精品解析：四川省荣县中学校2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试题

荣中高23级数学第二次月考 学校：_____姓名：_____班级：_____考号：_____ 一、单选题（共40分） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集可得，进而可求交集. 【详解】因为全集，，可得， 且集合，所以. 故选：A. 2. 在复平面内，复数对应点的坐标是，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算. 【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，， 由共轭复数的定义可知，. 故选：D 3. 已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆台的侧面积公式可得答案. 【详解】圆台的侧面积为. 故选：B． 4. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A. 120种 B. 90种 C. 60种 D. 30种 【答案】C 【解析】 【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. 【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有； 然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有； 最后剩下的名同学去丙场馆. 故不同的安排方法共有种. 故选：C 【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题. 5. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 7. 已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦函数图象和性质结合零点个数可得，解不等式即可得出答案. 【详解】， 令，因为，所以， 令可得，， 因为在上有且仅有2个零点，所以， 解得． 故选：C． 8. 已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数可得函数在,上的单调性及极值，作出函数的图象，由图象可得，再由对数函数的性质可得，结合，，是方程的三个根，可得，即可求得答案． 【详解】因为当时，， 所以， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，所以， 当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 作出函数的图象，如图所示： 由此可得， 当时，令，解得或， 所以， 又因为， 所以， 所以； 由题意可得，，是方程，即的三个根， 所以， 即， 所以， 即， 所以． 故选：． 【点睛】关键点点睛：关键点是画出图象，根据根的个数确定解的范围，再结合对数运算性质和对数函数，得到，即可解题. 二、多选题（共18分） 9. 如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列说法中正确的是（ ） A. 水的部分始终呈棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状 B. 水面四边形的面积不改变 C. 棱始终与平行 D. 当时，是定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】从棱柱的特征平面可判断A；由水面四边形的面积是改变的可判断B；由可判断C；由体积是定值，高为定值，则底面积为定值，可判断D. 【详解】将BC固定时，在倾斜的过程中，随着倾斜度的不同，平面始终与地面平行， 根据面面平行性质定理，始终有，且平面平面DHGC， 故水的形状成棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状，故A正确； 水面四边形是矩形，随着倾斜度的不同，EF是变化的，而EH不变，所以面积是改变的，故B错误； 由，故C正确； 由于水的体积是定值，即四棱柱体积不变， 由高不变，所以底面梯形面积不变，即为定值， 即当时，是定值，故D正确. 故选：ACD. 10. 某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有4位男生，6位女生进入决赛．现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用独立事件乘法公式及和条件概率公式，以及概率的加法公式求解即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，，故B正确； 对于C，事件B可分为两种情况：第一位出场的是男生且第二位出场的是女生；第一位出场的是女生且第二位出场的是女生， ，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】方法一：转化题设条件为函数对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC. 故选：BC. [方法三]： 因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导， 所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. 【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法； 方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解． 三、填空题（共15分） 12. 在的展开式中，常数项为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开通项公式即可得解. 【详解】的展开式的通项， 令，解得，故常数项为. 故答案为：. 13. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】由图象可得振幅和周期，从而可得，再利用最高点的坐标可求，得解. 【详解】根据函数的部分图象知，，，所以， 由，得，，解得，； 又，所以，所以． 故答案：. 14. 过点有且只有一条直线与曲线相切，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设切点，即可求解切线方程， 将代入切线方程中得，构造，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【详解】由得， 设直线与曲线的切点为，则切线方程为， 将代入切线方程中得. 令，则，令，解得， 所以在和单调递减，在单调递增， 且当时，，当时，，而，， 要使只有一个实数根，则. 故答案为： 四、解答题（15题13分，16、17题15分，18、19题17分） 15. 记的三个内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，且的外接圆半径为，求的面积. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合正弦的和角公式计算即可； （2）利用正弦定理求出，结合余弦定理求出，利用三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 又，则， 所以， 即， 化简得，又，， 所以，又， 所以. 【小问2详解】 设外接圆的半径为，则，所以， 由余弦定理得，结合， ，即，解得，则， 所以. 16. 已知数列中，，. （1）证明：数列是等差数列； （2）给定正整数m，设函数，求． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论； （2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论. 【小问1详解】 由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. 【小问2详解】 由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 17. 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2． (1)求证：A1C⊥平面BCDE； (2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小； (3)线段BC上否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由． 【答案】（1）略 （2） (3)见解析 【考点定位】此题第二问是对基本功的考查，对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解答． 第三问的创新式问法，难度非常大 【解析】 【详解】试题分析：（1）证明A1C⊥平面BCDE，因为A1C⊥CD，只需证明A1C⊥DE，即证明DE⊥平面A1CD； （2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A1BE法向量，=（﹣1，0，），利用向量的夹角公式，即可求得CM与平面A1BE所成角的大小； （3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]，求出平面A1DP法向量为 假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，可求得0≤a≤3，从而可得结论． （1）证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D， ∴DE⊥平面A1CD， 又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE 又A1C⊥CD，CD∩DE=D ∴A1C⊥平面BCDE （2）解：如图建系，则C（0，0，0），D（﹣2，0，0），A1（0，0，2），B（0，3，0），E（﹣2，2，0） ∴， 设平面A1BE法向量为 则∴∴ ∴ 又∵M（﹣1，0，），∴=（﹣1，0，） ∴ ∴CM与平面A1BE所成角的大小45° （3）解：设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3] ∴， 设平面A1DP法向量为 则∴ ∴ 假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则， ∴3a+12+3a=0，6a=﹣12，a=﹣2 ∵0≤a≤3 ∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直 考点：向量语言表述面面的垂直、平行关系；直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角． 18. 已知函数，， （1）讨论函数的单调性： （2）若不等式在上恒成立，求实数的所有取值构成的集合； （3）当时，定义数列满足：，，，证明：，. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况，利用导数判断函数的单调性； （2）根据题意可知，根据端点效应可得，并把代入检验即可； （3）根据的单调性和符合分析可得，设，分析可知原题意等价于，构造，，利用导数证明即可. 【小问1详解】 由题意可知：的定义域为，且， ①当，，可知在上单调递增； ②当，令，解得， 当，，可知在上单调递增; 当，，可知在上单调递减. 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 因为不等式在上恒成立，且， 则，解得， 若，由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 则，符合题意； 综上所述：实数的所有取值构成的集合为. 【小问3详解】 当时，由（1）可知在上单调递增， 且，则等价于；等价于； 因为，且， 则，可得， 且，所以， 以此类推可得：，. 设，则， 要证，即为， 等价于，两边乘以， 整理为， 令，， 则，， 令，， 可知在上单调递增，则，即， 可知在上单调递增，可得， 即，所以，. 19. 现有一款益智棋类游戏，棋盘由全等的正三角形组成（如图所示），假设棋盘足够大.一颗质地均匀的正方体骰子，六个面分别以标号.在棋盘上，以为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为.棋子初始位置为坐标原点，投掷骰子次，用表示第次投掷后棋子的位置（为坐标原点），规定：其中向量为前次投掷过程中，掷得偶数的总次数. （1）求点所有可能的坐标； （2）求投掷骰子8次后棋子在原点的概率； （3）投掷骰子80次，记棋子在原点且投掷过程中掷得奇数的次数恰为的概率为，求的表达式，并指出当为何值时，取得最大值. 【答案】（1）； （2）； （3），时，取得最大值. 【解析】 【分析】（1）根据即可求所有可能的坐标； （2）令向量，则当时，；当时，；当时，其中，且.要保证为原点，则在8次投掷过程中，掷得奇数的次数应为，用列举法即可求解 （3）当不是3的倍数时，显然有.当是3的倍数时，不妨设，则掷得偶数的次数为次.记进行加向量为操作，加向量为操作，加向量为操作，不做任何操作记为操作.定义操作小结：，其中可以为0，则其中，根据隔板法即可求解. 【小问1详解】 由题意，点可能的坐标为. 【小问2详解】 令向量， 则当时，；当时，； 当时，其中，且. 要保证为原点，则在8次投掷过程中，掷得奇数的次数应为. ①若，即8次投掷全部为偶数，共1种情况：偶偶偶偶偶偶偶偶； ②若，即8次投掷过程中有5次偶数，3次奇数，则共8种情况： 奇偶奇偶奇偶偶偶，奇偶奇偶偶偶偶奇，奇偶偶奇偶偶奇偶，奇偶偶偶偶奇偶奇， 偶奇偶奇偶奇偶偶，偶奇偶偶奇偶偶奇，偶偶奇偶奇偶奇偶，偶偶偶奇偶奇偶奇； ③若，即6次奇数，仅有1种情况：奇奇偶奇奇偶奇奇. 故为坐标原点的概率. 【小问3详解】 当不是3的倍数时，显然有. 以下讨论当是3的倍数的情况.不妨设，则掷得偶数的次数为次. 记进行加向量为操作，加向量为操作，加向量为操作，不做任何操作记为操作. 定义操作小结：，其中可以为0. 在80次投掷产生的操作过程，可分为若干操作小结.注意到1个操作小节中有2次操作，每两个操作小节也由操作连接，所以共有个操作小节，如下图所示： 所以有其中. 由隔板法可知，上述不定方程共有组解，而每一组解对应着一种满足题意的投掷，于是有 .综上，有 因此，当，即时，取得最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荣中高23级数学第二次月考 学校：_____姓名：_____班级：_____考号：_____ 一、单选题（共40分） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A. 120种 B. 90种 C 60种 D. 30种 5. 已知向量，若，则（ ） A B. C. 1 D. 2 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列说法中正确的是（ ） A. 水的部分始终呈棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状 B. 水面四边形的面积不改变 C. 棱始终与平行 D. 当时，是定值 10. 某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有4位男生，6位女生进入决赛．现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（共15分） 12. 在的展开式中，常数项为__________. 13. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为________． 14. 过点有且只有一条直线与曲线相切，则实数的取值范围是__________. 四、解答题（15题13分，16、17题15分，18、19题17分） 15. 记的三个内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，且的外接圆半径为，求的面积. 16. 已知数列中，，. （1）证明：数列等差数列； （2）给定正整数m，设函数，求． 17. 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2． (1)求证：A1C⊥平面BCDE； (2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小； (3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由． 18 已知函数，， （1）讨论函数的单调性： （2）若不等式在上恒成立，求实数的所有取值构成的集合； （3）当时，定义数列满足：，，，证明：，. 19. 现有一款益智棋类游戏，棋盘由全等的正三角形组成（如图所示），假设棋盘足够大.一颗质地均匀的正方体骰子，六个面分别以标号.在棋盘上，以为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为.棋子初始位置为坐标原点，投掷骰子次，用表示第次投掷后棋子的位置（为坐标原点），规定：其中向量为前次投掷过程中，掷得偶数的总次数. （1）求点所有可能坐标； （2）求投掷骰子8次后棋子在原点的概率； （3）投掷骰子80次，记棋子在原点且投掷过程中掷得奇数的次数恰为的概率为，求的表达式，并指出当为何值时，取得最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $