第一章 空间向量与立体几何 （十三大题型）专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 题型一 空间向量及其线性运算 1．在正方体中，与向量相等的向量有（    ） A． B． C． D． 2．已知空间四点，则（    ） A． B． C． D． 3．在平行六面体中，与相交于点，设，，，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 4．已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（ ） A． B． C． D． 5．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 6．已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 7．已知A，B，C，D四点是平面四边形的四个顶点，O是平面ABCD外一点.若，则（    ） A． B． C． D．1 8．已知，若三个向量共面，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则（    ） A．5 B．2 C． D． 10．点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 11．三棱柱中，分别是的中点，设，则等于（    ） A． B． C． D． 题型二 空间向量数量积的概念分析 12．在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C．AC (→)1 D． 13．夹角的定义： 已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则叫做向量，的夹角，记作 . 题型三 求空间向量的数量积 14．已知长方体中，，，，若，，，则（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 15．如图，正四面体的棱长为1，，则 ． 题型四 空间向量数量积的应用 16．如图，直二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，且垂直于.若，则线段的长度为（   ） A． B． C．2 D． 17．已知、、为空间三个向量，又且，向量满足，，，则对于任意实数的最小值为 ． 18．如图，已知在平行六面体中，，，，，，，分别是，的中点. (1)若对角线的长度为时，求的值； (2)求证：. 题型五 空间向量基底概念及辨析 19．已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 20．基底:如果三个向量 ，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量生成的，我们把叫作空间的一个 都叫作 . 题型六 用空间基底表示向量 21．如图，在三棱柱中，，点为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 22．如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，，则 .    题型七 空间向量基本定理及其应用 23．已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则（   ） A． B． C． D． 24．在各棱长都等于1的正四面体中，若点满足 ，则 的最小值为 ． 题型八 空间向量的坐标运算 25．三角形中，，，，则边上的中线向量为（   ） A． B． C． D． 26．已知. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 27．如图，在平行六面体中，，且，. (1)分别求，的长； (2)证明：. 题型九 空间向量运算的坐标表示 28．已知向量，，则为（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 29．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数的值是（   ） A．1 B．5 C． D． 30．已知向量，，且与互相垂直，则（   ） A． B． C． D．2 31．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 题型十 空间中点、直线和平面的向量表示 32．已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（    ） A． B． C． D． 33．若为平面内相异三点，且，则平面的一个法向量可以是（   ） A． B． C． D． 题型十一 空间中直线、平面的平行 34．已知点，，若平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．或 35．在空间直角坐标系中，已知三点共线，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型十二 空间中直线、平面的垂直 36．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D． 37.如图，在四棱锥中，底面，，，，M为棱的中点．用向量方法证明： (1)； (2)平面． 题型十三 用空间向量研究距离、夹角问题 38．在空间直角坐标系中，已知点，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 39．两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 40．已知正方体的棱长为1，点在正方体内部且，则到直线的距离为 . 41．如图，四边形，都是正方形，，.分别是线段，上的动点，且则的最小值是 .    42．如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是，BC的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求异面直线AC与BD所成角的余弦值． 43．如图，在正四棱柱中，底面的边长为3，侧棱长是底面边长的2倍，是侧棱上的任一点．问：当点在侧棱上何处时，在平面上的射影是的平分线？    44．如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱上的动点，且. (1)证明：. (2)当的长度最短时，求直线与平面所成角的正弦值. 45．已知底面ABCD是正方形，平面，点E、F分别为线段PB、CQ的中点.    (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若点是线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时，求的值. 46．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，E为中点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 47．如图在四棱锥中，平面平面，，是中点，是上一点． (1)当时，证明：平面； (2)平面与平面夹角的余弦值为，求的值． 48．如图，已知正方体的棱长为1，过直线的平面分别与棱，交于点E，F（点E，F均与所在棱的端点不重合）. (1)若，求直线EF与所成角的余弦值； (2)求的余弦值的最大值； (3)设平面与平面，平面，平面的夹角分别为，，，证明：. 49．如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接、，设中点为．    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何 题型一 空间向量及其线性运算 1．在正方体中，与向量相等的向量有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用相等向量的定义，结合正方体的几何特征即可求解． 【详解】如图， 在正方体中，由正方体性质可知与相等的向量有. 故选：A 2．已知空间四点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】依题意，. 故选：C 3．在平行六面体中，与相交于点，设，，，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】根据题意，， 故选：B. 4．已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点． 【详解】对于A，， ，不共线，即三点不共线，故A错误； 对于B，， ，不共线，即三点不共线，故B错误； 对于C，， ，则共线，即三点共线，故C正确； 对于D，， ，不共线，即三点不共线，故D错误； 故选：C． 5．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把问题转化为两向量平行，求参数的问题求解. 【详解】因为. 因为、、三点共线，所以. 所以. 故选：D 6．已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【答案】B 【分析】根据三点共线的推理即可求得，. 【详解】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B 7．已知A，B，C，D四点是平面四边形的四个顶点，O是平面ABCD外一点.若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据给定条件可得，再利用共面向量定理的推论求解. 【详解】由，得， 则，显然，否则， 点共面，矛盾，因此， 由共面向量定理的推论，得，所以. 故选：D 8．已知，若三个向量共面，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用空间向量共面定理求解即可. 【详解】因为，且三向量共面，可知存在，使得， 即，则，解得. 故选：B. 9．已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则（    ） A．5 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量共面的推论求解即可. 【详解】，即， 即， 四点共面且任意三点不共线， ，． 故选：D. 10．点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算即可求解. 【详解】因为四边形为平行四边形，所以为和的中点， 所以， 故选：D. 11．三棱柱中，分别是的中点，设，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算求解． 【详解】， 故选：A． 题型二 空间向量数量积的概念分析 12．在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C．AC (→)1 D． 【答案】A 【分析】利用投影向量的定义可得结果. 【详解】如下图所示： 因为平面，是棱上任意一点， 所以在平面上的投影向量为. 故选：A. 13．夹角的定义： 已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则叫做向量，的夹角，记作 . 【答案】 【分析】略 【详解】略 题型三 求空间向量的数量积 14．已知长方体中，，，，若，，，则（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 【答案】C 【分析】根据数量积的定义及数量积的运算律求解即可. 【详解】由题意知，，，两两垂直，故. 又，，， 所以. 故选：C. 15．如图，正四面体的棱长为1，，则 ． 【答案】/0.5 【分析】由图象及已知条件，先用与来表示，再求，分别与的数量积，进而可得答案. 【详解】因为点E是棱CD的中点，所以. 又因为正四面体ABCD的长为1，所以， 所以. 故答案为：. 题型四 空间向量数量积的应用 16．如图，直二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，且垂直于.若，则线段的长度为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用空间向量基本定理表示，再结合空间向量数量积的运算性质求即可. 【详解】因为，，，所以. 又，所以. 因为，，，，， 由， 所以. 所以. 故选：B 17．已知、、为空间三个向量，又且，向量满足，，，则对于任意实数的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律及数量积的定义化简，结合配方法求出最小值. 【详解】依题意， ，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 18．如图，已知在平行六面体中，，，，，，，分别是，的中点. (1)若对角线的长度为时，求的值； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意，结合模、数量积的计算公式列方程即可求解； （2）MN (→)=MC (→)1+C1N=a (→)-b (→)，AC (→)1=a (→)+b (→)+c (→)，由数量积的运算律证明即可. 【详解】（1）设，三个向量不共线， 则构成空间的一个基底，且，        ，则，故. （2）由题意得MN (→)=MC (→)1+C1N=a (→)-b (→)，AC (→)1=a (→)+b (→)+c (→)，      则 ，故. 题型五 空间向量基底概念及辨析 19．已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量基底的定义进行判断即可. 【详解】A：因为， 所以是共面向量，因此本选项向量不能构成空间的一个基底； B：假设是共面向量， 所以存在实数，使得成立， 因为为空间的一个基底， 所以有，显然方程组无实数解，因此假设不成立， 所以本选项向量能构成空间的一个基底； C：因为， 所以是共面向量，因此本选项向量不能构成空间的一个基底； D：因为， 所以是共面向量，因此本选项向量不能构成空间的一个基底， 故选：B 20．基底:如果三个向量 ，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量生成的，我们把叫作空间的一个 都叫作 . 【答案】 不共面 基底 基向量 【详解】略 题型六 用空间基底表示向量 21．如图，在三棱柱中，，点为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合空间向量的线性运算求解即可. 【详解】略 22．如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，，则 .    【答案】 【分析】由向量的首尾相连原则及图形可得求解. 【详解】， 故答案为： 题型七 空间向量基本定理及其应用 23．已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用向量的减法运算和空间向量基本定理即可求出. 【详解】因点在平面内，则使得， 则， 即， 因是平面外一点，则不共面， 则由以及空间向量基本定理可知， ，得. 故选：B 24．在各棱长都等于1的正四面体中，若点满足 ，则 的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据得到四点共面，从而得到的最小值为到平面的距离，又四面体是正四面体，底面是正三角形，设三条中线的交点为，连接，则为正四面体的高，求出的长度就是 的最小值. 【详解】，四点共面， 的最小值为到平面的距离， 取中点，中点，连接，，，连接， 四面体是正四面体，底面是正三角形， 为底面正三角形的中心，连接， 为正四面体的高，到平面的距离为， 的最小值为， 正四面体的各棱长为1， ，， ， 的最小值为. 故答案为：.    题型八 空间向量的坐标运算 25．三角形中，，，，则边上的中线向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由中点坐标公式求得中点坐标，再由终点坐标减去起点坐标得到向量坐标. 【详解】中点，则. 故选：B. 26．已知. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算进行计算即得； （2）先通过空间向量的坐标运算求得，再由数量积得不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 得 （2） 因为，所以. 解得：或. 27．如图，在平行六面体中，，且，. (1)分别求，的长； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由空间向量线性运算，可得，，利用数量积运算性质即可得出． （2）由和，计算出，利用向量数量积运算性质计算即可证明. 【详解】（1）因为，且，， 故， 又，故 ， 由于， 所以 ， （2） ， 所以． 题型九 空间向量运算的坐标表示 28．已知向量，，则为（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】先求的坐标，再求向量模即可求解. 【详解】由题意有：， 所以. 故选：B. 29．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数的值是（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到，列出方程，即可求解. 【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为， 因为，则，所以，解得. 故选：C. 30．已知向量，，且与互相垂直，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用向量垂直数量积等于零即可求解. 【详解】，， 与互相垂直则， 则. 故选：B. 31．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量数量积坐标运算即可求解. 【详解】由于， 故选：A. 题型十 空间中点、直线和平面的向量表示 32．已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据法向量的性质可得n (→)⊥AP (→)，即可根据向量垂直的坐标运算求解. 【详解】解析：因为，，所以. 平面的法向量，则n (→)⊥AP (→)， 所以，即. 故选：A. 33．若为平面内相异三点，且，则平面的一个法向量可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平面法向量与平面内向量垂直，即n (→)·AB (→)=0且，设，求得关系后判断. 【详解】由法向量的性质得平面法向量与平面内向量垂直， 即n (→)·AB (→)=0且，设， 则，， 由第二个方程得，代入第一个方程有， 令，则，即． 故选：B． 题型十一 空间中直线、平面的平行 34．已知点，，若平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】通过直线的方向向量与平面的法向量的关系，判断直线与平面的位置关系 【详解】因为，， 所以，所以或． 故选：D． 35．在空间直角坐标系中，已知三点共线，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由向量共线的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】因为， 由题意， 解得. 故. 故选：D. 题型十二 空间中直线、平面的垂直 36．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】由得到，从而得到，利用向量的数量积求解. 【详解】，，，，. 故选：A. 37.如图，在四棱锥中，底面，，，，M为棱的中点．用向量方法证明： (1)； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系．写出各点的坐标． （1）由即可证明； （2）求出平面的法向量，由法向量与数量积为零即可证明平面． 【详解】（1）∵，，∴． 由底面，得． 以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 又，M为棱的中点． 则，，，，，． ∵，， ∴， ∴，则． （2）∵，，∴． 由底面，得． 又，∴平面， 则向量是平面的一个法向量． ∵，且平面， ∴平面． 题型十三 用空间向量研究距离、夹角问题 38．在空间直角坐标系中，已知点，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量中点到平面的距离公式求解即可. 【详解】因为，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 故选：A . 39．两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离，结合点到平面距离的向量公式求结论. 【详解】两平行平面，分别经过坐标原点和点，，且两平面的一个法向量，两平面间的距离. 故选：B. 40．已知正方体的棱长为1，点在正方体内部且，则到直线的距离为 . 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，求向量的坐标，利用向量方法求点到直线的距离． 【详解】如图，以A为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 又， 即，， 则，， 所以点到直线的距离为． 故答案为：． 41．如图，四边形，都是正方形，，.分别是线段，上的动点，且则的最小值是 .    【答案】2 【分析】建立空间直角坐标系，设，用表示出点的坐标，将表示成关于的函数，求最值即可. 【详解】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，所以，，，， 则，. 设，则，所以. 因为，所以，所以，则， 故. 因为，所以，即的最小值是. 故答案为：    42．如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是，BC的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求异面直线AC与BD所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）取AB的中点F，连接DF，EF，可证得四边形是平行四边形，进而得到，根据线面平行的判定定理可证得结论； （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据线线角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）如图，取AB的中点F，连接DF，EF， 因为E是的中点，所以，且， 又，，D是的中点， ∴，，∴四边形是平行四边形． ∴，又平面ABD，平面ABD， ∴平面ABD． （2）以B为坐标原点，BA，BC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 从而，． ∴， ∴直线AC与BD所成角的余弦值为． 43．如图，在正四棱柱中，底面的边长为3，侧棱长是底面边长的2倍，是侧棱上的任一点．问：当点在侧棱上何处时，在平面上的射影是的平分线？    【答案】点到点的距离是侧棱长的． 【分析】建立空间直角坐标系，设，根据列方程求解即可. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，设，    因为， 所以， 所以． 易知，所以， 依题意，得，即， 整理得，亦即， 故点到点的距离是侧棱长的． 44．如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱上的动点，且. (1)证明：. (2)当的长度最短时，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系后表示出点，再表示出、，计算即可得； （2）借助模长公式表示出后可得其最小值，再求出平面的法向量与直线的方向向量后计算即可得. 【详解】（1）以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，设，则， 得， ， ； （2）由（1）得， 当时，取得最小值， 当的长度最短时，， 由（1）得， 得， 设平面的法向量为， 则， 令，得，则， 又， 设直线与平面所成角为， 则. 45．已知底面ABCD是正方形，平面，点E、F分别为线段PB、CQ的中点.    (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若点是线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）先求出平面与平面的法向量，再利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值； （3）先设，其中，得出向量的坐标，得到平面的一个法向量，再利用空间向量法可得线面角的正弦是关于的式子，结合值域计算即可求解. 【详解】（1）因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则、、、、，、， 所以， 所以，所以． （2）设平面的法向量，，， 则，取，可得， 所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角余弦值为； （3）假设存在点，使得，其中， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 由题意可得， 设，即， 当即时，取最大值； 因为，所以，所以． 46．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，E为中点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面PAD，由线面垂直的性质定理得，进而利用线面垂直的判定定理得平面； （2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量、平面的法向量，由向量的夹角公式可得答案． 【详解】（1）∵平面，平面，∴， 又∵，，平面PAD，∴平面PAD， 又平面PAD，∴， ∵，且E为中点，∴， 又，平面， ∴平面． （2）如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系，    则，，，，， ∴，，且平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，∴， ∴． 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 47．如图在四棱锥中，平面平面，，是中点，是上一点． (1)当时，证明：平面； (2)平面与平面夹角的余弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及直线的方向向量，证明其数量积为0即可证明线面平行； （2）利用空间向量求空间角即可求解. 【详解】（1）如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系， 则由题意得， ， 由，可得 证明：设平面的法向量为， 则，解得， 令，得. 因为， 所以 又平面，所以平面 （2）， 设，， 则 设平面的法向量为， 则， 取，则， 则， 化简得：， 解得， 所以. 48．如图，已知正方体的棱长为1，过直线的平面分别与棱，交于点E，F（点E，F均与所在棱的端点不重合）. (1)若，求直线EF与所成角的余弦值； (2)求的余弦值的最大值； (3)设平面与平面，平面，平面的夹角分别为，，，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先由面面平行的性质得到截面是平行四边形，接着建立适当空间直角坐标系根据计算即可求解； （2）设，，向量法计算结合基本不等式得，再由基本不等式即可分析求解； （3）先由向量法求出平面的法向量为，平面、平面、平面的法向量分别可取、、，再由面面角的向量法公式依次计算、、即可分析求证. 【详解】（1）由正方体结构性质可知平面平面，平面平面，平面平面， 所以，同理可得，所以截面是平行四边形， 所以EF与的交点为正方体的中心. 以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图. 则，，，， 则，， 所以， 即直线EF与所成角的余弦值为. （2）设，，则且， 则，，故由（1）得，， 故， 又，所以，所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. （3）设平面的法向量为，由（2）得，， 则，不妨令，得. 又平面，平面，平面的法向量分别可取，，， 于是， ， ， 于是， 即. 49．如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接、，设中点为．    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）证明空间中三线两两垂直，建立空间直角坐标系，由线段长写出点坐标，然后利用空间向量的数量即求出平面法向量，由直线方向向量和平面法向量的数量积求得线面角的正弦值； （2）点存在，设，即得到点坐标，然后由线面垂直得到空间向量的数量积，解得即为的值. 【详解】（1）∵，， ∴，即，， 又∵二面角为直角，∴， ∴如图建立空间直角坐标系， ∵，为的中点， ∴，，，，， 则，，， 设为平面的一个法向量， 则，令，则， ， 设直线与平面所成角为， 则.    （2）存在这样的点， 设， ∵中点为，∴， 则， 当平面时，，解得， 即.    1 学科网（北京）股份有限公司 $