精品解析：江苏省常州市合作学校2025-2026学年高二上学期期中学情调研数学试卷

常州市合作学校 2025—2026学年度第一学期期中学情调研 高二年级数学试卷 2025.11 考试时间120分钟 本试卷共19题满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用直线斜率公式，结合直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可． 【详解】直线经过两点和， 所以该直线的斜率为， 则该直线的倾斜角满足， 因为，所以． 故选：C． 2. 抛物线的焦点到准线的距离是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线方程求出即得. 【详解】由可得，即，故焦点到准线的距离为4. 故选：A. 3. 已知直线和直线平行，则这两条线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】设两平行线间的距离为，则. 故选：B 4. 已知圆的圆心坐标为(－2,3)，D，E分别为（ ） A. 4，－6 B. －4，－6 C. －4,6 D. 4,6 【答案】A 【解析】 【分析】由题得,解之即得D,E的值. 【详解】圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心， 又已知该圆的圆心坐标为(－2,3)，所以. 所以D＝4，E＝－6． 故答案为A 【点睛】本题主要考查圆的一般式方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 5. 已知直线与平行，则的值是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】当时求出两直线方程，检验是否平行；当时，根据两直线平行的性质求出k的值并检验，进而得出结果. 【详解】由两直线平行得，当时，两直线分别为和，显然两直线平行； 当时，由，解得； 而当时两直线重合. 综上所述，k的值为0. 故选：C 6. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则（ ） A. 14 B. 9 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件结合椭圆、双曲线方程的特点直接列式计算作答. 【详解】设椭圆半焦距为c，则，而椭圆与双曲线有共同的焦点， 则在双曲线中，，即有，解得， 所以. 故选：C 7. 已知双曲线的离心率为，焦点到渐近距离为2，则双曲线实轴长（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由焦点到渐近线得距离为，可得：，再代入离心率公式，即可得解. 【详解】焦点到渐近线得距离为， 又∵， ∴， ∴长轴为. 故选：C. 【点睛】本题考查了双曲线的离心率、渐近线和实轴，属于基本量的考查，是基础题. 8. 已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点M的轨迹为曲线．直线：与曲线恒有公共点，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先求出动点的轨迹方程，再根据直线与曲线的位置关系求出的取值范围. 【详解】设动点的坐标为，已知，且. 则，化简得：. 所以曲线：是以原点为圆心，为半径的圆. 因为直线：与曲线恒有公共点，所以圆心到直线的距离小于等于半径. 即，化简得恒成立. 所以，解得：. 故选：. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下四个命题表述正确的是（   ） A. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 B. 圆上有且仅有个点到直线的距离都等于 C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则 D. 已知直线和以、为端点的线段相交，则实数的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】对直线是否过原点进行分类讨论，设出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，求出参数值，可得出直线的方程，可判断A选项；求出圆心到直线的距离，结合直线与圆的位置关系可判断B选项；分析可知，两圆外切，可求出的值，可判断C选项；分析可知的几何意义是线段上一点与定点连线的斜率，数形结合可判断D选项. 【详解】对于A选项，当直线过原点时，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线方程得，解得，此时直线的方程为， 当直线不过原点时，设直线的方程为，即， 将点的坐标代入直线方程得，解得， 此时直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或，A错； 对于B选项，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，B对； 对于C选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 圆的圆心为，半径为， 因为两圆有三条切线，故两圆外切，故， 故，解得，C对； 对于D选项，由得， 可知的几何意义是线段上一点与定点连线的斜率，如下图所示： 由斜率公式可得，，作直线， 当直线从直线的位置运动到靠近直线的位置时， 此时直线的倾斜角为锐角，且直线的倾斜角逐渐增大，则； 当直线从靠近直线的位置运动到与直线重合时， 此时直线的倾斜角为钝角，且直线的倾斜角逐渐增大，此时. 综上所述，的取值范围是，D错. 故选：BC. 10. 已知平面直角坐标系内的一个曲线的方程为不全为.则正确的是（ ） A. 当时，曲线是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆； B. 当时，曲线是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆； C. 当曲线是顶点在坐标原点，焦点在轴负半轴上的抛物线时，； D. 当曲线是中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线时， 【答案】AD 【解析】 【分析】根据椭圆，双曲线，抛物线的方程的特征判断各选项即可. 【详解】对于A，当时， 曲线的方程为，可化为， ∵，∴， ∴曲线是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，当时， 曲线的方程为，可化为， ∵，∴， ∴曲线是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，故B错误； 对于C，当曲线是顶点在坐标原点，焦点在轴负半轴上的抛物线时， 则满足，此时方程化为，即， 显然，得到， 而焦点在轴负半轴上，则，解得，故C错误； 对于D，当曲线是中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线时， 则满足， 此时方程化为，即， 则，得， 综上，，故D正确， 故选：AD． 11. 1675年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．设定点，，已知曲线为卡西尼卵形线，下列选项判断正确的是（    ） A. 原点在曲线的内部； B. 曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形； C. 曲线上的点的横坐标的取值范围是； D. 曲线上存在点，使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】原点的坐标代入的方程，即可判断A；利用对称的概念代入验证可判断B；化简的方程，利用求得横坐标范围，可判断C；由题意，代入曲线方程，利用方程是否有解判断D. 【详解】原点的坐标代入的方程，有， 所以原点在曲线上，故A错误； 代入的方程，得，方程成立， 故曲线关于原点对称， 代入的方程，得，方程成立， 故曲线关于轴对称， 代入的方程，得，方程成立， 故曲线关于轴对称， 综上，曲线关于原点，轴，轴均对称，故B正确； 由，两边平方得， ∴，即， ∴，即， ∴， 所以，得， 化简得，即，解得， ∴曲线上的点的横坐标的取值范围是，故C正确； 若曲线上存在点，使得，即， ∵， ∴， 又，则， 即，即，解得， ∴曲线上存在点，使得，故D正确， 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知从点射出的光线经轴上的点反射后经过点，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反射的对称性及斜率公式求解. 【详解】设点， 根据反射的对称性，知点关于轴的对称点与在同一直线上， 所以，所以，解得， 所以点的坐标为． 故答案为：. 13. 已知圆过点，且圆心在直线，则圆的标准方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】圆的标准方程为：，结合题意列出方程求解即可. 【详解】圆的标准方程为：， 则，解得：， 所以圆的标准方程为：， 故答案为： 14. 如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，，．“果圆”与x轴的交点分别为、，与轴的交点分别为，，若在“果圆”y轴左侧部分上存在点P使得，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，设,，由，可知，利用向量数量积的坐标表示，结合条件求得， 令，从而，解不等式即可得解. 【详解】由题意，设,， ， ∵，∴， ∴， ∴， ∴， ∴，或（舍）， ∴， 令， ∵，，， ∴，即， ∴，即， 即，，从而， ∴， ∴，即且， 结合，解得， ∴的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线的方程为. （1）若直线与平行，且过点，求直线的方程； （2）若直线与垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）可设的方程为，将点代入，求出即可； （2）可设的方程为，由三角形面积求得即可. 【小问1详解】 由直线与平行，可设的方程为， 将点代入，得，即得， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 由直线与垂直，可设的方程为， 令，得，令，得， 故三角形面积， 所以，解得， 所以直线的方程是或. 16. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上且经过点． （1）求抛物线的方程； （2）若抛物线的焦点在x轴上，一条斜率为的直线过该抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点，求弦的长度. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线焦点的位置分类讨论，设出抛物线的方程，把点代入求解即可； （2）求出直线的方程，代入抛物线，利用弦长公式求解. 【小问1详解】 若抛物线焦点在轴上，则可设， 抛物线经过点，，解得：， 抛物线方程为：； 若抛物线焦点在轴上，则可设， 抛物线经过点，，解得：， 抛物线方程为：， 综上所述：抛物线的方程为：或. 【小问2详解】 由（1）知：抛物线的方程为：，焦点为， 则直线， 代入抛物线方程，消去得，则，显然， 所以，， 则. 17. 已知，是圆上的三点，. （1）判断四点是否共圆，并说明理由； （2）过点的直线被圆截得的弦长为4，求直线的方程. 【答案】（1）四点共圆，理由见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）可先求出过三点的圆的方程，再判断是否在圆上即可. （2）分情况讨论直线斜率是否存在，设出直线方程，再利用圆的弦长公式，即可求解. 【小问1详解】 设圆的方程为. 则. 解得，，. 所以，圆的方程为. 代入圆的方程，. 故点在圆上，即四点共圆. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，对于，令，得或. 此时弦长为，符合题意，故直线的方程为. 当直线的斜率存在时，设，即. 于是圆心到直线的距离为. 则. 解得.故直线的方程为. 综上所述，直线l的方程为或. 18. 设椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为. （1）求椭圆的方程； （2）设圆上的任意一点处的切线交椭圆于点，问： 是否为定值? 若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）是， 【解析】 【分析】（1）由题意得，得，再由椭圆右顶点到双曲线渐近线的距离求得，进而得椭圆方程； （2）当切线的斜率不存在时，求出的坐标，计算；当切线的斜率存在时，设方程为，因为与圆相切求得的关系，将切线的方程代入椭圆，结合韦达定理及数量积的坐标运算得计算. 【小问1详解】 双曲线的左右顶点分别为， 由题意得：，故， 双曲线渐近线方程为， 故椭圆右顶点到双曲线渐近线距离为， 因为，解得：，故， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 当切线的斜率不存在时，其方程为， 将代入，得， 不妨设，， ，， 所以； 当切线的斜率存在时，设方程为， 因为与圆相切，所以，即， 将代入，得， 所以， 又 ， 综上，. 19. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，右焦点与抛物线的焦点相同，其一条渐近线方程为. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积； （3）过点的动直线交双曲线C于两点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为与（不同于点），连接，这两条直线相交于点，问点是否为定点，若是，请求出点的坐标，若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）是，为定点 【解析】 【分析】（1）由抛物线的焦点求得，由双曲线的渐近线方程求得，即可得解； （2）分和两种情况讨论，求出点坐标，计算面积即可； （3）当斜率不存在时，求得的坐标及，的方程，联立可解得坐标；当斜率存在时，设的方程为，与双曲线的方程 联立，求得，的方程，结合韦达定理可求得坐标． 【小问1详解】 抛物线的焦点，即，得， 双曲线，渐近线方程为， 则，解得，， 故双曲线C的标准方程为. 【小问2详解】 当时，横坐标代入双曲线方程可得， 则； 当时，设， ∴， 则，解得， 则. 综上，或. 【小问3详解】 当斜率不存在时，，， ，即， ，即， 联立，的方程，解得； 当斜率存在时，设直线的方程为， 设，∴，   联立方程， 可得， 由题可知，①， 同理，②， ②①式可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 则为定点. 综上，为定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常州市合作学校 2025—2026学年度第一学期期中学情调研 高二年级数学试卷 2025.11 考试时间120分钟 本试卷共19题满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点到准线的距离是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 3. 已知直线和直线平行，则这两条线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆的圆心坐标为(－2,3)，D，E分别为（ ） A. 4，－6 B. －4，－6 C. －4,6 D. 4,6 5. 已知直线与平行，则的值是（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则（ ） A. 14 B. 9 C. 4 D. 2 7. 已知双曲线的离心率为，焦点到渐近距离为2，则双曲线实轴长（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点M的轨迹为曲线．直线：与曲线恒有公共点，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下四个命题表述正确的是（   ） A. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 B. 圆上有且仅有个点到直线的距离都等于 C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则 D. 已知直线和以、为端点的线段相交，则实数的取值范围为 10. 已知平面直角坐标系内的一个曲线的方程为不全为.则正确的是（ ） A. 当时，曲线是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆； B. 当时，曲线是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆； C. 当曲线是顶点在坐标原点，焦点在轴负半轴上的抛物线时，； D. 当曲线是中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线时， 11. 1675年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．设定点，，已知曲线为卡西尼卵形线，下列选项判断正确的是（    ） A. 原点在曲线的内部； B. 曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形； C. 曲线上的点的横坐标的取值范围是； D. 曲线上存在点，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知从点射出的光线经轴上的点反射后经过点，则点的坐标为________． 13. 已知圆过点，且圆心在直线，则圆的标准方程为________． 14. 如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，，．“果圆”与x轴的交点分别为、，与轴的交点分别为，，若在“果圆”y轴左侧部分上存在点P使得，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线的方程为. （1）若直线与平行，且过点，求直线的方程； （2）若直线与垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程． 16. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上且经过点． （1）求抛物线的方程； （2）若抛物线的焦点在x轴上，一条斜率为的直线过该抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点，求弦的长度. 17. 已知，是圆上的三点，. （1）判断四点是否共圆，并说明理由； （2）过点的直线被圆截得的弦长为4，求直线的方程. 18. 设椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为. （1）求椭圆的方程； （2）设圆上的任意一点处的切线交椭圆于点，问： 是否为定值? 若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 19. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，右焦点与抛物线的焦点相同，其一条渐近线方程为. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积； （3）过点的动直线交双曲线C于两点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为与（不同于点），连接，这两条直线相交于点，问点是否为定点，若是，请求出点的坐标，若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $