，设四个数中最小的数为x，则另外三个数分别为，，，进而可得出四个数之和，求出x的值即可得出结论． 【详解】解：设四个数中最小的数为x，则另外三个数分别为，，， ∴四个数的和． 当时，， 解得，， 故答案为：11． 3．（24-25七年级上·湖北孝感·期中）如图是某年11月份的月历，用一个小正方形在任意圈出其中的9个数，设圈出的9个数中最中心的数为x． (1)用含x的式子表示圈出的9个数的和． (2)若圈出的9个数的和为，求圈出的最大数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式加减的应用和一元一次方程的应用． （1）根据题意列式求和即可； （2）根据（1）中得到的结果列方程，解方程得到，即可求出圈出的最大数是． 【详解】（1）解：设圈出的9个数中最中心的数为x，则由题意可得， ， 即圈出的9个数的和为． （2）由题意可得，， 解得， 圈出的最大数是． 4．（24-25七年级上·甘肃白银·期中）“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．如图1，这是“洛书”的示意图．数出图1中各处的圆圈和圆点的个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图2），此时每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为15． (1)①如图3，当______时，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等； ②若将，，，1，3，5，7，9，11这9个数填入图4的九个格子中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，则______． (2)将幻方迁移到月历，如图5，这是2024年12月的月历．某同学说：“在该月历中，不改变阴影方框的大小，将方框移动位置，方框中的9个数的和可以是189．”该同学的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1)①；②3 (2)该同学的说法正确，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据幻方的特点，得到每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和为幻方中央数字的3倍是解题的关键． （1）①根据题意，列出方程进行计算即可； ②根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和为幻方中央数字的3倍，列出方程进行求解即可； （2）设阴影方框的中央位置的数为x，根据题意，列出方程求出x的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：①由题意得， 解得， 故答案为：； ②根据题意得， 解得， 故答案为：3； （2）解：正确．理由如下： 设阴影方框的中央位置的数为x， 由题意得， 解得， 当阴影方框中央位置数字为21时，方框中的9个数的和是189，故该同学的说法正确． 【经典例题十四 古代问题】 【例14】（24-25七年级上·福建厦门·期中）《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题：“今有共买羊，人出六，不足四十五；人出八，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出6元，则差45元；每人出8元，则差3元．求人数和羊价各是多少？请你用一元一次方程的知识解决． 【答案】人数有21人，羊价是171元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 可设买羊人数为未知数，等量关系为：买羊人数买羊人数，把相关数值代入可求得买羊人数，代入方程的等号左边可得羊价． 【详解】解：设有x个人，根据题意，得： ， 解得：， （元）， 答：人数有21人，羊价是171元． 1．（2025·福建莆田·模拟预测）古代元朝时，著名数学家朱世杰的名著《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走．遇店添一倍，逢友饮一斗．店友经三处，没了壶中酒．借问此壶中，当原多少酒？”意思是：“朱世杰携带一壶酒游春，经过酒店就把壶里的酒添加一倍，碰到朋友就饮酒1斗，途中先经过酒店，再碰到朋友，又经过酒店，再碰到朋友，又经过酒店，再碰到朋友，最后壶中无酒，问酒壶中原来有多少斗酒？设酒壶中原来有x斗酒，则符合题意的方程是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键在于正确列出方程． 设酒壶中原来有x斗酒， 第一次遇店添一倍，则为，逢友饮一斗，则为； 第二次遇店添一倍，则为，第二次逢友饮一斗，则为； 第三次遇店添一倍，则为，第三次逢友饮一斗，则为； 此时没了壶中酒，则建立方程：． 【详解】解：根据题意可列方程：． 故选：A． 2．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和均相等，例如下图（1）就是一个幻方，图（2）是一个未完成的幻方，则的值是 ． 4 9 2 16 3 5 7 11 15 8 1 6 12   图（1）                 图（2） 【答案】 【分析】设a下方的数为m，右上角的数为n，则第二横行三个数的和为，由第一竖列三个数的和为39，可知每一横行、每一竖列、每条对角线上的3个数之和均等于39，于是列方程得，求得，再由对角线三个数的和列方程得，求得，由第一行三个数的和列方程得，解方程求出a的值即得到问题的答案． 【详解】设a下方的数为m，右上角的数为n， ∵， ∴每一横行、每一竖列、每条对角线上的3个数之和均等于39， 根据题意得， 解得， ∴， 解得， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示第二横行三个数的和并且求出a下方的数是解题的关键． 3．（24-25七年级上·江西南昌·期中）自西汉张骞出使西域以来，丝绸之路作为中国和国外进行商贸往来和文化交流的商道，繁荣发展了十几个世纪．中国古代数学也经由丝绸之路进行传播，其中刘徽所著《九章算术》中“盈不足术”有一题，原文如下：“今有羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，还差45元；每人出7元，则还差3元，求人数和羊价各是多少？ 【答案】一共有21人，羊价为150元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设一共有x人，根据每人出5元，还差45元可知羊价为元，根据每人出7元，则还差3元可知羊价为元，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设一共有x人， 由题意得，， 解得， ∴， 答：一共有21人，羊价为150元． 4．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务： ×年×月×日，星期日 曹冲称象得到的启示今天，我在一本杂志上看到这样一段话： 孙权曾致巨象、太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理，冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”——《三国志》 按照曾冲称象的方法：先将象牵到大船上，并在船的侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上拾入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标志位置，如果再拾入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记的位置，已知搬运工体重为130 kg，求大象的体重，下面是小康的部分解答过程： 解：设每块条形石的质量为x kg，根据题意得，… 任务： (1)填空：解决这个问题用到的等量关系是20块等量的条形石的质量+___________=_________+1个搬运工的体重． (2)将小康的解答过程补充完整． 【答案】(1)3个搬运工的体重，21块等量的条形石的质量． (2)大象的质量为． 【分析】（1）根据题意可得等量关系为20块等量的条形石的质量+3个搬运工的体重=21块等量的条形石的质量+1个搬运工的体重，据此即可解答；审清题意是解题的关键； （2）根据（1）的等量关系列一元一次方程求得每块条形石的质量，然后再求大象的质量即可；正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得：等量关系为20块等量的条形石的质量+3个搬运工的体重=21块等量的条形石的质量+1个搬运工的体重． 故答案为：3个搬运工的体重，21块等量的条形石的质量． （2）解：设每块条形石的质量为x kg， 根据题意得，解得： 所以大象的质量为：． 答：大象的质量为． 【拓展训练一 一元一次方程与数轴综合应用】 1．（24-25七年级上·宁夏银川·阶段练习）已知数轴上点在原点左边，到原点的距离为个单位长度，点在原点的右边，从点走到点，要经过个单位长度． (1)，两点分别表示的数为_______． (2)若点也是数轴上的点，点表示的数是正数，点到点的距离是点到原点的距离的倍，则点表示的数为_______． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查数轴上的点表示的数，一元一次方程的应用， （1）根据题意列出算式，即可得出结论； （2）根据题意并结合数轴上两点间距离列出方程，求解即可； 掌握分类讨论的思想以及数轴上的点表示的数是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知：点表示的数为， ∵从点走到点，要经过个单位长度 ∴表示的数为， 即，两点分别表示的数为，， 故答案为：，； （2）设表示的数为， 依题意，得：， ∴或， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴点表示的数为． 故答案为：． 2．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）请利用数轴研究下列问题： (1)特例研究：数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示和5的两点之间的距离是______，数轴上表示2和的两点之间的距离是______； (2)合理猜想：在数轴上，点、分别表示有理数，，则、间的距离为______； (3)结论应用： ①数轴上表示和的两点和之间的距离是______（用含的式子表示）．如果，那么为______； ②当代数式，则的值是______． 【答案】(1)3，7，5； (2) (3)①，1或；②或3 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离及绝对值的意义，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键． （1）根据数轴上两点之间的距离A、B两点之间的距离解题即可． （2）根据数轴上两点之间的距离即可求解 （3）①根据数轴上两点之间的距离得到，然后根据绝对值的意义求出x的值． ②把原题看成点x到点和点2的距离之和，分情况求解即可得到答案． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离为， 数轴上表示和5的两点之间的距离为， 数轴上表示2和的两点之间的距离为； 故答案为：3，7，5； （2）解：在数轴上，点、分别表示有理数，，则、间的距离为， 故答案为：； （3）①数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是， 根据题意得， 即， 所以或， 故答案为，1或； ② 数轴上表示x的点到和2的距离和为5， 若，则， 解得：； 若，则， 解得：； 若，则， 此时方程无解， 故答案为：或3． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如果数轴上有两点，其表示的数分别为，那么线段的长度表示为，线段的中点表示的数为．如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且．动点从点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点运动时间为秒 (1)填空：___________；___________；的距离为___________； (2)点运动多少秒后，成立？ (3)当点在之间运动时，且．如果点为的中点，请你探究式子是否是定值，如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)8，，14 (2)点P运动秒或7秒时， (3)当时，为定值，该定值为2． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，非负数的性质，整式的加减运算，解题的关键是用含t的代数式表示运动后点表示的数． （1）利用非负数的性质求得a，b的值，再利用数轴上两点之间的距离公式即可求得的距离； （2）设运动时间为t秒，可得，，即有，从而解得或，即可得到答案； （3）运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，可以表示出中点M所表示的数为，再结合，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵． ∴，， ∴点A表示的数为8，点B表示的数为， ∴， 故答案为：8，，14； （2）解：设运动时间为t秒，则运动后Q表示的数是，点P表示的数是， ∴，， ∵， ∴， 解得或； 答：点P运动秒或7秒时，； （3）解：运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，则中点M所表示的数为， ∴， ∴当时， ； ∴当时，为定值，该定值为2． 【拓展训练二 一元一次方程实际综合应用】 1．（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件进价为_____元，乙种商品的利润率为_____． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共45件，恰好总进价为2100元，则分别购进甲、乙两种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场针对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动： 一次性购物总金额 优惠措施 不超过450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按售价打9折优惠 超过600元 其中600元部分打8.2折优惠，超过600元的部分打3折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，则小华在该商场购买乙种商品多少件？ 【答案】(1)40；； (2)购进甲商品15件，乙商品30件； (3)小华在该商场购买乙种商品7件或8件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． （1）设甲的进价为x元/件，根据甲的利润率为，求出x的值； （2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，再由总进价是2100元，列出方程求解即可； （3）分两种情况讨论，①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，②打折前购物金额超过600元，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲的进价为x元/件， 则， 解得：， 故甲的进价为40元/件； 乙商品的利润率为． 故答案为：40；； （2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 由题意得，， 解得：， ， 答：购进甲商品15件，乙商品30件； （3）解：由题意，小华打折前应付款超过450元， 设小华打折前应付款为y元， ①打折前购物金额超过450元，但不超过600元， 由题意得， 解得：， （件）， ②打折前购物金额超过600元， ， 解得：， （件）， 综上可得小华在该商场购买乙种商品7件或8件． 2．（25-26七年级上·河南南阳·阶段练习）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将化为分数形式 由于，设① 则② ②－①得，解得，于是得． 同理可得， 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） 【基础训练】 （1）______，______；（注：） （2）将化为分数形式，写出推导过程； 【能力提升】 （3）______；（注： ） 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意的解答过程并转化运用到循环小数的转化过程中是解决本题的关键． （1）根据题干示例进行推导求解即可得解； （2）根据题干示例进行推导求解即可得解． （3）根据题干示例进行推导求解即可得解． 【详解】（1）由于 ， 设① 则② ②－①得， 解得，于是得； 由于 设①， 则②， ②①得，解得， ∴； 故答案为：；； （2） 设① 则② ②－①得，解得， ∴． （3） 设 则①，② ②①得，解得， ∴ 故答案为： 3．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，在长方形中，，点E是边上的一点，分别长，满足．动点P从B点出发，以的速度沿运动，最终到达点D．设运动时间为． (1)___________，__________． (2)把四边形的周长平分，求t的值？ (3)另有一点Q从点E出发，按照的路径运动，且速度为，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．___________时，的面积等于． 【答案】(1)6；6 (2) (3)3或或10 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形的面积和绝对值与偶次方的非负性，解题关键是利用分类讨论的数学思想解决问题． （1）根据偶次方和绝对值的非负性，列出关于a，b的方程，解方程求出a，b即可； （2）先根据已知条件求出，，再根据把四边形的周长平分列出关于t的方程，解方程求出t即可； （3）分三种情况讨论：①点P在上时，②相遇前，点P在上，③相遇后，点P与点D重合，Q都在上，分别画出图形，再根据面积公式进行解答即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，； （2）解：∵，， ∴，， ∵运动时间为， ∴，， ∵把四边形的周长平分， ∴， ， 解得：； （3）解：分三种情况讨论： ①点P在上时，如图所示： ∵的面积， ， 解得：； ②相遇前，点P在上， 由题意得：，， ∴ ， ∴的面积， ， 解得：； ③相遇后，点P与点D重合，P，Q都在上，如图所示： 由题意得：，， ∴， ∴， ∴的面积， ， 解得：， ∴或或10， 故答案为：3或或10． 【拓展训练三 一元一次方程的应用规律问题】 1．（25-26七年级上·江西南昌·课后作业）如图所示，将形状、大小完全相同的“”与线段按照一定规律摆成下列图案，其中第①个图案用了6个“”，第②个图案用了11个“”，第③个图案用了16个“”，第④个图案用了21个“”，…，按此规律排列下去，则第几个图案用的“”个数是51个？ 【答案】第⑩个图案用的“”个数是51个 【分析】 本题考查了数字类规律探索，一元一次方程的应用，由题意可得第个图案用了个“”，再根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】 解：第①个图案用了个“”， 第②个图案用了个“”， 第③个图案用了个“”， 第④个图案用了个“”， …， 第个图案用了个“”， 由题意可得：, 解得：， 故第⑩个图案用的“”个数是51个． 2．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第1幅图有4个圆点，第2幅图有7个圆点，第3幅图有10个圆点，…，按照此规律排列下去． . (1)第5幅图中有______个圆点，第 n幅图中有______个圆点； (2)若第幅图和第n幅图中的圆点个数的和为128个，求n的值． 【答案】(1)16， (2) 【分析】本题考查用代数式表示图形变化的规律，一元一次方程的应用： （1）观察所给图形，找出规律，并用代数式表示； （2）结合（1）中结论列一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 第1幅图中圆点的个数为：； 第2幅图中圆点的个数为：； 第3幅图中圆点的个数为：； …， 所以第n幅图中圆点的个数为个． 当时， 个， 即第5幅图中圆点的个数为16个． 故答案为：16，． （2）解：由题知，， 解得， 所以n的值为 3．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）某长方形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列． 【观察思考】 （1）如图2，当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块；当正方形地砖有⒉块时，等腰直角三角形地砖有__________块（如图3）；以此类推． 【规律总结】 （2）长方形人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加2块；若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为__________；（用含的代数式表示） 【问题解决】 （3）现有2025块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？ 【答案】（1）8；（2）；（3）1010块 【分析】本题为图形规律题，涉及到了一元一次方程、列代数式等，考查了学生的观察、发现、归纳以及应用的能力，解题的关键是发现规律，并能列代数式表示其中的规律等． （1）由图观察即可； （2）由正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，结合每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖，即可得结论； （3）利用上一小题得到的规律建立方程，即可得到等腰直角三角形地砖剩余最少时需要正方形地砖的数量． 【详解】解：（1）当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）； （2）根据题意可得，等腰直角三角形地砖的块数是． （3）由规律知：等腰直角三角形地砖块数是偶数， 用（块）， 再由题意得， 解得， 等腰直角三角形地砖剩余最少1块，则需要正方形地砖1010块． 1．（25-26七年级上·江西南昌·课后作业）小明在一场篮球比赛中得了21分．如果他只投进了2分球和3分球，且投进的2分球比3分球多3个，那么2分球他一共投了（    ） A．2个 B．3个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是表示出分球和分球投进的个数，再根据得分列出方程． 首先设他投进个分球，则他投进个分球，再根据得分为分列出方程即可． 【详解】解：设他投进个分球，则他投进个分球， 由题意得：， 解得：． 故选：C． 2．（2025·甘肃武威·模拟预测）“十一”期间，某商品按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为240元．设该商品的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该商品的成本价为x元，根据题意列出方程即可，掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设该商品的成本价为x元，根据题意得： ， 故选：B． 3．（24-25七年级上·湖北孝感·期中）轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用2小时，若船速为20千米/时，水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米．设A港和B港相距x千米．根据题意，可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设A港和B港相距x千米，根据时间路程速度结合顺流比逆流少用2小时，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设A港和B港相距x千米，则顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时， 根据题意得：．即． 故选：A． 4．（24-25七年级上·四川乐山·期中）如图，是一块在电脑屏幕上出现的长方形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，最小的一个正方形边长为1，则这个长方形色块图的面积为（   ） A．101 B．121 C．143 D．144 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设在长方形色块图中，右下角的小正方形边长为，则长方形色块的长（下边）为，长方形色块的长（上边）为，据此建立方程，解方程可得的值，则可得长方形色块图的长与宽，利用长方形的面积公式计算即可得． 【详解】解：设在长方形色块图中，右下角的小正方形边长为，则长方形色块的长（下边）为，长方形色块的长（上边）为， ∴， 解得， ∴长方形色块的长为， 宽为， ∴这个长方形色块图的面积为， 故选：C． 5．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出5个数，它们的和为55．不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得5个数的和可能是（   ） A．40 B．88 C．107 D．110 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键．设中间一个数为x，则上方两个数为、，下方两个数为、，得出五个数的和为，再结合各选项逐一列方程判断即可． 【详解】解：设中间一个数为x，则上方两个数为、，下方两个数为、， 所以这五个数的和为， 若，解得，此时左上数字为空，不符合题意； 若，解得，不是整数，不符合题意； 若，解得，不是整数，不符合题意； 若，解得，符合题意； 故选：D． 6．（25-26七年级上·江西南昌·课后作业）某人在银行存有一笔钱，已知年利率为，一年到期后所得利息为元，则一年前他在银行存了 元． 【答案】 【分析】本题考查了利率问题，先明确利息的计算公式，再根据已知的利息和年利率通过公式变形求出本金. 【详解】解：设一年前他在银行存了元 ， 解得， 一年前他在银行存了元； 故答案为： ． 7．（25-26七年级上·江西南昌·课后作业）甲、乙、丙三人同做某种零件，已知在相同的时间内，甲、乙、丙三人做的零件个数比为．现在甲、乙、丙三人一起做了51个零件，则丙做了 个零件． 【答案】24 【分析】本题考查了列方程解应用题，设未知数，利用等量关系列方程是解题的关键. 【详解】解：设甲做了个零件，由甲、乙、丙三人做的零件个数比为，则乙做了个零件，丙做了个零件，得： ， 解得：， ， 故答案为： ． 8．（25-26七年级上·江西南昌·课后作业）在去年的“双十一”活动中，中百超市对某种商品作调价，按原售价的八折出售，此时该商品的利润率是12%．若该商品的进价是每件1200元，则该商品的原售价是每件 元． 【答案】1680 【分析】本题需要根据利润率的公式，结合商品的进价、折扣与原售价的关系来建立方程求解原售价． 【详解】解：设该商品的原售价是每件x元 商品按原售价的八折出售，那么售价为元 已知进价是每件1200元，利润率是，根据利润率公式： 利润率=，可列出方程： 化简方程： 两边同时乘以1200： 计算右边： 移项： 计算右边： 两边同时除以0.8：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，掌握根据利润率公式，结合售价、进价的关系建立方程求解商品原售价是解题的关键． 9．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图是用灰白两种颜色的纸片按一定的规律摆成的图案，依此规律继续摆下去，若第n个图案中白色纸片的个数是2023，则n的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律，由题干中所给图案得出第个图案中白色纸片的个数为，令，求解即可，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由图可得， 第1个图案中白色纸片的个数为， 第2个图案中白色纸片的个数为， 第3个图案中白色纸片的个数为， …， 第个图案中白色纸片的个数为， 令， 解得：， 故答案为：． 10．（2025·四川成都·模拟预测）已知滑块沿滑槽从点向点运动，到达点会有一个短暂停留，然后滑块又从点运动到点．已知滑块长度为，某次滑块在滑槽内以的速度由点向点运动；当滑块右端点到达点时停顿，然后再以小于的速度匀速返回．设时间为时，．由点向点运动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数，从点到点与点到点整个过程总用时（含停顿时间）．在整个往返过程中，若，则的值是 ． 【答案】6或20 【分析】设，根据题意得出方程，求出，再求出往返的时间，再分情况讨论，得出相应的一元一次方程，即可解答． 本题考查一元一次方程的应用，分类讨论的思想方法．根据题意得出方程是关键． 【详解】解：设， 则， 则； 则从到需要：， 则从到的速度为：， 当从到时，，则； 当从到时，，则，则总时间为 即或时，． 故答案为：6或20. 11．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）父亲今年岁，儿子今年岁，多少年前父亲的年龄是儿子年龄的倍? 【答案】年前 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．设年前父亲的年龄是儿子年龄的倍，根据年前父亲的年龄是儿子年龄的倍列出方程求解即可． 【详解】设年前父亲的年龄是儿子年龄的倍， 由题意得， 解得， 答：年前父亲的年龄是儿子年龄的倍． 12．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）某校老师带领该班学生去旅游，旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠．旅行社说：包括老师在内按六折优惠．若每张全票价是元，则 (1)学生数多少时，两家旅行社收费一样多？ (2)该校老师今年准备带名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因． 【答案】(1) (2)选旅行社便宜，原因见解析 【分析】本题考查了列方程解决实际问题，通过分析题目可以知道，本题考查的是列方程解决实际问题． （）设当学生有人时，两家旅行社收费一样多，依据旅行社各自 的优惠策略，列出方程即可解出未知数． （）当带名学生时，分别算出两家旅行社的收费，进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设当学生有人时两家旅行社收费一样多，依题意有： 整理方程，得 解得 答：学生人数是人时，收费一样多， （2）旅行社收费：元， 旅行社收费：元， 因为， 所以选旅行社便宜； 原因是学生数超过收费相等的人后，旅行社学生半价的优惠在人数增加时，总费用增长更慢，优惠力度体现更明显． 答：当学生人数是人时，选旅行社划算． 13．（24-25七年级上·陕西汉中·期中）为了提高某品牌家电的销售量，某店从11月份开始对销售员采取新奖励办法．已知该店在新奖励办法出台前一个月售出这种家电的A型和B型共200台，新奖励办法出台后的第一个月售出这两种型号的家电共246台，其中A型和B型家电的销售量分别比新奖励办法出台前一个月增长和． (1)在新奖励办法出台后第一个月里，该店分别销售了A型和B型家电多少台？ (2)若A型家电每台售价为3000元，B型家电每台售价为5000元．新奖励办法是：每销售一台A型家电按每台A型家电售价的给予奖励，每销售一台B型家电按每台B型家电售价的给予奖励．新奖励办法出台后的第二个月，A型家电的销售量比出台后的第一个月增加了，而B型家电受到某问题零件召回的影响，销售量比出台后的第一个月减少了，新奖励办法出台后的第二个月该店共发出奖励金额元，求a的值． 【答案】(1)在新奖励办法出台后第一个月里，该店分别销售了A型和B型家电150台和96台 (2)a的值为6 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题目条件找准等量关系式列出方程是解题的关键． （1）设该店在新奖励办法出台前一个月共售出这种家电的A型有x台，B型有台， 根据题意列出方程计算即可； （2）根据题意得到销售型家电的奖励金额销售型家电的奖励金额，即可得解． 【详解】（1）设该店在新奖励办法出台前一个月共售出这种家电的A型有x台，B型有台， 由题意可得：， 解得：， ，（台）． 答：在新奖励办法出台后第一个月里，该店分别销售了A型和B型家电150台和96台． （2）由题意可得：， 解得：， 故a的值为6． 14．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，株洲市采用分段收费，规定每月每户居民生活用水标准量为，每月生活用水的收费标准（单位：元）及单价说明如表所示： 用水量 单价（元） 费用说明 免收污水处理费 超出的部分 超出的部分加收污水处理费元 某居民某月用水，共缴纳水费23元． (1)求a的值； (2)该居民用户10月份缴纳水费71元，求该用户10月份的用水量． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据水费标准进行计算即可； （2）判断出10月份的用水量超过，根据水费的收费办法列方程求解即可． 本题考查一元一次方程的应用，理解题目中“收费办法”是解决问题的关键． 【详解】（1）由题意得，， 解得， 答：； （2）， 该居民用户10月份的用水量超过， 设该居民用户10月份的用水量为，由题意得， ， 解得， 答：该用户10月份用水． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）【观察思考】如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”， 【规律发现】 （1）第⑥个图案中“●”的个数为 ； （2）第①个图案中“○”的个数可表示为，第②个图案中“○”的个数可表示为，第③个图案中“○”的个数可表示为，第④个图案中“○”的个数可表示为，…，第个图案中“○”的个数可表示为______； 【规律应用】 （3）按照此规律继续摆下去，第个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍，求的值． 【答案】（1）14；（2）；（3）12． 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，图形规律，运用代数式表达式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据图形找出规律为第n个图案中“●”的个数为个，再把代入求解即可； （2）根据题干的列举信息，直接得出结论； （3）根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：（1）由题知，第①个图案中“●”的个数为：； 第②个图案中“●”的个数为：； 第③个图案中“●”的个数为：； .... 所以第n个图案中“●”的个数为个， 当时，， 即第⑥个图案中“●”的个数为14个， 故答案为：14； （2）第①个图案中“○”的个数可表示为， 第②个图案中“○”的个数可表示为， 第③个图案中“○”的个数可表示为， 第④个图案中“○”的个数可表示为， …， ∴第个图案中“○”的个数可表示为， 故答案为：； （3）由题意得，， 解得：或（舍）． 学科网（北京）股份有限公司 $