精品解析：福建省福州市四校联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题

福州四校联盟2025-2026年第一学期期中联考 高二数学试卷 （完卷时间：120分钟 总分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 3. 设，，向量，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 圆锥的底面半径为，高为，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点，则异面直线与CD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，为圆上两点，，点为线段的中点，点为直线上的动点，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点在圆的外部 C. 圆与圆外切 D. 当直线平分圆的周长时， 11. 在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，动点在正方体表面运动，则（ ） A. PN与为异面直线 B. 与MN所成的角为 C. 平面PMN截该正方体所得截面形状为等腰梯形 D. ，则点轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点和直线，则点P到l的距离为______. 13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影是____________.（用坐标表示） 14. 设点，点和分别为直线和轴上的两动点，则的周长的最小值为__． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平行四边形中，． （1）求直线的方程； （2）求四边形的面积． 16. 在平行六面体中，，，令，，，以，，为基底， 解决下列问题： （1）求证：直线平面； （2）求直线和夹角的余弦值. 17. 已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程： （2）已知直线过点且直线截圆所得的弦长为2，求直线的方程. 18. 在四棱锥中，已知，是等边三角形，点在棱上. （1）当时，求证：平面； （2）求点到底面的距离； （3）当时，求平面与平面所成角的余弦值. 19. 设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州四校联盟2025-2026年第一学期期中联考 高二数学试卷 （完卷时间：120分钟 总分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将直线方程一般式化成斜截式方程，根据直线斜率与直线倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】，所以该直线的斜率为， 因此该直线的倾斜角为， 故选：D 2. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心距与半径和差的关系判断两圆的位置关系. 【详解】对于圆，圆心为，半径； 对于圆，圆心为，半径. 两圆圆心距，又， 所以，所以两圆外切. 故选：B 3. 设，，向量，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算来表示向量垂直与共线，即可求解参数，再用空间向量的坐标运算去求模即可. 【详解】设、，向量，且， ，解得， 又因为，所以，解得， 所以， 故选：． 4. 过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过直线方程联立求出交点坐标，再根据平行待定系数设直线方程，最后代入点坐标求解. 【详解】由，得，∴交点坐标为． 设与直线平行的直线方程为， 把点的坐标代入，得，解得， ∴所求直线方程为， 故选：A. 5. 若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共面的条件对选项逐一分析即可. 【详解】构成空间的一组基底，则不共线， 假设共面，则存在不全为零的实数，使，即， 则，则，与不共线矛盾，故不共面； ，故共面； ，故共面； ，故共面. 故选：. 6. 已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系即可求出. 【详解】因，，，则斜率，， 如图所示， 直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点， 从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷，所以此时； 从转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大， 所以此时， 综上可得直线的斜率的取值范围为. 故选：A. 7. 圆锥的底面半径为，高为，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点，则异面直线与CD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得正确答案. 【详解】设是圆锥底面圆心，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ， ，设直线与所成角为， 则. 故选：B. 8. 已知点，为圆上两点，，点为线段的中点，点为直线上的动点，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据垂径定理得出，即可得出点的轨迹为圆，则问题转化为求圆上的动点到定直线的距离的最小值. 【详解】圆的圆心坐标为，半径， 因为点为线段的中点，， 则， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 点在直线上， 可得圆心到直线的距离， 所以的最小值为. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量的性质，以及直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系判定. 【详解】对于A：直线的方向向量，说明两条不重合的直线的“方向”相同或相反，因此可以推出； 反之，若，它们的方向向量也必然平行，因此，所以A正确； 对于B：平面的法向量垂直于平面内的所有直线，若，说明直线的方向向量与 平面的法向量垂直，此时平行于平面或在平面内，而非“”，所以B错误； 对于C：平面的法向量，说明两个不重合的平面垂直于平面的方向相同或相反， 因此可以推出；反之，若，它们的法向量也必然平行，因此，所以C正确； 对于D：若，说明直线的方向向量与平面的法向量垂直，此时平行于平面或在平面内， 不能直接推出“”因为可能在平面内，所以D错误. 故选：AC. 10. 已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点在圆的外部 C. 圆与圆外切 D. 当直线平分圆的周长时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】由已知圆半径确定参数，即可判断A；由点与圆心的距离与半径的关系判断B；由圆心距与两圆半径和差关系判断C；由直线过圆心求参数判断D. 【详解】根据题意得，解得，A正确． 由选项A可知，圆，圆心为，半径为2．因为，所以点在圆的外部，B正确． 圆的圆心为，半径为8，因为， 所以圆与圆外切，C正确． 若直线平分圆的周长，则直线过圆心，则，解得，D错误． 故选：ABC． 11. 在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，动点在正方体表面运动，则（ ） A. PN与为异面直线 B. 与MN所成的角为 C. 平面PMN截该正方体所得截面形状为等腰梯形 D. ，则点轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据异面直线定义可判断A正确，作与平行的直线，作出异面直线的平面角并由勾股定理可判断B正确，作出截面形状可知平面截该正方体所得截面形状为正六边形，可得C错误，利用向量共线定理可找出点轨迹为线段，求出其长度可得结果，即D正确. 【详解】对于A，由异面直线定义可知与不同在任何一个平面内，它们是异面直线，即A正确； 对于B，取中点为，连，，如下图所示：由正方体性质可知，又， 所以， 因此与所成的角即为与所成的角，即或其补角， 易知，，，满足，即， 所以，因此与所成的角为，即B正确； 对于C，分别取，的中点为，，连接各中点，如上图所示： 易知，，， 即可知，，，，，在同一平面内， 所以平面截该正方体所得截面即为六边形， 又，所以截面形状为正六边形，即C错误； 对于D，因为为的中点，所以， 由可知， 即，因此可知，共线， 所以点轨迹为过点且与平行的线段， 取的中点为，连接，取的中点， 连接，如下图所示： 由正方体性质易知，，又为的中位线， 所以，； 因此点轨迹即为线段，且， 所以点轨迹长度为，可得正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点和直线，则点P到l的距离为______. 【答案】3 【解析】 【分析】代入点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】易知点P到l的距离为. 故答案为：3 13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影是____________.（用坐标表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义，结合向量坐标运算求解作答. 【详解】空间向量，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量是， 所以向量在向量上的投影向量的坐标是. 故答案为：. 14. 设点，点和分别为直线和轴上的两动点，则的周长的最小值为__． 【答案】 【解析】 【分析】由题可求点关于轴的对称点，关于的对称点，然后利用数形结合即得. 【详解】因为点，则关于轴的对称点为， 设关于的对称点为， 则，解得，即， 所以，， 所以的周长为， 则当共线时，的周长的值最小， 此时三角形周长为. 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平行四边形中，． （1）求直线的方程； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形对边平行，得，再用点斜式即可求直线的方程. （2）先求出直线的方程，再用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，然后用两点间距离公式求出的长度，最后根据平行四边形面积公式求四边形的面积. 【小问1详解】 根据已知作图如下，得，则， 所以直线的方程为，化简得. 【小问2详解】 由（1）得，则， 所以点到直线的距离为， 又， 所以，即四边形的面积为. 16. 在平行六面体中，，，令，，，以，，为基底， 解决下列问题： （1）求证：直线平面； （2）求直线和夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积可证，，再根据线面垂直的判定定理可得线面垂直. （2）利用平面向量的数量积求两条直线夹角的余弦. 【小问1详解】 由题意，. 又，，. 所以， 所以，， 又，平面，， 所以直线平面. 【小问2详解】 因为， 且， 所以；，所以； 且 ， . 所以. 所以直线和夹角的余弦值为. 17. 已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程： （2）已知直线过点且直线截圆所得的弦长为2，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求线段垂直平分线的方程，与直线联立，得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的标准方程. （2）分所求直线的斜率存在和不存在，利用弦长和点到直线的距离公式求直线方程. 【小问1详解】 的中点为 的垂直平分线方程为，即， 将联立可得，即圆的圆心坐标为. 圆的半径为， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，故. 若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为3，符合题意. 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即， 所以，解得，则直线的方程为. 故直线的方程为或. 18. 在四棱锥中，已知，是等边三角形，点在棱上. （1）当时，求证：平面； （2）求点到底面的距离； （3）当时，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接AC与BD交于点E，连接ME，证明即可. （2）取的中点，连接，可证底面，计算求得长即可； （3）以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据已知求得，进而得出的坐标，求平面与平面的法向量，用空间向量公式即可求解. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 因为，，所以，所以． 因为，所以， 所以，则在中，， 又因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 取的中点，连接，因为是等边三角形，所以， 因为，所以面，且面， 所以面底面，侧面底面， 所以底面，则点到底面的距离为， ，则，. 所以到底面的距离为. 【小问3详解】 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ，所以， 所以，所以， 则，则. 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为，. 19. 设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）圆过三个点，求出线段、线段的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程； （2）设，根据，得到，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该可知圆与圆相交，由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解得即可； （3）设直线的方程为，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，由斜率公式求出，即可得解. 【小问1详解】 由题意可得，圆心Q为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点， ，直线的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组，解得，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即两圆相交. 又， 则，解得. 【小问3详解】 设直线的方程为， 由得，， 所以， 所以， 所以，所以直线方程为，令，解得，即直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $