精品解析：湖北省恩施土家族苗族自治州恩施市多校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025－2026学年九年级上学期期中考试数学试题卷 一．选择题（共10小题，30分） 1. 第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3，4 B. 3， C. 3，2 D. 3， 【答案】B 【解析】 【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可． 【详解】解：， ， 所以二次项系数和一次项系数分别是3，， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 3. 通过平移的图象，可得到的图象，下列平移方法正确的是（　　） A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位 B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位 C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位 D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两条抛物线的顶点坐标，根据向左移动1个单位，向下移动3个单位得到求出抛物线的平移规律即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 抛物线的顶点坐标是． 则由二次函数图象向左移动1个单位，向下移动3个单位，可得到的图象． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，解本题的关键是掌握平移规律，根据顶点式得到新抛物线的顶点坐标． 4. 如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若可以由旋转得到，则正确的旋转方式是（ ） A. 绕点D逆时针旋转 B. 绕点O顺时针旋转 C. 绕点O逆时针旋转 D. 绕点B逆时针旋转 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形旋转的性质（旋转中心、旋转方向、旋转角度的判断），解题的关键是确定旋转中心，分析对应点绕旋转中心的旋转方向与角度． 观察与的对应点，确定旋转中心为；分析到、到的旋转方向和角度，可知绕点逆时针旋转到绕点逆时针旋转到，从而确定旋转方式． 【详解】解：观察图形，由旋转得到，对应点，，旋转中心为； 绕点逆时针旋转到绕点逆时针旋转到， 故旋转方式是绕点逆时针旋转． 故选：C． 5. 若，是关于x的方程的两个根，且，则b的值为（　　） A. 2 B. C. 2或 D. 6或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，由题意得到，，再由得到，再得到方程，解得b，分别代入进行检验即可得到答案． 【详解】解：∵，是关于x的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或， 当时，，满足题意， 当时，，不满足题意， ∴， 故选：A． 6. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意为：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”．设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理，列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：， 即． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程、数学常识以及勾股定理的应用，找准等量关系是解题的关键． 7. 某茶杯的过最低点 的竖直截面如图所示，其中杯体竖直截面 呈抛物线形状杯体厚度忽略不计，点，点位于杯口处，且，点 是抛物线最低点， 当茶杯装满茶水时，茶水的最大深度点到的距离为，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度恰好为点到的距离，求此时的长度 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用；建立直角坐标系，设截面抛物线为，则把代入求出解析式，然后将代入求出液面的宽即可． 【详解】解：依题意，建立如图所示的直角坐标系，设截面抛物线． 将代入，得．解得． ∴． 将代入， 得． 解得． ∴，， ∴． 故选：A． 8. 某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A. y＝（x﹣40）（500﹣10x） B. y＝（x﹣40）（10x﹣500） C. y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）] D. y＝（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）] 【答案】C 【解析】 【分析】设销售单价定为每千克x元,获得利润为y元,则可以根据成本,求出每千克的利润.以及按照销售价每涨1元,月销售量就减少10千克,可求出销量.从而得到总利润关系式. 【详解】解：设销售单价为每千克x元，此时的销售数量为，每千克赚的钱为 则. 故选C. 【点睛】此题主要考查了二次函数在实际问题中的运用,根据利润=(售价-进价)销量,列出函数解析式,求最值是解题关键. 9. 如图，在中，，，于．绕点逆时针旋转得到，点C的对应点落在上，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，如图，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出，再根据旋转的性质得到，，则可判断为等边三角形，所以，然后计算即可． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 即垂直平分， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在上，， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故选：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 10. 已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与轴的交点和二次函数的性质，即可解答． 【详解】解：， ， 点，都在直线的上方，且， 可列不等式：， ， 可得， 设抛物线，直线， 可看作抛物线在直线下方的取值范围， 当时，可得， 解得， ， 的开口向上， 的解为， 根据题意还可列不等式：， ， 可得， 整理得， 设抛物线，直线， 可看作抛物线在直线下方的取值范围， 当时，可得， 解得， ， 抛物线开口向下， 的解为或， 综上所述，可得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确列出不等式是解题的关键． 二．填空题（共6小题，18分） 11. 点关于原点的对称点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案． 【详解】点关于原点对称的点的坐标是 故答案为： 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）． 12. 已知抛物线上有三点，则的大小关系为__________．（用“<”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的增减性是解题的关键． 根据二次函数解析式可得，函数图象开口向下，顶点坐标为，即对称轴为，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，再根据三点坐标即可求解． 【详解】解：抛物线， ∴， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为， ∴时的函数值与的函数值相等， ∵当时，随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式．熟练掌握一元二次方程的定义，有实数根，则是解题的关键． 根据，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，，， ∴k的取值范围是且， 故答案为：且． 14. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．小球运动中的高度可以是时，所需时间为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意，将高度代入关系式，建立关于t的方程，求解即可得到所需时间． 【详解】由题意，令，得方程， 整理得：， 两边同时除以，得：， 因式分解得：， 解得或， 经检验，和均满足，故符合题意， 故答案为：或． 15. 如图，正方形边长为6，为正方形对角线的中点，点在边上，且，点是边上的动点，连接，点为的中点，连接，当时，线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的性质与判定．连接，根据已知得出四点共圆，则是直径，进而证明是等腰直角三角形，，得出，则，勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点为的中点， ∴， 当时， ∴四点共圆， ∵， ∴是直径， ∴， ∵为正方形对角线的中点， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 16. 抛物线常数，经过两点，且． 下列五个结论： ①； ②； ③若抛物线经过点，则； ④若关于的不等式的解集为，则； ⑤点在抛物线上，若，总有，则． 其中正确的结论是______（填写序号）． 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性，增减性，对称轴的两种表示方法，抛物线与不等式，解答即可. 【详解】解：∵抛物线是常数，经过两点，且． ∴，，， ∴， ∴； 故①正确； ∵抛物线是常数，经过两点，且． ∴是方程的两个不相等的实数根， ∴； 故②错误； ∵抛物线经过点， ∴， ∵， 解得， ∵， ∴， ∴； ∴； 解得， 故③正确； ∵关于的不等式的解集为， ∴, ∴的两个根为,， ∵关于的不等式的解集为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴, 故④错误； ∵点在抛物线上，抛物线的对称轴为，，总有， ∴，且， 解得， ∵ ∴． 故⑤ 正确， 故答案为：①③⑤． 【点睛】本题考查了抛物线的对称性，抛物线与不等式，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键. 三．解答题（共8小题，72分） 17. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，具体是求根公式法的运用．熟练掌握一元二次方程求根公式以及判别式与根的关系是解题的关键，要先根据方程确定系数、、的值，再计算判别式，最后代入求根公式求解．对于一元二次方程，可使用一元二次方程的求根公式来求解，其中、、是一元二次方程（）的系数，先计算出判别式的值，再代入求根公式得出方程的解． 【详解】解：方程中，，，． ， ， ∴，． 18. 如图，在等边中过顶点作，为上任意一点，连，将绕点逆时针旋转，点对应点为点． （1）求证：； （2）连接，请添加一个与线段相关的条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由） 【答案】（1）证明过程见详解 （2）添加条件：（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形，旋转的性质得到，运用边角边即可求证； （2）添加条件：，根据菱形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵将绕点逆时针旋转， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示， 添加条件：， 由（1）的证明可得，， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴添加条件：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，掌握等边三角形的性质，全等的三角形的判定和性质，菱形的判定方法是解题的关键． 19. 已知二次函数的图象如图所示． （1）该抛物线的顶点坐标是________； （2）当x________时，y的值随x值的增大而减小； （3）当时，y的取值范围是________； （4）若将该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点，则平移后的函数解析式是________． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据的顶点坐标为，进行作答即可； （2）根据函数的开口方向和对称轴进行作答即可； （3）先得二次函数的开口方向向下，最大值为5，分别算出当时和时所对应的函数值，然后进行比较，即可作答． （4）依题意，将该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点，故平移后的二次函数的顶点的纵坐标为，即可作答． 【小问1详解】 解：∵二次函数的顶点坐标是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵二次函数中的 ∴二次函数的开口方向向下，对称轴为直线， 当时，y的值随x值的增大而减小， 故答案为：； 【小问3详解】 解：与（2）同理得二次函数的开口方向向下，最大值为5， 把代入， 得， 把代入， 得， 当时，y的取值范围是， 故答案为：． 【小问4详解】 解：∵将该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点， ∴平移后的二次函数的顶点的纵坐标为， 即平移后的函数解析式是， 故答案为：． 20. 某体育场准备利用一堵呈“L”形的围墙（粗线表示墙，墙足够高）改建室外篮球场，如图所示，已知，米，米，现计划用总长为136米的围网围建呈“日”字形的两个篮球场，并在每个篮球场开一个宽3米的门（细线表示围网，两个篮球场之间用围网隔开），为了充分利用墙体，点F必须在线段上，设的长为x米． （1）_______米；（用含x的代数式表示） （2）若围成的篮球场的面积为1200平方米，求的长；（围网及墙体所占面积忽略不计） 【答案】（1） （2）40米 【解析】 【分析】题目主要考查列代数式及一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． （1）根据各边之间的关系，即可用含x的代数式表示出的长； （2）根据围成的篮球场的面积为1200平方米，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：∵的长为x米， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意可得，， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，故舍去， 答：篮球场的宽的长为40米． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务，每个任务的画线不得超过四条． （1）在图1中，将线段绕点顺时针旋转，画对应线段，再在线段上画点，使得； （2）在图2中，若是线段上一点，画出点关于直线的对称点，再画点，使得四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）取格点，连接即可；取格点M、N，连接交于P，取格点G，连接交网格线于Q，连接交于即可； （2）取格点E，连接交于Q，取格点O，作射线交于M，连接交网格线于F，作射线交网格线于N，则四边形即为所求． 【小问1详解】 解：如图1，线段、点F即为所求， 理由：根据网格特点知：，，， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴即为所求； 同理可证：，， ∴， 根据网格特点知：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理可证， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴点即为所求； 【小问2详解】 解：如图2，四边形即为所求， 根据网格特点知：四边形是正方形， ∴，， 又，， ∴， ∴，， 又，， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴点、点关于直线对称， 由网格特点知：，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了格点作图，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，轴对称与旋转等知识，熟练掌握格点作图的技巧和方法是解题的关键． 22. 2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳板距离水面的高为3米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）当时，求这条抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离； （3）图中米，米，若跳水运动员在区域内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围． 【答案】（1） （2）米 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，结合，设解析式为，确定a的值即可； （2）根据解析式，得到，求出于x轴的正半轴的交点坐标的横坐标即可解答即可； （3）根据题意，得，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，得到，抛物线变形为，计算米，米，解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 又，设解析式为， 故， 解得， 故抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：根据解析式，得到， 故， 解得，（舍去）， 答：运动员落水点与点C的距离米． 【小问3详解】 解：根据题意，得，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为， 把代入，得到， 抛物线变形为， 当时，， 解得； 当时，， 解得． 故k的范围是． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线与一元二次方程，抛物线与不等式，抛物线的生活应用，熟练掌握应用是解题的关键． 23. 如图1所示，在中，，平分交于点D，点P是上任意一点（P不与C，D重合），连接、，将线段绕点P顺时针旋转（即），使点A的对应点Q恰好落在射线上． （1）求证：； （2）点P在线段上运动的过程中，α的值是否会改变？若改变，请求出α的取值范围，若不变，请用含α的式子表示； （3）当时，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1）见解析 （2）不改变， （3） 【解析】 【分析】（1）在中，根据等腰三角形的性质得出，再根据线段垂直平分线的性质得出，由旋转可知：，即可证明． （2）过点作于点于点，根据角平分线的性质得出，证明，得出，即可得到，，在中，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出． （3）由（2）可得，当时，得出，，根据直角三角形的性质和勾股定理得出，在中，根据勾股定理得出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，平分， ， ∴是线段的垂直平分线， ， 由旋转可知：， ． 【小问2详解】 解：不改变，，理由如下： 过点作于点于点， 平分， ， ， ， ， ， ， 在四边形中，， ，即， 在中，， ， ， ． 【小问3详解】 解：由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 整理得：． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理，直角三角形的性质，旋转的性质等知识点，解题的关键是正确做出辅助线，掌握以上知识点． 24. 如图1，抛物线C：交x轴于A，B两点，交y轴于C点，且． （1）直接写出抛物线C的解析式； （2）D在第二、四象限的抛物线C上，在抛物线C的对称轴上是否存在点E，使以A，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，将抛物线C向右平移1个单位长度，得到抛物线，直线．交抛物线于M，N两点，直线与抛物线都只有唯一公共点，直线分别交x轴于S，T两点，若的面积为，求k的值． 【答案】（1） （2）存在，或 （3）2 【解析】 【分析】（1）由根与系数的关系可得，再由，分别求出，将点代入，即可函数的解析式： （2）设，根据平行四边形的对角线性质，分两种情况讨论即可求解： （3）先求平移后的抛物线，设，当时，，，设直线的解析式为，当时，根据直线与抛物线只有唯一公共点，可推导出，则直线的解析式为，求出点的坐标为，同理，直线的解析式为，点的坐标为，当时，结合，可得，再由的面积，求出的值为2． 【小问1详解】 解：当时，， ， ， ， ， ， 将点代入， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 存在，理由如下： ， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 当是对角线时，， ， 解得， ； ②当是对角线时，， ， 解得， ； 综上所述，点的坐标为或； 【小问3详解】 将抛物线向右平移1个单位长度，可以得到抛物线， 设， 当时，， ， 设直线的解析式为， 当时，， ∵直线与抛物线只有唯一公共点， ∴方程的解为， ， ， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为， 同理，直线的解析式为，点的坐标为， 当时， 解得， 代入得， ∵， ， 的面积， 解得或(舍)， ∴的值为2． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，待定系数法求函数的解析式，根与系数的关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年九年级上学期期中考试数学试题卷 一．选择题（共10小题，30分） 1. 第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ） A 3，4 B. 3， C. 3，2 D. 3， 3. 通过平移的图象，可得到的图象，下列平移方法正确的是（　　） A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位 B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位 C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位 D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位 4. 如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若可以由旋转得到，则正确的旋转方式是（ ） A. 绕点D逆时针旋转 B. 绕点O顺时针旋转 C. 绕点O逆时针旋转 D. 绕点B逆时针旋转 5. 若，是关于x的方程的两个根，且，则b的值为（　　） A. 2 B. C. 2或 D. 6或 6. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意为：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”．设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C D. 7. 某茶杯的过最低点 的竖直截面如图所示，其中杯体竖直截面 呈抛物线形状杯体厚度忽略不计，点，点位于杯口处，且，点 是抛物线最低点， 当茶杯装满茶水时，茶水的最大深度点到的距离为，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度恰好为点到的距离，求此时的长度 （ ） A. B. C. D. 8. 某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A. y＝（x﹣40）（500﹣10x） B. y＝（x﹣40）（10x﹣500） C. y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）] D. y＝（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）] 9. 如图，在中，，，于．绕点逆时针旋转得到，点C的对应点落在上，则的度数是（　　） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，18分） 11. 点关于原点的对称点的坐标为________． 12. 已知抛物线上有三点，则大小关系为__________．（用“<”连接） 13. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围_______． 14. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．小球运动中的高度可以是时，所需时间为_____． 15. 如图，正方形的边长为6，为正方形对角线的中点，点在边上，且，点是边上的动点，连接，点为的中点，连接，当时，线段的长为______． 16. 抛物线是常数，经过两点，且． 下列五个结论： ①； ②； ③若抛物线经过点，则； ④若关于的不等式的解集为，则； ⑤点在抛物线上，若，总有，则． 其中正确的结论是______（填写序号）． 三．解答题（共8小题，72分） 17. 解方程：． 18. 如图，在等边中过顶点作，为上任意一点，连，将绕点逆时针旋转，点对应点为点． （1）求证：； （2）连接，请添加一个与线段相关的条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由） 19. 已知二次函数的图象如图所示． （1）该抛物线的顶点坐标是________； （2）当x________时，y的值随x值的增大而减小； （3）当时，y的取值范围是________； （4）若将该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点，则平移后的函数解析式是________． 20. 某体育场准备利用一堵呈“L”形围墙（粗线表示墙，墙足够高）改建室外篮球场，如图所示，已知，米，米，现计划用总长为136米的围网围建呈“日”字形的两个篮球场，并在每个篮球场开一个宽3米的门（细线表示围网，两个篮球场之间用围网隔开），为了充分利用墙体，点F必须在线段上，设的长为x米． （1）_______米；（用含x的代数式表示） （2）若围成的篮球场的面积为1200平方米，求的长；（围网及墙体所占面积忽略不计） 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务，每个任务的画线不得超过四条． （1）在图1中，将线段绕点顺时针旋转，画对应线段，再在线段上画点，使得； （2）在图2中，若是线段上一点，画出点关于直线的对称点，再画点，使得四边形是平行四边形． 22. 2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳板距离水面的高为3米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）当时，求这条抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离； （3）图中米，米，若跳水运动员在区域内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围． 23. 如图1所示，在中，，平分交于点D，点P是上任意一点（P不与C，D重合），连接、，将线段绕点P顺时针旋转（即），使点A的对应点Q恰好落在射线上． （1）求证：； （2）点P在线段上运动的过程中，α的值是否会改变？若改变，请求出α的取值范围，若不变，请用含α的式子表示； （3）当时，直接写出，，之间的数量关系． 24. 如图1，抛物线C：交x轴于A，B两点，交y轴于C点，且． （1）直接写出抛物线C的解析式； （2）D在第二、四象限抛物线C上，在抛物线C的对称轴上是否存在点E，使以A，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，将抛物线C向右平移1个单位长度，得到抛物线，直线．交抛物线于M，N两点，直线与抛物线都只有唯一公共点，直线分别交x轴于S，T两点，若的面积为，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $